0으로 나누기

수학에서 0으로 나누는 나눗셈, 나눗셈(분수)이 0인 나눗셈은 독특하고 문제가 많은 특수한 경우입니다. 분수 표기법을 사용하면 일반적인 예제를 ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\$로 쓸 수 있으며$,$ 여기서 ${\displaystyle a}$는 배당금(숫자)입니다.

소산학에서 몫의 일반적인 정의는 약수를 곱했을 때 배당금을 산출하는 숫자입니다. 즉, ${\displaystyle \frac{c}{}}$ = b ${\displaystyle$c = {\$tfrac {a}{b}}$는 ${\displaystyle c}$ ⋅ ${\displaystyle b}$ = a . ${\displaystyle$ c\cdot b=a와 같습니다.$}$이 정의에 따르면 ${\displaystyle \mathrm{quotient}}$ $q$ $=$ a ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\displaystyle$ q $=$ {\$tfrac {a}$ {$0}$은(는) 다른$숫자$ $a$가 아니라$항상$ 0${\$$displaystyle$$$0}이므로 quotient q $=$ ${\displaystyle a}$ 0은(는) 의미가 없습니다$.$$}$0으로 나누는 것을 허용하면서 기본 대수의 일반적인 규칙을 따르면$$ 수학적 오류가 발생할 수 있으며, 이는 미묘한 실수로 인해 터무니없는 결과를 초래할 수 있습니다. 이를 방지하기 위해 실수의 산술과 필드라는 보다 일반적인 수치 구조는 0으로 나누는 것을 정의하지 않고, 0으로 나누는 것이 발생할 수 있는 상황은 주의하여 처리해야 합니다. 0을 곱한 숫자가 0이므로 ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\$ 식도 정의되지 않습니다$$.

미적분학은 함수의 입력이 어느 정도 값을 갖는 경향이 있기 때문에 극한에서 함수의 동작을 연구합니다. 실수 함수가 분모가 0이 되는 경향이 있는 분수로 표현될 수 있을 때, 함수의 출력은 임의로 커지며, 수학적 특이점의 일종인 "무한대 경향"이라고 합니다. ${\displaystyle 예}$를 들어, 역함수 $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle \frac{1}{}}$ x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f(x$)={\$tfrac {1}{x}}$는 x ${\displaystyle x}$가 $0$이 될 때 무한대가 되는 경향이 있습니다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle 0.}$ 동일한 입력에서 분자와 분모가 모두 0이 되는 경향이 있을 때, 이 표현은 불확정적인 형태를 취한다고 합니다. 결과적인 한계는 분수를 구성하는 특정 함수에 따라 다르며, 그들의 개별 한계로부터 결정될 수 없기 때문입니다.

실수와 같은 분야를 다루면서 0으로 나누는 것을 정의되지 않은 채로 두는 일반적인 관례에 대한 대안으로, 0으로 나누는 결과를 다른 방법으로 정의할 수 있으며, 그 결과 다른 수 체계가 생성됩니다. 예를 들어, ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}$ $몫$은 0과 같도록 정의할 수 있습니다. 무한대 $기호$∞ ${\displaystyle$infty}로 표시되는 무한대의 새 명시적 지점과 같도록 정의할 수도 있고, 부호가 있는 무한대를 초래하도록 정의할 수도 있습니다. 배당의 부호에 따라 양의 부호 또는 음의 부호를 갖는 이러한 수 체계에서 0으로 나누는 것은 더 이상 특별한 예외가 아니지만 무한대에 있는 점이나 점은 그들 자신의 새로운 유형의 예외적인 행동을 수반합니다.

컴퓨팅에서 오류는 0으로 나누려는 시도로 인해 발생할 수 있습니다. 컨텍스트와 관련된 숫자의 유형에 따라 0으로 나누면 양 또는 음의 무한대 또는 특수한 not-a-number 값이 출력되거나 ^[1]예외가 발생하거나 오류 메시지가 표시되거나 프로그램이 충돌하거나 매달릴 수 있습니다.

소산

나눗셈의 의미

분할 $N{\displaystyle /D}$ = ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle$ N$/D$=$Q}$는 여러 가지 방법으로 개념적으로 해석할 수 있습니다.

