직접비교시험

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미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
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수학에서, 유사한 관련 시험(특히 한계 비교 시험)과 구별하기 위한 직접 비교 시험이라고도 하는 비교 시험은 무한 계열이나 부적절한 적분의 수렴이나 분산을 추론하는 방법을 제공한다. 두 경우 모두 주어진 직렬 또는 적분을 정합화 특성이 알려진 직렬과 비교하여 시험이 작동한다.

시리즈용

미적분학에서 시리즈에 대한 비교 시험은 일반적으로 음수가 아닌(실제 값) 항을 가진 무한 시리즈에 대한 한 쌍의 문장으로 구성된다.^[1]

• If the infinite series ${\displaystyle \sum b_{n}}$ converges and ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}}$ for all sufficiently large n (that is, for all ${\displaystyle n>N}$ for some fixed value N), then the infinite series ${\displaystyle \sum a_{n}}$ also converges.
• ${\displaystyle {무한}_{}}$ 시리즈 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 분산되고$$ 모든 n이 충분히$$ 큰 $경우{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}{a}_{}}$ a ≤ n ${\$}}}}}이$($가) 무한 시리즈 $∑$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$ \$sum$ a_${n}$도 분산된다.

더 큰 항을 갖는 시리즈는 더 작은 항으로 시리즈를 지배(또는 결국 지배)한다고 말하기도 한다.^[2]

또는, 시험은 절대 수렴의 관점에서 명시될 수 있으며, 이 경우 복합적인 용어가 있는 시리즈에도 적용된다.^[3]

• ${\displaystyle {무한}_{}}$ 시리즈 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 완전히$$ 수렴되고 ${\displaystyle 모든{}_{}}$ n에 대해$$ ${\displaystyle n_{}{}_{}\le {}_{}}$ b {\$displaystyle$a_${n$} $\leq$b_{$n}}}}}}$이(가) 충분히 큰 경우 무한 시리즈${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$도 절대$$ 수렴된다.
• 무한 시리즈 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$이(가) 완전히 수렴되지 않고$$ b ${\displaystyle n}$이 모든 n에 대해$$ $displaystyle b_{n} \leq a_{n}}}}}$인 경우 무한 시리즈${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$도 완전히 수렴되지 않는다$$.

이 마지막 문장에서 시리즈${\displaystyle {series}_{}}$은 n ${\$은(는) 조건부 수렴일 수 있다는$$ 점에 유의하십시오. 실제 값을 매긴 시리즈의 경우 a가_n 모두 음수가 아닌 경우 이러한 현상이 발생할 수 있다.

두 번째 쌍의 문장은 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle c{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 음이 아닌 항을 가진 시리즈인$$${\displaystyle \sum {}_{}}$ c {\$displaystyle \sum c_{$n}}}이(가) 수렴될 경우에만 절대적으로$$ 수렴되기 때문에 실제 값이 있는 시리즈의 경우 첫 번째와 동등하다.

증명

위에 제시된 모든 진술의 증거는 비슷하다. 여기 세 번째 진술의 증거가 있다.

${\$$displaystyle$ $\$$sum$ $a_{n}$ 및$$${\displaystyle {}_{}}$ b ${\$$$$\$$sum$ $b_{n$}}은$(는)$${\displaystyle {절대적}_{}}$으로 수렴하고$$(${\displaystyle {이}_{}){}_{}}$ 일반성을 잃지 않고 ${\displaystyle 무한{}_{}}$ ${\displaystyle {시리즈}_{}}$가 ${\displaystyle 되도록}$ 한다${\displaystyle .{}_{}}$모든 양의 정수 n에 대해$$$${\$displaystyle a_{n} \leq b_{n} }.$ 부분적인 합을 고려하라.

