그라데이션

Gradient
파란색 화살표로 표시된 기울기는 스칼라 함수의 가장 큰 변화 방향을 나타냅니다.함수의 값은 회색 스케일로 표시되고 값이 흰색(낮음)에서 진한(높음)으로 증가합니다.

벡터 미적분학에서는 여러 변수 scalar-valued 미분 가능 함수 f의 경사는 벡터장 f{\displaystyle f}p에서 요소는 일부 파생 상품{\displayst{p\displaystyle}은 vector[를] 지점 p에서∇ f{f\displaystyle \nabla}값(또는 기능 vector-valued).yleP}그것은, f:Rn→ R}^{n}\to \mathbb{R}{\displaystyle f\colon \mathbb{R}, f:Rn→ Rn{\displaystyle \nabla f\colon \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}}의 기울기 ∇ 지점 p에서 다차원 공간을(x1,…,)n){\displaystyle p=(x_{1},\ldots{n,x_})}정의된다 .[1].~하듯이벡터[b]

nabla 기호 { 는 거꾸로 된 삼각형으로 쓰여지고 "del"로 발음되며 벡터 미분 연산자를 나타냅니다.

경사 벡터는 "가장 빠른 증가 방향 및 속도"로 해석할 수 있습니다.p에서 함수의 구배가 0이 아닌 경우, 구배 방향은 함수가 p에서 가장 빠르게 증가하는 방향이며, 구배 크기는 그 방향의 증가율인 최대 절대 방향 [2]도함수이다.또, 이 구배는, 정지점(도함수가 소실하는 점)인 경우에 한정해 제로 벡터이다.따라서 구배는 최적화 이론에서 기본적인 역할을 하며, 구배 상승에 의해 함수를 최대화하는 데 사용됩니다.

구배는 총 f {\ df에 대해 이중입니다. 한 점의 구배 값은 접선 벡터(각 점의 벡터)이며, 한 점의 도함수 값은 [c]공탄젠트 벡터(벡터의 선형 함수)입니다.이들은 다른 접선 벡터 v가 p에서의 f 구배의 점곱이 v를 따라 함수의 p에서 f의 방향 도함수와 같다는 점에서 된다 즉, () v= ( p ) f p ( v ) \ \ \ { fac그라데이션은 다지관의 보다 일반적인 기능에 대한 여러 일반화를 허용합니다. § 일반화를 참조하십시오.

동기

2D 함수 f(x, y) = xe−(x2 + y2) 구배는 함수의 유사 초콜릿 그림 위에 파란색 화살표로 표시됩니다.

각 점(x, y, z)의 온도가 시간에 관계없이 T(x, y, z)가 되도록 스칼라 필드 T에 의해 온도가 주어지는 방을 고려합니다.방의 각 지점에서 T의 구배는 온도가 (x, y, z)에서 가장 빠르게 상승하는 방향을 나타냅니다.경사도의 크기에 따라 온도가 해당 방향으로 얼마나 빨리 상승하는지가 결정됩니다.

지점(x, y)에서 해수면 위의 높이가 H(x, y)인 표면을 고려합니다.한 점에서 H의 기울기는 해당 지점에서 가장 가파른 경사 또는 기울기의 방향을 가리키는 평면 벡터입니다.해당 지점의 경사도는 경사 벡터의 크기에 따라 결정됩니다.

그라데이션은 도트 곱을 취함으로써 스칼라 필드가 단순히 가장 큰 변화의 방향이 아닌 다른 방향으로 어떻게 변화하는지 측정하는 데도 사용할 수 있습니다.언덕에서 가장 가파른 경사가 40%라고 가정합니다.직행하는 길은 40%의 경사가 있지만, 비스듬히 언덕을 도는 길은 경사가 얕아집니다.예를 들어, 도로가 오르막 방향에서 60° 각도에 있는 경우(양방향 모두 수평면에 투영된 경우), 도로를 따라 기울어진 벡터와 단위 벡터 사이의 점곱이 됩니다. 즉, 60°의 코사인 40% 또는 20%입니다.

보다 일반적으로 언덕높이함수 H가 미분가능하다면 단위벡터로 점점이 찍힌 H의 구배는 단위벡터를 따른 H방향도함수인 벡터 방향의 언덕 기울기를 나타낸다.

