적분 목록

적분은 적분학의 기본 연산이다.미분은 복잡한 함수의 도함수가 단순한 요소 함수를 미분함으로써 찾을 수 있는 간단한 규칙을 가지고 있지만, 통합은 그렇지 못하기 때문에 알려진 적분의 표는 종종 유용하다.이 페이지에는 가장 일반적인 몇 가지 반파생물이 나열되어 있습니다.

통합의 역사적 발전

적분 목록(Integaltafeln)과 적분 기술 목록은 1810년 독일 수학자 마이어 히르슈[de]에 의해 출판되었습니다.이 표들은 1823년 영국에서 다시 출판되었다.1858년 네덜란드 수학자 데이비드 비렌스 드 한이 그의 표 d'integrales definies를 위해 더 광범위한 표를 작성했으며, 1864년 보조 표 d'integrales definies로 보충되었다.새로운 판은 1867년에 Nouvelles tables d'integrales définies라는 제목으로 출판되었다.이 표들은 주로 기초 기능의 적분을 포함하고 있으며, 20세기 중반까지 사용되었다.그 후 그것들은 Gradshteyn과 Ryzhik의 훨씬 더 광범위한 표로 대체되었다.Gradshteyn과 Ryzhik에서, Bierens de Haan의 책에서 유래한 적분은 BI로 표시됩니다.

모든 닫힌 형태의 표현들이 닫힌 형태의 반파생물을 가지는 것은 아니다; 이 연구는 1830년대와 1840년대에 조셉 리우빌에 의해 처음 개발된 미분 갈로아 이론의 주제를 형성하고, 어떤 표현들이 닫힌 형태의 반파생물을 분류하는 리우빌의 정리로 이어졌다.닫힌 형식의 역도함수가 없는 함수의 간단한 예는 e이며^−x², 그 역도함수의 역도함수는 (최대 상수) 오류함수의 역도함수는 e입니다.

1968년 이후, 일반적으로 컴퓨터 대수 체계를 사용하여 기본 함수의 관점에서 표현될 수 있는 무한 적분을 결정하기 위한 Risch 알고리즘이 있다.기본 함수를 사용하여 표현할 수 없는 적분은 Meijer G-함수와 같은 일반적인 함수를 사용하여 상징적으로 조작할 수 있습니다.

적분 목록

자세한 내용은 다음 페이지에서 통합 목록을 볼 수 있습니다.

Gradshteyn, Ryzhik, Geronimus, Tseytlin, Jeffrey, Zwillinger 및 Moll's(GR)의 통합, 시리즈 및 제품 테이블에는 다양한 결과가 포함되어 있습니다.그보다 더 큰 멀티볼룸 테이블은 프루드니코프, 브라이히코프 및 마리체프의 Integals and Series입니다(1~3권은 적분 및 일련의 초등 및 특수 기능을 나열하고 있으며, 4~5권은 라플라스 변환의 표입니다).보다 콤팩트한 컬렉션은 예에서 확인할 수 있습니다.Brychkov, Marichev, Prudnikov의 무한 적분표 또는 Zwillinger의 CRC 표준 수학표와 공식, Bronshtein, Semendyev의 수학 가이드북, 수학 핸드북 또는 수학 및 기타 사용자 가이드북의 장으로 사용됩니다.

다른 유용한 자원으로는 아브라모위츠, 스테건, 베이트만 원고 프로젝트가 있습니다.두 작품 모두 개별 표로 수집되는 것이 아니라 가장 관련성이 높은 주제로 구성된 특정 적분에 관한 많은 정체성을 포함하고 있다.Bateman Moscript의 두 권은 적분 변환에 한정됩니다.

온 디맨드로 통합 및 통합 테이블을 제공하는 웹 사이트가 몇 개 있습니다.Wolfram Alpha는 결과를 보여줄 수 있으며, 간단한 표현에 대해서는 통합의 중간 단계도 보여줄 수 있습니다.Wolfram Research는 또 다른 온라인 서비스인 Wolfram Mathematica Online Integrator도 운영하고 있습니다.

