로그 미분

에 관한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니츠 적분 규칙 기능의 제한 연속성 평균값 정리 롤의 정리
차동 정의들 도함수(일반화) 차동 극소수의 함수의 총 개념 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련 요금 테일러의 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 로피탈의 법칙 역 라이프니츠 장군 파디 브루노의 공식 레이놀즈.
일체형 적분 목록 적분 변환 정의들 반파생적 내장(부적합) 리만 적분 르베그 적분 등고선 통합 역함수의 적분 통합: 부품. 디스크 원통형 셸 치환(트리거메트릭, 탄젠트 반각, 오일러) 오일러 공식 부분 분수 순서 변경 환원 공식 적분 기호로 구분 라이시 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하학) 고조파 교대로 힘 이항 테일러 컨버전스 테스트 Summand limit(항 검정) 비율 뿌리 일체형 직접 비교 한계 비교 교대 급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 녹색의 스토크스 발산 일반화 스토크스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 편도함수 다중 적분 라인 적분 표면적분 볼륨 적분 야코비안 헤시안
고급. 유클리드 공간의 미적분 분배의 한계
특화된 프랙셔널 말리아빈 확률적 바리에이션
여러가지 종류의 계산 전 역사 용어집 토픽 리스트 인테그레이션 분석.
v t

미적분학에서 로그 미분 또는 대수를 취함으로써 함수를 미분하는 방법은 함수 ^[1]f의 로그 도함수를 사용하여 함수를 미분하는 방법이다.

$\displaystyle (\ln f)'=syslogfrac {f'}{f}}\syslog \syslog f'=f\cdot (\ln f)'.}$

이 기술은 함수 자체보다 함수의 대수를 구별하는 것이 더 쉬운 경우에 종종 수행됩니다.이는 일반적으로 관심 함수가 여러 부품의 곱으로 구성되어 있는 경우에 발생하며, 따라서 로그 변환은 이를 개별 부품의 합으로 변환합니다(구분이 훨씬 용이함).변수나 함수의 거듭제곱으로 상승하는 함수에 적용할 때도 유용합니다.로그 미분은 제품을 합계로 변환하고 나눗셈을 ^[2][3]뺄셈으로 변환하기 위해 로그(특히 자연 로그 또는 밑수 e에 대한 로그)의 특성뿐만 아니라 연쇄 규칙에도 의존합니다.이 원칙은 적어도 부분적으로는 이들 함수가 0이 아닌 경우 거의 모든 미분 가능한 함수의 미분화에 구현될 수 있다.

개요

함수의 경우

$\displaystyle y=f(x)\!}$

로그 미분은 일반적으로 자연 로그 또는 로그를 밑변 e로 가져가고 절대값을 ^[4]취하는 것을 기억함으로써 시작됩니다.

$\displaystyle \ln y =\ln f(x) .,\!$

암묵적 차별화 ^[5]후:

${\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}=frac {f'(x)}{f(x)}}.}$

그런 다음 y 곱셈을 수행하여 1/y를 제거하고 왼쪽에 dy/dx만 남깁니다.

${\displaystyle\frac {dy}=y\times\frac {f'(x)}{f(x)}=f'(x)}.}$

이 방법은 로그의 특성이 복잡한 함수를 신속하게 단순화하여 ^[6]미분할 수 있는 방법을 제공하기 때문에 사용됩니다.이러한 특성은 양쪽에서 자연 로그를 취한 후 예비 미분 전에 조작할 수 있습니다.가장 일반적으로 사용되는 로그 법칙은^[3] 다음과 같습니다.

$\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln\frac {a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a)=n\ln(a).}$

일반적인 경우

대문자 파이 표기법을 사용하여

${\displaystyle f(x)=\display_{i}(x)^{\alpha _{i}(x)}.}$

자연대수를 적용하면 (대문자 시그마 표기법 사용)

$\displaystyle \ln(f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x),}$

차별화를 거쳐서

${\displaystyle {f'(x)}{i}=\sum _{i}(x)\left [\alpha _{i}(x)+\alpha _{i}(x)\cdot {f_{i}(x})\frac {f_i}(x}\right}.}$

원래 함수의 도함수를 구하려면 다시 정렬하십시오.

