그라데이션 정리

선 통합에 대한 미적분학의 기본 정리라고도 알려진 구배 정리는 구배장을 통해 적분된 선은 곡선의 끝점에서 원래 스칼라 장을 평가함으로써 평가할 수 있다고 말한다. 정리는 미적분의 두 번째 기본 정리를 실제 선만이 아닌 평면이나 공간(일반적으로 n-차원)의 어떤 곡선에도 일반화한 것이다.

Let $φ$ : $U n$ ⊆ R → $R$ 은 연속적으로 다른 함수가 되며 $γ$ $p$ 에서 시작하고 $q$ 에서 끝나는 U의 어떤 곡선도 있다. 그러면

\int _{\mathbf {r}\cdot \varphi(\mathbf {d})\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \오른쪽)-\varphi \lef(\mathbf {p}\p}\오른쪽)}\오른쪽)}}}}}}}}}}}}}

(여기서 $\nabla φ$ 은 $φ$ 의 그라데이션 벡터장을 나타낸다.)

그라데이션 정리는 그라데이션 필드를 통한 라인 통합은 경로에 독립적이라는 것을 암시한다. 물리학에서 이 정리는 보수적인 힘을 정의하는 방법 중 하나이다. $φ$ 을 잠재력으로 삼음으로써 $\nabla φ$ 은 보수적인 분야다. 보수 세력에 의해 행해지는 일은 위의 방정식이 보여주는 바와 같이 물체가 뒤따르는 경로에 의존하지 않고 끝점에만 의존한다.

그라데이션 정리에도 흥미로운 역이 있다: 어떤 경로에 독립적인 벡터 장은 스칼라장의 그라데이션으로 표현될 수 있다. 구배 정리 그 자체와 마찬가지로 이 역학은 순수 수학이나 응용 수학 모두에서 두드러진 결과와 응용을 많이 가지고 있다.

증명

만일 $φ$ 이 일부 오픈 서브셋 $U$ ( $R n$ )에서 $R$ 까지, $그리고$ r이 어떤 닫힌 간격 $[a,$ $b]$ 에서 $U$ 까지의 구별할 수 있는 함수라면, 다변량 체인 규칙에 의해 복합함수 $φ$ $r$ 은 ( $a,$ b)와 ( $a$ , b)에서 구별할 수 있다.

{\frac {\mathrm {d}{\mathrm {d} t}(\varphi \mathbf {r})=\mathbf {r}(t)\cdot \mathbf {r}(t)'}

$(a,$ $b$ )의 모든 $t$ 에 대하여 $.$ 여기서 $\cdot$ 은 통상적인 내부 제품을 나타낸다.

이제 $φ$ 의 도메인 $U$ 가 끝점 $a$ 와 $b$ 를 가진 서로 다른 $곡선$ $γ$ 을 포함하고 있다고 가정하자( $a$ 에서 b까지의 방향으로 지향). $r$ 이[ $a,$ $b]$ 에서 $t$ 에 대해 $γ$ 을 parametries로 나타낸다면, 위 내용은 다음과 같다.

{\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\ended{aigned}}}

여기서 선 적분 정의는 첫 번째 평등에서 사용되며, 미적분학의 두 번째 기본 정리는 세 번째 평등에서 사용된다.

예

예 1

$γ$ ⊂ $R$ 이² ( $5, 0)$ ~ $(-4,$ 3) 사이의 시계 반대 방향의 원형 호라고 가정하자 $.$ 라인 적분 정의 사용,

{\regated}\int _{\put }y\,\mathrm {d}x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\왼쪽 \frac{3}{4}}{4}}\(5\sin t)}(5\cos t)+(5\cos t)\\\,\mathrm {d}t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\leftm\frac{3}{4}}{4}}{4}\오른쪽)25\left\sin ^{2}t+\cos ^{{2}t+\cos ^{}\d}t\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\lefts\frac {3}{4}}{4}\오른쪽)25\cos(2t)\mathrm {d}t\ =\\\왼쪽.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\오른쪽 _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left\tfrac{3}{4}\\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\left\tfrac {3}{4}\오른쪽)\\\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin(2\tan ^{-1}\\!!\left({\tfrac{3}{4}\오른쪽)\\\\\\{\frac {25(3/4)}{{{}^{2}+1}=-12.\end{정렬}}

