L'Hôpital's rule

베르누이의 법칙으로도 알려진 L'Hotpital's rule(/ ˌlo ʊpi ːˈt ɑːl/, loh-pee-TAHL)은 도함수를 사용하여 불확정 형태의 극한을 평가할 수 있는 수학적 정리입니다. 규칙의 적용(또는 반복 적용)은 종종 불확실한 형태를 대체에 의해 쉽게 평가될 수 있는 표현식으로 변환합니다. 이 규칙의 이름은 17세기 프랑스 수학자 기욤 드 호피탈의 이름을 따서 지어졌습니다. 이 규칙은 종종 로피탈에게 귀속되지만, 이 정리는 1694년 스위스 수학자 요한 베르누이에 의해 처음 소개되었습니다.

L'Hotpital's rule은 만약 $I$ 에 포함된 점 $c$ 를 제외하고 열린 구간 $I$ 에서 미분 가능한 함수 $f$ 와 $g$ 에 대하여, 만약 ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ x → $c$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ ( ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ = $0$ 또는 ± ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$ ∞, {\textstyle \lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty, $}$ ${\textstyle g'(x)\neq 0}$ ( ${\textstyle g'(x)\neq 0}$ $≠$ 0 ${\textstyle$ g'(x)\n $x$ $≠$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ 인 $I$ 의 모든 $x$ 에 대하여 $eq$ 0 $}$ 이고, lim ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ $→$ c ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ ' ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ g $'$ (x) ${\textstyle \lim$ \ $limits$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ _{x $\to$ c $}{\frac {f'($ x)}{g'(x)}}가 존재합니다.

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.

분자와 분모의 미분은 종종 몫을 단순화하거나 직접 평가할 수 있는 한계로 변환합니다.

역사

기욤 드 호텔(Guillaume^[a] de l'Hópital)은 1696년 저서 "Infinement Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes"에서 이 규칙을 발표했습니다. 곡선의 이해를 위한 무한소 분석) 최초의 미분적분학 교과서.^[1]^[b] 하지만, 이 법칙은 스위스 수학자 요한 베르누이에 의해 발견되었다고 믿어집니다.^[3]

일반형태

일반적인 형태의 L'Hotpital 규칙은 많은 경우를 다루고 있습니다. $c$ 와 $L$ 을 확장된 실수(즉, 실수, 양의 무한대 또는 음의 무한대)라고 합니다. (양변 극한의 경우) $c$ 를 포함하는 열린 구간 또는 끝점 $c$ 를 포함하는 열린 구간(양변 극한의 경우) 또는 끝점 c를 포함하는 열린 구간( $양변$ 극한의 경우)이라고 가정합니다. 실제 값 함수 $f$ 와 $g$ 는 가능한 $c$ 를 제외하고 $I$ 에서 미분 가능하다고 가정하며, $g'(x)\neq 0$ 으로 g $g'(x)\neq 0$ ( $g'(x)\neq 0$ ≠ 0 ${\display$ g'(x)\n가능한 $c$ 를 제외하고는 $i$ 에 $g'(x)\neq 0$ $eq$ 0 $}.$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ 극한 x → ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ ( ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ ) ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ ) = L $.$ {\textstyle \lim limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}= ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ .} 따라서 이 법칙은 도함수의 비가 유한하거나 무한한 극한을 갖는 상황에 적용됩니다. $그러나$ x가 $c$ 에 점점 더 가까워질수록 그 비율이 영구적으로 변동하는 상황에는 적용되지 않습니다.

둘 중 하나라도

\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0

아니면

\lim _{x\to c} f(x) =\lim _{x\to c} g(x) =\infty,

그리고나서

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.

전체적

으로

x

→ c를 썼지만, c가

I

의 유한 끝점일 때, 한계는 또한 일방적인 한계(x → c 또는 x → c)일 수 있습니다.

두 번째 경우에는 f가 무한대로 발산한다는 가설이 증명에서 사용되지 않습니다(증명 부분의 마지막 부분 참고 참조). 따라서 규칙의 조건은 일반적으로 위와 같이 언급되지만 규칙의 절차가 유효하기 위한 두 번째 충분 조건은 ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$ ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$ → ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$ ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$ ( ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty .}$ = ∞로 간단히 설명할 수 있습니다. ${\textstyle \lim _{x\to c} g(x) =\infty .}$

$g'(x)\neq 0$ ( $g'(x)\neq 0$ 는 $g'(x)\neq 0$ ≠ 0 ${\displaystyle$ g'(x)\n이라는 가설 $eq0}$ 은 문헌에 가장 흔하게 나타나지만 $g'(x)\neq 0$ 일부 저자는 다른 가설을 추가하여 이 가설을 회피합니다. 한 가지^[4] 방법은 $제한$ 함수가 c를 $제외$ 한 관련 구간 I의 모든 곳에서 정의된다는 추가적인 요구 조건으로 함수의 극한을 정의하는 것입니다.^[c] $또$ 다른 방법은^[5] f와 $g$ 가 $모두$ c를 포함하는 구간에서 모든 곳에서 미분 가능하도록 요구하는 것입니다.

정리를 적용할 수 없는 경우(조건의 필요성)

L'Hotpital의 통치를 위한 네 가지 조건은 모두 필요합니다.

형식의 불확실성: $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ x → c $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ ( $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ ) = $lim$ $x$ → c g ( x ) = 0 $\pm \infty$ {\ $displaystyle$ \lim _{x\to c $}$ f (x) =\lim _{x\to c}g (x) = 0} 또는 ± ∞ {\displaystyle \pm \infty }; 및
Differentiability of functions: $f(x)$ and $g(x)$ are differentiable on an open interval ${\mathcal {I}}$ except possibly at a point $c$ contained in ${\mathcal {I}}$ (the same point from the limit) ; and
$g'(x)\neq 0$ 의 0이 아닌 도함수: $g'(x)\neq 0$ ≠ 0 ${\displaystyle$ g'(x)\n $x$ $≠$ c가 {\ $displaystyle$ x\n인 ${\mathcal {I}}$ ${\mathcal {I}$ 의 모든 $x$ $x$ 에 대한 $eq$ 0 $}$ $eq};$ 및
도함수의 몫의 극한 존재: $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ x → $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ' ( $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ) g $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ( x $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ) ${\displaystyle \lim$ _ ${x\to c}$ {\ $frac {f'(x)}$ { $g'(x)}}$ 이( $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ )} 존재합니다.