표기법

함수 f의 기울기{\displaystyle f}에{\displaystyle}은 보통∇ f(를){\displaystyle \nabla f(를)}. 또한 모든은 다음 중 하나에 의해 표시될 수 있다. 쓴 것이다.

  • ∇ → f({\displaystyle{\vec{\nabla}}f(를)}:결과의 벡터 특징을 강조하는.
  • f의 졸업
  • ∂ 나는 조의{\partial_{나는\displaystyle}f}와 fi}{\displaystyle f_{나는}:아인슈타인 표기법.

정의.

f(x, y))−(cos2x+cos2y)2은 계획된 벡터 필드로 아래 비행기에 새겨져 함수의 기울기.

스칼라 함수 f(x1, 미국, x3,…, xn)의 기울기(또는 구배 벡터장)∇f이나∇(나블라)은 벡터 미분 연산자를 의미한다 ∇→f, del. 표시됩니다.표기법 대학원 f은 또한 일반적으로 그라데이션이 사용된다.f의 그라데이션이 독특한 벡터장으로 f의 V에 따라 각 지점에서 어떤 벡터 v을 보유한 연산 스칼라 곱을 강화하는 것이 방향 미분을 정의된다그것은,

어디 거죽 손은 방향 파생 및 여러 방법으로 그것을 대표할 있다.형식적으로, 그라데이션이 그 파생물에 유도체 함유로 인간 관계를 볼 경우 이중 인터페이스인지.

함수 또한 시간과 같은 매개 변수에 있기 때문에 기울기는 종종 그 공간 파생 상품의 벡터만(공간적 기울기를 참조하십시오)단순히 말한다.

는 그라데이션 벡터의 크기와 방향은 특정 좌표 표현에 독립적이다.[3][4]

데카르트 좌표

유클리드 메트릭을 사용하는 3차원 데카르트 좌표계에서, 존재하는 경우, 구배는 다음과 같이 주어진다.

여기서 i, j, k는 각각 x, y z 좌표 방향의 표준 단위 벡터이다.예를 들어 함수의 기울기

일부 응용 프로그램에서는 구배를 직사각형 좌표계에서 그 구성요소의 행 벡터 또는벡터로 표현하는 것이 관례이다. 이 글은 구배가 열 벡터인 반면 도함수는 행 벡터이다.

원통 및 구면 좌표

유클리드 메트릭을 사용하는 원통형 좌표에서 구배는 다음과 [5]같이 주어진다.

여기서 θ는 축 거리, θ는 방위각 또는 방위각, z는 축 좌표, eρ, eφ, ez 좌표 방향을 가리키는 단위 벡터입니다.

구면 좌표에서 구배는 다음과 같이 [5]구한다.

여기서 r은 반지름 거리, θ는 방위각, θ는 극각, er, eθφ 좌표 방향을 가리키는 국소 단위 벡터이다(즉, 정규화된 공변량 기준).

다른 직교 좌표계의 기울기는 직교 좌표(3차원의 미분 연산자) 참조하십시오.

일반 좌표

x, …, xi, …, xn, …, x로 표기하는1 일반적인 좌표를 고려합니다.여기서 n은 도메인의 차원 수입니다.여기서 상위 지수는 좌표 또는 성분 목록의 위치를 가리키므로2 x는 수량 x 제곱이 아닌 두 번째 성분을 가리킵니다.지수 변수 i는 임의의 요소i x를 나타냅니다.아인슈타인 표기법을 사용하면 구배를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(듀얼 f fx { {} f={\ 입니다).

서 e i / i{\ e _{ \ \ i} = \ {d} x^{i}} = \ ravi는 각각 정규화되지 않은 국소 공변환기.또는 아인슈타인 합산 규칙은 i와 j대한 합계를 의미한다.

좌표가 직교하는 경우 스케일 계수(일명 라메 계수)를 사용하여 e^ e^ {{라고 하는 정규화된 베이스로 구배(및 미분)를 쉽게 표현할 수 있습니다. i e / { h{ i } = \ \{ { } _ { i} = 1 / \ \ { e } { } \ } :

( d f f ^ { } f= \_ {}^{n} , {\ { \) 、

두 개 이상의 지수의 반복을 피하는 것은 불가능하기 때문에 아인슈타인 표기법을 사용할 수 없다.상하의 지수를 사용하더라도 e \ } , ^ \ \{ ^ {} h \ 반변도도도 공변도 아니다.

