비표준 미적분학

수학에서 비표준 미적분은 비표준 분석의 의미에서 미적분학을 극미수에 현대적으로 적용하는 것이다. 그것은 이전에 단순히 휴리스틱한 것으로 여겨졌던 미적분학의 일부 주장에 대해 엄격한 정당성을 제공한다.

칼 위어스트라스가 1870년대부터 시작되는 한계치의 (,, Δ)-definitals로 대체하기 전에 인피니티멀을 이용한 비강성 계산이 널리 사용되었다.(미적분학의 역사 참조) 그 후 거의 100년 동안, 리처드 쿠란트와 같은 수학자들은 인피니티즘을 순진하고 모호하거나 무의미하다고 보았다.^[1]

그러한 견해와는 반대로, 아브라함 로빈슨은 1960년 에드윈 휴이트와 예지 브워프의 작품을 바탕으로 한, 인피니티멀은 정확하고 명확하며 의미 있다는 것을 보여주었다. 하워드 키슬러에 따르면 로빈슨은 인피니티멀을 정밀하게 치료해 300년 된 문제를 해결했다. 로빈슨의 업적은 아마도 20세기의 주요한 수학 진보의 하나로 기록될 것이다."^[2]

역사

비표준 미적분학의 역사는 미적분학에서 무한히 적은 양의 사용으로 시작되었다. 인피니티멀의 사용은 고트프리드 라이프니즈와 아이작 뉴턴이 1660년대부터 독자적으로 개발한 미적분의 기초에서 찾을 수 있다. 존 월리스는 면적 계산에서$$ $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}}$³$${\$displaystyle {\tfrac{1}{\inflt }}$을(를) 나타내는 극소량의 양을 이용하여 카발리에리 등의 초기 불분명한 기법을 정제하여 적분 미적분을 위한 기반을 마련하였다.^[3] 그들은 피에르 드 페르마, 이삭 바로우, 르네 데카르트 같은 수학자들의 작품을 그렸다.

초기 미적분학에서는 미쉘 롤과 버클리 비숍이 그의 저서 <분석가>에서 극소량의 사용을 비판하였다.

마클라우린과 달렘베르트를 포함한 몇몇 수학자들은 제한의 사용을 주장했다. 아우구스틴 루이 코치는 다양성 스펙트럼의 기초적 접근법을 개발했는데, 여기에는 infiniteimals 측면에서의 연속성의 정의와 차별화 작업 시 Δ, Δ 논거의 (어떤 부정확한) 원형이 포함된다. Karl Weierstrass는 infinitesimals가 없는 (실제) 숫자 시스템의 맥락에서 제한의 개념을 공식화했다. 위어스트라스의 작업에 따라, 결국 미적분학을 infinitesimals 대신 δ, Δ의 논거에 근거하는 것이 일반화되었다.

위어스트라스에 의해 공식화된 이 접근법은 표준 미적분학으로 알려지게 되었다. 미적분학에 대한 최소한의 접근은 입문 교육학 도구로서가 아닌 다른 용도로 전락한 수년간의 미적분학적 접근 끝에, 1960년대에 마침내 아브라함 로빈슨에 의해 엄격한 토대가 마련되었다. 로빈슨의 접근방식은 한계의 표준적 사용과 구별하기 위해 비표준적 분석이라고 불린다. 이 접근방식은 수학 논리로부터 나온 기술기계를 사용하여 통상적인 미적분학의 규칙의 라이프니츠와 같은 개발을 허용하는 방식으로 인피니티즘을 해석하는 초실수 이론을 만들었다. 에드워드 넬슨에 의해 개발된 대안적 접근법은 일반적인 실제 라인 그 자체에서 인피니티멀을 발견하며, 새로운 단항 술어 "표준"의 도입을 통해 ZFC를 확장함으로써 근본적 설정을 수정하는 것을 포함한다.

동기

x에서 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle f(}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ y$=f(x)=x^{2$}}$$함수의$$ $파생상품{\displaystyle {}^{}}$ f ${\displaystyle {\prime }^{}}${\$displaystyle f'}$을(를) 계산하려면 두 접근법이 모두 대수학적 조작에 동의한다.

