차별화 규칙

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

이것은 미적분학에서 함수의 파생상품을 계산하기 위한 규칙, 즉 분화규칙의 요약이다.

기본 차별화 규칙

달리 명시되지 않는 한, 모든 함수는 실제 값을 반환하는 실수(R)의 함수다. 더 일반적으로는 아래의 공식은 복잡한 숫자(C)의 경우를 포함하여 잘 정의된^[1][2] 모든 곳에 적용된다.^[3]

분화는 선형이다.

함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및 $g$ ${\displaystyle g}$ 및$$ 실제 $번호{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$ 및 $b$ ${\displaystyle b}$의 경우$,$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대한$$ 함수 $($) = $x$ )${\displaystyle }$+ $bg(x)$의 파생값은 다음과$$ 같다.

$[\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x)]}$

라이프니츠의 표기법에는 다음과 같이 쓰여 있다.

${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}=a{\frac {df}{dx}+b{\frac {dg}{dx}}.}$

특별한 경우는 다음과 같다.

• 상수 인자 규칙

$[\displaystyle (af)]=af'}$

• 합계 규칙

$[\displaystyle (f+g)]=f'+g'}$

• 뺄셈 규칙

$디스플레이 스타일(f-g)'=f'-g'}$

제품 규칙

f 및 g 함수의 경우 x에 대한 함수 h(x) = f(x) g(x)의 파생어는 다음과 같다.

${\displaystyle h'(x)=fg'(x)=f'(x)g+f(x)g'(x).}$

라이프니츠의 표기법에는 이렇게 쓰여 있다.

${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}={\frac {df}{dx}{dx}}{dx}}.}$

체인 룰

함수 $h{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle g}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x)=f(g(x)}$의 파생상품은 다음과$$ 같다.

$[\displaystyle h'(x)=f'(g(x)\cdot g'(x)]}$

라이프니츠의 표기법에는 다음과 같이 쓰여 있다.

${\dplaystyle {\frac}{dx}h(x)={\frac {d}{dz}f(z) _{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}g(x),}$

을 요약해서 말하곤 한다.

${\displaystyle {\frac(x)}{dx}}={\frac {df(g(x)}}{dx}}{dg(x)}}}{dx}.}$

$맵$의 개념에 초점을 맞추고 맵 D ${\$$text${$D$ 이것은 다음과 같이 보다 간결하게 쓰여 있다.

${\displaystyle [{\text{D}(f\circle g)]_{x}=[{\text{{\text}D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,}$

역함수 규칙

함수 f에 역 함수 g가 있는 경우, ${\displaystyle g}$( f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle g(f(x)))$$=x}$ 및$$ $f{\displaystyle (g}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= y${\displaystyle }$, ${\displaystyle f(g(y)=y,},$ 그 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$

${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\property g}}.}$

라이프니츠 표기법에는 다음과 같이 쓰여 있다.

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac}{dx}}}.}$

전력 법칙, 다항식, 인용문 및 왕복선

다항식 또는 기본 전원 규칙

$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\$ 임의의 실제 $숫자{\displaystyle }$ r${\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle ,}${\$displaystyle$r\$neq$ 0$,}$에 대해, 그러면$$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$

$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle r=1,}$인 $경우$ f$($${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle f(x)=x,}$인 경우 f${\displaystyle }if$(${\displaystyle \mathrm{x}}$)${\displaystyle }$= 1.${\displaystyle$ f$'(x)=1$.$}$

전력 규칙과 총계 및 상수 복수 규칙을 결합하면 모든 다항식의 파생값을 계산할 수 있다.

호수 법칙

(비바니싱) 함수 f에 대한$$ $h{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{f}{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\$의 파생상품은 다음과 같다.

${\$$^{2}}:$ f가 0이 아닌 곳이면 어디든$$

라이프니츠의 표기법에는 이렇게 쓰여 있다.

