이중 번호

대수학에서, 이중수는 19세기에 처음 도입된 초복소수 체계이다.a + bθ 형식의 식입니다.여기서 a와 b는 실수이고, θ는 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ $=$ 0$(\displaystyle$ \$varepsilon$^{2$}=0$을 만족하기 위해 사용되는 기호입니다.

이중 숫자는 성분별로 더하고 공식에 곱할 수 있습니다.

$\ displaystyle ( a + b \ varepsilon ) ( c + d \ varepsilon ) = ac + ( ad + bc ) \ varepsilon , }$

이는 특성 θ² = 0과 곱셈이 쌍선형 연산이라는 사실에서 비롯된다.

이중 숫자는 실수에 대한 차원 2의 교환 대수와 아티니아 국소 고리를 형성합니다.0이 아닌 0이 아닌 요소를 가진 링의 가장 단순한 예 중 하나입니다.

역사

이중수는 1873년 윌리엄 클리포드에 의해 도입되었고, 20세기 초에 독일의 수학자 에두아르트 연구에 의해 사용되었다. 에두아르트 연구는 공간에서의 두 기울기 선의 상대적인 위치를 측정하는 이중 각도를 나타내기 위해 그것들을 사용했다.연구에서는 이중 각도를 θ + dθ로 정의했습니다. 여기서 θ는 3차원 공간에서 두 선의 방향 사이의 각도이고 d는 둘 사이의 거리입니다.19세기 후반 헤르만 그라스만이 n차원 일반화를 도입했다.

추상대수의 정의

$추상$ 대수학에서, 이중수의 대수는 종종 부정수의 제곱에 의해 생성된$$주 $아이디얼$에 의해$$${\displaystyle 실수}$에 대한 다항식$$고리의 몫으로 정의된다$.$

$\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}$

대수학에서의 표현

$이중{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{숫자}}$ a${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\$ { $display$ a $+ b$ \ $epsilon$}는$$ 행렬 0a) { $display$style { $begin {pmatrix$} $a&b\a\end {pmatrix$로 나타낼 수 있습니다.이것은 행렬( $){$ $displaystyle {pmatrix }0&1\\0&end {pmatrix}}}$이(가) 0행렬에 대한 제곱이기 때문에 동작합니다.이거는 듀얼 $수치인{\displaystyle }$ \ $displaystyle$\$varepsilon$ $\}$과 비슷합니다.

이중 숫자를 행렬로 표현하는 다른 방법이 있습니다.2${\displaystyle }$×$$ ($displaystyle$2 \ $times$2 )실제$$ 매트릭스의 $경우$만 생각해 보겠습니다.듀얼 $넘버{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$({displaystyle$1)이$$ 아이덴티티 매트릭스로 표현된다고 가정하면 §$${\$displaystyle\epsilon}$은 폼의 임의의 매트릭스로 표현될 수 있습니다.

$(\displaystyle\pmatrix\c&a\end{pmatrix})$

$여기$서 a ${\displaystyle 2}$${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle b}$ c ${\displaystyle =0}$, (a$$= b = c = $0$. \ $displaystyle$ a = b $=$ ${\displaystyle c}$$$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$.$0{\displaystyle }$ . \ $displaystyle$ a = c$$=$$0 ) $。$$}$

차별화

이중 번호의 적용 중 하나는 자동 미분이다.위의 실제 이중 숫자를 고려하십시오.임의의 실제 다항식 P(x) = p₀ + px₁ + px₂² + ...가 주어졌을 때 + px_nⁿ, 이 다항식의 영역을 실수에서 쌍수로 확장하는 것은 간단하다.그리고 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {begin{aligned}P(a+b\varepsilon)={}+p_{1}(a+b\varepsilon)+cdots +p_{n}(a+b\varepsilon)^{n}\={\}&p_0}+p_{a}^2}$

여기서 P is는 P의 도함수이다.

보다 일반적으로 Taylor 시리즈를 통해 모든 (분석적인) 실제 함수를 이중 수치로 확장할 수 있습니다.

${\displaystyle f(a+b\varepsilon)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon^{n}}{n!}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

θ² 이상을 포함하는 모든 조건은 θ의 정의에 따라 3차적으로 0이기 때문이다.

이들 함수의 구성을 이중수에 걸쳐 계산하고 그 결과 the의 계수를 조사함으로써 조성의 도함수를 자동으로 계산했다.

n차원 벡터 공간의 외부 대수를 사용하여 n개의 변수의 다항식에도 유사한 방법이 적용됩니다.