후자의 식은 원통 좌표와 구면 좌표에 대해 위에서 주어진 식에 따라 평가됩니다.

파생상품과의 관계

총파생상품과의 관계

구배는 미분() d {\ df와 밀접하게 관련되어 있습니다. 즉, 서로 전치(이중)됩니다.Rn에서 vectors 그 회의를 사용하여(^{n}}칼럼 벡터며,(선형 지도 Rn→ R{\displaystyle \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}})한줄씩은 그라데이션 ∇ f{f\displaystyle \nabla}과 미분 dfvectors,[를]표시됩니다 covectors{\displ 표시됩니다.아아! df(는) 동일한 구성 요소를 사용하여 각각 열 및 행 벡터로 표현되지만 서로 전치됩니다.

이 두 가지가 같은 성분을 가지고 있는 동안, 그들은 그들이 나타내는 수학적 객체의 종류에 따라 다르다: 각각의 점에서, 도함수는 공탄젠트 벡터, 즉 (벡터) 입력의 주어진 극소량 변화에 대해 (스칼라) 출력이 얼마나 변화하는지 나타내는 선형 형태이다. 반면, 각 점에서, 구배는 접선 벡터이다.는 (최소) 입력의 미세한 변화를 나타냅니다.기호에서 구배는 점 f ( p \ \f ( )\ T_의 접선공간에서 까지의 인 반면 는 d : R 이다.벡터 공간 Rn{\displaystyle \mathbb{R}^{n}}그 자체로 Rn(^{n}}의 각 지점에서 접선 공간이 될 수 있"자연스럽게"identified[d]고, 각 점과 유사한 코탄젠트 우주는 자연스럽게 이중 벡터 공간(Rn)∗{\displaystyle(\mat로 식별할 수 있다.hb개의 코벡터. 따라서 점에서의 구배 값은 탄젠트 벡터뿐만 아니라 n \의 벡터를 생각할 수 있습니다.

계산적으로, 탄젠트 벡터가 주어진 경우, 벡터에 (행렬로서) 도함수를 곱할 수 있으며, 이는 기울기를 갖는 점곱을 취하는 것과 같다.

미분 또는 (외부)파생상품

미분 가능한 함수에 대한 최선의 선형 근사

Rn 점 x는 종종 df 또는 Df(x)x 표시되고 x에서 f의 미분 또는 전체 도함수라고 불리는 R에서 R까지의n 선형 지도이다.xx df에 매핑하는 함수 df는 f의 전체 미분 또는 외부 미분이라고 하며 미분 1-형태의 한 예입니다.

단일 변수의 함수의 도함수가 [6]함수의 그래프에 대한 탄젠트기울기를 나타내듯이, 여러 변수에서 함수의 방향 도함수는 벡터 방향의 탄젠트 하이퍼플레인의 기울기를 나타냅니다.

구배는 다음 공식에 의해 미분과 관련됩니다.

임의의 v δn R에 대해, 여기서δ { 점곱이다: 기울기를 갖는 벡터의 점곱을 취하는 것은 벡터를 따라 방향 도함수를 취하는 것과 같다.

Rn (실수의) 열 벡터의 (차원 n) 공간으로 본다면 df를 성분이 있는 행 벡터로 간주할 수 있다.

df(v)가 행렬 곱셈에 의해 주어지도록 한다x.R n 표준 유클리드 메트릭을 가정할 때, 구배는 대응하는 열 벡터, 즉,

함수에 대한 선형 근사

함수에 대한 최선의 선형 근사는 도함수가 아닌 구배 단위로 표현될 수 있다.유클리드 공간n R에서 R까지의0n 함수 f의 구배는 x에서0 f에 대한 최선의 선형 근사치를 나타낸다.근사치는 다음과 같습니다.

x가 x에 가까운0 경우, 여기서 (θf x0)는 x에서 계산0 f의 기울기이며, 점은 R n 점곱을 나타낸다.이 방정식은 x에서0 f다변수 Taylor 급수 확장의 처음 두 항과 동일합니다.

프레셰 도함수와의 관계

U를 R에서 열린n 집합으로 하자.함수 f : UR이 미분가능하다면 f의 미분값은 f프레셰 도함수이다.따라서 θf는 다음과 같이 U에서 공간n R까지의 함수이다.

· ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★.