심플한 기능의 통합

C는 임의의 적분 상수에 사용됩니다.적분 상수는 어떤 점에서 적분 값에 관한 것이 알려진 경우에만 판별할 수 있습니다.따라서 각 함수는 무한히 많은 수의 반파생물을 가집니다.

이러한 공식은 파생상품 표의 주장을 다른 형태로만 기술한다.

단수가 있는 인테그레이션

역도함수가 정의되지 않거나 어떤 점(특이점)에서 정의되지 않도록 적분되는 함수에 특이점이 있는 경우, C는 특이점의 양쪽에서 같을 필요가 없습니다.아래 양식은 일반적으로 C의 특이점 주위에 코시의 주요 값을 가정하지만, 일반적으로 이것은 필요하지 않다.예를 들어,

\int {1 \over x},bln \left x\right +C

0에 특이점이 있고 거기서 반미분류는 무한해진다.위의 적분을 사용하여 -1과 1 사이의 확실한 적분을 계산하면 오답 0을 얻을 수 있습니다.그러나 이 값은 특이점 주위의 적분의 코시 주 값입니다.통합이 복잡한 평면에서 이루어진 경우 결과는 원점 주위의 경로에 따라 달라지며, 이 경우 특이점은 원점 위의 경로를 사용할 때 i'와

원점 아래의 경로에 i

'가 기여합니다.실선상의 함수는,^[1] 다음과 같이, 발신기지 양쪽에서 전혀 다른 C 의 값을 사용할 수 있습니다.

\int {1 \over x},filen=\ln x +{\filen {case}A&{\text{if}}x>0;\\B&{\text{if}}}x < 0 。\end {case}

합리적인 기능

$\displaystyle \int a,dx=ax+C$

다음 함수는 n ≤ $-1$ 에 $대해$ 0에서 비적분 특이점을 갖는다.

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$ $}}}($ 카발리에리의 직교 공식)
${{displaystyle \int (ax+b)^{n},flac={(ax+b)^{n+1}}}}}+C\qquad({(}n\neq-1)text{}}n\neq&quad(텍스트{})}}}$
$\int {1 \over x},bln \left x\right +C$ $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$
- 좀 ^[2]더 일반적으로 말하면 $\displaystyle \int {1 \over x}, scases=scases {case}\ln \left x\right +C^{-}&x<0\ln x\right +C^{+}&x> 0\end {cases}}$
${\displaystyle\int{frac{c}{ax+b}},fln=flac{c}{a}}\ln \left ax+b\right +C}$

지수 함수

$\int e^{ax},flac=param frac {1}{a}}e^{ax}+C$
$\displaystyle \int f'(x) e^{f(x)},dx=e^{f(x)}+C}$
$\int a^{x},flac=flac {a^{x}}{\ln a}}+C$
$\displaystyle {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right){\text{right}}=e^{x}f\left(x\right)+C}$
$\displaystyle \int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\leftwarch1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{frac {d^{n}\right},frac {d^{n}=e^{x}\sum _{k=1}{\left1\right}{k-1}{\frac {d^{k-1}f(x\right)}}{d^{c}}{c}}}}{c}}}}{k-1}}}}}{k-1}}}}}{k-1}}}{d}}}}}}{$
(n $\displaystyle$ n이 $n$ 양의 정수인 $경우$ )
$\displaystyle {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{frac}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\fright}{\frac {d}{x}{x}\fright}{f}{fright}$
(n $\displaystyle$ n이 $n$ 양의 정수인 $경우$ )

로그

$\displaystyle \int \ln x,display=x\ln x-x+C}$
$\int \log _{a}x,frac=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C=frac {x\ln x-x}{\ln a}+C$