위의 조건 중 하나를 만족하지 않는 경우에는 일반적으로 L'Hotpital의 규칙이 유효하지 않으므로 항상 적용될 수는 없습니다.

양식이 불확실하지 않습니다.

첫 번째 조건의 필요성은 $f(x)=x+1$ 가 f $f(x)=x+1$ $g(x)=2x+1$ = x + 1 {\ $displaystyle$ f $(x$ $f(x)=x+1$ = x + $f(x)=x+1$ 1}이고 g(x) = 2 x + 1 {\displaystyle g(x) → 2 x + 1}이고 한계가 x = 1 {\displaystyle x\to 1}인 반례를 고려하면 알 수 있습니다.

첫 번째 조건은 $\lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=(1)+1=2\neq 0$ x → $\lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=(1)+1=2\neq 0$ $\lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=(1)+1=2\neq 0$ ( $\lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=(1)+1=2\neq 0$ ) = $lim$ x → $1 (x$ + 1 ) = $(1)$ + 1 = 2 ≠ 0 ${\$ displaystyle \lim _{x\to 1}f(x) =\lim _{x\to 1} (x+1) = (1) + $1$ = 2\n이기 때문에 이 반례에 대해 만족되지 않습니다. $eq 0}$ 및 $\lim _{x\to 1}g(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=2(1)+1=3\neq 0$ x $→$ $\lim _{x\to 1}g(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=2(1)+1=3\neq 0$ ( $\lim _{x\to 1}g(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=2(1)+1=3\neq 0$ ) $=$ $lim$ x $→$ 1 (2 x + 1 ) $=$ 2 ( 1 ) + 1 $=$ 3 $≠$ 0 ${\$ displaystyle \ $lim$ _{x\to 1}g (x) $=$ \lim _{x\to $1}(2x+1)=2(1)+1=3\n$ $eq$ 0 $\lim _{x\to 1}g(x)=\lim _{x\to 1}(2x+1)=2(1)+1=3\neq 0$ 이는 형태가 불확실하지 않다는 것을 의미합니다.

두 번째와 세 번째 조건은 $f(x)$ $f(x)$ 와 $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle$ g $(x)}$ 에 의해 만족됩니다 $g(x)$ 네 번째 조건도 $\lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x+1)'}{(2x+1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ x → $\lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x+1)'}{(2x+1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ f $\lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x+1)'}{(2x+1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ $x$ ) g ′ $(x$ ) = 림 x → 1 (x + 1) ′ (2 x + 1) = 림 x → 12 = 12 {\displaystyle \lim _{x\to 1}{\f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to 1}{(2x+1)'}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}.

그러나 이 반례에서 로피탈의 규칙은 실패합니다. since ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {x+1}{2x+1}}={\frac {\lim _{x\to 1}(x+1)}{\lim _{x\to$ $1}(2x+1)}}={\frac {2}{3}}\n$ $eq {\frac {1}{2}}=\lim _{x\to 1}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ .

함수의 미분가능성

함수를 미분할 수 없는 경우 함수의 도함수가 ${\mathcal {I}}$ ${\$ 의 각 점에 존재하는 것이 보장되지 않기 때문에 함수의 미분 가능성이 요구됩니다 ${\mathcal {I}}$ ${\mathcal {I}}$ ${\$ 가 ${\mathcal {I}}$ 열린 구간이라는 사실은 코시의 평균값 정리의 가설에서 나온 것입니다. 함수가 $c$ ${\$ $displaystyle c}$ 에 접근할 때 함수가 도함수만 존재하면 되기 때문에 함수가 $c$ {\ $displaystyle$ c $}$ 에서 구별되지 않을 가능성에 대한 주목할 만한 예외가 존재합니다 $c$ $c$ 도함수는 $c$ $c$ 에서 수행할 필요가 없습니다 $c$

예를 들어, $f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}$ ( $f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}$ = { $sin$ ⁡ x, x ≠ 01, x = 0 {\displaystyle f(x) = {\begin{case}\sin x,&x\n 이라고 합니다. $eq 0\\1,&x=0\$ end $g(x)=x$ case $}},$ $g$ $($ $f(x)$ ) $=$ x {\displaystyle g(x) $=$ x}, c $=$ 0 {\displaystyle c $=$ 0}입니다. 이 경우 f(x) {\displaystyle f(x)}는 c {\displaystyle c}에서 구별할 수 없습니다. 그러나 $c$ $f(x)$ ${\displaystyle$ $f$ $(x)}$ 는 c ${\displaystyle$ c $}$ 를 제외한 모든 곳에서 차별화되므로 $c$ $\lim _{x\to c}f'(x)$ x → $\lim _{x\to c}f'(x)$ $\lim _{x\to c}f'(x)$ ' $\lim _{x\to c}f'(x)$ ( $\lim _{x\to c}f'(x)$ $\lim _{x\to c}f'(x)$ 가 여전히 존재합니다. 그래서, 그 이후로

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}$ → $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}$ f $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ( x $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ) $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ( $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}$ $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ) = 0 ${\displaystyle \lim$ _ ${x\to c}{\frac {f(x)}{g($ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}$ )}}}={\frac {0}{0}}} 및 l $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}$ m x → c f'(x) g'(x)}{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'( $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ )}{g'(x)}}가 존재하며, L'Hotal'의 규칙은 여전히 유지됩니다.

분모의 도함수는 0입니다.