결과적으로, 기울기 자체가 파생상품이 아니라 오히려 파생상품에 대해 이중적이긴 하지만, 파생상품의 일반적인 특성은 기울기에 대해 유지된다.

선형성
f와 g가 a δ R 지점에서n 미분 가능한 두 개의 실수치 함수이고, α와 β가 두 개의 상수라면, αf + βg는 a에서 미분할 수 있고, 더 나아가서
제품 규칙
f와 g가 a δn R 지점에서 미분 가능한 실수치 함수일 경우, 곱셈 규칙은 a에서 fg가 미분 가능하다는 것을 단언한다.
연쇄 규칙
f : AR이 R의 부분n 집합 A에 정의된 실수치 함수이고 f가 a 지점에서 미분 가능하다고 가정합니다.그라데이션에 적용되는 체인 규칙에는 두 가지 형태가 있습니다.먼저 함수 g가 파라메트릭 곡선이라고 가정하자. , 함수 gn : I → R은 부분 집합 I δ Rn R에 매핑한다.g가 g(c) = a인 점 c δ I에서 미분 가능한 경우,
여기서 θ는 합성 연산자: (f θθ g)(x) = f(g(x))이다.

보다 일반적으로 Ik R이면 다음 사항이 유지됩니다.

여기서 (Dg)T전치 야코비안 행렬을 나타냅니다.

체인 규칙의 두 번째 형태에 대해, h : I → R이 R의 부분 집합 I에 대한 실제 값 함수이고, hf(a) µ I 지점에서 미분 가능하다고 가정하자.

기타 속성 및 응용 프로그램

레벨 세트

수평면(등각면)은 일부 함수의 값이 지정된 모든 점의 집합입니다.

f가 미분 가능한 경우 벡터 v를 갖는 x에서의 구배 도트곱(θf)x δv방향 v의 x에서의 f의 방향 도함수를 구한다.따라서 이 경우 f의 구배는 f의 수준 집합과 직교한다.예를 들어, 3차원 공간의 수평면은 F(x, y, z) = c 형태의 방정식으로 정의된다. 그러면 F의 기울기는 표면에 정규적이다.

보다 일반적으로, 리만 다양체에 포함초서면dF가 0이 되도록 F(P) = 0 형태방정식으로 잘라낼 수 있다.그러면 F의 구배는 하이퍼서페이스에 대해 정상입니다.

마찬가지로, 아핀 대수적 초서면은 방정식 F1(xn, ..., x) = 0으로 정의될 수 있다. 여기서 F는 다항식이다.F의 구배는 하이퍼서페이스의 단일점에서 0입니다(이것은 단일점의 정의입니다).비단수점에서는 0이 아닌 정규 벡터입니다.

보수 벡터장과 구배 정리

함수의 구배를 구배 필드라고 합니다.(연속) 구배장은 항상 보수적인 벡터장입니다.경로를 따라 적분된 선은 경로의 끝에만 의존하며, 구배정리(선적분을 위한 미적분의 기본 정리)에 의해 평가될 수 있습니다.반대로 (연속적인) 보존 벡터장은 항상 함수의 구배입니다.

일반화

야코비안

야코비안 행렬은 여러 변수의 벡터 값 함수와 유클리드 공간 또는 더 일반적으로 [7][8]다양체 사이미분 가능한 지도에 대한 구배 일반화이다.바나흐 공간 의 함수에 대한 또 다른 일반화는 프레셰 도함수이다.

f : Rn Rm 각각의 1차 편도함수가 δn 존재한다고 가정하자.f의 야코비안 행렬은 m 행렬로 정의되며, 는 J f ( x) \ \_{\{} 또는 J \됩니다. (i,j)th 엔트리는 j jdisplay 이다 명시적

벡터 필드의 구배

벡터장의 전체 도함수는 벡터에서 벡터로의 선형 매핑이기 때문에 텐서량이다.

직사각형 좌표에서 벡터장 f = ( f1, f2, f3)의 구배는 다음과 같이 정의된다.

(여기서 아인슈타인 합산 표기법을 사용하고 벡터i ek e의 텐서곱은 (2,0) 유형의 2진 텐서이다.)전체적으로, 이 식은 야코비 행렬의 전치입니다.

곡선 좌표 또는 곡선 다지관에서의 구배는 크리스토펠 기호를 포함한다.

여기jk g는 역 메트릭 텐서의 성분이고 e는 좌표 기저i 벡터이다.