삼각 함수

$\int \sin {x},filen=-\cos {x}+C$
$\displaystyle \int \cos {x},cos=\sin {x}+C}$
$\int \tan {x},vari=-\ln {left \cos {x}\right }+C=\ln {left \sec {x}\right }+C$
$\displaystyle \int \cot {x},cot=\ln {left \sin {x}\right }+C}$
$\int \sec {x},fright=\ln {x}+C=\ln \left \tan \left \tan \frac {x}{2}+{\dfrac {pi }{4}\right}\ln + C$ $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$
- (세컨트 기능의 적분을 참조).이 결과는 17세기에 잘 알려진 추측이었다.)
${\displaystyle \int \csc {x},fright=-\ln(왼쪽 \csc {x}+\cot {x}-\right }+C=\ln(왼쪽 \csc {x}-\cot {x}+ln)$
$\int \sec ^{2}x,context=\tan x+C$
$\displaystyle \int \csc ^{2}x,cot=-\cot x+C}$
$\displaystyle \int \sec {x}, \tan {x}, sec=\sec {x}+C}$
$\int \csc {x},\cot {x},cot =-\csc {x}+C$
$\int \sin ^{2}x,flac=black {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C=black{1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
$\int \cos ^{2}x,cos=black {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C=black{1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$
$\displaystyle \int \tan ^{2}x,filen=\tan x-x+C}$
$\displaystyle \int \cot ^{2}x,cot=-\cot x-x+C}$
$\displaystyle \int \sec ^{3}x,sec=secfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \sec x+\tan x)+C}$ $\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C$
- (세컨트 큐브의 적분 참조).
$(\displaystyle \int \csc ^{3}x,filen=flac {1}{2}}(-\cot x+\ln \csc x-\cot x)+C=flac {1}{2}}\left(\ln \tan \frac {x}{2}}\right -\cot x\cot x\cot x+)C}$
$\displaystyle \int \sin ^{n}x,flac=-{\frac {n-1}\cos {x}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x},flac}$
$\int \cos ^{n}x,flac={cos ^{n-1}\sin {x}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x},flac$

역삼각함수

$\int \arcsin {x}, filen=x\arcsin {x}+{\displayrt {1-x^{2}}}+C, {\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
$\int \arccos {x}, rcos {x}-{\displayrt {1-x^{2}}}+C, {\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
$\int \arctan {x}, parc=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {vert 1+x^{2}}\vert }+C, {\text{모든 실제 }}x$
$\int \operatorname {x},frac=x\operatorname {x}+{\frac {1}{2}\ln {vert 1+x^{2}}\vert }+C, {\text{모든 실제 }}x$
$\int \operatorname {x}, filename=x\operatorname {sq} {x}-\ln \left\vert x},\left(1+{\displayrt {1-x^{-2}}},\right)\right +C, {\text{}:}\vert xvert \geq$
$\displaystyle \int \operatorname {arc} {x}, parc=x\operatorname {arcsc} +\ln \left\vert x,\left(1+{\carrt {1-x^{-2}}},\right)\right +C, {\text{\text{}}:}:\vert x\geq} 1}$

쌍곡선 함수

$\displaystyle \int \sinh x,cosh x+C$
$\displaystyle \int \cosh x,cosh=\sinh x+C}$
$\displaystyle \int \tanh x,sys=\ln,(cosh x)+C}$
$\int \coth x,filen=\ln \sinh x +C,{\text{ for }}x\neq 0$
$\displaystyle \int \operatorname {sech},x,sech=\arctan,(\sinh x)+C}$
$\int \operatorname {csch} ,x,display=\ln \operatorname {csch} x +C =\ln \left \tanh {x \over2} \오른쪽 +C, {\text{ for }x\neq 0$
$\displaystyle \int \operatorname {sech}^{2}x,sech=\tanh x+C}$
$\int \operatorname {csch} ^{2}x,filen=-\operatorname {coth}x+C$
$\int \operatorname {sech},\operatorname {tanh} {x},param=-\operatorname {sech} {x}+C$
$\int \operatorname {csch} {x},\operatorname {coth} {x},param=-\operatorname {csch} {x}+C$

역쌍곡선 함수

$\operatorname {\int \operatorname {} ,x} + C, {\ for }{\displaystyle \ \operatorname {arname } ,x}$
${ fordisplaystyle \int \operatorname {name {notoshx},not=x\opername {not},$
$\ {paretoperatorname {artanh {ln }\ <1}\displaystyle \intoperetparetparetparetparet$
$2}-right)}{\ x1}{\displaystyle \operatorname {paroth$
$\operatorname {,xx+ 1){\displaystyle \int \operatorname {arsech},x,x,x,+ARC$
$\operatorname { +C for0}{\displaystyle \int \operatorname {arname {arcx,x},\csch},\cvert.$