${\displaystyle {\fraca y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{{\Delta x}}={\fract {2x\Delta x)(\Delta x)^{2}}:{\delta x=2x\x\x\xx}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$이(가) 최소값으로 해석되고 기호 " "${\displaystyle$ \ \ \$probably$ $\}"$이 "무한하게 가까운 관계"인 경우 하이퍼레알을 사용하여 파생상품을 계산하는 것이 된다.

f '를 실제값 함수로 만들기 위해 최종 용어 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$을(를) 분사한다$$. $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$이(가) 0이 되는 경향이$$ 있으므로, 실제 숫자만을 사용하는 표준 접근법에서는 한도를 취함으로써 수행된다. 초현실적 접근법에서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ 양은 최소값으로$$ 간주되며, 0이 아닌 실제보다 0에 가까운 0에 가깝다. 그 때 위에 표시된 조작은 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ y /${\displaystyle \Delta }$ x ${\displaystyle \Delta y/\Delta$ x$}$이(가) 무한히 2배 가까이 되기 때문에 f at x의 파생상품은 2배 이상임을 보여준다.

"오류 용어"는 표준 부품 함수를 적용하여 폐기한다. 일부 작가들, 특히 조지 버클리 등 일부 작가들은 역사적으로 극소수의 오류 용어를 사용하는 것을 역설적으로 여겼다.

일단 초현실적 수 체계(최소 적혈구 연속체)가 갖춰지면 기초 수준에서 기술적 난관의 상당 부분을 성공적으로 통합했다. 따라서, 일부 사람들이 분석의 본질이라고 믿는 엡실론, 델타 기법은 기초적인 수준에서 한번 그리고 모두를 위해 구현될 수 있으며, 학생들은 최근의 연구를 인용하기 위해 "미분수 미적분학을 가르친다는 핑계로 복수 정량 논리 묘기를 하도록 옷을 입을 필요가 없다.^[4] 구체적으로는 연속성, 파생성, 적분성 등의 미적분학의 기본 개념은 엡실론, 델타(delta)를 참조하지 않고 infiniteimal을 사용하여 정의할 수 있다(다음 섹션 참조).

키슬러의 교과서

키슬러의 초급 미적분학: Infinitesimal 접근법은 엡실론, 델타 방법의 배제에 대한 infinitesimal의 관점에서 125페이지의 연속성을 정의한다. 파생상품은 45페이지에 엡실론-델타 접근법이 아닌 infinitesimal을 사용하여 정의된다. 적분은 183페이지에 infinitesimals로 정의되어 있다. 엡실론, 델타 정의는 282페이지에 소개되어 있다.

파생상품의 정의

하이퍼레알은 수학의 다른 곳에서 사용되는 세트 이론의 표준 공리화인 제르멜로-프라엔켈 세트 이론의 틀에서 구성될 수 있다. 초현실적 접근법에 대한 직관적인 아이디어를 제공하기 위해, 순진하게 말하면, 비표준 분석은 무한히 작은 양의 숫자 ε의 존재를 가정한다는 점에 주목한다. 즉, ε은 어떤 표준의 양의 실제보다 작지만 0보다 크다는 것을 의미한다. 모든 실제 숫자 x는 그것과 무한히 가까운 초현실 숫자의 극소수의 "클라우드"에 둘러싸여 있다. 이 접근법에서 f의 파생상품을 표준 실수 x로 정의하기 위해서는 표준 미적분학에서와 같이 더 이상 무한제한 과정이 필요하지 않다. 대신 하나가 설정된다.

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st}\left \frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*(x){\barepsilon }}}{\varepsilon }오른쪽),}$

여기서 st는 st의 초현실적 인수에 무한히 가까운 실수를 산출하는 표준 부품 함수로서, $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$는 hyperreals에 대한$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 자연적인 확장이다$$.

연속성

모든 초현실적 x'가 x에 무한히 가까운 경우 f(x' ) 값도 f(x)에 무한히 근접하면 실제 함수 f는 표준 실수 x로 연속된다. 이것은 1821년 교과서인 Cours d'Analyse, 페이지 34에 제시된 Cauchy의 연속성에 대한 정의를 포착한다.

여기서 정확히 말하면 f는 일반적으로 f로^* 표시된 자연적 초현실적 확장으로 대체되어야 할 것이다(비표준 분석 시 주요 논문의 전송 원리에 대한 논의 참조).

위와 같이 무한히 가까운 관계에 대해서는$$ 표기법 $\approx {\displaystyle }$ ${\displaystyle$\$$약$}$을(를) 사용하여 다음과 같이 임의(표준 또는 비표준) 포인트까지 정의를 확장할 수 있다.