기하학.

이중 숫자의 "단위 원"은 zz* = 1을 만족하기 때문에 a = ±1인 원으로 구성된다. 여기서 z* = a - bµ이다.단, 다음 점에 주의해 주십시오.

${\displaystyle e^{b\varepsilon}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {\left(b\varepsilon\right}}^{n}}{n!}=1+b\varepsilon,}$

따라서 θ축에 적용되는 지수맵은 "timeout"의 절반만 포함합니다.

z = a + bµ로 하자.만약 ≠ 0과 m).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 졸.Id}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}b/a, 양수 z의 za(1+mε)은 극지방의 분해,와 기울기가 m은 모난 부분.이중수 평면의 회전 개념은 (1 + pθ)(1 + qθ) = 1 + (p + q)θ이므로 수직 전단 매핑과 같다.

절대 시공간에서 갈릴레이의 변환은

$\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\display{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix},},$

그것은

${\displaystyle t'=t,\display x'=display+x,}$

정지 좌표계를 속도 v의 이동 기준 프레임과 관련짓는다. 이중 숫자 t + xθ가 하나의 공간 차원 및 시간에 따른 사건을 나타내면 동일한 변환이 1 + vµ의 곱셈에 영향을 미친다.

사이클

두 개의 이중 숫자 p와 q가 주어지면 z에서 p와 q까지의 선 사이의 기울기("갈릴레아 각도") 차이가 일정하도록 z 집합을 결정합니다.이 집합은 이중 번호 평면의 사이클입니다. 선의 기울기 차이를 상수로 설정하는 방정식은 z의 실부분에서 2차 방정식이므로 사이클은 포물선입니다.이중 번호 평면의 "순환 회전"은 투영 선의 움직임으로 발생합니다.Isaak ^{[1]: 92–93} Yaglom에 따르면 사이클 Z = {z : y² = αx}는 전단 성분 하에서 불변이다.

${\displaystyle x_{1}=x,\display y_{1}=display + y}$

번역과 함께

${\displaystyle x'=x_{1}=snothfrac {v}{2a},\snoth y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}}.}$

나누기

이중수의 나눗셈은 분모의 실제 부분이 0이 아닐 때 정의됩니다.나눗셈 과정은 분모에 그 켤레를 곱하여 비실제 부분을 상쇄한다는 점에서 복소 나눗셈과 유사하다.

따라서 형식의 방정식을 나누려면

${\displaystyle {a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon}}$

위와 아래를 분모의 켤레로 곱한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon}}&={\frac{(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon)}{(c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)}}\\[5pt]&, ={\frac{ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&, ={\frac{ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\는 경우에는 5pt]&=bcfrac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}\\[5pt]&=bcfrac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}\varepsilon \end{aligned}}}$

c가 0이 아닐 때 정의됩니다.

반면, c가 0인 반면 d는 0이 아니라면, 방정식은

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon)d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}$

1. 가 0이 아닌 경우 솔루션이 없습니다.
2. 그렇지 않으면 b/d + y440 형식의 임의의 이중 번호로 해결됩니다.

즉, "인수"의 비실수 부분은 임의이며, 따라서 나눗셈은 순수하게 비실수 쌍수에 대해 정의되지 않습니다.실제로, 그것들은 (3차적으로) 0 제수이며, 쌍수의 연관 대수(따라서 고리)의 이상을 분명히 형성한다.

역학의 응용 프로그램

이중 숫자는 역학, 특히 운동학적 합성에 응용된다.예를 들어 이 이중수에 의해 로토이드 조인트만을 포함한 4바 구면 링크의 입출력 방정식을 4바 공간기구(로토이드, 로토이드, 로토이드, 원통형)로 변환할 수 있다.이원화된 각도는 기본 부분, 각도 및 ^[2]길이의 단위를 가진 이중 부분으로 구성됩니다.자세한 내용은 나사 이론을 참조하십시오.

일반화

이 구성은 보다 일반적으로 수행될 수 있습니다. 가환환 R의 경우 R 위의 이중 수를 이상(X²)에 의해 다항식환 R[X]의 몫으로 정의할 수 있습니다. X의 이미지는 0과 같은 제곱을 가지며 위에서부터 원소 θ에 대응합니다.

