부분분수분해

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2012년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

대수학에서, 합리적인 분수의 부분분수 분해 또는 부분분수 팽창(즉, 분자와 분모가 모두 다항식인 부분)은 그 분수를 보다 단순한 분모로 한 다항식(대략 0)과 한 개 또는 여러 개의 분수의 합으로 표현하는 것으로 구성되는 연산이다.^[1]

부분분수분해효과의 중요성은 반물질의 명시적 연산,^[2] 테일러 시리즈 팽창, 역 Z-변환, 역 라플라스 변환 등 합리적인 기능을 가진 다양한 연산 알고리즘을 제공한다는 사실에 있다. 이 개념은 1702년 요한 베르누이와 고트프리트 라이프니즈 양쪽에 의해 독자적으로 발견되었다.^[3]

${\displaystyle \frac{}{}}$에서 $f{\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$) g${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$, ${\$ 여기서 f와 g는 다항식(다항식)으로 표현된다.

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}}}}}}}}}}}}$

여기서 p(x)는 다항식이고, 각 j에 대해 분모 g_j(x)는 (양도의 다항식으로는 인수할 수 없는) 다항식의 힘이며, 분자 f_j(x)는 이 불가항식의 정도보다 작은 수준의 다항식이다.

명시적 연산이 수반되는 경우, 결과 설명에서 "불확실성 다항식"을 "제곱 없는 다항식"으로 대체하는 것으로 구성되는 코어저 분해를 선호하는 경우가 많다. 이를 통해 다항식 인자화를 정사각형이 없는 인자화를 훨씬 쉽게 계산할 수 있다. 이는 대부분의 적용에 충분하며, 입력 다항식의 계수가 정수 또는 합리적인 숫자일 때 불합리한 계수의 도입을 피한다.

기본 원리

내버려두다

${\displaystyle R(x)={\frac {F}{G}}}$

합리적인 분수로서, 여기서 F와 G는 필드 위의 불확정 x에서 단변 다항식이다. 부분분수의 존재는 다음의 감소 단계를 유도적으로 적용함으로써 증명할 수 있다.

다항식 부분

두 개의 다항식 E와 F가₁ 있다.

${\displaystyle {\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}:{G},}$

그리고

${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G,}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{deg}}$deg ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \deg P}$은 다항식 P의 정도를 나타낸다$$.

$이$는 F =${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 < ${\displaystyle \deg F_{1}\deg G.}$와 같은$$ E와 F의₁ 존재를 주장하는 G에 의한 유클리드 분절에서 즉시 비롯된다.

이렇게 하면 단계에서f F< ${\displaystyle \deg F<\deg G.}$을(를) 수 있다.

분모의 요인

deg <, ${\displaystyle \deg F<\deg$ G$,} 및$

${\displaystyle G=G_{1}G_{2},}$

여기서 G와₁ G는₂ 동시 다항식(coprime polyomial)이며, 다항식 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 $F$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: 다음과 같은$$ 다항식이 있다.

${\displaystyle {\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}{1}:{G_{1}}+{\frac {F_{2}}:}}}}$

그리고

${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\deg F_{2}<\deg G_{2}}}$

이것은 다음과 같이 증명할 수 있다. 베주트의 정체성은 다항식 C와 D의 존재를 주장하여 다음과 같다.

${\displaystyle CG_{1}+DG_{2}=1}$

(가설에 의하면 1은 G와₁ G의₂ 가장 큰 공통점이다.)