몫 나눗셈에서 배당금 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $N$$}$은 $크기{\displaystyle }$ D ${\displaystyle$ D$}($제수)의 부분들로 나누어질 것으로 가정되며$$, $몫{\displaystyle }$ Q ${\displaystyle Q}$는 결과적인 부분들의 수이다. 예를 들어, 10개의 빵 조각이 샌드위치로 만들어져야 한다고 상상해보세요. 각각 2개의 빵 조각이 필요합니다. 총 5개의 샌드위치를 만들 수 있습니다(${\displaystyle 102}$ = 5 ${\display$ style ${\tfrac {10}{2$}}=$5$}). 이제 샌드위치 하나당 빵 조각이 필요하지 않다고 생각해 보세요(아마도 양상추 랩일 것입니다). 빵은 관련이 없기 때문에 임의로 많은 샌드위치를 빵 10 조각으로 만들 수 있습니다.^[3]

나눗셈의 몫 개념은 반복적인 뺄셈으로 계산에 적합합니다. 나눗셈은 배당금이 바닥나기 전에 몇 번의 뺄셈을 할 수 있는지 세는 것을 의미합니다. 0을 뺀 유한한 수가 0이 아닌 배당금을 소진하지 않기 때문에, 이런 식으로 0으로 분할하는 것은 결코 종료되지 않습니다.^[4] 이러한 중단 가능한 분할 단위의 알고리즘은 일부 기계 계산기에 의해 물리적으로 나타납니다.^[5]

분할 분할에서는 $배당{\displaystyle }$ N ${\displaystyle$ N$}$을 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $D$$}$ 부분으로$$ 분할한다고 가정하고$$, $몫{\displaystyle }$ Q ${\displaystyle$ Q$}$는 각 부분의 결과 크기입니다. 예를 들어, 10개의 쿠키가 두 친구 사이에 나눠진다고 상상해보세요. 각 친구에게는 쿠키 5개(${\displaystyle 102}$ = 5 ${\displaystyle {\tfrac {10}{2$}}=$5})$가 제공됩니다. 이제 대신 10개의 쿠키가 0명의 친구들 사이에서 나눠질 것이라고 상상해 보세요. 각 친구는 몇 개의 쿠키를 받게 됩니까? 친구가 없으니 황당하기 짝이 없습니다.^[6]

다른 해석에서는 quotient $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$가 $비율{\displaystyle }$ N${\displaystyle :D.}$ ${\displaystyle N:D$를 나타냅니다$$$.$$}$예를$$^[7] 들어, 케이크 조리법은 ${\displaystyle \mathrm{밀가루}}$ 열 잔과 설탕 두 컵을 10${\displaystyle :2}$ ${\displaystyle 10:2}$ 또는$$ 비례적으로 $5{\displaystyle \mathrm{}:1}$의 비율로 요구할 수 있습니다$.$ ${\displaystyle 5:1$}.$}$이 조리법을 더 많거나 더 적은 양의 케이크로 확장하기 위해$$ 밀가루 1컵과 설탕 1/5컵, 또는 밀가루 50컵과 설탕 10컵과 같이 $5{\displaystyle \mathrm{}:1}$ ${\displaystyle 5:1}$에 비례하는 밀가루와 설탕의 비율을 유지할 수 있습니다$$.^[8] 이제 무설탕 케이크 조리법이 밀가루 열 컵과 설탕 제로 컵을 요구한다고 상상해 보세요. 비율 ${\displaystyle 10:0,}$ ${\displaystyle 10:0,}$ 또는$$ 비례 $1{\displaystyle \mathrm{}:0,}$ ${\displaystyle 1:0,}$은 완벽하게 합리적입니다.^[9] 즉, 케이크에 설탕이 없다는 것을 의미합니다. 하지만 "설탕 한 개당 밀가루는 몇 개입니까?"라는 질문은 여전히 의미 있는 수치적인 답이 없습니다.

비율에 따른 나눗셈 해석의 기하학적 형태는 데카르트 평면에서 직선의 기울기입니다.^[10] 기울기는 "상승"(수직좌표의 변화)을 "달리기"(수직좌표의 변화)로 나눈 값으로 정의됩니다. 대칭 비율 표기법을 사용하여 작성한 경우 수평선은 $기울기{\displaystyle \mathrm{}}$ 0${\displaystyle :1}$ ${\displaystyle 0:1}$이고 수직선은 $기울기{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle :\mathrm{0입니다.}}$ ${\displaystyle 1:0}.$$}$그러나 기울기를 단일 실수로 간주하면 수평선은 기울기 $0$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ $=$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {0}{1$}} $=$$0인$ 반면 수직선은 기울기가 정의되지 않습니다. 왜냐하면 실수 산술에서 quotient ${\displaystyle \frac{10}{}}$ ${\displaystyle {1}{0}}$이(가) 정의되지 않기 때문입니다. 원점을 지나는 선의$$ 실수 값 기울기 ${\displaystyle \frac{y}{}}$ $x{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$}{$x}}$는 그림에서 검은색 점선으로$$ 표시된 수평 좌표 $1{\displaystyle \mathrm{},}$ ${\displaystyle 1,}$에서 선과 수직 선 사이의 교차점의 수직 좌표입니다. 수직 빨간색 선과 점선 검은색 선은 평행하므로 평면에서 교차점이 없습니다. 때로는 무한대의 한 점에서 교차한다고 하며, 비율 $1{\displaystyle :0}$ ${\displaystyle 1:0}$은 새 $숫자$∞ ${\displaystyle$\infty}로 표시됩니다. 아래의 § 투영 확장 실선을 참조하십시오. 수직선은 때때로 "무한히 가파른" 경사를 가진다고 합니다.