$g'(x)\neq 0$ ( $g'(x)\neq 0$ 가 $g'(x)\neq 0$ ≠ 0 ${\display style$ g'(x)\n인 조건의 필요성오토 스톨즈로 인해 c ${\displaystyle$ c $} 근처$ 의 $g'(x)\neq 0$ $eq$ 0}은 $($ 는) 다음 반례로 볼 수 있습니다 $c$ .^[6] $f(x)=x+\sin x\cos x$ ( $f(x)=x+\sin x\cos x$ = x $f(x)=x+\sin x\cos x$ + $f(x)=x+\sin x\cos x$ $g(x)=f(x)e^{\sin x}.$ ⁡ $x$ cos ⁡ x {\ $displaystyle$ f(x) = x+\sin x\cos x}이고 g (x ) = f (x) ein sin ⁡ x. {\displaystyle g(x) = f(x) e^{\sin x}라고 합니다. $g(x)=f(x)e^{\sin x}.$ $그러면$ x → $∞$ 로 $f(x)/g(x)$ ( $f(x)/g(x)$ ) $f(x)/g(x)$ / $f(x)/g(x)$ $f(x)/g(x)$ ) ${\displaystyle f (x)$ / g $(x)}$ 에 제한이 없습니다. ${\displaystyle$ x\ to $x\to \infty .$ \infty .} 그러나,

{\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{(2\cos ^{2}x)e^{\sin x}+(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}\cos x}}\\&={\frac {2\cos x}{2\cos x+x+\sin x\cos x}}e^{-\sin x},\end{aligned}}

$x$ → ∞ ${\displaystyle$ x $\to$ infty} 로 0인 경향이 있습니다. 랄프 P. 보아스 주니어는 이 유형의 다른 예를 발견했습니다.

도함수의 한계가 존재하지 않습니다.

한계가 있다는 요건

\lim_{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}

존재는 필수입니다. 이 조건이 없으면 $x$ $x$ 가 c ${\displaystyle$ c $}$ 에 $x$ $접근$ 할 때 f $'$ ${\$ f $'}$ 또는 $f'$ $g^{'}$ ${\$ g $'}$ 가 감쇠되지 않은 진동을 표시할 수 $g'$ 있습니다. 이 경우 L $c$ Hotpital's 규칙이 적용되지 않습니다. 예를 들어, $f(x)=x+\sin(x)$ ( $f(x)=x+\sin(x)$ $f(x)=x+\sin(x)$ = $f(x)=x+\sin(x)$ + $g(x)=x$ ⁡ (x ) {\ $displaystyle$ f(x) = x+\sin(x)}, g (x ) = x {\displaystyle g(x) = x} 및 c = ± ∞ {\displaystyle c=\pm \infty }이면,

{\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {1+\cos(x)}{1}};

코사인 함수가 $1$ 과 $-1$ 사이에서 진동하므로 $x$ ${\displaystyle$ x $}$ 가 $c$ $c$ 로 $이동$ 하므로 이 식을 $x$ 한계에 접근하지 않습니다 $c$ 그러나 원래 함수인 $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}$ x → ∞ f ( x $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ) $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}$ g ( x ) ${\displaystyle \lim$ _{x\to $\infty}{\frac {f($ x)}{g(x)}}가 존재하는 것으로 표시할 수 있습니다.

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x+\sin(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1+\lim _{x\to \infty }\left({\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1+0=1.

이와 같은 경우에 결론지을 수 있는 것은

\liminf _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},

${\textstyle {\frac {f}{g}}}$ ${\textstyle {\frac {f}{g}}}$ ${\$ f/g의 극한이 존재한다면, ${\textstyle {\frac {f'}{g'}}}$ g ${\textstyle {\frac {f'}{g'}}}$ ${\$ 의 ${\textstyle {\frac {f}{g}}}$ 열등한 극한과 우월한 극한 사이에 놓여야 합니다. ${\textstyle {\frac {f'}{g'}}}$ (위의 예제에서는 1이 실제로 0과 2 사이에 있기 때문에 이는 참입니다.)

예

여기에 지수 함수를 포함하는 기본적인 예가 있는데, 지수 함수는 불확정 형태를 포함합니다. 0/0 at $x = 0$ : ${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\[4pt]&=1.\end{align}}$
이것은 0/0을 포함하는 더 정교한 예입니다. L'Hotpital의 법칙을 한 번만 적용해도 여전히 불확실한 형태가 됩니다. 이 경우, 다음과 같은 세 번의 규칙을 적용하여 한계를 평가할 수 있습니다. ${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\[4pt]&={\frac {-2+8}{1}}\\[4pt]&=6.\end{align}}$
다음은 ∞/∞와 관련된 예입니다. $\lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.$ 지수가 0( $n$ 이 정수인 경우) 또는 음수( $n$ 이 분수인 경우)가 될 때까지 L'Hotpital의 법칙을 반복적으로 적용하여 한계가 0이라고 결론지으십시오.
다음은 ∞ $/$ ∞ 형식으로 다시 작성되는 불확정 $형식$ 0 · ∞(아래 참조)과 관련된 예입니다. $\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.$
여기 모기지 상환 공식과 0/0이 포함된 예가 있습니다. $P$ 를 원금(대출금액), $r$ 을 기간당 이자율, $n$ 을 기간수라고 합니다. $r$ 이 0일 때 기간당 상환액은 ${\frac {P}{n}}$ ${\$ 원금만 상환되므로)이며, 이는 0이 아닌 이자율에 대한 공식과 일치합니다. ${\begin{aligned}\lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}&=P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}\\[4pt]&={\frac {P}{n}}.\end{align}}$
L'Hotpital의 법칙을 이용하여 다음 정리를 증명할 수도 있습니다. $만약$ f가 x의 근방에서 2차 미분가능하고 그 2차 도함수가 이 근방에서 연속적이라면, ${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\[4pt]&=f''(x).\end{align}}$
때때로 L'Hópital'의 규칙은 까다로운 방식으로 호출됩니다. $f(x)+f'(x)$ ( $f(x)+f'(x)$ ) $f(x)+f'(x)$ + f $f(x)+f'(x)$ $f(x)+f'(x)$ ) ${\displaystyle$ f $(x)$ + f $'(x)}$ 가 $x$ → ∞로 $e^{x}\cdot f(x)$ 하고 $x$ ⋅ f (x) {\ $display e$ ^{x}\cdot f(x)}가 양 또는 음의 무한대로 수렴한다고 가정합니다. 그러면.
$\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}$ 따라서 ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$ → ∞ f ( $x$ ) ${\textstyle \lim_{x$ \to $\infty$ }f(x)}가 존재하고 lim x → ∞ f' ( $x)$ = 0. {\textstyle ${\textstyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0.}$ \lim_{x\to \infty }f'(x)= 0.}
$e^{x}\cdot f(x)$ ⋅ f( $x)$ ${\displaystyle e$ ^{ $x}\$ cdot f(x)}가 양 또는 음의 무한대로 수렴한다는 추가 가설 없이 결과는 참인 상태로 유지되지만, 정당성은 불완전합니다.