도함수에

$ax\displaystyle \int \cos ax,e^{bx},display=blac {e^{2}+b^{2}}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C}$
$\displaystyle \int \sin ax, e^{bx}, display=bac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C}$
$\displaystyle \int \cos ax,\cosh bx,flac=blac {1}{a^{2}+b^{2}ax,\ax,\right)+left(a\sin ax,\cos bx+b\cos ax,\sinh bx\right)+C}$
$\displaystyle \int \sin ax,\cosh bx,flac=blac {1}{a^{2}+b^{2} ax,\cos ,\right)+left(b\sin ax,\sinh bx-a\cos ax,\cos bx\right)+C}$

$f$ 를 0이 하나 이상 되는 연속 함수라고 합니다.f가 0일 $경우$ $g$ 는 f의 루트에서 0인 f의 $유일$ 한 반파생물이 $되고$ , 그렇지 않을 경우 g는 $f$ 의 반파생물이 $됩니다$ .그리고나서

\)\right \,displaystyle \int \left f(x)\right \,f=\operatorname {sgn}(x)g(x)+C,}

여기

서 sgn

(x)

는 부호 함수이며, x가 각각 음수, 0 또는 양수일

때

-1, 0, 1 값을 취합니다.

이것은 적분의 연속성을 보장하기 위해 g에 $대한$ 조건이 여기 있다는 것을 고려하여 공식의 오른쪽의 도함수를 계산함으로써 증명될 수 있다.

이것에 의해, f가 연속인 $임의$ 의 간격에 걸쳐 유효한 다음의 공식( $여기$ 서 a $0$ 0)이 표시됩니다(큰 간격에 걸쳐 $상수$ C를 분할 상수 함수로 치환할 필요가 있습니다).

$b)^{right adisplaystyle \int \left (ax+b)^n}(x)\operatorname {sgn}(b)\n}\n}(b)C}$
n이 홀수일 $n\neq -1$ n $n\neq -1$ - $n\neq -1$ { $displaystyle$ n \ $neq$ - $n\neq -1$ 1 $n\neq -1$ } 。
$\left \tan pright{1displaystyle \int \left \tan {ax}\right={\frac1}{a}\ln}\opername {a}\s}\ln}\ln}sC}$
$x$ ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ( ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ - ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 2, ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ + ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 2 ) ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ \ $textstyle$ ax \ $in \ left$ ( n \ pi - { \ $frac$ { pi } {2} , $n$ \ pi + { \ $frac$ \ $pi$ } {2 $}$ } \ $right$ )일 ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 때.
$\left {}\{sgn \cot {}\rightdisplaystyle \int \le \left \csc {ax}\fright, param={fac}{a}{a}\fright}\f}\frac}\fright}{s}{a}\f}\lnC}$
$ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ $n$ ( $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ 、 $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ + + $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ ){ $displaystyle$ ax \ $in \ left$ ( $n$ \ $pi$ , n \ $pi$ + \ $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ pi \ $right$ ) }가 $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ n에 대해 표시됩니다.
$}\right,}{\displaystyle \int \left \sec {ax}{a}\right, param=frac1}{a}{a}\operatorname}\ln}{a}$
$x$ ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ( ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ - ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 2, ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ + ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 2 ) ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ \ $textstyle$ ax \ $in \ left$ ( n \ pi - { \ $frac$ { pi } {2} , $n$ \ pi + { \ $frac$ \ $pi$ } {2 $}$ } \ $right$ )일 ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 때.
$}\right,}{\displaystyle \int \left \cot {ax}\right \cot = frac1}{a}\opername {a}C}$
$ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ $n$ ( $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ 、 $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ + + $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ ){ $displaystyle$ ax \ $in \ left$ ( $n$ \ $pi$ , n \ $pi$ + \ $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ pi \ $right$ ) }가 $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ n에 대해 표시됩니다.