이 결과는 함수 $f(x,y)=xy$ ( x $f(x,y)=xy$ , $f(x,y)=xy$ ) $f(x,y)=xy$ = x $f(x,y)=xy$ ( $,y)=xy}$ 가 gradient $\nabla f(x,y)=(y,x)$ ( $\nabla f(x,y)=(y,x)$ , $\nabla f(x,y)=(y,x)$ ) $\nabla f(x,y)=(y,x)$ = ( $\nabla f(x,y)=(y,x)$ , x $\nabla f(x,y)=(y,x)$ , x $\nabla f(x,y)=(y,x)$ ) = ( , $\nabla f(x,y)=(y,x)$ ) ${\display$ style $\nabla f(x,y)=(y,x)}$ 을 $\nabla f(x,y)=(y,x)$ 를) 가지고 있으므로 $f(x,y)=xy$ Gradient Organization:

\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\, _{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.

예 2

좀 더 추상적인 예를 들어, $γ$ ⊂ $R$ 에ⁿ $p$ 에서 $q$ 까지의 방향이 있는 $엔드포인트$ p, $q$ 가 있다고 가정해 보자. $R$ 에서ⁿ $u$ 를 위해 $u$ 의 유클리드 규범을 나타내도록 하라. $α$ ≥ $1$ 이 실수라면,

{\displaystyle{\begin{정렬}\int _{\gamma}\mathbf{)}^{\alpha)}\mathbf{)}\cdot \mathrm{d}\mathbf{)}&={\frac{1}{\alpha +1}}\int _ᆳ(\alpha +1)\mathbf{)}^{(\alpha +1)-2}\mathbf{)}\cdot \mathrm{d}\mathbf{)}\\&, ={\frac{1}{\alpha +1}}\int _{\gamma}\nabla \mathbf{)}^{\alpha +1}\cdot \mathrm{d}\mathbf{)}={.\frac{ \mathbf {q} ^{\mathbf {p} \mathbf {p} ^{\mathbf +1}{\message +1}}\ended{aigned}}}}

$여기$ 서 f(x $)$ = $x$ $함수$ f( $x$ )는 α $if n$ $1일$ 경우 R에서 구별할 수 있기 때문에 최종 평등은 구배 정리에 따른다.

만약 $α$ < $1$ 이라면 대부분의 경우 이 평등은 여전히 유지되겠지만, γ이 원점을 통과하거나 감싸는 경우, 통합 및 벡터장 $x$ $x$ 는 거기서 정의되지 못하기 때문에 주의해야 한다. 단, 사례 $α$ = $-1$ 은 다소 다르다. 이 경우 $통합$ 은 x $x$ = ∇( $log$ x )가 되어 $최종$ 평등이 $log q$ - $log$ p가 된다 $.$

$n$ = $1$ 이면 이 예는 단순히 단변량 미적분학에서 익숙한 전력 규칙의 약간 변형된 것이라는 점에 유의하십시오.

예 3

3차원 공간에 n개의 점 전하가 배치되어 있고 i번째 점 전하가 충전 $Q$ 를_i 가지며 $R$ 의³ p $위치$ 에_i 있다고 가정합시다. 우리는 충전 $q$ 의 입자가 $R$ 의³ a $지점$ 에서 b $지점$ 까지 이동할 때 수행된 작업을 계산하고 싶다. 쿨롱의 법칙을 이용하면 위치 $r$ 에서 입자에 가해지는 힘이 곧 일어날 것이라는 것을 쉽게 알 수 있다.