$함수{\displaystyle {}^{}}$ f는 x ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle x}$ x {$$x {\$displaystyle$ x$'\$약$x$ $가{\displaystyle {}^{}}$ 있을 ${\displaystyle {}^{}}$마다${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle \ast {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}x}$) $display$ f $style$ ( x ) {\displaysty f$^{*(x')\$ 약 $f^{*}}(x)$가 있는 경우 x에서 마이크로연속적이다.

여기서 x' 지점은 f의 영역으로 가정한다.

위의 내용은 표준 초등 미적분학에서 익숙한 ( familiar, Δ) 정의보다 적은 정량자를 필요로 한다.

f는 매 continuous > 0에 대해 연속적인 경우, 모든 x'에 대해 Δ > 0이 존재하며, x - x' < Δ가 있을 때마다 f(x) - f(x') < ε이 있다.

균일 연속성

함수 f in I*의 자연적 확장 f*가 다음과 같은 특성을 갖는 경우, 함수 f는 균일하게 연속된다(Keisler, Infinitesimal 미적분의 기초('07), 페이지 45 참조).

I*의 모든 하이퍼릴 x와 y 쌍에 대해 x${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle$ x\$$약$y}$인 경우$$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ (${\displaystyle {}^{}y}$) ${\displaystyle f^{*(x)\$ 약 f$^{*}(y$ .

앞의 절에서 정의한 미세연속성의 관점에서, 이것은 다음과 같이 명시될 수 있다: 실제 함수의 자연적 확장 f*가 f* 영역 모든 지점에서 마이크로연속성이라면 실제 함수는 균일하게 연속적이다.

이 정의는 표준(ε, Δ)-definition과 비교할 때 정량자의 복잡성이 감소한다. 즉, 균일한 연속성의 엡실론-델타 정의는 4개의 정량자를 필요로 하는 반면, 최소의 정의는 2개의 정량자만을 필요로 한다. 표준 미적분학의 시퀀스 측면에서 동일한 연속성의 정의와 동일한 정량자 복잡성을 가지지만, 실수의 1차 언어에서는 표현할 수 없다.

초현실적 정의는 다음의 세 가지 예를 통해 설명할 수 있다.

예 1: 함수 f는 반개방 간격(0,1)에서 균일하게 연속적이며, 만약 그리고 만약 함수 f*의 자연적 확장 f*가 모든 양의 극소수에서 (위의 공식의 의미에서는) 미량 연속성이라면, 구간의 표준 지점에서 연속성이 추가된다.

예 2: 함수 f는 해당 구간의 표준 지점에서 연속되는 경우에만 세미 오픈 간격[0,620]에 균일하게 연속되며, 또한 자연 확장 f*는 모든 양의 무한 초현실 지점에서 마이크로 연속된다.

예제 3: 마찬가지로, 제곱 함수에 대한 균일한 연속성의 고장

${\displaystyle x^{2}}$

단일 무한 초현실 지점에 미세연속성이 없기 때문이다(아래 참조).

계량기 복잡성에 대해 케빈 휴스턴은 다음과 같은 발언을 했다.^[5]

수학적 문장의 정량자 수는 문장의 복잡성을 대략적으로 측정한다. 세 개 이상의 정량자를 포함하는 진술은 이해하기 어려울 수 있다. 정량자가 많아 분석에서 한계, 수렴, 연속성, 차별성에 대한 엄밀한 정의를 이해하기 어려운 주된 이유다. 실제로 복잡성을 일으키는 것은$$ ∀${\displaystyle \forall }$과$({\displaystyle \mathrm{}}$와)$display$ {\displaystyle \$exists }$이(가) 번갈아 나타나는 것이다.

안드레아스 블래스는 다음과 같이 썼다.

종종... 개념의 비표준적 정의는 표준 정의보다 간단하다(정량자의 낮은 유형 또는 적은 교대형보다 정량자보다 직관적으로 단순하고 기술적 의미에서는 단순하다).^[6]

콤팩트

A 집합은 자연 확장 A*가 다음과 같은 특성을 갖는 경우에만 압축된다: A*의 모든 점은 A의 점에 무한히 가깝다. 따라서 개방 간격(0,1)은 자연적 확장에 어떤 양의 실수에 무한히 가깝지 않은 양의 인피니티멀을 포함하기 때문에 좁지 않다.