$함수$ f가 $f$ 의 0에서 값 0을 취하는 연속 반미분수를 가지지 않는 경우(사인 함수 및 코사인 함수의 경우), $sgn(f (x) f f (x$ ) dx는 f가 0이 $아닌$ 간격마다 $f$ 의 반미분류가 되지만 f $(x)$ = $0인$ 점에서는 연속적으로 f를 가질 수 있다.e, 따라서 잘 선택된 단계 함수를 추가해야 합니다.사인 및 코사인 절대값이 주기 $θ$ 로 주기적이라는 사실도 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${ax - 1 \ {lfloor {\pilfloor }\ \instyle \ alflflflflfloor {xpiloor {xpilflflflfloor {xcsin}\loor }\}\+C}$ ^{[필요한 건]}
$\leftcos \ \cos { {\ + {\{}+ {1 a} \\leftleft\ { {pi} + {} { { {floor }왼쪽\lfloor {pi} + {floor} {flow} {flow} + C}$ ^{[필요한 건]}

★★★★★

$Ci$ , $Si$ : 삼각 적분, $Ei$ : 지수 적분, $li$ : 로그 적분 함수, $erf$ : 오류 함수

$\{Ci snoperatorname}-\ x}{\displaystyle \int \operatorname {Ci}(x), sn=x\operatorname {Ci}$
$\{Si paramoperatorname {Si}(x)+\ x}{\displaystyle \ \operatorname {Si}(x)+\cos x}$
$paramoperatorname {Eidisplaystyle \int \operatorname {Ei}(x)-e^{x}}{\displaystyle \int \operatorname {Ei}$
$\ param=\operatorname {li)-\{Ei}(2\ln xdisplaystyle \ \operatorname {li}(x)\operatorname {Ei}(2)$
${ {li} ( {x frac x (displaystyle \int {operatorname {li} (x) {x}, scape=\ln x,\operatorname {li} (x)$
$\operatorname ), flac { \int \operatorname {erfx)}{\displaystyle \ \operatorname {ername {erf}(x}{-x}}}\display {erf$

형식의 이 결여된 확실한

반파생물이 닫힌 형식으로 표현되지 않는 함수가 있습니다.단, 이러한 함수 중 일부의 정규 적분 값을 몇 가지 공통 간격에 걸쳐 계산할 수 있습니다.아래에 몇 가지 유용한 적분을 제시합니다.