${\displaystyle {\frac{d(1/f)}{dx}}{dx}=-{\frac {1}{f^{2}}:{\frac {df}{dx}}}.}$

역수 법칙은 인용 규칙 또는 권력 규칙과 체인 규칙의 조합에서 파생될 수 있다.

지수의 법칙

f 및 g가 함수인 경우:

${\displaystyle {(\frac{f}{}}^{}}$ g ${\displaystyle {)}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= f ${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}}$ g -${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$ ${\displaystyle \frac{g}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ $displaystyle \left({\frac {f}{g}\right')={\frac {f'$g-g$'f}{g^{2}}}\i1}.$

이것은 제품 규칙과 역수 규칙에서 파생될 수 있다.

일반화된 권력 규칙

기본 권력 규칙은 상당히 일반화된다. 가장 일반적인 전력 규칙은 기능 전력 규칙이다: 모든 기능 f와 g에 대해,

${\displaystyle (f^{g})=\좌측(e^{g\ln f}\우측)=f^{g}\좌측(f'g \over f}+g'\ln f\우측)\ns }$

양쪽이 잘 규정되어 있는 곳이라면 어디든.

특례

• $f($ $x$)$$= x $a^{}$ $textstyle f(x)=x^{a}\},$a가 0이 아닌 실수이고 x가 양수일 때$$ $f{}^{}$ $\prime (x$)$$= ${}^{}$ ${\mathrm{a}}^{}$- 1 ${\$ f$'(x)=ax^{a-1}.$
• $\mathrm{역수}$ 규칙은 $g$( x$$)$$=$$- 1 ${\$의 특수한 경우에 파생될 수 있다$.$

지수함수와 로그함수의 파생상품

${\displaystyle {\frac}{dx}}\왼쪽(c^{ax}\오른쪽)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

위의 방정식은 모든 c에 대해 참이지만 < ${\textstyle c<0}$에 대한 파생상품은 복잡한 숫자를 산출한다.

${\displaystyle {\frac{d}}{dx}}\왼쪽(e^{ax}\오른쪽)=애^{ax}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\왼쪽(\log _{c}x\right)={1\over x\ln c},\qquad c>1}$

위의 방정식도 모든 c에 대해 참이지만, < 0 ${\$일 경우 복잡한 숫자를 산출한다

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\왼쪽(\ln x\오른쪽)={1\over x}\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\왼쪽(\ln x \right)={1\over x}\qquad x\neq 0.$

${\$$\qquad }$ 여기서 $W{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle W(x)}$은(는) Lambert W 함수임

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\왼쪽(x^{x}\오른쪽)=x^{x}(1+\ln x).}$

${\dplaystyle {\frac}{dx}}\왼쪽(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)^{g(x)-1}{\frac {df}+f(x)^{dx(x)}}\l(x){dfl(x)}}}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\cext{{}f(x)0,{\text{}, 그리고 }{{\frac {df}{dx}{{}}}{\frac {dg}{dx}}}}{\text}}}}}이 있는 경우.}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\좌측(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\좌측(...\right)^{f_{n}(x)}}}^{n}{\sum \frac _{k=1}{n}{\frac }{\frac }{\n}{\f_{1}(x_{1}})^{f_{2}(x_{2})^{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\좌...좌...\right)^{f_{n}(x_{n}}}}\right]{\biggr \vert }{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{{{f_{i<n}(x))0{\text{}}}$ ${\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}{\text{{n1}이(가) 존재한다. }}}$

로그파생상품

로그 파생상품은 함수의 로그 구분(체인 규칙 사용) 규칙을 설명하는 또 다른 방법이다.

${\displaystyle (\ln }$ ${\displaystyle f{}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle f\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ $displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}\message$}}f가 양성인 곳이면$$ 어디든.

로그 분화는 로그와 그 분화 규칙을 사용하여 파생상품을 실제로 적용하기 전에 특정 표현식을 단순화하는 기법이다.^{[citation needed]}

로그는 지수를 제거하고, 제품을 합계로 변환하며, 분업을 뺄셈으로 변환하는데 사용될 수 있다. 각 계수는 파생상품을 얻기 위한 단순화된 표현으로 이어질 수 있다.