Let ${\displaystyle DF=G_{1}Q+F_{1}}$ with ${\displaystyle \deg F_{1}<\deg G_{1}}$ be the Euclidean division of DF by ${\displaystyle G_{1}.}$ Setting ${\displaystyle F_{2}=CF+QG_{2},}$ one gets

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}{G_{2}Q}{G_{2}}\{G_{1}}\&={\frac{F_{1}}}}+{G_{1}}}}{G_{2}}.\end{정렬}}}$

It remains to show that ${\displaystyle \deg F_{2}<\deg G_{2}.}$ By reducing the last sum of fractions to a common denominator, one gets ${\displaystyle F=F_{2}G_{1}+F_{1$$}}G_{2},}$ 등$$

${\displaystyle {\begin{aligned}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg(F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\deg G_{2}\end{aligned}}}$

분모 안의 힘

Using the preceding decomposition inductively one gets fractions of the form ${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}},}$ with ${\displaystyle \deg F<\deg G^{k}=k\deg G,}$ where G is an irreducible polynomial. k > 1일 경우, 더 분해할 수 있으며, 이를 이용하여 수정 불가능한 다항식이 사각형 없는 다항식, 즉 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1}은$$다항식과 그 파생상품의 가장 큰 공통점이다. If ${\displaystyle G'}$ is the derivative of G, Bézout's identity provides polynomials C and D such that ${\displaystyle CG+DG'=1}$ and thus ${\displaystyle F=FCG+FDG'.$FDG′G{G\displaystyle}에 의해{\displaystyle 유체 분포 그리드의}다항식}와 Q그런 FDG{Q\displaystyle}Hk{\displaystyle H_{km그리고 4.9초 만}을 준다′의}유클리드의 사단)QG+Hk{\displaystyle FDG'=QG+H_{km그리고 4.9초 만}}과deg⁡ Hk<>deg⁡ G.{\displaystyle\deg H_{km그리고 4.9초 만}<, \deg G.}설정. Fkm그리고 4.9초 만${\displaystyle F_{k-1}=$$FC+Q,}$개$$

${\displaystyle {\frac {F}{G^{k}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}+{\frac {F_{k-1}{G^{K-1}}}}}}}$

H < . ${\displaystyle \deg H_{k}<\deg$ G.}과$($와) 함께.

$F$ - 1 ${\displaystyle \frac{G^{}}{}}$k - 1 {\displaystyle ${\f_{k-1}{G^{k-1$}{G^{k-1}} 대신 $F{\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$- 1 ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{k^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{1^{}}{}}$ ${\$ ${\\frac$ {$F}{G^{k}}}}}}}}$을(를$)$ 사용하여 이 과정을 반복하면 결국 다음과 같은 정리를 하게 된다$$.

성명서

그 독특함은 다음과 같이 증명할 수 있다. d = max(1 + deg f, deg g)로 한다. 모두 합쳐서 b와_ij a는 d 계수를 가진다. 분해의 형태는 d보다 낮은 도(d)의 계수 벡터에서 다항식 f까지의 선형 지도를 정의한다. 존재의 증거는 이 지도가 허탈하다는 것을 의미한다. 두 벡터 공간의 치수가 같기 때문에 지도 역시 주입성이 있어 분해의 고유성을 의미한다. 그런데 이 증명서는 선형대수를 통해 분해 계산 알고리즘을 유도한다.

K가 복잡한 숫자의 필드라면 대수학의 기본 정리는 모든 p가_i 도 1을 가지며, 모든 ${\displaystyle {\mathrm{분자}}_{}}$는 ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$이 상수임을 의미한다$$. K가 실수의 분야일 때 p의_i 일부는 2차일 수 있으므로 부분분수 분해에서는 2차 다항식의 힘에 의한 선형 다항식의 인용도 발생할 수 있다.

앞의 정리에서는 "간명하고 불분명한 다항식"을 "파생물과 결합되는 현명한 복사 다항식"으로 대체할 수 있다. 예를 들어, p는_i g의 제곱 없는 요인화 요인일 수 있다. K가 컴퓨터 대수학에서 전형적으로 그렇듯이 합리적인 숫자의 분야일 때, 이것은 부분분수분해 계산에 대한 최대 공통분수 연산으로 인자화를 대체할 수 있다.

심볼 통합에 적용

상징적 통합을 위해 앞의 결과를 다음과 같이 세분할 수 있다.