하이네-칸토르 정리

콤팩트한 간격의 연속함수 I이 반드시 균일하게 연속된다는 사실(하이네-칸토르 정리)은 간결한 초현실적인 증거를 인정한다. 내 자연 확장 I*에서 x, y는 초회전이 되게 하라. 나는 콤팩트하기 때문에 st(x)와 st(y)가 모두 I에 속한다. x와 y가 무한히 가까웠다면, 삼각형 불평등에 의해, 그들은 같은 표준 부분을 가지게 될 것이다.

${\displaystyle c=\displayname {st}(x)=\displayname {st}(y).}$

함수는 c에서 연속적으로 가정되므로,

${\displaystyle f(x)\c(traft f(y)\traft f(y)}$

따라서 f(x)와 f(y)는 무한히 가까워 f의 균일한 연속성을 증명한다.

제곱 기능이 균일하게 연속되지 않는 이유는?

렛트 f(x) = R$${\$displaystyle \mathb {R}}$에² x가 정의됨$.$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $∗$ {\$displaystyle N\in \mathb {R} ^*}}}$은(는) 무한 초현실적이 되도록$$ 한다. 초실수 $N{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{N}{}}$ ${\$은(는) N에 무한히 가깝다$$. 한편 그 차이는

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{{N}})-f(N)=N^{2}+{{N^{1}{{N^{2}}-N^{2}=2+{\tfrac{1}{N^{N^2}}:}}}}}}}$

극소수가 아니다. 따라서 f*는 초현실 지점 N에서 마이크로 연속성이 없다. 따라서 위의 균일한 연속성의 정의에 따라 제곱 함수는 균일하게 연속되지 않는다.

유사한 증거가 표준 설정에서 제시될 수 있다(Fitzpatrick 2006, 사례 3.15).

예: 디리클레 함수

디리클레 함수 고려

${\displaystyle I_{Q}(x):={\cHB{case}1&{\text}{}x{\text}{}}}}x{\text}{}}}}이(가) 합리적이라면\0&{\text{}}}.\end{case}}}$

연속성의 표준 정의에 따르면, 그 기능은 모든 점에서 불연속적이라는 것은 잘 알려져 있다. 위와 같은 연속성의 초현실적 정의 측면에서 이것을 확인해보자, 예를 들어 디리클레 함수가 π에서 연속적이지 않다는 것을 보여주자. π의 지속 분수_n 근사치를 고려한다. 이제 지수 n을 무한 초자연적인 숫자로 만들어 보자. 전송 원리에 의해 디리클레 함수의 자연적 확장은 a에서_n 값 1을 취한다. 초합성 지점 a는_n π에 무한히 가깝다는 점에 유의한다. 따라서 디리클레 함수의 자연적 확장은 이 두 무한히 가까운 지점에서 다른 값(0과 1)을 취하며, 따라서 디리클레 함수는 π에서 연속되지 않는다.

한계

로빈슨의 접근방식의 추력은 복수의 정량자를 사용해 접근방식을 생략할 수 있다는 것이지만, 한계라는 개념은 표준 부품 함수 st, 다시 말해, 쉽게 탈환할 수 있다.

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

x - a의 차이가 최소인 경우에만 f(x) - L의 차이가 최소인 경우 또는 공식에서도 최소인 경우:

st(x) = a, st(f(x) = L이면,

cf. (ε, Δ)-한계의 정의.

시퀀스 제한

실제 번호${\displaystyle }${${\displaystyle {xn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}n}$ ${\displaystyle \in N\mathbb{}\}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\mid n\in$\mathb${N}}}}}$의 순서가 주어진 경우$,$ ${\displaystyle L\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$ $L$이 순서의 한계인 경우

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infit }x_{n}}$

모든 무한 초자연 n, st(x_n)=L(여기서 확장 원리는 모든 하이퍼인테거 n에 대해_n x를 정의하는 데 사용된다).

이 정의에는 정량자 교대가 없다. 반면에 표준( (, Δ) 스타일의 정의에는 다음과 같은 정량자 교체가 있다.