합병증

때때로 L'Hotpital's rule은 몇 가지 추가적인 단계를 적용하지 않는 한 유한한 수의 단계에서 답으로 이어지지 않습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

두 가지 응용 프로그램을 사용하면 평가 대상이었던 원래 표현식으로 돌아갈 수 있습니다. $\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\cdots .$ $y=e^{x}$ 상황은 y = $y=e^{x}$ {\displaystyle y = e^{x}}를 대체하고 x가 무한대로 이동함에 따라 y가 무한대로 이동한다는 점에 주목함으로써 해결할 수 있습니다. 이 대체를 통해 이 문제를 한 번의 규칙 적용으로 해결할 수 있습니다. $\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.$ 또는 분자와 분모 모두에 $e^{x},$ , ${\displaystyle$ e $^{x}}$ 를 곱할 수 있으며, 여기서 $e^{x},$ L'Hotpital의 규칙을 즉시 성공적으로 적용할 수 있습니다.^[8] $\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.$
임의로 많은 수의 애플리케이션이 다음을 반복하지 않고도 결코 답변으로 이어지지 않을 수 있습니다. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}{{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}+{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}{-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}}=\cdots .$ 이 상황도 변수 변환을 통해 해결할 수 있습니다. 이 경우 $y={\sqrt {x}}$ = ${\$ displaystyle y = {\sqrt {x}}: $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.$ 다시, L'Hotpital's rule을 적용하기 $x^{1/2}$ 전에 분자와 $x^{1/2}$ 에 $x^{1/2}$ / $x^{1/2}$ 2 {\ $displaystyle x^{1/2}$ 를 곱하는 방법이 있습니다. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x-1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1.$

일반적인 함정은 차이 몫을 통해 도함수를 계산하기 위해 순환 추론과 함께 L'Hotpital의 규칙을 사용하는 것입니다. 예를 들어, x의 거듭제곱에 대한 도함수 공식을 증명하는 작업을 생각해 보십시오.

\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.

L'Hotpital의 법칙을 적용하고 분자와 $분모$ 의 h에 대한 도함수를 구하면 예상대로 $nx$ 가ⁿ⁻¹ 산출됩니다. 그러나 분자를 구별하려면 증명되고 있는 바로 그 사실을 사용해야 합니다. 증명 과정에서 사실이 입증된다고 가정할 수 없기 때문에 질문을 구걸하는 예입니다.

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1.$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1.$ → $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1.$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1.$ ⁡ (x ) $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1.$ = 1 $.$ {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1의 계산에서도 유사한 함정이 발생합니다. $}$ $\sin(x)$ $⁡$ ( $x)$ ${\$ displaystyle \sin(x)}를 미분하는 것이 cos $⁡$ (x) {\displaystyle \cos(x)}에 차이 몫 한계 h $→$ 0 sin $⁡$ (h) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}를 계산하는 것을 증명합니다. 그래서 스퀴즈 정리와 같은 다른 방법을 사용해야 합니다.

기타 불확정형태

$1$ , $0,$ ∞ $,$ 0 · ∞ 및 ∞ - ∞와 같은 다른 불확정 형태는 때때로 L'Hotpital's rule을 사용하여 평가할 수 있습니다. 예를 들어, ∞ - ∞를 포함하는 한계를 평가하려면 두 함수의 차이를 몫으로 변환합니다.

{\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}},\end{aligned}}

(1)에서 (2)로 갈 때와 (3)에서 (4)로 갈 때 다시 L'Hotpital's rule이 적용되는 경우

L'Hotpital's rule은 로그를 사용하여 "지수를 아래로 이동"함으로써 지수를 포함하는 불확정적인 형태에 사용될 수 있습니다. 다음은 불확정 형태 $0$ 과⁰ 관련된 예입니다.

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\cdot \ln x}=e^{\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}.

지수 함수는 연속이므로 지수 함수 내부에서 한계를 이동하는 것이 유효합니다. 이제 지수 $x$ $x$ 이 $x$ (가) "아래로 이동"되었습니다. $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x$ $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x$ $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x$ → 0 + $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x$ ⋅ $ln$ ⁡ $x {\displaystyle \lim$ _{ $x\to$ 0 $^{+}}$ x\cdot \ln x}는 $불확정$ 형태 0 · ∞이지만 위의 예에서 볼 수 있듯이 l'Hotal's rule을 사용하여 다음을 결정할 수 있습니다.

\lim_{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0.

따라서

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1.

다음 표는 가장 일반적인 불확정 형태와 l'Hotpital's rule을 적용하기 위한 변환을 나열한 것입니다.

불확정형태	조건들	$0/0$ / 0 ${\displaystyle 0/0}($ 으)로 변환
0/0	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—
$\infty$ / $\infty$	$\lim_{x\to c}f(x)=\infty,\lim_{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$0\cdot \infty$	$\lim_{x\to c}f(x)=0,\lim_{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim_{x\to c}f(x)=\infty,\lim_{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim_{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$1^{\infty}$	$\lim_{x\to c}f(x)=1,\lim_{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$\infty^{0}$	$\lim_{x\to c}f(x)=\infty,\lim_{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$

스톨츠-체사로 정리

스톨즈-체사로 정리는 수열의 한계를 포함하는 유사한 결과이지만, 도함수가 아닌 유한 차분 연산자를 사용합니다.