이것은 이성 함수의 해독제가 로그의 선형 결합이기 때문에 로그 부분이라 불리는 마지막 합계의 통합에 대한 이성 함수의 해독제 연산을 감소시킨다.

정리에는 부패를 계산하는 다양한 방법이 있다. 한 가지 간단한 방법은 헤르미테의 방법이라고 불린다. 첫째, b는 f by g의 유클리드 분할에 의해 즉시 계산되어 deg(f) < deg(g)가 있는 경우로 감소한다. 다음으로 deg(c_ij) < deg(p_i)>를 알기 때문에 각 c를_ij 계수를 알 수 없는 다항식으로 쓸 수도 있다. 정리에서 분수의 합을 공통분모로 줄이고, 두 개의 분자에서 x의 각 힘의 계수를 동일화하면, 알 수 없는 계수에 대해 원하는 (유일한) 값을 얻기 위해 해결할 수 있는 선형 방정식의 시스템을 얻게 된다.

절차

Given two polynomials ${\displaystyle P(x)}$ and ${\displaystyle Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$, where the α_i are distinct constants and deg P < n, partial fractions are generally obtained by supposing that

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}}}={\frac {c_{1}:{1}{x-\alpha _{1}+{1}{x-\lapa _{1}{2}}:}{x-\c_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

x의 검정력과 관련된 항의 계수를 등호화하여, 치환에 의한, c_i 상수에 대한 해결. (결정되지 않은 계수의 방법의 변형이다.)

라그랑주 보간과 밀접한 관련이 있는 보다 직접적인 계산은 글로 구성된다.

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i}){Q'(\alpha _{i}}}}}}}}{\frac {1}(x-\alpha _{i})})}}}}$

여기서 $Q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 다항식 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$의 파생 모델이다$.$ $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ -${\displaystyle \frac{{\alpha j}_{}}{}}$ ${\$의 계수를 f/g의 잔류물이라고 한다$$.

이 접근법은 그 밖의 여러 경우를 설명하지는 않지만 다음과 같이 수정할 수 있다.

• If ${\displaystyle \deg P\geqslant \deg Q,}$ then it is necessary to perform the Euclidean division of P by Q, using polynomial long division, giving P(x) = E(x) Q(x) + R(x) with deg R < n. Dividing by Q(x) this gives

${\displaystyle {\frac(x)}{Q(x)}}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)},}$

그리고 나머지 분율(deg R < deg Q를 만족하는 정의)에 대해 부분 분수를 구한다.

• Q(x)에 주어진 장에 대해 수정할 수 없는 인자가 포함되어 있는 경우, 분모에 그러한 인자 F(x)가 있는 각 부분분석의 분자 N(x)는 상수가 아니라 Deg N < DEG F가 있는 다항식으로서 추구되어야 한다. 예를 들어 R에 대해 다음과 같은 분해를 취하십시오.

${\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{{(x+2)(x-1)\색상 {Blue}(x^{2}+x+1)}}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}+{\frac {\color{OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}.}$

• Q(x) = (x - α)^r S(x) 및 S(α) ≠ 0, 즉 α가 다중성 r의 Q(x)의 뿌리라고 가정한다. 부분분수 분해에서 (x - α)의 r 첫 번째 힘은 부분분수 분모(아마도 0분수)로 발생한다. 예를 들어, S(x) = 1이면 부분분수분해에는 형태가 있다.

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.}$

삽화

이 절차의 예에서, (3x + 5)/(1 – 2x)²는 형태로 분해될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {3x+5}{{{{2}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}+{\frac {B}{(1-2x)}}}}}}.}$

클리어 분모는 3x + 5 = A + B(1 – 2x)를 나타낸다. x의 검정력 계수 확대 및 동일화

5 = A + B 및 3x = –2Bx

A와 B에 대한 이 선형 방정식 시스템을 풀면 A = 13/2, B = –3/2가 나온다. 그러므로,

${\displaystyle {\frac {3x+5}{{{2}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}}}}.}$