곱셈의 역수

나눗셈은 곱셈의 역수로, 곱셈을 한 다음 0이 아닌 동일한 양으로 나누거나 그 반대의 경우 원래의 양을 그대로 유지하는 것을 의미합니다. 예를 들어 $({\displaystyle 5}$× ${\displaystyle 3)}$/ ${\displaystyle 3}$ =${\displaystyle (5\times 3)/$3 = {} $($${\displaystyle 5}$/ 3${\displaystyle )}$× ${\displaystyle 3}$ = 5 ${\displaystyle (5/3)\times$ 3=$5}$입니다$.$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{따라서}}{}}$ 63 =${\displaystyle }$? ${\displaystyle {\tfrac {6}{3$}}={?$}}$곱셈을 포함하는 등가 방정식으로 다시 쓰면 해결할 수 있습니다$.$ ?${\displaystyle }$× ${\displaystyle 3}$ $=$ ${\displaystyle 6,}$ ${\displaystyle {?$$}\times$ 3$=6,}$ 어디에$?$ ${\displaystyle {?$$}}$알 수 없는 동일한 양을 표시한 다음 문장이 참인 값을 찾습니다. 이 경우 알 수 없는 양은 $2{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2,}$이므로 $2{\displaystyle }$× ${\displaystyle 3}$ $=$ 6${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 2\times$ 3$=$$6,}$이므로 ${\displaystyle \frac{63}{}}$ $=$ ${\displaystyle \mathrm{2입니다.}}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3$}}$=$$2.$

${\displaystyle \frac{60}{}}$ =${\displaystyle ?,}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{0$}}={?}로 나누는 유사한 문제는$$?${\displaystyle }$× 0 = ${\displaystyle 6}$을 만족하는 알 수 없는 수량을 결정해야 합니다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle {?$$}\times 0=6.$$}$그러나$$ 0을 곱한 숫자는 6이 아니라 0이므로 이를 대체할 수 있는 숫자가 없습니다$.{\displaystyle }$ ${\$$}}$진실된 진술을 하기 위해$$.^[15]

문제가 ${\displaystyle \frac{0}{}}$ =${\displaystyle ?,}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0$}}={?}로 변경되면 동등 곱셈 문은$$?${\displaystyle }$× 0 = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {?$$}\times$ 0$=0};$이 경우 모든 값을 알 수 없는 수량으로 대체하여 참문을 생성할 수 있으므로 $0$으로 ${\displaystyle \frac{\mathrm{할당}}{}}$할 수 있는 단일 숫자는 없습니다.${\displaystyle {\tfrac$ {0$}{0}}}$

이러한 어려움 때문에 약수가 0인 몫은 전통적으로 정의되지 않은 것으로 간주되며, 0으로 나누는 것은 허용되지 않습니다.^[16][17]

페러시스

0으로 나누는 것을 허용하지 않는 강력한 이유는 그것을 허용하는 것이 실패로 이어진다는 것입니다.

숫자로 작업할 때 불법 나눗셈을 0으로 쉽게 식별할 수 있습니다. 예:

$0{\displaystyle }$× 1 = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0\times 1$=$0}$ 및 $0{\displaystyle }$× ${\displaystyle 2}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0\times 2$=$0}$에서 0${\displaystyle }$× ${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle 0}$× ${\displaystyle \mathrm{2가}}$ 됩니다${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle 0\times$ 1=$0\times$ 2$.}$ 양쪽에서 0을 제거하면 $1$ = 2 ${\displaystyle$1=$2}$의 false 문이 생성됩니다$.$

여기서의 오류는 다른 숫자와 마찬가지로 0을 취소하는 것이 정당하다는 가정에서 발생하지만, 사실 그렇게 하는 것은 0을 나누는 형태입니다.

대수학을 사용하면 나눗셈을 0으로^[18] 위장하여 유효하지 않은 증명을 얻을 수 있습니다. 예:^[19]

이것은 본질적으로 이전 수치 버전과 동일한 오류 계산이지만, 0을 x - 1로 썼기 때문에 0으로 나눈 것은 난독화되었습니다.