기하학적 해석

x좌표가 $g (t)$ 로 주어지고 y좌표가 $f (t$ )로 주어지며두 함수가 연속되는 평면에서의 곡선, 즉 [ $g (t),$ $f (t)]$ 형태의 점들의 위치를 생각해 보십시오. Suppose $f (c) = g (c) = 0$ . $f$ $(t)/ g (t)$ 를 t → c로 $하는$ 비율의 극한은 점 [ $g (c),$ $f (c)]$ = $[$ 0 $,0]$ 에서 곡선 접선의 기울기입니다. 점 [ $g (t),$ f $(t)]$ 에서 곡선의 접선은 [ $g'(t),$ $f'(t)$ 로 표시됩니다. 그렇다면 L'Hotal's rule은 $t$ = $c일$ 때의 곡선의 기울기가 원점에 접근할 때 곡선의 접선 기울기의 극한임을 나타냅니다.

L'Hotpital's rule의 증명

특수한 경우

$점$ $c$ 에서 $f$ 와 g가 연속적으로 미분되는 경우와 1차 미분 후 유한한 극한이 발견되는 경우, L'Hotpital의 법칙의 증명은 간단합니다. 그것은 일반적인 L'Hotpital 규칙의 증명이 아닙니다. 왜냐하면 그것의 정의가 더 엄격하기 때문에 미분가능성과 실수가 필요하기 때문입니다. 많은 공통 함수가 연속 도함수(예: 다항식, 사인과 코사인, 지수 함수)를 가지므로 주목할 만한 특별한 경우입니다.

$실수$ $c$ 에서 f와 $g$ 가 연속적으로 미분 가능하고, $f(c)=g(c)=0$ ( $f(c)=g(c)=0$ = $f(c)=g(c)=0$ $f(c)=g(c)=0$ c $)$ = 0 {\ $displaystyle$ f $($ c) = g(c) = 0}이며, g' (c) ≠ 0 {\ $displaystyle$ g' (c)\n이라고 가정하자. $eq$ 0 $g'(c)\neq 0$ 그리고나서

{\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.\end{align}}

이것은 도함수의 차분-계량적 정의로부터 이어집니다. $마지막$ 등식은 c에서의 도함수들의 연속성으로부터 이어집니다. $결론$ 의 한계는 g $'($ ≠ $g'(c)\neq 0$ 0 {\ $displaystyle$ g'(c)\n이므로 불확실하지 않습니다. $eq$ 0 $g'(c)\neq 0$

L'Hotpital의 규칙에 대한 보다 일반적인 버전의 증거는 아래와 같습니다.

일반 증명

다음 증명은 ${\textstyle {\frac {0}{0}}}$ (1952)에 의한 것으로, 0 ${\textstyle {\frac {0}{0}}$ $및$ ± ∞ ± ∞ ${\textstyle$ {\ $frac {\pm$ \infty $}{\$ pm \infty}} 불확정 형태에 대한 통합 증명이 제공됩니다. Taylor는 Lettenmeyer(1936)와 Wazewski(1949)에서 서로 다른 증명이 발견될 수 있다고 언급합니다.

f와 g는 일반 양식 섹션의 가설을 만족시키는 함수라고 가정합니다. ${\mathcal {I}}$ c가 있는 가설에서 ${\displaystyle$ {\ $mathcal {I}}$ 을(를) 열린 구간으로 ${\mathcal {I}}$ 설정합니다 $.$ $g'(x)\neq 0$ ( $g'(x)\neq 0$ 가 $g'(x)\neq 0$ ≠ 0 ${\displaystyle$ g'(x)\n임을 고려할 때이 구간에서 $g'(x)\neq 0$ $eq$ 0 $}$ 이고 g는 연속이므로 ${\mathcal {I}}$ ${\$ ${\mathcal$ {I $}}$ 에서 g가 0이 되지 않도록 I ${\$ displaystyle ${\mathcal {I}}$ 를 더 작게 선택할 ${\mathcal {I}}$ 수 있습니다 ${\mathcal {I}}$ ^[d]

For each x in the interval, define $m(x)=\inf {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ and $M(x)=\sup {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ as $\xi$ ranges over all values between x and c. (inf와 sup 기호는 최소값과 최상위값을 나타냅니다.)

${\$ ${\mathcal {I}}$ 의 f와 g의 미분가능성으로부터 ${\mathcal {I}}$ Cauchy's mean value theorem ensures that for any two distinct points x and y in ${\mathcal {I}}$ there exists a $\xi$ between x and y such that ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi$ $)}{g'(\xi$ ${\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ 결과적으로, 구간의 고유한 x와 y의 모든 선택에 대해 $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ( $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ) $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ( $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ - $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ( y $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ) $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ( $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ) $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ - $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ( $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ) $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ( $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ ) ${\displaystyle$ m $(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq$ M $(x)}.$ 구간에서 서로 다른 x와 y에 대해 g(x)-g(y) 값은 항상 0이 아닙니다. 그렇지 않은 경우 평균값 정리는 x와 y 사이에 g'(p)=0이 되는 p의 존재를 의미하기 때문입니다.

m(x)와 M(x)의 정의는 확장된 실수를 초래할 것이므로 이들은 ± ∞ 값을 취할 수 있습니다. 다음 두 경우에 m(x)와 M(x)는 비율 f/g에 대한 경계를 설정합니다.

사례 1: $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$

구간 ${\mathcal {I}}$ ${\$ 의 임의의 x와 x와 ${\mathcal {I}}$ c 사이의 점 y에 대하여,

m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)

따라서 y가 c에 ${\frac {f(y)}{g(x)}}$ 에 따라 f ${\frac {f(y)}{g(x)}}$ ) ${\frac {f(y)}{g(x)}}$ g $)$ {\ $displaystyle {\frac {f(y)}{g$ (x $)}}$ 및 ${\frac {g(y)}{g(x)}}$ g ${\frac {g(y)}{g(x)}}$ ${\$ 가 0이 ${\frac {g(y)}{g(x)}}$ 됩니다.

m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x).