잔류법

복잡한 숫자에 걸쳐 f(x)가 합리적인 적정 분율이며 분해될 수 있다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle f(x)=\sum_{i}\{i}\frac\frac {a_{i1}}+{x-x_{i}+{\frac {a_{i2}}:{(x-x_{i}}}}})^{2}}:}+\cdots +{\frac {a_{i_}}{(x-x_{i})}{{i}}^{k_{i}}}\오른쪽).}$

내버려두다

${\displaystyle g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),}$

Laurent 시리즈의 고유성에 따르면, a는_ij g_ij(x)의 Laurent 확장 시 점 x에_i 대한 용어(x_i - x)⁻¹의 계수(x - x)이다.

${\displaystyle a_{ij}=\operatorname {Res}(g_{ij},x_{i})}$

이것은 공식에 의해 직접 주어진다.

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}{dx^{k_-j}}\왼쪽(x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),}$

특별한 경우 x가_i 단순한 뿌리일 때

${\displaystyle a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i}}}},}$

할 때

${\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}$

오버 더 리얼스

부분분수는 합리적인 함수의 실제 가치 항변성을 찾기 위해 실제 가변 적분수에 사용된다. 또한 실제 이성 함수의 부분 분율 분해는 역 래플라스 변환을 찾는 데 사용된다. 부분분수 분해의 적용에 대해서는 을 참조하십시오.

• 위와 같은 심볼적 통합에 대한 적용
• 라플라스 변환의 부분 분수

일반결과

f(x)를 실제 숫자에 걸쳐 합리적인 함수가 되게 하라. 즉, 다음과 같은 실제 다항식 함수 p(x)와 q(x)≠ 0이 존재한다고 가정한다.

${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}}$

분자와 분모를 모두 q(x)의 선행 계수로 나누면 q(x)가 단수라고 일반성을 상실하지 않고 가정할 수 있다. 대수학의 근본적인 정리에 의해, 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}\cdots(x-a_{m})^{j_{m}(x^{2}+b_{1)}x+c_{1}^{k_{1}}\cdots(x^{2}+b_{n}x+c_{n}})^{k_{n}}}$

여기서 a₁,..., a_m, b₁, b, b_n, c₁, c는_n b_i² - 4c_i < 0을 가진 실수와 j, j_m1, k, k는_1n 양의 정수다. 용어(x - a_i)는 q(x)의 실제 뿌리에 해당하는 q(x)의 선형적 요인이고, 용어_i²(x_i + bx_i + c)는 q(x)의 복잡한 결합 뿌리의 쌍에 해당하는 q(x)의 무적화 이차적 요인이다.

그러면 f(x)의 부분분수 분해는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}}{q(x)}}}+\sum _{i=1^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i}}}}})}{{}}}}}}^{r}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i}}}}}}}}}}}}^{r}}}}$

여기서 P(x)는 (아마도 0) 다항식이고, A_ir, B, C는_irir 실제 상수다. 상수를 찾을 수 있는 방법에는 여러 가지가 있다.

가장 간단한 방법은 공통분모 q(x)로 곱하는 것이다. 그런 다음 왼쪽이 단순히 p(x)이고 오른쪽이_ir A, B, C_ir 상수의_ir 선형 표현인 계수를 갖는 다항식의 방정식을 구한다. 두 다항식은 해당 계수가 동일한 경우에만 동일하기 때문에 유사 항의 계수를 동일시할 수 있다. 이와 같이, 항상 독특한 해답을 가지고 있는 선형 방정식의 체계를 얻는다. 이 용액은 선형대수의 표준 방법을 사용하여 찾을 수 있다. 또한 한계도 발견할 수 있다(예 5 참조).

예

예 1

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}}$

여기서 분모는 두 개의 뚜렷한 선형 인자로 분할된다.

${\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}$

그래서 부분분수분해효과는

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}={\frac {A}{x+3}+{\frac {B}{x-1}}}}}$

왼쪽의 분모로 곱하면 다항식 정체성을 얻을 수 있다.