${\displaystyle f'(x)=\overbrace_{i}(x)^{\alpha _{i}(x)} ^{f(x)}\times \overbrace {sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)+\alpha _{i}(x)+cdot {frac {f_i}(x){f_i}\i}\cdot}$

고차 파생상품

파디 브루노의 공식을 사용하여 n차 로그 도함수는 다음과 같다.

$\displaystyle {d^{n} \over dx^{n} \ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n}!}{m_{1}!,m_{2}!,\cdots,m_{n}!}}\cdot {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \cdot _{j=1}^{n}\left\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\오른쪽)^{m_{j}}.}$

이것을 사용하여, 처음 4개의 파생상품은,

${\displaystyle {d^{2}} {ln f(x)} = spec frac {f'(x)} {f(x)} -\left\frac {f'(x)} {f(x)} {f(x)}} {f(x}} {{2}}$

${\displaystyle {d^{3}}{ln f(x)}=bln f(x)}{f'(x)}{f'(x)}}-3blac frac {f'(x)f'(x)}{f(x)}{f(x)}{f(x)}}{f(x)}}{f(x}}}{f}}{f}}{f}{f}}{f}{f}{f}}}{f}}{f}{f}{f}{f}}}}}{f}{f$

${{displaystyle {d^{4}}{ln f(x)}=sn frac {f''(x)}{f'(x)}}-4sn frac {f'(x)f''(x)}{f(x)}-3\f}-3\frac\f(x){f(x)}{f(x}{f(x)}{f(x}{f(x}}^2}}}\right}{f(오른쪽)}{f(오른쪽)}}}{f}{f}}{f}}}}}}$

적용들

상품들

자연 로그는 두 함수의 곱에 적용된다.

$\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\!}$

상품을 총액으로 바꾸다

$\displaystyle \ln(f(x)=\ln(g(x)h(x)=\ln(g(x)+\ln(h(x)),\!}$

체인 및 합계 규칙을 적용하여 차별화

${\displaystyle {f'(x)}{f(x)}=param frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x}}},$

재배열 후 수익률^[7]

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\bigg \{\frac {g'(x)}}+{\frac {h'(x)}{\Bigg \h(x)}}=g(x)\times {\bigg \}{\frac {x}(x}{g}}{g}{g}{g}{g}{g}{g}}{g}{g}{g}}{g}{g}{g}}}{g}{x}}}{x}{\frac}$

가격

자연 로그는 두 함수의 몫에 적용된다.

${\displaystyle f(x)=flac {g(x)}{h(x)}},\!}$

나눗셈을 뺄셈으로 바꾸다

$\displaystyle \ln(f(x))=\ln {Bigg ( ) {\frac {g (x)} {h (x)}} = \ln (x) - \ln (h (x) , \!$

체인 및 합계 규칙을 적용하여 차별화

${\displaystyle {f'(x)}{f(x)}=squalfrac {g'(x)}{g(x)}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},$

재배열 후 수익률

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{\Bigg \}=bigg {g(x)}}{h(x)}}\bigg\frac {g}{\frac}{g(x}}{g}}}}{g}{g}}}}}{frac}{\times}$

곱셈하여 공통분모식을 사용하면${\displaystyle }$f${\displaystyle }$($$x )\$displaystyle f($x$)\}$에 직접 몫규칙을 적용한 경우와 같은 결과가 됩니다.

복합 지수

폼의 기능

${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)},\!}$

자연 로그는 지수를 곱으로 변환한다.

$\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x),\!}$

체인 및 제품 규칙을 적용하여 차별화

${\displaystyle {f'(x)}{f(x)}=h'(x)\ln(g(x)+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},$

재배열 후 수익률

${\displaystyle f'(x)=f(x)\times {Bigg \{{{}(x)}{g(x)}}=g(x)^{h(x)}\times {Bigg \h(x)\ln(x)\times}$

exp의 관점에서 f를 고쳐 쓰고 체인 규칙을 적용하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 다르부스 도함수
• 도함수의 일반화 - 미적분의 기본 구조
• Lie 그룹 – 원활한 그룹 운영을 통해 차별화 가능한 다양체이기도 한 그룹
• 로그 항목 목록
• 로그 항등식 목록
• Maurer-Cartan 형식

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