사례 2: $\lim_{x\to c} g(x) =\infty$

${\mathcal {I}}$ I ${\mathcal {I}$ 의 모든 x에 대하여 ${\mathcal {I}}$ $S_{x}=\{y\mid y{\text{ is between }}x{\text{ and }}c\}$ = { $S_{x}=\{y\mid y{\text{ is between }}x{\text{ and }}c\}$ ∣ $y$ 는 x와 c} {\displaystyle S_{x}=\{y\midy{\text{는}x{\text{와 }c\} 사이입니다. x와 c 사이의 모든 점 y에 대하여,

m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x).

y가 c에 접근함에 따라 ${\frac {f(x)}{g(y)}}$ g ${\frac {f(x)}{g(y)}}$ ${\$ 및 ${\frac {g(x)}{g(y)}}$ g ${\frac {g(x)}{g(y)}}$ ${\$ 가 모두 0이 됩니다 ${\frac {g(x)}{g(y)}}$ .

m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x).

f/g의 한계의 존재가 아직 확정되지 않았기 때문에 한계 우월과 한계 열등이 필요합니다.

는 경우도 있습니다.

\lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.

^[e] 그리고

\lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}

and

\lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.

{\displaystyle \lim_{x\to

}

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 에서 스퀴즈 정리는 림 x → $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ( $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ) g $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ( x $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ) $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}$ 가 존재하며 L과 동일함을 설정합니다. 경우 2, 그리고 다시 스퀴즈 정리는 $\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ $\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ → c $\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ ( $\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ ) $\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ ( $\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ ) = $lim$ $sup$ x → c f ( x ) g ( x ) = L {\displaystyle \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}= L}, 따라서 극한 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ → $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ f $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ( $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ) g $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ( x $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ ) $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 가 존재하며 L과 같습니다. 이것은 증명되어야 할 결과입니다.

사례 2에서 f(x)가 무한대로 발산한다는 가정은 증명 내에서 사용되지 않았습니다. 이는 x가 c에 접근함에 따라 g(x)가 무한대로 발산하고 f와 g가 모두 L'Hipital 법칙의 가설을 만족하면 f(x)의 극한에 대한 추가 가정이 필요하지 않음을 의미합니다. 심지어 f(x)의 극한이 존재하지 않는 경우일 수도 있습니다. 이 경우 로피탈의 정리는 실제로 체사로-스톨즈의 결과입니다.^[9]

x가 c에 접근함에 따라 g(x)가 무한대로 발산하고 f(x)가 c에서 유한한 극한으로 수렴하는 경우, 기본적인 극한 미적분학은 x가 c에 접근함에 따라 f(x)/g(x)의 극한이 0이어야 한다는 것을 보여주기 때문에, L'Hotpital의 법칙은 적용 가능하지만 반드시 필요한 것은 아닙니다.

코럴리

L'Hopital 법칙의 단순하지만 매우 유용한 결과는 미분 가능성에 대한 잘 알려진 기준입니다. 이것은 a에서 f가 연속이고, a를 포함하는 열린 구간의 모든 x에 $f'(x)$ f $f'(x)$ ( $f'(x)$ ${\displaystyle$ f $'(x)}$ 가 존재한다고 $x=a$ 하고, 아마도 $x=a$ x = {\ $displaystyle$ x=a}일 것입니다. 또한, lim x → a f' (x) {\displaystyle \lim_{x\to}f'(x)}가 존재한다고 가정하자. $f'(a)$ f $f'(a)$ ( $f'(a)$ ${\displaystyle$ f $'(a)}$ 도 $f'(a)$ 존재하고,

f'(a)=\lim _{x\to }f'(x)

특히 f'는 a에서도 연속입니다.

증명

함수 $h(x)=f(x)-f(a)$ ( $h(x)=f(x)-f(a)$ ) = f $h(x)=f(x)-f(a)$ ( $h(x)=f(x)-f(a)$ x ) $g(x)=x-a$ - f $g(x)=x-a$ ( a ) {\displaystyle h (x) = f (x) - f (a)} 및 g (x ) = x - a {\displaystyle g(x) = x-a}를 생각해 보십시오. fat a의 연속성은 $\lim _{x\to a}h(x)=0$ x → a $($ $\lim _{x\to a}g(x)=0$ ) = 0 ${\$ displaystyle \lim_{x\to} h(x)= $\lim _{x\to a}g(x)=0$ }임을 알려줍니다. 또한 다항 함수는 항상 모든 곳에서 연속이므로 lim x → a g(x) = 0 {\displaystyle \lim_{x\to} g(x)= 0}입니다. L'Hopital의 규칙을 적용하면 $f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)$ ( $f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)$ : = $f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)$ $f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)$ → $f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)$ a $f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)$ ) - f $(a$ ) x - a = lim x → a (x ) g (x ) = lim x → f' (x ) {\display style f' (a): $=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)}$ .