초기 시도

브라마굽타의 브라흐마스푸 ṭ 아시단타(598–668)는 0을 그 자체의 권리로 숫자로 취급하고 0을 포함하는 연산을 정의한 최초의 텍스트입니다. 브라마굽타에 의하면

0으로 나눌 때 양수 또는 음수는 0을 분모로 하는 분수입니다. 0을 음수 또는 양수로 나눈 값은 0이거나 0을 분자로 하고 유한한 양을 분모로 하는 분수로 표시됩니다. 0을 0으로 나눈 값은 0입니다.

830년, 마하브 ī라는 브라마굽타가 그의 책 가니타 사라 삼그라하에서 한 실수를 수정하려고 시도했지만 실패했습니다: "숫자는 0으로 나누어도 변하지 않습니다."

바카라 2세의 ī라바트 ī(12세기)는 0으로 나누면 무한한 양이 생긴다고 주장했습니다.

0으로 나눈 양은 분모가 0인 분수가 됩니다. 이 분수를 무한한 양이라고 합니다. 그 약수가 0인 것으로 구성된 이 수량에는 많은 수가 삽입되거나 추출될 수 있지만, 많은 수가 삽입되거나 추출될 수 있지만, 세계가 생성되거나 소멸될 때 무한하고 불변하는 하나님에서는 변화가 일어나지 않기 때문에, 수많은 존재의 질서가 흡수되거나 제시됩니다.

역사적으로, $\frac{0}{}$ ${\$에 값을 할당하는 것이 수학적으로 불가능하다는 최초의 기록된 언급 중 하나는$$ 1734년 The Analyst에서 무한소 미적분학에 대한 영국-아일랜드 철학자 George Berkeley의 비판에 포함되어 있습니다.^[21]

미적분학.

미적분학은 극한의 개념을 사용하여 함수의 동작을 연구하는데, 이 값은 함수의 출력이 어떤 특정한 값으로 가는 경향이 있습니다. 표기법 $\underset{}{lim}$ $\underset{}{x}$ → $c$ $\underset{}{}$( x$$) = L ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x$)=$L}$은(는) $c$에 충분히$$ 가까운 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$을(를) 선택하여$$ 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 값을 임의로 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L$$}$에 가깝게 만들$$ 수 있음을 의미합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ c$.}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$이 $c$로 가는$$ 경향이 있으므로 실제 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$의 극한이 경계 없이 증가하는$$ 경우$$함수는$$ $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ x$,}$에서 정의되지 않습니다. 대신 함수는 $\underset{}{lim}$ $\underset{}{}$ →$cf$( x) =$$∞,${\textstyle \lim$_{x\to c}f(x) =\infty,}로 표시되며, 그래프는 $x$= c {\$displaystyle$x=c} 선을 수직 점근선으로 $합니다$. $이러한$ 함수는 x = ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle$x=$c,}$ 및 이 경우 $무한$ 기호 ∞ ${\displaystyle$\infty }에 대해 공식적으로 정의되지 않지만 이러한 한계는 비공식적으로 "equal 무한대"라고 합니다. 함수의 값이 제한 없이 감소하면 $함수$는 "음의 무한대로 가는 경향",$$- ∞ . ${\displaystyle$-\infty"라고 합니다.$}$ In some cases a function tends to two different values when ${\displaystyle x}$ tends to ${\displaystyle c}$ from above (${\displaystyle x\to c^{+}}$) and below (${\displaystyle x\to c^{-}}$); such a function has two distinct one-sided limits.^[22]

무한 특이점의 기본적인 예는 $x$ ${\displaystyle x}$이 0 ${\$displaystyle x}이 0 {\$displaystyle 0}$이 될 때 양 또는 음의 무한대가 되는 역함수 $x)$=$1/x,}$입니다$.$

대부분의 경우 함수의 몫의 한계는 각각의 함수의 한계의 몫과 같으며,

그러나 별도의 한계가 모두 $0인{\displaystyle \mathrm{}}$두 함수를 분할하여 함수를 구성할 때는$$별도의 $한계$에서 결과의 한계를 결정할 수 없으므로 비공식적으로 ${\displaystyle \frac{0}{}}$으로 작성된 불확정 형식을 취한다고 합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.$$}$(또 다른 불확정 $형식인$$∞ ∞$, {\$displaystyle {\tfrac {\infty$}{\infty$}}$은(는) 둘 다 한계가 무한대인 경향이 있는 두 함수를 나눈 결과입니다.) 이러한 한계는 특정 함수에 따라 임의의 실제 값과 동일할 수도 있고, 무한대로 가는 경향이 있을 수도 있으며, 전혀 수렴하지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 인

분자 및 분모의 개별 한계는 0 ${\displaystyle 0}$이므로$$${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\$ 형식이 있지만$$먼저 지수를 단순화하면 한계가 있음을 알 수 있습니다.