삼각함수의 파생상품

${\displaystyle (\sin x')=\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}:}$	${\displaystyle(\arcsin x')={1\over {\sqrt{1-x^{2}}}$
${\displaystyle (\cos x')=-\sin x={\frac {e^{-ix}-e^{ix}}}{2i}}}}$	${\displaystyle (\arccos x)'=-{1\1\over {1-x^{2}}:}$
${\displaystyle (\tan x')=\sec ^{2}x={1 \over \coses ^{2}x}=1+\tan ^{2}x}$	${\displaystyle (\arctan x')={1 \over 1+x^{2}}}$
${\displaystyle (\displaystyle x')=-\csc ^{2}x=-{1 \over \sin ^{2}x}=-1-\propers ^{2}x}$	${\displaystyle(\displayname {arccot} x)={1 \over -1-x^{2}}:}$
${\displaystyle (\sec x')=\sec {x}\tan {x}}$	${\displaystyle(\displayname {arcsec} x)'={1\over x {\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle (\csc x')=-\csc {x}\csc {x}\csc {x}}$	${\displaystyle(\displayname {arccsc} x)'=-{1 \over x {\sqrt{x^{2}-1}}}}$

위 표의 파생상품은 역제곱의 범위가${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\$일 때, 역제곱의${\displaystyle 범위}$가 [ -${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{}}$ 2, ${\displaystyle ]}$ 2 ${\displaystyle ]}$ {\$displaystyle \{\frac$\}{2}}, \frac ${\pi }{2}}\$ripi \$rig$\right$]\backslash !]$일 때!}!}!}에 대한 것이다.

It is common to additionally define an inverse tangent function with two arguments, ${\displaystyle \arctan(y,x)\!}$. Its value lies in the range ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\!}$ and reflects the quadrant of the point ${\displaystyle (x,y)\!}$. For the first and fourth quadrant (i.e. > $(\$ x$>0\}$ 은 ⁡ x > )= (/ x ){\$displaysty \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)\!}$을으)로 되어 있다. 부분파생물은 다음과 같다.

$frac$$$$\}\}\}\},$ 및 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{아크탄}}{}}$ ${\displaystyle \frac{(y,}{}}$ x${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ x${\displaystyle \frac{}{}}$=${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{y}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}\frac{{}^{}}{}}$+ y ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$. ${\displaystyle {\fractan {\frac {\fractan($y,x)}}{\$frac{-y}{x^{2}+y$^{2$}}.$$}$

쌍곡선 함수의 파생상품

${\displaystyle (\sinh x')=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}:}$	${\displaystyle(\displayname {arsinh} x)={1 \over {\sqrt {1+x^{2.}}}}}$
${\displaystyle (\cosh x')=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}:}$	${\displaystyle(\displayname {arcosh} x)={\frac {1}{\sqrt{x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x')={\displayname {sech}^{2}x}={1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}$	${\displaystyle(\displayname {artanh} x)={1 \over 1-x^{2}}:}$
${\displaystyle (\coth x')=-\cschname {csch}^{2}x=-{1 \over \sinh ^{2}x}=1-\coth ^{2}x}$	${\displaystyle(\displayname {arcot} x)]={1 \over 1-x^{2}}}$
${\displaystyle(\displayname {sech} x)'=-\displayname {sech} {x}\tanh {x}}$	${\displaystyle(\displayname {arsech} x)'=-{1 \over x{1\sqrt{1-x^{2}}}$
${\displaystyle(\displayname {csch} x)'=-\displayname {csch} {x}\cot{x}}}$	${\displaystyle(\displayname {arcsch} x)'=-{1 \over x {\sqrt {1+x^{2}}}}}$

이러한 파생상품에 대한 제한은 쌍곡선 함수를 참조하십시오.