참고 항목

L'Hotpital 논란

메모들

^ 17세기와 18세기에 그 이름은 일반적으로 "l'Hospital"로 표기되었고, 그 자신도 그 이름의 철자를 그렇게 표기했습니다. 그 이후로, 프랑스어 철자법은 바뀌었습니다: 무성 's'가 제거되고 이전 모음 위에 외접음으로 대체되었습니다.
^ "안 I. 문제. Soit un ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [그림 130 참조]) telle que la valuer de l' appliquée soit experimée parune fraction, dont le numérateur & le dénominateur devienent chacun zero lorsque x = a, c'est à dire lorsquele point P tomebe surle point donné B. 온 디맨드 quel은 la valuer de l'apliqué BD를 사용합니다. [해결책: ]...sil'on pendla difference du numérateur, &qu'on la division parla difference du decaminateur, presavoor fait x = a = About AB, l'on aura la valuer cherchée de l' appliquée bdou BD." 번역: "곡선 AMD (여기서 AP = X, PM = y, AB = a) x = a일 때 분자와 분모가 각각 0이 되는 분수, 즉 점 P가 주어진 점 B에 떨어지는 것으로 서수 y의 값이 표현되는 것. 그렇다면 서수 BD의 값은 얼마가 될 것인지 묻습니다. [해법: ]... 분자의 미분을 취하여 분모의 미분으로 나누면 x = a = Ab 또는 AB를 설정한 후 서수 BD 또는 BD가 추구하는 값을 갖게 됩니다."
^ 함수의 극한에 대한 함수 분석 정의는 이러한 구간의 존재를 필요로 하지 않습니다.
^ g'는 0이 아니고 g는 구간에서 연속이므로 구간에서 g가 두 번 이상 0이 되는 것은 불가능합니다. 만약 0이 두 개라면 평균값 정리는 0 사이의 구간에 g' (p) = 0이 되는 점 p의 존재를 주장할 것입니다. 따라서 g는 구간에서 이미 0이 아니거나, 그렇지 않으면 g의 0을 단 하나도 포함하지 않도록 구간의 크기를 줄일 수 있습니다.
^ $\lim _{x\to c}M(x)$ $\lim _{x\to c}m(x)$ x → cm ( $\lim _{x\to c}m(x)$ ) ${\displaystyle$ \ $lim$ _ ${x\to$ c $}m(x)}$ 및 한계 x → cm (x) {\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)}은 각각 x의 비감소 및 비증가 함수를 특징으로 하여 존재합니다. $x_{i}\to c$ x $x_{i}\to c$ → $x_{i}\to c$ {\ $displaystyle$ $x_{i}\to$ c $}$ 를 생각해 보십시오 $x_{i}\to c$ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ ′ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ ( $x$ i $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ g' $($ x i $)$ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ (x i) ≤ lim M (x i) {\displaystyle \lim_{i}m(x_{i})\leq \lim_{i}{\frac {f'(x_{ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ })}{g'(x_{i}) $}}\leq \lim _{i}M(x_{i})}$ , as the inequality holds for each i; this yields the inequalities $\lim _{x\to c}m(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \lim _{x\to c}M(x)$ The next step is to show $\lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ $\lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ . Fix a sequence of numbers $\varepsilon _{i}>0$ such that $\lim _{i}\varepsilon _{i}=0$ , and a sequence $x_{i}\to c$ . For each i, choose $x_{i}<y_{i}<c$ such that ${\displaystyle {\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})$ $}}+\varepsilon_{i}\geq \sup_{x_{i}<\xi <c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}},$ sup ${\displaystyle \sup$ 의 $\sup$ 로. 따라서 ${\begin{aligned}\lim _{i}M(x_{i})&\leq \lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\lim _{i}\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}\end{align}}$ 뜻대로 $lim$ $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ → $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ( x $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ) ≥ lim x → c f ′ ( x ) g' ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'( $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ )}{g'(x)}}라는 논법도 유사합니다.

참고문헌

^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Retrieved 21 December 2008.
^ L'Hospital (1696). Analyse des infiniment petits. pp. 145–146.
^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (3rd illustrated ed.). John Wiley & Sons. p. 321. ISBN 978-0-470-63056-3. 321페이지 초본
^ (채터지 2005, 페이지 291)
^ (Krantz 2004, p.79)
^ Stolz, Otto (1879). "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten" [About the limits of quotients]. Mathematische Annalen (in German). 15 (3–4): 556–559. doi:10.1007/bf02086277. S2CID 122473933.
^ Boas Jr., Ralph P. (1986). "Counterexamples to L'Hopital's Rule". American Mathematical Monthly. 93 (8): 644–645. doi:10.1080/00029890.1986.11971912. JSTOR 2322330.
^ $e^{-x}$ e - $e^{-x}$ x {\ $displaystyle e$ ^{-x $}}$ 를 곱하면 l'Hotpital의 법칙이 필요 없이 한계에 도달할 수 있습니다.
^ "L'Hopital's Theorem". IMOmath. International Mathematical Olympiad.

원천

Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xiv+201, doi:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447
Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte Hospitalsche Regel", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1936 (174): 246–247, doi:10.1515/crll.1936.174.246, S2CID 199546754
Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule", Amer. Math. Monthly, 59 (1): 20–24, doi:10.2307/2307183, ISSN 0002-9890, JSTOR 2307183, MR 0044602
Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (in French), 47: 117–128, MR 0034430

[1] 17세기와 18세기에 그 이름은 일반적으로 "l'Hospital"로 표기되었고, 그 자신도 그 이름의 철자를 그렇게 표기했습니다. 그 이후로, 프랑스어 철자법은 바뀌었습니다: 무성 's'가 제거되고 이전 모음 위에 외접음으로 대체되었습니다.

[4] "안 I. 문제. Soit un ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [그림 130 참조]) telle que la valuer de l' appliquée soit experimée parune fraction, dont le numérateur & le dénominateur devienent chacun zero lorsque x = a, c'est à dire lorsquele point P tomebe surle point donné B. 온 디맨드 quel은 la valuer de l'apliqué BD를 사용합니다. [해결책: ]...sil'on pendla difference du numérateur, &qu'on la division parla difference du decaminateur, presavoor fait x = a = About AB, l'on aura la valuer cherchée de l' appliquée bdou BD." 번역: "곡선 AMD (여기서 AP = X, PM = y, AB = a) x = a일 때 분자와 분모가 각각 0이 되는 분수, 즉 점 P가 주어진 점 B에 떨어지는 것으로 서수 y의 값이 표현되는 것. 그렇다면 서수 BD의 값은 얼마가 될 것인지 묻습니다. [해법: ]... 분자의 미분을 취하여 분모의 미분으로 나누면 x = a = Ab 또는 AB를 설정한 후 서수 BD 또는 BD가 추구하는 값을 갖게 됩니다."