대체수계

실선연장

아핀 확장 $실수$는 실수 R ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서 두 개의 새로운 $숫자$+ ∞ ${\displaystyle$+\infty${\displaystyle \mathrm{\}}}$와${\displaystyle }$-$$∞, ${\displaystyle$ -\infty,}를 각각 "양의 무한대"와 "음의 무한대"로 읽고 무한대의 점을 나타냅니다. $\pm$ ∞를 추가하면 ${\displaystyle \pm$\infty,} "무한대에서의 한계" 개념을 유한한 한계처럼 작동할 수 있습니다. 양수 및 음수 확장 실수를 모두 다룰 때는 일반적으로 $식{\displaystyle \mathrm{}}$ 1${\displaystyle /0\mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1$/0}$이(가) 정의되지 않은 상태로 유지됩니다. 그러나 음이 아닌 값만 고려되는 상황에서는 $1$ =${\displaystyle }$+ ∞ ${\displaystyle$ 1/0 =$+\backslash$infty}을(를) 정의하는 것이 편리한 경우가 많습니다.

사영적으로 확장된 실선

집합 $R$∪ {∞ }${\displaystyle \$mathbb {R$}$\cup \{\infty \}}는 사영적으로 확장된 실선으로, 실선을 한 점 압축한 것입니다. $여기서$∞ ${\displaystyle$\infty}는 부호가 없는 무한대 또는 무한대의 점, 양수도 음수도 아닌 무한대를 의미합니다. 이 수량은 $이러한$ 맥락에서 필요한$$∞ = ∞${\displaystyle$ -\$infty$ =\infty}를 만족합니다. 이 구조에서 0이 아닌 $a$에 대해 ${\displaystyle 0}$ =$$∞ {\$displaystyle {\frac$ {a}{0}}=\infty }을${\displaystyle \frac{\mathrm{(}}{}}$를) 정의할 수 있으며, $a$가 ∞$\{\backslash$$displaystyle${\$frac$ {a}{\$infty$}=0}일$$때 ∞ 0 ${\$displaystyle \infty}을(를) 정의할 수 있습니다. 삼각법의 접선 함수와 접선 함수의 범위를 보는 것은 자연스러운 방법입니다. x가 양 방향에서 + π/2 또는 - π/2에 접근할 때 tan(x)은 무한대에서 단일 지점에 접근합니다.

이 정의는 많은 흥미로운 결과로 이어집니다. 그러나 결과적인 대수적 구조는 장이 아니며 장처럼 행동할 것으로 예상되어서는 안 됩니다. $예$를 들어, ∞ + ∞ {\$displaystyle$\infty +\infty }은(는) 실선의 이 확장에서 정의되지 않습니다.

리만 구

복소수 분석의 주제는 복소수의 미적분 개념을 적용합니다. 이 항목에서 가장 중요한 것은 확장 복소수 $C$ ∪ {∞ },${\displaystyle$\mathbb {C$}$\cup \{\infty \}}, 그리고 일반적으로$$무한대 $기호$ ∞$${\displaystyle \infty}로 표시되고 무한대의 한 점을 나타내는 복소수 집합입니다. 모든 외부 도메인에 포함되도록 정의되어 있으며, 이러한 도메인을 토폴로지 이웃으로 만듭니다.

이것은 직관적으로 복소평면의 무한한 모서리를 감싸서 $단일$ 점 ∞에서 함께 고정하는 것으로 생각할 수 있습니다. ${\displaystyle$\infty,}는 한 점 압축으로, 확장된 복소수를 위상적으로 구와 동일하게 만듭니다. 이 등가성은 역 입체 사영을 통해 각 복소수를 구면 위의 한 점에 매핑함으로써 미터법적 등가성으로 확장될 수 있으며, 그 결과 구면 거리는 복소수 사이의 거리에 대한 새로운 정의로 적용되며, 일반적으로 구면의 기하학적 구조는 복소수 연산을 사용하여 연구될 수 있습니다. 그리고 반대로 복잡한 산술은 구면기하학의 관점에서 해석될 수 있습니다. 결과적으로, 확장 복소수의 집합은 종종 리만 구라고 불립니다. 집합은 일반적으로 $C{\displaystyle \stackrel{}{}}$ =$C$ ∪ {$$∞ } 등과 같이 별표, 과선, 틸트 또는 외접으로 장식된 복소수에 대한 $기호$로 표시됩니다. ${\displaystyle {\hat$ {\mathbb {C}} =$\$mathbb {C} $\$cup \{\infty \}.$}$

확장된 복소수에서 0이 아닌 임의의 복소수 $z$에 대해${\displaystyle$ z$,}$ 일반 복소수 연산은 $z$ 0 =$$∞${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {z}{0$}}=\$infty$${\displaystyle \frac{\mathrm{,\}}}{}}$ $z$ ∞ = 0, ${\displaystyle${\$ttrac$}{\${\displaystyle \mathrm{infty}}$$\}\}$=0,} ∞ + 0 = ∞, {\$displaystyle$\infty +0=\infty,$}$ ${\displaystyle \infty +z=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty \cdot z=\infty .}$ However, ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$, and ${\displaystyle 0\cdot \infty }$ are left undefined.