$\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ 0 $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ ∞ $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ - $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ d x $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ = $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ $2 {\$ { $displaystyle$ \ $int _$ { 0 }^{ \ infty }{ \ $displaystyle rt$ { $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ x $},$ e^ { - x }, display = $displayfrac {1}$ {\ $displayrt$ { pi $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ }} {\ pi }} $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ （ $\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ ）
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ 0 $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ - $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ 2 $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ x = $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ $\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ a \ $displaystyle$ \ $int$ _ { 0 }^{ \ $infty$ } $e$ { - $ax ^$ { 2} , par } $、 a$ > $0$ ( 가우스 적분)의 경우 $,$ parc $= parc frac$ { { } { } { { } { { } {\ frac } { } { } {\ $frac$ } {\ frac } } } } }
$\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ 0 $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ ∞ $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ - $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ d $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ x = $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ $π$ $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ $3$ \ $displaystyle \int$ _ { 0 }^{ $0 }$ ${x^{2} e^{-ax^{2$ }} = $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ a $frac {1}$ {\ $rt$ {{ $pi }$ { $a^{$ 3} } $\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$
$\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2},flac={2n-1}{0}x^{\infty}x^{-ax^{2},flac=flac{2-1}!}{2^{n+1}}{\frac {frac {pi }{a^{2n+1}}}=frac {(2n)}! { {1}}}}}{n!2^{2n+1}}{\frac {pi}{a^{2n+1}}}}}$
a > $0$ 의 $경우$ n은 양의 정수이고 $!!$ 는 이중 요인입니다.
$\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ 0 $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ ∞ $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ - $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ d $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ x = $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ a 2 ( \ $displaystyle$ \ $int$ _ { 0 }^{ 0 \ $infty$ } { $x$ ^ { x } e^ { - $ax$ ^ {2}} = $black frac$ { $1}$ { $2a ^{$ 2 $\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ }}}} } $= a$ > 0
$\0}^{\2}{\}^{\infty=displaystyle \0}^{\infty}^{-xfrac1}}}}}{2a^{n+1}}}:$
$a$ > $0$ , $n$ = $0, 1, 2$ , $......$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 0 $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ∞ $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ x - $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ d x $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ = $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 2 $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ { \ $displaystyle$ \ $int$ _ { 0 }^{ \ infty } { \ $frac$ { $e$ ^ { $x$ } - $1$ } , $spair =$ bernouli $number$ } { $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 6 $\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ }
$_^{xdisplaystyle \ _{0}{\infty}{\frac {x}{{e^{x}-1}}{e=}{\eta}{\eta}{\eta}{\ta}{\z}{\ta}{\t}{\tata}{\ta}{\t}}{\$
$\0}^{\}-1 displaystyle _0}^{\infty}{\frac {x}{{x}-1}, frac= frac}}}{displaysty$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ 0 $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ ∞ $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ ⁡ $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ x $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ = $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ 2 ${\displaystyle \int$ _ ${0$ }^{\infty $}{\frac {x}}, flac$ = $sinc frac$ { $pi$ }{2 $}}$ (싱크 함수와 디리클레 적분 참조 $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$
$_}{displaystyle \int _{0}{\inftyfrac {sin ^2}{\flac {2}}}{\displaystystyle \int } {\flac } {x^{{}}} } } } } }$
$\displaystyle \int _{0}^{\frac {pi }{2}^\frac {0}^{\frac {pi }{2}\cos ^{n}x,flac={(n-1)!}{}{n!!}\times {case}1&{\text{if}}n({frac {pi }}{2}}&{\text{if}}n(\text{if}}n(\text{if}}}n(\text{if}}}n(\text{if}) {caseend {case}}\end {case}$
(n이 양의 정수이고 !!가 이중 요인인 $경우$ )
$\_{-\}^{\pi }{\ x}{\ {\pi}}{\=cases} {cases$
(β $0$ 0 및 $m,$ $n$ 0 0인 $정수$ $α,$ β, $m$ , n $0$ 0에 대해서는 이항 계수 참조)
$_)\x)\cos ^{n}(\display x)\cs$
( $α,$ $β$ 실수, $n$ 은 음이 아닌 정수, $m$ 은 홀수 양의 정수이다. 적분자는 홀수이기 때문이다.)
$rac{2\pi } {n} {n} {n} \ sin} {n} {n} \ sin}$
(β $0$ 0 및 $m,$ $n$ 0 0인 $정수$ $α,$ β, $m$ , n $0$ 0에 대해서는 이항 계수 참조)
$nominalcapital공칭 자본}{n}{n}\text}$
(β $0$ 0 및 $m,$ $n$ 0 0인 $정수$ $α,$ β, $m$ , n $0$ 0에 대해서는 이항 계수 참조)
$_{\b^{pi2}-displaystyle \int _{-infty^{-}{-(xty^2}^2})$
$($ $exp$ [ $u$ ]는^u $지수함수$ 이며 $a$ > 0 입니다).
$_displaystyle \int _{0}^{\infty}x^{z-1},e^{-x},dx=\Gamma(z)$
(여기서 $\Gamma (z)$ ( $)$ { $display \Gamma (z)}$ 는 $\Gamma (z)$ 감마 함수입니다.)
$_displaystyle \int _{0}^1}\left(\ln {frac {1}{x}\displaystyle)^{p},dx=\Gama(p+1)$
$\-1}(displaystyle displaystyle \ _0}^{\alpha-1}{\gampa-1}$
$($ Re( $α)$ > $0$ 및 $Re(β)$ > $0$ 에 $대해서$ 는 '베타 함수' 참조)
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ 0 $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ e $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ cos $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ ⁡ $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ d $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ $\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ ( x $){$ $display \int _$ { $0 }^{x\cos$ \theta $}d$ \theta $=$ 2\pi $I_{$ 0}( $x)$ ( $I 0 ($ x)는 최초의 변형 베셀 함수)
$_=2\displaystyle \int _{0}^{0}^{x\cos +y\ta 2\theta }ta = 2\d)}}}\right)}$
$_}}{\right +1}{2 flac rt {\left} {{\} {\} {\} {\}}} {\gamma } } } } } } } }}}{\nu}}\right)^{-{\frac {{nu +1}{2}, flac = flac {{nu rt {nu\pi}}{\right} {{\right} {{} {{}} frac}}}{\frac}}}}{\frac}}}}}}}}}}}}}}{{\frac}}}}}}}}}}}}}}}$
( $θ$ > $0$ 의 경우 이는 학생의 t-분포 확률밀도함수와 관련이 있습니다.)