[7] 함수의 극한에 대한 함수 분석 정의는 이러한 구간의 존재를 필요로 하지 않습니다.

[12] '는 0이 아니고 g는 구간에서 연속이므로 구간에서 g가 두 번 이상 0이 되는 것은 불가능합니다. 만약 0이 두 개라면 평균값 정리는 0 사이의 구간에 g' (p) = 0이 되는 점 p의 존재를 주장할 것입니다. 따라서 g는 구간에서 이미 0이 아니거나, 그렇지 않으면 g의 0을 단 하나도 포함하지 않도록 구간의 크기를 줄일 수 있습니다.

[13] $\lim _{x\to c}M(x)$ $\lim _{x\to c}m(x)$ x → cm ( $\lim _{x\to c}m(x)$ ) ${\displaystyle$ \ $lim$ _ ${x\to$ c $}m(x)}$ 및 한계 x → cm (x) {\displaystyle \lim _{x\to c}M(x)}은 각각 x의 비감소 및 비증가 함수를 특징으로 하여 존재합니다. $x_{i}\to c$ x $x_{i}\to c$ → $x_{i}\to c$ {\ $displaystyle$ $x_{i}\to$ c $}$ 를 생각해 보십시오 $x_{i}\to c$ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ ′ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ ( $x$ i $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ g' $($ x i $)$ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ (x i) ≤ lim M (x i) {\displaystyle \lim_{i}m(x_{i})\leq \lim_{i}{\frac {f'(x_{ $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ })}{g'(x_{i}) $}}\leq \lim _{i}M(x_{i})}$ , as the inequality holds for each i; this yields the inequalities $\lim _{x\to c}m(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \lim _{x\to c}M(x)$ The next step is to show $\lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ $\lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ . Fix a sequence of numbers $\varepsilon _{i}>0$ such that $\lim _{i}\varepsilon _{i}=0$ , and a sequence $x_{i}\to c$ . For each i, choose $x_{i}<y_{i}<c$ such that ${\displaystyle {\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})$ $}}+\varepsilon_{i}\geq \sup_{x_{i}<\xi <c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}},$ sup ${\displaystyle \sup$ 의 $\sup$ 로. 따라서 ${\begin{aligned}\lim _{i}M(x_{i})&\leq \lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\lim _{i}\varepsilon _{i}\\&=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}\end{align}}$ 뜻대로 $lim$ $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ → $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ( x $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ ) ≥ lim x → c f ′ ( x ) g' ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'( $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ )}{g'(x)}}라는 논법도 유사합니다.

[2] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Retrieved 21 December 2008.

[3] L'Hospital (1696). Analyse des infiniment petits. pp. 145–146.

[5] Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (3rd illustrated ed.). John Wiley & Sons. p. 321. ISBN 978-0-470-63056-3. 321페이지 초본

[6] (채터지 2005, 페이지 291)

[8] (Krantz 2004, p.79)

[stolz-9] Stolz, Otto (1879). "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten" [About the limits of quotients]. Mathematische Annalen (in German). 15 (3–4): 556–559. doi:10.1007/bf02086277. S2CID 122473933.

[boas-10] Boas Jr., Ralph P. (1986). "Counterexamples to L'Hopital's Rule". American Mathematical Monthly. 93 (8): 644–645. doi:10.1080/00029890.1986.11971912. JSTOR 2322330.

[11] $e^{-x}$ e - $e^{-x}$ x {\ $displaystyle e$ ^{-x $}}$ 를 곱하면 l'Hotpital의 법칙이 필요 없이 한계에 도달할 수 있습니다.

[14] "L'Hopital's Theorem". IMOmath. International Mathematical Olympiad.

[a]

[1]

[b]

[3]

[4]

[c]

[5]

[6]

[8]

[d]

[e]

[9]

v t 미적분학.
프리칼큘러스	이항정리 오목함수 연속함수 요인 유한차 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 챈트 슬로프 접선
한계	불확정형태 함수의 극한 일방한계 수열의 한계 근사순서 (ε, δ)-한계의 정의
미분적분학	도함수 이차 도함수 편미분 미분 미분 연산자 평균값정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 미분의 법칙 직선성 힘 합 체인 호텔스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 몫 기타기법 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련요금 정지점 1차 도함수 검정 이계도함수 판정법 극값 정리 최대값과 최소값 추가 응용프로그램 뉴턴의 방법 테일러 정리 미분방정식 상미분방정식 편미분방정식 확률미분방정식
적분학	원시함수 호 길이 리만 적분 기본속성 적분 상수 미적분학의 기본 정리 적분 기호에 따른 미분 부품별 통합 대체에 의한 적분 삼각법의 오일러 접선 반각 치환 적분에서 부분분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방식 쉘법 적분방정식 적분차방정식
벡터 미적분학	도함수 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본정리 선적분 그린즈 스톡스' 가우스의
다변수 미적분학	발산정리 기하학적 헤센 행렬 야코비안 행렬 및 행렬식 라그랑주 승수 선적분 매트릭스 다중적분 편미분 표면적분 부피적분 고급주제 미분형식 외도함수 일반화된 스톡스 정리 텐서 미적분학
수열과 급수	산술 기하학 수열 시리즈의 종류 교대 이항 푸리에 기하학적 고조파 인피니트 힘 매클로린 테일러 망원경 수렴성 검정 아벨스 교대급수 코시 응축 직접비교 디리클레츠 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수함수 그리고 숫자들	베르누이 수 e(mathemat 상수) 지수함수 자연로그 스털링의 근사
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수학의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소 무한소 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭스의 방법 기계적 정리의 방법
목록	미분규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡함수의 적분 목록 역쌍곡선함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 무리함수의 적분 목록 로그 함수의 적분 목록 유리함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 챈트 큐빙된 암수 한계 목록 적분 목록
기타주제	복소 미적분학 등고선 적분 미분기하학 다양체 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-매클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 비 22/7이 exceeds을 초과함을 증명합니다. 레지오몬타누스의 각도 극대화 문제 슈타인메츠 고체

Search