${\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}$

이 방정식에 x = -3을 대입하면 A = -1/4가 되고, x = 1을 대입하면 B = 1/4이 된다.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}={\frac {1}{4}}}{\frac {1}{x+3}+{\frac {1}{x-1}\오른쪽)}}}$

예 2

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}}$

오랜 분단 끝에 우리는

${\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x^{2}}=1+{4x^{4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}$

x² - 4x + 8 인수는 변별력(-4)² - 4×8 = - 16이 음수이므로 실제보다 더 이상 줄일 수 없다. 따라서 실재에 대한 부분분수분해에는 형상이 있다.

${\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}}}$

x³ - 4x² + 8x로 곱하면 다항식 ID가 있음

${\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A(x^{2}-4x+8)+(Bx+C)x}$

x = 0을 취하면 16 = 8A, 그래서 A = 2. x² 계수를 비교하면 4 = A + B = 2 + B, 그래서 B = 2. 선형 계수를 비교하면 -8 = -4A + C = -8 + C를 볼 수 있으므로 C = 0. 모두 합쳐서

${\displaystyle f(x)=1+2\left\frac {1}{x}+{x}{x^{x^{2}-4x+8}\오른쪽)}$

분수는 복잡한 숫자를 사용하여 완전히 분해될 수 있다. 대수학의 근본적인 정리에 따르면, n의 모든 복잡한 다항식은 n (복잡한) 뿌리를 가지고 있다(이 중 일부는 반복될 수 있다). 두 번째 분수는 다음과 같이 분해할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-4x+8}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}}}}}}$

분모를 통해 곱하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle x=D(2-2i)+E(2+2i)}$

이 방정식의 양쪽의 x 계수와 상수(x에 대한) 계수를 동일시하면 D와 E에서 두 개의 선형 방정식의 계수를 얻게 되는데, 그 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}={\frac {1+i}{2}}}}.}$

그래서 우리는 완전히 분해되었다.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}}}}=1+{\frac {2}{1-i}{x}{x}}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{x-{x-{x-(2-i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

또한 A, D 및 E를 잔류물 방법으로 직접 계산할 수도 있다(아래 예 4 참조).

예 3

이 예는 컴퓨터 대수 시스템을 참조하는 것 외에 우리가 사용해야 할 수 있는 거의 모든 "꼼수"를 보여준다.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}$

오랜 분열을 거쳐 분모를 인수한 결과 우리는

${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}+5x^{4}+5x^{3}+x^{2}+3x}{3x-}{3}}}{3}(x-1)^{3}(x^{2){2)^{2}^{2}}}}}$

부분분수분해효과는 형태를 취한다.

${\displaystyle {\x^{6}-4x^{5}+5x^{4}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{3}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}^{2}}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.}$

왼쪽의 분모로 곱하면 다항식 정체성을 갖게 된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}2x^{6}-4x^{5}&+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=\\[4pt]&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}}$

이제 x의 다른 값을 사용하여 계수를 계산한다.

${\displaystyle {\begin}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\0=A-B+C-E-G&x=0\end{case}}}}}$

이 문제를 해결하려면 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle {\begin}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{case}}}$

다음 값을 사용하여 다음을 작성할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}2x^{6}-4x^{5}&+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=\\[4pt]&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\[4pt]&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}}$

양쪽에서 x와⁶ x의⁵ 계수를 비교한 결과 다음과 같은 결과가 나왔다.