$함수$ f가 구간 $[a, b]$ 에 유계 변동을 갖는 경우, 소진 방법은 적분에 대한 공식을 제공합니다.

\displaystyle \int _{a}^{f(x),f-a}=(b-a)\sum \sum _{n=1}^{m=1}{\right}{m+1}{m+1}f(sum\sum\sum_a}{\sum}{\sum}{\sum}{\sum}{\sum}{\sum}{{\sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}{sum}

'소포모어의 꿈'

{{displaystyle {displaystyle}\int _{0}^{-x}, =\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&(=1.29128,59970,6266\display)\int _{0}^{x},\sum

요한 베르누이 덕분입니다

「」를 참조해 주세요.

미분 규칙 – 미적분 함수의 도함수를 계산하는 규칙이 있는 위키미디어 목록 문서
불완전한 감마 함수 – 특수 수학 함수의 유형
부정합
오일러의 공식을 이용한 적분 – 적분을 평가하기 위한 복소수 사용
제한 목록
수학 급수 목록
기호 적분 – 수학에서 닫힌 형식의 역도함수 계산

레퍼런스

^ Serge Lang. 미적분학 제1코스, 제5판, 페이지 290
^ "Reader Survey: log x + C", Tom Leinster, The n-category Cafe, 2012년 3월 19일

추가 정보

Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik (in German). Vol. 1. Translated by Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun and Frankfurt am Main: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). ISBN 3-87144-492-8.
Gradshteyn, Izrail Solomonovich, Ryzhik, 이오시프 Moiseevich, Geronimus, 유리 Veniaminovich, Tseytlin, Michail Yulyevich, 제프리, 앨런(2015년)[10월 2014년].Zwillinger, 다니엘;몰, 빅터 휴고는(eds.).Integrals, 시리즈, 그리고 상품의 테이블입니다.Scripta 테크니카, Inc.(8판).학술 출판부, Inc.아이 에스비엔 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.(몇몇 이전 버전이기도 하다.).
프루 드니 코프, Anatolii Platonovich(Прудников,Анатолий Платонович);Brychkov, 유리 A(Брычков, Ю. А.);Marichev, 올레크 Igorevich(1988–1992)[1981−1986(러시아)](Маричев,Олег Игоревич).Integrals고 시리즈이다.Vol1–5.퀸, N.M.(1판)에 의해 번역하는(Nauka)고든&보안 과학 Publishers/CRC 프레스.아이 에스비엔 2-88124-097-6..둘째 개정판(러시아), 볼륨 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003년.
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다니엘 질린저.CRC 표준 수학표와 공식, 제31판.Chapman & Hall / CRC Press, 2002.ISBN 1-58488-291-3. (이전 버전도 다수 있습니다.)
Meyer Hirsch [de], Integratedtafeln oder Sammlung von Integratedformeln (Duncker und Humblot, 베를린, 1810)
Meyer Hirsch [ de ], Integrated Tables Or A Collection of Integrated Formulae (Baynes and son, London, 1823년)[ Integratafeln 영어 번역]
David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
벤자민 O.피어스 통합의 짧은 표 - 개정판(Ginn & Co, Boston, 1899)

외부 링크

적분표

Paul의 온라인 수학 노트
A. 디크만, 적분표(엘립틱 함수, 제곱근, 역접선 및 기타 이국적 함수):무한 적분 유한 적분
수학 전공: 적분표
O'Brien, Francis J. Jr. https://www.scribd.com/document/520961656/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions. {{cite web}}: 누락 또는 공백(도움말) 지수함수, 로그함수 및 특수함수의 파생 적분.
규칙 기반 통합 광범위한 종류의 인테그랜드를 포함하는 정확하게 정의된 무한 통합 규칙
Mathar, Richard J. (2012). "Yet another table of integrals". arXiv:1207.5845 [math.CA].