\mathbf {r}(\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p}}{i}}}){\좌측 \mathbf {p}{{{{{{p}}}}}}오른쪽 ^3

여기서 $u$ 는 $R$ 에서³ 벡터 $u$ 의 유클리드 규범을 나타내고, $k$ = 1/( $4ε 0)$ 여기서 $ε$ 은₀ 진공 허용률이다.

$γ$ ⊂ $R 3 -$ { $p 1, ...,$ $p n}$ 을(를) $a$ 에서 $b$ 까지 임의로 다른 곡선이 되게 하라. 그러면 입자에 대해 행해진 것이다.

W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left \mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right ^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left \mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right ^{3}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)

각 $i$ 에 대해 직접 계산하면

{\frac {r} -\mathbf {p} _{i}{{}}\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}}=-\mathbf {p}{3}=-\pmathbf {r} - {r}{i}}오른쪽}}}.

따라서 위에서부터 계속하여 구배 정리를 사용하여,

W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left \mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left \mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right }}-{\frac {1}{\left \mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right }}\right)

우린 끝났어. 물론 정전기 전위 또는 정전기 전위 에너지의 강력한 언어(친숙한 공식 $W$ = $-ΔU$ = -QΔV)를 사용하여 이 계산을 쉽게 완료할 수 있었을 것이다 $.$ 그러나 구배 정리의 역류는 이러한 것들이 잘 정의되어 있고 서로 다른 기능을 하며 이러한 공식들이 유지되고 있다는 것을 증명하기 위해 필요하기 때문에(아래 참조) 우리는 아직 잠재적 에너지나 잠재적 에너지를 정의하지 않았다. 따라서 우리는 쿨롱의 법칙, 일의 정의, 그리고 그라데이션 정리만을 사용하여 이 문제를 해결했다.

그라데이션 정리 역

그라데이션 정리는 벡터 필드 $F$ 가 어떤 스칼라 값 함수의 구배( $즉$ , F가 보수적인 경우) $라면$ F는 경로에 독립적인 벡터 필드(즉, 어떤 조각-구분성 곡선에 대한 $F$ 의 적분은 끝점에만 의존한다)라고 기술하고 있다. 이 정리에는 다음과 같은 강력한 반전이 있다.

정리 — $F$ 가 경로에 독립적인 벡터 필드라면 $F$ 는 일부 스칼라 값 함수의 구배다.^[2]

벡터 필드가 그 영역의 모든 닫힌 루프에 대한 벡터 필드의 적분이 0인 경우에만 경로에 독립적이라는 것을 보여주는 것은 간단하다. 따라서 대안으로 다음과 같이 정반대로 진술할 수 있다. $F$ 의 도메인에서 모든 닫힌 루프에 대한 $F$ 의 적분이 0이면 $F$ 는 일부 스칼라 값 함수의 그라데이션이다.

반대 증거

$U$ 가 $R$ 의ⁿ 개방된 경로 연결 서브셋이고, $F :$ U → $R$ 이ⁿ 연속적이고 경로에 독립적인 벡터 필드라고 가정하자. $U$ 의 일부 $요소$ 를 고정하고 $f$ : $U$ → $R$ 을 정의한다.

f(\mathbf {x}):=\int_{\mathbma[\mathbf {a},\mathbf {x} ]}\mathbf {F}(\mathbf {u} )\cdot \mathbf {d} \mathbf {u} }}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 $γ [a,$ $x]$ 는 $a$ 에서 발원하고 $x$ 에서 종단하는 $U$ 의 모든 (차별 가능한) 곡선이다. 우리는 $F$ 가 경로에 독립적이기 때문에 $F$ 가 잘 정의되어 있다는 것을 안다.