특수 기능의 파생상품

감마함수 ${\displaystyle \quad \감마(x)=\int _{0}^{\not}^{x-1}e^{-t}\,dt}$ ${\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\nt^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}$ ${\displaystyle \,=\Gamma(x)\좌(\sum _{n=1}^{n=1}{n}\좌(\ln)\ln(\ln)\좌(\ln)\ln(1+{dfrac {1}{n}\오른쪽)-{\dfrac {1}{x}$ ${\displaystyle \,=\Gamma(x)\psi(x)}$ ${\displaystyle \mathrm{line}}$ ( x${\displaystyle }$)${\displaystyle \psi (x)}$이(${\displaystyle 가}$) digamma 함수로, 위의 줄에서 $in$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Gamma (x)}$의 오른쪽에 있는 괄호화된 표현으로 표현된다.

리만 제타 함수${\displaystyle \jeta (x)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n^{x}}}}}}}}}}}$ ${\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots }$ ${\displaystyle \,=\sum _{p{\text{p}}{\frac {p^{-x}\ln p}{{{{-p^}}}}{{q-{prem}}}\prod _{prem},q\neqp}{1-x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{1-frac {prac{{-frac {prac {nec$

통합의 파생상품

x 함수에 대해 구별해야 한다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}$

where the functions ${\displaystyle f(x,t)}$ and ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)}$ are both continuous in both ${\displaystyle t}$ and ${\displaystyle x}$ in some region of the ${\displaystyle (t,x)}$ plane, including ${\displaystyle a(x)\le t\le b(x),}$${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$, and the functions ${\displaystyle a(x)}$ and ${\displaystyle b(x)}$ are both continuous and both have continuous derivatives for ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}$. 그런 다음 ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 경우$$:

${\displaystyle F'(x)=f(x)=f(x)-f(x)-f(x)\,a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial x}\}\{\partial x(x,t)\;dt\,}$

이 공식은 라이프니즈 적분규칙의 일반적인 형태로서 미적분의 근본적인 정리를 이용하여 도출할 수 있다.

파생상품 n번째 순서

함수의 n번째 파생상품을 계산하기 위해 존재하는 규칙도 있는데, 여기서 n은 양의 정수다. 여기에는 다음이 포함된다.

파아디 브루노 공식

만약 f와 g가 n-time 차이를 보일 수 있다면,

${\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}}[f(g)(x)]]=n!=n!\sum _{\{k_{m}\}}^{}{{f^{r(r)}}{m=1}^{n}{m}!}}}\왼쪽(g^{(m)}(x)\오른쪽)^{k_{m}}}$

where ${\displaystyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ and the set ${\displaystyle \{k_{m}\}}$ consists of all non-negative integer solutions of the Diophantine equation ${\displaystyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$.

라이프니즈 장군 규칙

만약 f와 g가 n-time 차이를 보일 수 있다면,

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)}$

참고 항목

• 벡터 미적분학 정체성
• 차별성 함수
• 함수의 차등
• 수학 함수 목록
• 삼각함수
• 역삼각 함수
• 쌍곡선 함수
• 역 쌍곡선 함수
• 행렬 미적분학
• 적분 기호 아래의 차별화

참조

출처 및 추가 판독

이 규칙들은 초등 미적분학과 고급 미적분학 둘 다에 있는 많은 책에서 순수 수학과 응용 수학으로 주어진다. 이 글의 내용은 다음에서 확인할 수 있다.

• 수학적 수식 및 표(3판), S. 립슈츠, M.R. 슈피겔, J. 류, 샤움의 아웃라인 시리즈, 2009, ISBN 978-0-0-07-154855-7.
• 케임브리지 물리학 공식 핸드북, G. Woan, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
• 물리 및 공학 수학적 방법 K.F. 라일리, M.P. 홉슨, S.J. 빈스, 캠브리지 대학 출판부, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
• NIST Handbook of Mathemical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

외부 링크

라이브러리 리소스 정보 차별화 규칙

라이브러리의 리소스

• 공식을 단순화한 파생 계산기