비디오

현존하는 가장 강력한 단일 통합 기술.대칭에 대한 가연성 산술의 유튜브 동영상

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[1] Serge Lang. 미적분학 제1코스, 제5판, 페이지 290

[2] "Reader Survey: log x + C", Tom Leinster, The n-category Cafe, 2012년 3월 19일

[1]

[2]

v t 미적분학.
계산 전	이항 정리 오목함수 연속 함수 요인 유한차이 자유 변수 및 한계 변수 함수의 그래프 선형 함수 라디안 롤의 정리 섹트 경사 접선
한계	부정 형식 함수의 한계 단측 한계 시퀀스의 제한 근사순서 제한의 정의(약어, ))-한도의 정의
미적분	파생상품 이차 도함수 편도함수 차동 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠 표기법 뉴턴 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합 체인 로피탈스 제품. 라이프니츠 장군의 법칙 몫 기타 기술 암묵적 미분 역함수와 미분 로그 도함수 관련 요금 정지점 제1도함수 검정 2차 도함수 극단값 정리 맥시멈과 미니마 기타 응용 프로그램 뉴턴의 방법 테일러의 정리 미분 방정식 상미분 방정식 편미분 방정식 확률 미분 방정식
적분학	반파생적 호 길이 리만 적분 기본 속성 통합 상수 미적분의 기본 정리 적분 기호로 구분 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각형의 오일러 접선 반각 치환 적분에서의 부분 분수 이차 적분 사다리꼴 규칙 볼륨 워셔 방법 셸 방식 적분 방정식 적분 미분 방정식
벡터 미적분	파생상품 컬 방향 도함수 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 인테그레이션 녹색의 스토크스 가우스
다변수 미적분	발산 정리 기하학 헤시안 행렬 야코비 행렬과 행렬식 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 편도함수 표면적분 볼륨 적분 상세 토픽 미분 형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분
시퀀스 및 시리즈	산술-기하수열 시리즈의 종류 교대로 이항 푸리에 기하학 고조파 인피니트 힘 마크로린 테일러 텔레스코핑 수렴 테스트 아벨스 교대 급수 코시 응축 직접 비교 디리클레즈 일체형 한계 비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 및 숫자	베르누이 수 e(역학적 상수) 지수 함수 자연 로그 스털링 근사
미적분의 역사	적절성 브룩 테일러 콜린 매클로린 대수의 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 무한소수 미적분학 아이작 뉴턴 플럭션 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션법 역학적 이론의 방법
리스트	차별화 규칙 지수함수의 적분 목록 쌍곡선 함수의 적분 목록 역쌍곡선 함수의 적분 목록 역삼각함수의 적분 목록 비합리함수 적분 목록 로그 함수 적분 목록 합리적인 함수의 적분 목록 삼각함수의 적분 목록 섹트 세컨트 큐브 제한 목록 적분 목록
기타 토픽	복소 미적분 등고선 적분 미분 지오메트리 다지관 곡률 곡선의 표면의 텐서 오일러-마클로린 공식 가브리엘의 뿔 인테그레이션 22/7이 †를 초과하는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 슈타인메츠 고체

v t 수학 분석의 주요 주제
미적분:통합 차별화 미분 방정식(일반 - 부분 - 확률적) 미적분의 기본 정리 변분법 벡터 미적분 텐서 미적분 행렬 미적분 적분 목록 파생상품표
실제 분석 복잡한 분석 초복소 분석 (4분위 분석) 기능 분석 푸리에 분석 최소 제곱 스펙트럼 분석 고조파 분석 P-adic 분석(P-adic 수) 측정 이론 표현 이론 기능들 연속 함수 특수 기능 제한. 시리즈 Infinity
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