0제곱 요소의 임의 모듈

이중 번호에 대한 보다 일반적인 구성이 있습니다.$교환링{\displaystyle }$ R$(\displaystyle$ R$)$과 $모듈{\displaystyle }$M(\$displaystyle$ M$)$에 따라 다음 구조를 가진 듀얼 번호의 링이라고 불리는 $링{\displaystyle }$ R$](\displaystyle$ R$[M])$이 존재합니다.

${\displaystyle R}$ ( r${\displaystyle }$,${\displaystyle i}$ )$=$ ( ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle +}$ r${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i}$) \${\displaystyle }$displaystyle$$( r , ${\displaystyle {}^{}}$)$=$ ( r r r ${\displaystyle 、}$ r ${\displaystyle {、}^{}}$ r ) \$displaystyle$ ( r , i$)\ cdot$ \$left$ ( r $, i$ )\ $right$)로$$$$ 정의된 $R{\displaystyle }$（${\displaystyle }$\ $displaystyle$ ( r , i ) - ${\displaystyle r}$ ) 、 r$、$r )$\displaystyle i,i'\in I.}$

이중 숫자의 대수는 M ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ M$=R}$ 및$$ $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 1}$)$$. ${\displaystyle$ \$varepsilon = (0$, 1 )의 $특수$한 경우입니다.$}$

초공간

이중 숫자는 물리학에서 응용 분야를 찾으며, 여기서 초공간에서 가장 단순하지 않은 예 중 하나를 구성합니다.마찬가지로 이들은 하나의 발전기로만 구성된 잉여수이며, 잉여수는 n개의 개별 발전기 δ로 개념을 일반화하며, 각각 반정류하며 n은 무한대에 이를 수 있다.다중 통근 치수를 허용함으로써 슈퍼스페이스는 슈퍼넘버를 약간 일반화합니다.

이중수를 물리학에 도입하는 동기는 페르미온에 대한 파울리 배타 원리에서 비롯된다.θ를 따라가는 방향을 "permionic" 방향이라고 하며, 실제 성분을 "bosonic" 방향이라고 합니다.페르미온 방향은 페르미온이 파울리 배타 원리를 따른다는 사실에서 이 이름을 얻었다: 좌표 교환 하에서 양자역학적 파동 함수는 부호를 바꾸고, 따라서 두 개의 좌표가 함께 모이면 사라진다; 이 물리적인 생각은 대수적 관계² θ = 0에 의해 포착된다.

투영선

이중수에 대한 사영선 아이디어는 그룬발트와^[3] 코라도 세그르가 ^[4]제안했다.

마치 리만 구체가 복잡한 투영선을 닫기 위해 무한대의 북극점을 필요로 하듯이, 무한대의 선은 ^{[1]: 149–153} 실린더에 대한 이중 숫자의 평면을 닫는 데 성공합니다.

D가 이중 숫자 x + y'의 링이고 U가 x 0 0의 서브셋이라고 가정합니다.그러면 U는 D의 단위군이다.B = {(a, b) d D × D : a u U 또는 b u U}로 하자.B 상에 ua = c, ub = d가 되도록 U에 u가 있을 때 B상에 (a, b)~ (c, d)로 정의한다.이 관계는 사실 동등 관계이다.D 위의 투영 라인의 점은 P(D) = B/~의 관계에서 B의 동등성 클래스입니다.그것들은 투영 좌표[a, b]로 표현된다.

내장 D → P(D)를 z → [z, 1]에 고려합니다.그런 다음 n = 0에² 대한 점 [1, n]은 P(D)에 있지만 매립 아래의 어떤 점의 이미지가 아닙니다. P(D)는 투영에 의해 실린더에 매핑됩니다.{y : : y$r{\displaystyle \mathbb{}}$ R$${\$displaystyle \mathbb${R}$$}}, 0² = 0 선에서 이중 번호 평면에 접하는 원통을 취합니다. 이제 원통에서 평면 연필의 축에 대해 반대 선을 취합니다.이중 번호 평면과 실린더를 교차하는 평면은 이러한 표면 간의 점 대응 관계를 제공합니다.이중 번호 평면에 평행한 평면은 이중 번호에 대한 투영 라인의 점 [1, n], n² = 0에 해당합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 부드러운 극소량 분석
• 섭동 이론
• 무한소수
• 나사 이론
• 이중복소수
• 라구에르 변환
• 그라스만 수

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