$v$ 를 $R$ 의ⁿ 어떤 0이 아닌 벡터가 되게 하라. 방향파생물의 정의에 따라

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}}(\mathbf{x})&, =\lim _{t\to 0}{\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{v})-f(\mathbf{x})}{t}}\\&, =\lim _{t\to 0}{\frac{\int_{\gamma)}\mathbf{F}(\mathbf{너})\cdot \mathrm_{\gamma[\mathbf{},\mathbf{x}]{u}-\int \mathbf{d}.}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}}

최종 한계 내에서 적분을 계산하려면 파라메트리제 $γ [x,$ x + $tv]$ 를 파라메트리제해야 한다. $F$ 는 경로에 독립적이며 $U$ 는 개방되어 있고 $t$ 는 0에 가까워지고 있으므로, 이 경로는 직선이라고 가정할 수 $있으며,$ 0 < 초 < $t >$ 에 $대해 u (s$ ) = $x$ + sv로 파라메트리하여 파라메트리화 할 수 있다. 이제 $u$ 's $(s)$ = v)이므로 한계가 된다.

\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg  }_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}

따라서 우리는 $\partial v f$ 에 대한 공식을 가지고 있는데, 여기서 $v$ 는 임의적인 것이다. $x =$ ( $x 1,$ $x 2, ...,$ $x n)$ 로 하고 $e$ 가_i i번째 표준 기준 벡터를 나타내도록 한다.

\nabla f(\mathbf {x} )={\bigg (}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{n}}}{\bigg )}=(\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {e} _{1},\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {F} (\mathbf {x} )\c도트 \mathbf {e} _{n}=\mathbf {F}(\mathbf {x} )

따라서 우리는 원하는 대로 경로 독립적인 벡터 필드 $F$ 인 스칼라 값 $함수$ f를 발견했다.^[2]

반대 원리의 예

이 역학 원리의 힘을 설명하기 위해, 우리는 중요한 물리적 결과를 가지고 있는 예를 인용한다. 고전적인 전자석학에서 전력은 경로에 독립적인 힘이다. 즉, 전기장 내에서 원래 위치로 되돌아온 입자에 대해 행해진 작업은 0이다(변화하는 자기장이 존재하지 않는다고 가정한다).

따라서 위의 정리는 $전력장 e$ F : S → $R$ 이³ 보수적이라는 것을 암시한다(여기 $S$ 는 전하 분포를 포함하는 $R$ 의³ 일부 개방된 경로 연결 서브셋이다). 상기 증명의 사상에 따라 $S$ 에 어느 $정도$ 참조점을 설정하고, $U e$ → $R$ 함수 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

U_{e}(\mathbf {r}):=-\int _{\mathbma[\mathbf {a},\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathbf {u} } } }}} \u}}}}}}}}}}

위의 증거를 이용하여 우리는 $U$ 가_e 잘 정의되어 있고 차별성이 있다는 것을 $알고 e$ 있으며, $F e$ = - formulaU (이 공식으로부터 우리는 구배 정리를 이용하여 보수세력이 행한 일을 계산하기 위한 잘 알려진 공식을 쉽게 도출할 수 있다. $W = -Δ U$ ). 이 함수 $U$ 는_e 흔히 $S$ 에서 전하 시스템의 정전기 전위 에너지라고 불린다( $전위$ a 0을 참조). 많은 경우 도메인 $S$ 는 한이 없는 것으로 가정되고 $기준점$ a는 "무한도"로 간주되는데, 이는 제한 기법을 사용하여 엄격하게 만들 수 있다. 이 함수 $U$ 는_e 많은 물리적 시스템의 분석에 사용되는 필수불가결한 도구다.

일반화

벡터 미적분학의 많은 중요한 이론들은 다지관의 미분형 통합에 관한 진술에 우아하게 일반화된다. 미분형 및 외부 파생상품의 언어에서 구배정리는 다음과 같이 기술하고 있다.

\int _{\put \phi =\int _{\put }\mathrm {d} \phi

어떤 다른 곡선 $γ$ ⊂ $R n$ (여기서 $γ$ 의 경계를 $넘는$ $ϕ$ 의 적분은 γ의 끝점에서 $ϕ$ 의 평가로 이해된다).

이 문장과 일부 방향성 매니폴드 $Ω$ 의 경계에서 콤팩트하게 지원되는 미분 형식 $Ω$ 의 적분은 $Ω$ 의 전체, 즉 $Ω$ 의 외부 파생상품 Ω의 적분과 동일하다는 일반화 버전의 스톡스 정리 사이의 현저한 유사성에 주목한다.