고등수학

초등 산술에서 정수(양의 정수)에 적용되는 4가지 기본 연산인 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 그들이 적용되는 수 영역의 확장을 지원하는 프레임워크로 사용됩니다. 예를 들어, 음의 정수를 포함하기 위해서는 정수 집합 전체로 정수의 영역을 확장해야 합니다. 마찬가지로 정수를 다른 정수로 나누려면 수의 영역이 유리수로 확장되어야 합니다. 이처럼 숫자 체계가 점진적으로 확장되는 동안, 이전 숫자에 적용될 때 "확장 작업"이 다른 결과를 내지 않도록 주의해야 합니다. 대략적으로 말하면, 0으로 나누는 것은 전체 숫자 설정에서 아무런 의미가 없기 때문에(정의되지 않음), 설정이 실제 숫자 또는 복소수로 확장됨에 따라 이는 사실로 유지됩니다.^[23]

이러한 작업을 적용할 수 있는 숫자의 영역이 확장됨에 따라 작업을 보는 방식에도 변화가 있습니다. 예를 들어 정수의 영역에서 뺄셈은 부호가 있는 숫자의 덧셈으로 대체될 수 있기 때문에 더 이상 기본 연산으로 간주되지 않습니다.^[24] 마찬가지로 수의 영역이 유리수를 포함하도록 확장되면 나눗셈은 특정 유리수에 의한 곱셈으로 대체됩니다. 이러한 관점의 변화에 발맞추어 "왜 우리는 0으로 나눌 수 없습니까?"라는 질문은 "왜 유리수는 0분모를 가질 수 없습니까?"가 됩니다. 이 수정된 질문에 정확하게 답하려면 유리수의 정의에 대한 면밀한 검토가 필요합니다.

실수의 장을 구성하는 현대적 접근법에서 유리수는 집합론에 기초한 발전의 중간 단계로 나타납니다. 먼저, 자연수(0 포함)는 페아노의 공리계와 같은 공리계를 기반으로 설정된 다음 이를 정수의 고리로 확장합니다. 다음 단계는 이미 확립된 집합과 연산, 즉 덧셈, 곱셈과 정수를 사용하여 수행해야 한다는 점을 염두에 두고 유리수를 정의하는 것입니다. b ≠이 0인 정수의 순서 쌍 집합 {(a, b)}부터 시작하여 ad = bc인 경우에만 (a, b) ≃ (c, d)로 이 집합에 대한 이진 관계를 정의합니다. 이 관계는 등가 관계로 표시되며 등가 클래스는 유리수로 정의됩니다. 이 관계가 동등성 관계라는 공식적인 증거에서 두 번째 좌표가 0이 아니라는 요구 사항이 필요합니다(투과성을 검증하기 위해).^[25][26][27]

실수와 정수로 0으로 나누는 것은 감각적으로 정의할 수 없지만, 다른 수학적 구조에서 일관되게 정의하거나 이와 유사한 연산을 정의할 수 있습니다.

비표준분석

초실수에서 0으로 나누는 것은 여전히 불가능하지만 0이 아닌 무한소로 나누는 것은 가능합니다.^[28] 초현실적인 숫자도 마찬가지입니다.^[29]

분배이론

분포 이론에서는 함수 1 $\frac{x}{}$ ${\$를 실수 전체 공간에 대한 분포로$$ 확장할 수 있습니다(사실상 코시 주값을 사용함). 그러나 x = 0에서 이 분포의 "값"을 묻는 것은 의미가 없습니다. 정교한 답변은 분포의 단일 지원을 의미합니다.

선형대수

행렬 대수학에서 정사각형 또는 직사각형 블록은 마치 그 자체가 숫자인 것처럼 조작됩니다. 행렬은 덧셈과 곱셈이 가능하고, 경우에 따라 나눗셈의 버전도 존재합니다. 행렬로 나눈다는 것은 더 정확하게는 그 역수를 곱하는 것을 의미합니다. 모든 행렬에 역행렬이 있는 것은 아닙니다.^[30] 예를 들어, 0만 포함된 행렬은 가역이 아닙니다.

a/b = ab를 설정하여 의사 나눗셈을 정의할 수 있으며, 여기서 b는 b의 의사 역을 나타냅니다. b가 존재하면 b = b임을 증명할 수 있습니다. b가 0이면 b = 0입니다.

