루소-발루아 적분

수학적 분석에서 루소-발루아 적분은 고전적 리만-스티엘트제스의 확률적 과정으로 확장된 것이다.

$디스플레이 스타일 \int f\,dg=\int fg'\,ds}$

적절한 기능 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및 $g$ ${\displaystyle g}$의 경우$.$ 파생상품 $g{\displaystyle {}^{\prime }}$ {\$displaystyle g'}$을(를$)$ 차등지수로 대체하자는$$ 취지다.

$\frac{{\displaystyle g}}{}$( $\frac{{\displaystyle s}}{}$+ $\frac{{\displaystyle \epsilon }}{}$)$\frac{{\displaystyle }}{}$- $\frac{{\displaystyle g}}{}$( s$\frac{{\displaystyle }}{}$) $\frac{}{}$ ${\displaystyle g(s+\varepsilon )-g(s) \over \varepsilon$ }.g$$(s) \varepsilon $}$ 및 적분에서 한도를 뺀다. 게다가 하나가 수렴의 형태를 바꾼다.

정의들

정의: 확률적 공정의 시퀀스 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$displaystyle H_{n}$은(는) 공정 $H{\displaystyle }$, {\$displaystyle H,}$에 확률상 콤팩트 세트에 균일하게 수렴된다.

${\displaystyle H={\text{ucp-}}\lim _{n\wrightarrow \infit }H_{n}}}$

, 모든 > 0 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ 및 > ${\displaystyle T>0,}$에 대해,

${\displaystyle \lim _{n\오른쪽 화살표 \infit }\mathb {P}(\sup _{0\leq t\leq T}H_{n}(t)-H(t) >\varepsilon )=0.}$

원 세트:

${\displaystyle I^{-}(\varepsilon ,t,f,dg)={1 \over \varepsilon }\int_{0}^{t}f(g(s+\varepsilon )-gs\,ds}$

${\displaystyle I^{+}(\varepsilon ,t,f,dg)={1 \over \varepsilon }\int_{0}^{0}f(s)-g(s-\varepsilon )\,ds}$

그리고

${\displaystyle [f,g]_{\varepsilon }(t)={1 \over \varepsilon }\int_{0}^{t}(f(s+\varepsilon )-g(s)\ds.}$

정의: 전방 적분은 의 ucp 한계로 정의된다.

${\displaystyle I^{-}}$: ${\displaystyle \int _{0}^{t}fd^{-}g={\text{ucp-}}\lim _{\varepsilon \rightarrow \infty (0?)$$}}I^{-}(\varepsilon ,t,f,dg).$$}$

정의: 후방 적분은 다음의 ucp 한계로 정의된다.

${\displaystyle I^{+}}$: ${\displaystyle \int _{0}^{t}f\,d^{+}g={\text{ucp-}}\lim _{\varepsilon \rightarrow \infty (0?)$$}}I^{+}(\varepsilon ,t,f,dg).$$}$

정의: 일반화된 대괄호는 의 ucp 한계로 정의된다.

${\displaystyle [f,g]_{\varepsilon }}$: ${\displaystyle [f,g]_{\varepsilon }={\text{ucp-}}\lim _{\varepsilon \rightarrow \infty }[f,g]_{\varepsilon }(t).$$}$

연속 세미마팅ales $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$,Y}$ 및$$ Cadlag 함수 H의 경우, Ruso-Vallois 적분 및 일반 It– 적분과의 일치:

${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s}=\int _{0}^{t}H\,d^{-}X.}$

이 경우 일반화된 대괄호는 고전적인 공분리와 동일하다. 특별한 경우, 이것은 그 과정이

${\displaystyle [X]:=[X,X]\,}$

2차 변동 공정과 동일하다.

또한 루소발루아 적분(Luso-Vallois Integrity)의 경우 이토 공식에는 다음과 같은 내용이 들어 있다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 연속 세미마팅일 경우

${\displaystyle f\in C_{2}(\mathb {R}),}$

그때

${\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int_{0}^{t'(X_{s})\,dX_{s}+{1\over 2}\int_{0}^{t}f"(X_{s})\,d[X]_{s}.}$

트리벨의 이중성 결과에 의해 루소-발루아 적분을 정의할 수 있는 최적의 베소프 공간을 제공할 수 있다. 베소프 공간의 표준

${\displaystyle B_{p,q}^{\lambda }(\mathb {R} ^{N})}$

에 의해 주어지다

${\displaystyle f _{p,q}^{\lambda }=f _{{L_{p}}+\왼쪽(\int_{0}^{0}{0}\infit }{1 \{1+\lambda q}(x) _{L_{q}\,dh\}}}}}}}}}}^{{1q}}}}}}}}}}}}}}:{1q}}}}}}}}}}^{{{{{{{{{{{$

$q{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle q=\inforty }$에 대한 잘 알려진 수정과 함께$.$ 그러면 다음과 같은 정리가 유지된다.

정리: 가정하다

${\displaystyle f\in B_{p,q}^{\lambda }}$

${\displaystyle g\in B_{p',q'^{1-\lambda }}$

${\displaystyle 1/p+1/p'=1{\text{ 및 }1}/q+1/q'=1.}$

그러면 루소-발루아 적분은

$\displaystyle \int f\,dg}$

$상수{\displaystyle }$ c ${\displaystyle c}$의 경우

${\displaystyle \left \int f\,dg\right \leq c f _{p,q}^{p,q}g _{p',q'^{1-\reason }}}}$

이 경우 루소-발루아 적분은 리만-스티엘트제스 적분 및 유한 p-분산을 갖는 함수에 대해 영 적분과 일치한다는 점에 유의하십시오.

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참조

• Russo, Francesco; Vallois, Pierre (1993). "Forward, backward and symmetric integration". Prob. Th. and Rel. Fields. 97: 403–421. doi:10.1007/BF01195073.
• Russo, F.; Vallois, P. (1995). "The generalized covariation process and Ito-formula". Stoch. Proc. and Appl. 59 (1): 81–104. doi:10.1016/0304-4149(95)93237-A.
• Zähle, Martina (2002). "Forward Integrals and Stochastic Differential Equations". In: Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications III. Progress in Prob. Vol. 52. Birkhäuser, Basel. pp. 293–302. doi:10.1007/978-3-0348-8209-5_20.
• Adams, Robert A.; Fournier, John J. F. (2003). Sobolev Spaces (second ed.). Elsevier.