\int _{\partial \Oomega}\\int _{\Oomega}\mathrm {d}\matrix \omega \int

이 강력한 진술은 1차원 다지관에 정의된 1-형태에서 임의 차원의 다지관에 정의된 미분형까지 구배 정리를 일반화한 것이다.

그라데이션 정리의 역성명은 다지관의 미분형태 측면에서도 강력한 일반화를 가지고 있다. 특히 $Ω$ 이 계약 가능한 영역에 정의된 형식이며, 닫힌 다지관 위에 있는 $Ω$ 의 적분은 0이라고 가정한다. 그 다음 $Ω$ = $dψ$ 과 같은 $ψ형식$ 이 존재한다. 따라서, 계약 가능한 영역에서는 모든 닫힌 형태가 정확하다. 이 결과는 푸앵카레 보조정리법으로 요약된다.

참고 항목

참조

^ 윌리엄슨, 리차드와 트로터, 헤일 (2004). 다변량 수학, 제4판, 374페이지. 피어슨 교육, 주식회사
^ ^a ^b "윌리엄슨, 리차드와 트로터, 헤일. (2004). 다변량 수학, 제4판, 410페이지. 피어슨 교육 주식회사."

[1] 윌리엄슨, 리차드와 트로터, 헤일 (2004). 다변량 수학, 제4판, 374페이지. 피어슨 교육, 주식회사

[wt-2] "윌리엄슨, 리차드와 트로터, 헤일. (2004). 다변량 수학, 제4판, 410페이지. 피어슨 교육 주식회사."

[2]

v t 미적분학.
프레살쿨루스	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한차이 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사 접선
한계	불확정형 함수의 한계 단측한도 수열의 한계 근사순번 (ε, Δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 미분 미분방정식 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠의 표기법 뉴턴의 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합계 체인 L'Hepital's girls 제품 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기법 암묵적 분화 역함수와 분화 로그파생상품 관련금리 정지점 제1차 파생상품시험 2차파생성시험 극값정리 맥시마와 미니마 추가 애플리케이션 뉴턴의 방법 테일러의 정리
적분 미적분학	해독제 아르클릴레온 기본 속성 집적 상수 미적분학의 기본 정리 통합 기호 아래 차별화 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각 측량 오일러 위어스트라스 적분 부분분수 2차 적분 사다리꼴 법칙 볼륨 와셔법 셸 방식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향파생상품 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 통합 그린스 스톡스 가우스
다변량 미적분학	발산정리 기하학 헤시안 행렬 야코비안 행렬과 결정인자 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 부분파생상품 표면 적분 부피 적분 고급 주제 미분형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술-기하 시퀀스 계열의 종류 교대로 이항체 푸리에 기하학 조화 무한 힘 마클로린 테일러 텔레스코핑 수렴 시험 아벨의 교대계열 코시 응결 직접 비교 디리클레트 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 와 숫자	베르누이 수 e (계속 상수) 지수함수 자연 로그 스털링의 근사치
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클라우린 대수 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니즈 최소값 소수점 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션의 방법 기계식 이론의 방법
목록	차별화 규칙 지수함수의 통합 목록 쌍곡선 함수의 통합 목록 역 쌍곡선 함수의 통합 목록 역삼각계 함수의 통합 목록 비합리적인 기능의 통합 목록 로그 함수의 통합 목록 합리적인 기능의 통합 목록 삼각함수의 통합 목록 세컨트 큐방트 한계 목록 통합 목록
기타 항목	미분 기하학 곡면성 곡선의 표면의 오일러-마클라우린 공식 가브리엘 혼 통합 비 22/7이 π을 초과한다는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 스타인메츠 고체

Search

그라데이션 정리

네임스페이스

더

목차

증명

예

예 1

예 2

예 3

그라데이션 정리 역

반대 원리의 예

일반화

참고 항목

참조