추상대수

추상대수학에서 정수, 유리수, 실수, 복소수는 더 일반적인 대수 구조로 추상화될 수 있는데, 이는 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 더 익숙한 수 체계에서 하는 것처럼 행동하는 수학적 구조인 교환환과 같은 것입니다. 하지만 분할은 정의되지 않을 수 있습니다. 곱셈 역수를 가환환에 붙이는 것을 국소화(localization)라고 합니다. 그러나 0에서 모든 교환 링의 위치는 $0$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$0 = $1$ 인 사소한 링이므로 사소하지 않은 교환 링은 0에서 반전이 없으므로 사소하지 않은 교환 링에 대해 0으로 나누는 것이 정의되지 않습니다.

그럼에도 불구하고 교환환을 형성하는 모든 수 체계는 항상 0으로 나누는 것이 가능한 바퀴라는 구조로 확장될 수 있습니다. 그러나 곱셈이 더 이상 덧셈보다 분배되지 않기 때문에 결과적인 수학적 구조는 더 이상 교환 고리가 아닙니다. 또한 휠에서 요소를 자체적으로 분할하면 더 이상 곱셈 동일성 $요소{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$이 발생하지 않으며$,$ 원래 시스템이 적분 도메인이었던 경우 휠의 곱셈은 더 이상 상쇄 반그룹이 발생하지 않습니다.

표준 산술에 적용되는 개념은 고리와 필드와 같은 보다 일반적인 대수 구조의 개념과 유사합니다. 필드에서 0이 아닌 모든 요소는 곱셈 하에서 되돌릴 수 있습니다. 위와 같이 나눗셈은 0으로 나눗셈을 시도할 때만 문제가 발생합니다. 이는 스큐 필드(이 때문에 분할 링이라고 함)에서도 마찬가지입니다. 그러나 다른 링에서는 0이 아닌 원소로 나누는 것도 문제가 될 수 있습니다. 예를 들어, 정수 모드 6의 링 Z/6Z. 식 $\frac{22}{}$ ${\textstyle {\frac {2}{2}}$의 의미는 $방정식$ 2 ${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2x$=$2}$의 해 x여야 합니다$.$ 그러나 Z/6Z 고리에서 2는 0 약수입니다. 이 방정식에는 x = 1과 x = 4라는 두 개의 다른 해가 있으므로 $\frac{22}{}$ ${\textstyle {\frac {2}{2}}$라는 표현식이 정의되지 않습니다.

필드 이론에서 $\frac{\mathrm{표현식}}{}$ a b ${\$는 형식식 ab에⁻¹ 대한 축약어일 뿐이며, 여기서 b는⁻¹ b의 곱셈 역입니다. 필드 공리는 0이 아닌 원소에 대해서만 이러한 역수의 존재를 보장하기 때문에 b가 0일 때 이 표현은 의미가 없습니다. 필드를 특수한 유형의 링으로 정의하는 현대 텍스트에는 필드(또는 그 동등한 것)에 대한 공리 0 ≠ 1이 포함되어 있어 제로 링이 필드에서 제외됩니다. 제로 링에서는 0으로 나누는 것이 가능한데, 이는 다른 필드 공리가 필드에서 0으로 나누는 것을 배제하기에 충분하지 않다는 것을 보여줍니다.

컴퓨터 연산

부동소수점 연산

컴퓨팅에서 대부분의 수치 계산은 1980년대부터 IEEE 754 규격에 의해 표준화된 부동 소수점 산술로 수행됩니다. IEEE 부동 소수점 산술에서 숫자는 부호(양 또는 음), 고정밀 부호 및 정수 지수를 사용하여 표시됩니다. 지수가 너무 커서 표현할 수 없는 숫자는 양 또는 음의 무한대(+∞ 또는 -∞)로 "과류"되는 반면, 지수가 너무 작아서 표현할 수 없는 숫자는 양 또는 음의 0(+0 또는 -0)으로 "과류"됩니다. NaN(숫자가 아닌) 값은 정의되지 않은 결과를 나타냅니다.