${\displaystyle S_{n}= a_{1} + a_{2} + a_\ldots + a_{n},\ T_{n}=b_{1} + b_{2} +\ldots + b_{n} .}$

$\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$은(는$$) ${\displaystyle \underset{}{절대적}}$으로 수렴되기 때문에, im n${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle T_{}}$= ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lim _{n\ft}t_{n$}=T$}$일부 실수$$ T. 모든 n에 대해서,

${\displaystyle 0\leq S_{n}= a_{1} + a_{2} +\ldots + a_{n} \leq a_{1} + a_{n} + b_{n+1} +\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}}$

${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 비감소 시퀀스이고$$ ${\displaystyle S_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle }$( T${\displaystyle }$- T ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})$은(는) 상승하지 않는다$$. 감안할 때 m, n>N{\displaystyle m,n&gt을 말한다.N}둘 다 S, Sm{\displaystyle S_{n},S_{m}}T− TN{\displaystyle T-T_{N}}로 N{N\displaystyle}무한대에 간다 0에length을 선택할 때 간격[SN, SN+(T− TN)]{\displaystyle[S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]},에 속해 있다. 이는${\displaystyle }$(${\displaystyle {Sn}_{}{}_{}}$)${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle 2_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$… ${\$이(가) Cauchy 시퀀스이므로 한계에 수렴해야 함을 보여준다. 따라서 ${\$는 절대적으로 수렴된다.

통합의 경우

통합에 대한 비교 시험은${\displaystyle }$b +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\inflt$} 또는 f와 g 각각 수직 점증상(properte)이 있는 실제$$ ${\displaystyle \mathrm{숫자}}$로 ${\displaystyle [a}$ ,$$b ) {\$displaystyle$[a$,b$)}에서 f와 g가 연속적인 실질 값 함수 f와 g를 가정하여 다음과 같이 명시할 수 있다.^[4]

• 만약 이 부적절한 적분은 bg())d){\displaystyle \int_{}())\,dx ∫}와 0≤ f()) ≤ x<>;b{\displaystyle a\leq x<, b}, 그 다음은 부적절한 적분 ∫ bf())d){\displaystyle \int_{}())\,dx}과 관련된 한 점인 ≤ g()){\displaystyle 0\leq f())\leq g())}전진. ∫${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g($
• If the improper integral ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$ diverges and ${\displaystyle 0\leq g(x)\leq f(x)}$ for ${\displaystyle a\leq x<b}$, then the improper integral ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ also diverges.

비율비교시험

위의 직접 비교 시험과 비율 시험 모두와 유사한, 실질 평가 시리즈의 정합화를 위한 또 다른 시험을 비율 비교 시험이라고 한다.^[5]

• 만약, 무한한 시리즈 ∑ b n{\displaystyle\sum b_{n}}converges과 오빠>0{\displaystyle a_{n}>. 0}일 경우,b n>0{\displaystyle b_{n}>. 0}일 경우, n+1n≤ bn+1bn{\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\leq{\frac{b_{n+1}}{b_{n}}}}모든 충분히 큰 n에.그 infinite 시리즈 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$도 수렴한다.
• 만약, 무한한 시리즈 ∑ b n{\displaystyle\sum b_{n}}판정하고 n>0{\displaystyle a_{n}>. 0}일 경우,b n>0{\displaystyle b_{n}>. 0}일 경우, n+1n≥ bn+1bn{\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\geq{\frac{b_{n+1}}{b_{n}}}}모든 충분히 큰 n에. , 무한한 시리즈 ${\$도 분기한다.

참고 항목

• 수렴시험
• 수렴(수학)
• 지배적 수렴 정리
• 수렴용 적분 검정
• 한계비교시험
• 모노톤 수렴 정리

메모들

참조

• Ayres, Frank Jr.; Mendelson, Elliott (1999). Schaum's Outline of Calculus (4th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-041973-6.
• Buck, R. Creighton (1965). Advanced Calculus (2nd ed.). New York: McGraw-Hill.
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications. § 3.1. ISBN 0-486-60153-6.
• Munem, M. A.; Foulis, D. J. (1984). Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.). Worth Publishers. ISBN 0-87901-236-6.
• Silverman, Herb (1975). Complex Variables. Houghton Mifflin Company. ISBN 0-395-18582-3.
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1963). A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press. § 2.34. ISBN 0-521-58807-3.