보다 불변하게 표현하면, 벡터장 f의 구배는 Levi-Civita 연결과 메트릭 [9]텐서로 정의될 수 있다.

여기서 cis는 접속입니다.

리만 다양체

리만 다양체(M, g) 상의 모든 매끄러운 함수 f에 대하여, f의 구배는 벡터장 θf가 되며, 임의의 벡터장 X에 대하여,

그것은,

여기x g( , )는 미터법 g에 의해 정의된 x에서의 탄젠트 벡터의 내적을 나타내며, Xθ f는 x에서 평가된 방향 x의 f에 대한 임의 x δ M을 취하는 함수이다.즉, M의 열린 부분 집합에서 R의 열린n 부분 집합까지의 좌표 차트 θ에서 X(θ f )(x)는 다음과 같이 주어진다.

여기j X는 이 좌표 차트에서 X의 j번째 성분을 나타냅니다.

따라서 그라데이션의 로컬 형식은 다음과 같습니다.

사례 M = Rn 일반화하면 함수의 구배는 외부 도함수와 관련이 있다.

보다 정확하게는, 경사θf음악적인 동형성을 사용하여 미분 1형 df와 관련된 벡터장이다.

메트릭 g로 정의됩니다.외부 도함수와 R n 함수의 기울기 사이의 관계는 측정지표가 도트곱에 의해 주어진 평탄한 측정지표인 특수한 경우이다.

참고 항목

메모들

  1. ^ a b 문서에서는 열 벡터는 벡터를 나타내고 행 벡터는 코벡터를 나타낸다는 규칙을 사용하지만 그 반대 규칙도 일반적입니다.
  2. ^ 엄밀히 말하면, 구배f : R \ f \ {^ { n } \ T \ { R } { }이고, 구배 값은 그 의 접선 공간에서의 접선 벡터, n\ T _ { p } ^ { p } ^ { } ^ r } ^ r } ^bbbb ^ { r }입니다.n \^{ 단, 모든 접선 공간은 원래 R \^{으로 자연스럽게 식별할 수 있으므로 구분할 필요가 없습니다. § 도함수 정의와 관계 참조.
  3. ^ 한 점의 기울기 값은 Rn \^{ 에서의 벡터라고 생각할 수 있으며, 한 점의 도함수 값은 원래 공간에서의 코벡터라고 생각할 수 있습니다. \ \{R} ^{ \to \
  4. ^ 비공식적으로 "자연스럽게" 식별된다는 것은 이것이 임의의 선택 없이 수행될 수 있다는 것을 의미합니다.이는 자연스러운 변환으로 공식화할 수 있습니다.

레퍼런스

  1. ^
  2. ^
  3. ^ 크라이시그 (1972년, 페이지 308년-309년)
  4. ^ 스토커 (1969년, 페이지 292년)
  5. ^ a b Schey 1992, 페이지 139~142.
  6. ^ 프로터 & 모레이 주니어(1970, 페이지 21, 88)
  7. ^ 보레가드 & 프롤리 (1973년, 페이지 87, 248년)
  8. ^ Kreysigig (1972년, 페이지 333, 353, 496)
  9. ^ Dubrovin, Fomenko & Novikov 1991, 348-349페이지.
  • Bachman, David (2007), Advanced Calculus Demystified, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-148121-2
  • Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
  • Downing, Douglas, Ph.D. (2010), Barron's E-Z Calculus, New York: Barron's, ISBN 978-0-7641-4461-5
  • Dubrovin, B. A.; Fomenko, A. T.; Novikov, S. P. (1991). Modern Geometry—Methods and Applications: Part I: The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields. Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
  • Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9
  • Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
  • "McGraw Hill Encyclopedia of Science & Technology". McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
  • Moise, Edwin E. (1967), Calculus: Complete, Reading: Addison-Wesley
  • Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042
  • Schey, H. M. (1992). Div, Grad, Curl, and All That (2nd ed.). W. W. Norton. ISBN 0-393-96251-2. OCLC 25048561.
  • Stoker, J. J. (1969), Differential Geometry, New York: Wiley, ISBN 0-471-82825-4
  • Swokowski, Earl W.; Olinick, Michael; Pence, Dennis; Cole, Jeffery A. (1994), Calculus (6th ed.), Boston: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5

추가 정보

  • Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. Dover Publications. pp. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234.

외부 링크