${\displaystyle {\begin}A+D=2\-A-3D=-4\end{case}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x}$

B = 0을 주네 따라서 부분분수분해효과는 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{{1}{{{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{x^}+1}{\frac {1}{1}{x^{2}+1}:{2}}.}$

또는 확장하는 대신 $위$의 다항식 ID의$$ x = ${\displaystyle 1}$,$$ {\$displaystyle x=1,\imath }$에서 일부 파생상품을 계산하는 다른 선형 종속성을 얻을 수 있다. (이를 위해 x = a of (x - a)^mp(x)의 파생상품은 m > 1이면 소멸되고 m = 1의 p(a)에 불과하다는 점을 상기한다.) 예를 들어 x = 1의 첫 번째 파생상품은

$4-3\cdot 3+2+3=[cdot 6-4]cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot(0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0}$

즉, 8 = 4B + 8이므로 B = 0이다.

예제 4(재작성 방법)

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-5}{{(z^{2}-1)-{\frac{z^{2}+1}}}}}{\frac {z^{2}-5}{(z+1){(z+1)(z+i)(z-i)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

따라서 f(z)는 분모가 z+1, z-1, z+i, z-i인 합리적인 함수로 분해될 수 있다. 각 용어는 힘 1이므로 -1, 1, -i와 나는 단순한 극이다.

따라서 각 극과 관련된 잔류물은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}}}}$

이다

${\displaystyle 1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},}$

각각, 그리고

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1}-{\frac {1}{1}{z-1}+{\frac {3i}{{z+i}}:{\frac {1}{3i}-{\frac {1}{z-i}}}.}$

예제 5(제한 방법)

한계는 부분분수 분해를 찾는 데 사용될 수 있다.^[4] 다음 예를 고려해 보십시오.

${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}$

첫째, 분모를 분석하여 분모를 결정하십시오.

${\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}={\frac {1}{{1}(x-1)(x^{2}+x+1)}}}={\frac {A}{x-1}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}.}$

모든 것을 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ -${\displaystyle }$1$${\$displaystyle x-1$로 곱하고 $x{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$\to$ 1$\}$$할$ 때 한도를 적용하면

${\displaystyle \lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.}$

다른 한편으로는

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1){(x^{2}+x+1)}}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}={\frac {1}{3},}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle A={\frac {1}{3}}.}$

x로 곱하고 $x{\displaystyle }$ →${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyle x\to \ft}$에$$한도를 적용하면

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,}$

그리고

${\displaystyle \lim _{x\to \inflt }{\frac {x-1){(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.}$

이는 A + B = 0이므로 $B{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 3 ${\$ B$=-{\frac {1}{3}}}$을(를) 의미한다$.$

x$$ = 0의 경우 - ${\displaystyle 1}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{A}}$+ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle -1=-A+C,},$ C =${\displaystyle }$-${\displaystyle }$2 ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\$ {2$}{3}}을($를) 얻는다$.$

모든 것을 종합하면, 우리는 분해된다.

${\displaystyle {\frac{1}{x^{3}-1}={\frac {1}{1}{3}\좌측값\frac {1}{x-1}+{-x-2}{x^{2}+x+1}@\우측).}$

예제 6(통합)

무기한 적분을 가지고 있다고 가정합시다.

${\displaystyle \int{\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx}$

분해를 수행하기 전에 다항식 긴 분할을 수행하고 분모를 인수해야 한다는 것은 명백하다. 이렇게 하면 다음과 같은 결과를 초래할 수 있다.

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2){(x-1)}}\,dx}$

이것에 대해, 우리는 부분분수분해제를 실시할 수 있다.

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x-1)}{{dx=\int x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}}}{\frac {B}{(x-1)}}}},dx}$

그래서:

${\displaystyle A}$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$+ ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle A(x-1)+B(x+2)=-3x+7}$.

우리의 가치를 대체할 때, 이 경우, B는 x=1을, A는 x=-2를 해결하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle A={\frac {-13}{3}\,B={\frac {4}{3}}}}$

이 모든 것을 다시 통합에 연결하면 다음과 같은 해답을 찾을 수 있다.