IEEE 산술에서 0/0 또는 ∞/∞의 나눗셈은 NaN을 생성하지만, 그렇지 않으면 나눗셈은 항상 잘 정의된 결과를 생성합니다. 0이 아닌 숫자를 양의 0(+0)으로 나누면 배당금과 같은 부호가 무한대가 됩니다. 0이 아닌 숫자를 음수(-0)로 나누면 배당금과 반대 부호가 무한대가 됩니다. 이 정의는 산술 언더플로우의 경우 결과의 부호를 보존합니다.^[31]

예를 들어, 단일 정밀 IEEE 산술을 사용하면 x = -2인 경우 x/2가 -0으로 언더플로우되고 이 결과로 1을 나누면 1/(x/2) = -∞가 생성됩니다. 정확한 결과 -2는¹⁵⁰ 단일 정밀도의 숫자로 표현하기에는 너무 크므로 대신 같은 부호의 무한대가 오버플로우를 나타내는 데 사용됩니다.

정수 산술

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0으로 나눈 정수는 결과에 대한 정수 표현이 없기 때문에 일반적으로 부동 소수점과 다르게 처리됩니다. CPU는 동작이 다릅니다. 예를 들어 x86 프로세서는 하드웨어 예외를 트리거하는 반면 PowerPC 프로세서는 조용히 분할에 대해 잘못된 결과를 생성하고 계속합니다. 플랫폼 간의 이러한 불일치 때문에 C와 C++ 프로그래밍 언어는 정의되지 않은 동작을 0으로 나눈 결과를 고려합니다.^[32] 에이다, 파이썬,^[33] 자바와 같은 일반적인 상위 프로그래밍 언어에서는 프로그램의 다른 부분에서 처리할 수 있는 0으로 분할 시도에 대한 예외가 제기됩니다. Zig에서 0으로 나누려고 하면 프로그램이 충돌합니다.^[34] 컴퓨터 프로그램은 종종 정수 분할 전에 조건부(if–then–else)를 사용하여 분모가 0인지 확인합니다.

상징적인 수학 언어인 Maple과 SageMath는 1/0에 대한 오류 메시지를 반환하고 Microsoft Math Solver와 Mathatica는 반환합니다. ComplexInfinity.

대부분의 계산기는 오류를 반환하거나 1/0이 정의되지 않음을 명시하지만 일부 계산기는 특별한 경우 0으로 나누는 것을 허용합니다. 일부 Texas Instruments 및 Hewlett-Packard 그래프 계산기는 (1/0)부터 ∞까지 평가합니다.

인프루프 어시스턴트

Coq 및 Lean과 같은 많은 증명 보조자는 1/0 = 0을 정의합니다. 이는 모든 기능이 전체적이어야 한다는 요구 사항 때문입니다. 추가 조작(예: 제거 취소 등)을 수행하려면 여전히 약수가 0이 아니어야 하기 때문에 이러한 정의는 모순을 만들지 않습니다.^[35][36]

역사적 사고

• 1997년 9월 21일, USS 요크타운(CG-48)에 탑승한 "리모트 데이터베이스 매니저"에서 오류가 0으로 분할되어 네트워크의 모든 기계가 다운되어 선박의 추진 시스템이 고장났습니다.^[37][38]

참고 항목

• 영약수
• 0에서 0의 거듭제곱

메모들

원천

• Bunch, Bryan (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes, New York: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5 (1997년 재인쇄 연기)
• Cheng, Eugenia (2023), Is Math(s) Real? How Simple Questions Lead Us to Mathematics' Deepest Truths, Basic Books, ISBN 978-1-541-60182-6
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint / Arithmetic, Algebra, Analysis, translated by Hedrick, E. R.; Noble, C. A. (3rd ed.), Dover
• Hamilton, A. G. (1982), Numbers, Sets, and Axioms, Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
• Henkin, Leon; Smith, Norman; Varineau, Verne J.; Walsh, Michael J. (2012), Retracing Elementary Mathematics, Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
• Schumacher, Carol (1996), Chapter Zero : Fundamental Notions of Abstract Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
• Zazkis, Rina; Liljedahl, Peter (2009), "Stories that explain", Teaching Mathematics as Storytelling, Sense Publishers, pp. 51–65, doi:10.1163/9789087907358_008, ISBN 978-90-8790-734-1

추가읽기

• Northrop, Eugene P. (1944), Riddles in Mathematics: A Book of Paradoxes, New York: D. Van Nostrand, Ch. 5 "Thou Shalt Not Divide By Zero", pp. 77–96
• Seife, Charles (2000), Zero: The Biography of a Dangerous Idea, New York: Penguin, ISBN 0-14-029647-6
• Suppes, Patrick (1957), Introduction to Logic, Princeton: D. Van Nostrand, §8.5 "The Problem of Division by Zero" and §8.7 "Five Approaches to Division by Zero" (도버 재인쇄, 1999)
• Tarski, Alfred (1941), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Oxford University Press, §53 "Definitions whose definiendum contains the identity sign"