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln( x+2 )+{\frac {4}{3}}\ln( x-1 )+C}$

테일러 다항식의 역할

합리적인 함수의 부분분수분해효과는 다음과 같은 테일러의 정리와 관련될 수 있다. 내버려두다

${\displaystyle P(x), Q(x), A_{1}(x),\ldots, A_{r}(x)}$

실제적이거나 복잡한 다항식이다

${\displaystyle Q=\prod _{j=1}^{r}(x-\lambda _{j}^{\nu _{j},})$

만족시키다

${\displaystyle \deg A_{1}<\nu_{1},\deg A_{r}<\nu_{r},\deg(P)}\deg(P)=\sum \j=1}{j}}$

또한 정의

${\displaystyle Q_{i}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j}^{j}={j}}}{{j}}}{{x-\lambda _{i}}}^{{i}}}}}},\qquad 1\leqslleqslant i.$

그럼, 우리는,

${\displaystyle {\frac {P}{Q}}=\sum _{j=1}{j={r}{\frac {A_{j}}{(x-\lambda _{j}}^{\nu _{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

if, and only if, each polynomial ${\displaystyle A_{i}(x)}$ is the Taylor polynomial of ${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$ of order ${\displaystyle \nu _{i}-1}$ at the point ${\displaystyle \lambda _{i}}$:

${\displaystyle A_{i}(x):=\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {1}{k!}}}}\{\frac {P}{Q_{i}}}\오른쪽)^{{(k)}(\lambda _{i}\ (x-\lambda _{i}}^{k}}}}}}}}$

이어 테일러의 정리(실제 또는 복합적인 경우)는 부분분수분해성의 존재와 고유성에 대한 증거와 계수의 특성화를 제공한다.

증거의 스케치

위의 부분분수 분해는 각 1 ≤ i ≤ r에 대해 다항식 확장을 의미한다.

${\displaystyle {\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O(x-\lambda _{i}^{\nu _{i}),\qquad {\text{{{}x for }}x\to \lambda _{i}}}$

so ${\displaystyle A_{i}}$ is the Taylor polynomial of ${\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}$, because of the unicity of the polynomial expansion of order ${\displaystyle \nu _{i}-1}$, and by assumption ${\displaystyle \deg A_{i}<\nu _{i}}$.

반대로, $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle A_{i}$가 Taylor 다항식인 경우, 위의 확장 각 ${\displaystyle i_{}}$ i$${\$displaystyle \lambda_{i}$ 홀드$$, 따라서 우리는 또한 다음을 보유한다.

${\displaystyle P-Q_{i}A_{i}=O(x-\lambda_{i}^{\nu_{i}),\qquad {\text{}{{}x\x\to \lambda_{i}}}$

즉, ${\displaystyle {다항식}_{}{}_{}}$ - Q ${\displaystyle i_{}}$I {\$displaystyle P-Q_{i}A_{$i}}는 (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\nu {}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}^{}}$ ${\displaystyle (x-\lambda _{i}^{\nu _{i}}}}}}$로 구분된다는$$ 것을 의미한다.$}$

$j$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle i}$의 ${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle Q_{}}$ j a$$j {\$displaystyle j\neq i$,Q_${j}A_${j$}}$는 (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\nu {}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}^{}}$ ${\$$i}}}}}}})$로 구분되므로

${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}}}}}$

$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$에 의해 분할됨$.$ 이후

${\displaystyle \deg \left(P-\sum _{j=1}^{r_{j}A_{j}\오른쪽)<\deg(Q)}$

그때 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,}$

$부분분수분해효과$는 Q {\displaystyle $Q}$로 나눈다$.$

정수분수

부분 분수에 대한 아이디어는 다른 필수 영역으로 일반화될 수 있는데, 소수들이 불분명한 분모의 역할을 하는 정수의 링이라고 말한다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{18}}={\frac {1}{1}:{1}{{1}{3}-{\frac {1}{3^{2}}.}$

메모들

참조

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• Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd ed.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc. pp. 364–370. ISBN 0-673-38638-4.
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외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Partial Fraction Decomposition". MathWorld.
• Blake, Sam. "Step-by-Step Partial Fractions".
• Scilab으로 부분분할을 한다.