${\displaystyle L=\lim _{n\ft \x_{n}\Long좌우타로우 \for \varepsilon_0\;\exists N\mathb {N}\;,\n\in \mathb {N}N} :N\rigarrow x_{n}-L <\veslpsilon}.$

극값정리

[0,1]의 실제 연속 함수 f에 최대값이 있음을 나타내려면 N을 무한 하이퍼인테거로 한다. [0, 1] 간격은 자연적으로 초현실적으로 확장된다. f함수도 0과 1 사이의 초회전으로 자연스럽게 확장된다. 초현실 간격[0,1]의 파티션을 동일한 최소 길이 1/N의 N 하위 파티션으로, 파티션_i 포인트 x = i/N은 0에서 N까지의 "실행"으로 간주한다. 표준 설정(N이 유한한 경우)에서 f의 최대값을 갖는 점은 유도에 의해 항상 N+1 지점_i x 중에서 선택할 수 있다. 따라서 전송원리에 의해 모든 i = 0, …, N에 대해$$ 0 ≤ i ≤ ${\displaystyle \mathrm{N₀}}$ $및{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle {{xi\mathrm{}}_{}}_{}}$ 0${\displaystyle {{}_{}}_{}}$) ${\displaystyle \ge }$ f${\displaystyle {}_{}}$($xi_{0$}) ${\displaystyle f(x_{0})\geq$ f$(x_{i}}}}}}}}$과 같은 하이퍼핀테이터 i가₀ 있다(대안은 모든 하이퍼핀테가 최대값을 인정한다는 것이다). 실제 요점을 고려하라.

${\displaystyle c={\rm {st}(x_{i_{0})}$

여기서 st는 표준 부품 기능이다. An arbitrary real point x lies in a suitable sub-interval of the partition, namely ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$, so that st(x_i) = x. Applying st to the inequality ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$, ${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{t}(f(x_{i_0}))\ge \mathrm{s}\mathrm{t}(f(}$${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle {\rm {st}($f($x_{i_${0$})\geq {\rm$ {$st}(f(x_{i$ f의 연속성에 따라,

${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{i\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {0{}_{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle t}$( x ${\displaystyle {{i\mathrm{}}_{}}_{}}$ 0${\displaystyle {{}_{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( c${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\rm{st$}}($f_{0})=f}}\rm {st}(x_{0})=f(c$

따라서 모든 x에 대해 f(c) x f(x)는 c가 실제 함수 f의 최대치임을 증명한다. Keisler(1986, 페이지 164) harvtxt 오류: 대상 없음: CITREFKeisler1986(도움말)을 참조하십시오.

중간값 정리

로빈슨 접근의 힘을 보여주는 또 다른 예로서, 인피니티시멀을 이용한 중간값 정리(볼자노의 정리)에 대한 짧은 증거는 다음과 같다.

f(b)가 f(a)<0, f(b)>0과 같은 [a,b]의 연속 함수가 되도록 한다. 그리고 [a,b]에는 f(c)=0과 같은 점 c가 존재한다.

증빙은 다음과 같이 진행된다. N을 무한한 초점자가 되게 하라. [a,b]의 파티션을 동일한 길이의 N 간격으로 분할점 x를_i 0에서 N까지 실행하는 것으로 간주한다. f(x_i)>0과 같은 지수의 집합 I을 고려한다. I의₀ 최소 요소(이러한 요소는 내가 하이퍼피나이트 집합인 것처럼 전송 원리에 의해 존재한다)가 되도록 하라. 그러면 진짜 번호.

원하는 f의 0이다. 그러한 증거는 IVT 표준 증명의 정량화 복잡성을 감소시킨다.

기본 정리

f가 간격[a, b]에 정의된 실제 가치 함수라면, *f로 표시된 f에 적용된 전송 연산자는 초현실 간격[*a, *b]에 정의된 내부, 초현실 가치 함수다.

정리: f는 간격 [a, b]에 정의된 실제 값 함수가 되도록 한다. 그러면 f는 0이 아닌 모든 최소 h에 대해 값이 < x < b>일 경우에만 차이가 난다.

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\fracname {st} {\frac {\}\*}\!f(x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}}}$

h와는 독립적이다. 이 경우 공통가치는 f at x의 파생상품이다.

이 사실은 비표준 분석과 과소비의 이전 원칙에서 따온 것이다.

최소 h의 기호가 적절히 제한될 경우, 유사한 결과가 엔드포인트 a, b에서 구별성을 유지한다는 점에 유의하십시오.

두 번째 정리를 위해, 리만 적분은 리만 합계의 지시된 계열의 한계로 정의된다. 이것들은 형태의 합이다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})$

어디에

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.}$

그러한 일련의 값을 칸막이 또는 메쉬라고 하며

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

망사 폭 리만 적분(Riemann integrity)의 정의에서 리만 합의 한계는 메쉬의 폭이 0으로 가므로 취한다.

정리: f는 간격 [a, b]에 정의된 실제 값 함수가 되도록 한다. 그 다음 f는 최소 폭의 모든 내부 망사에 대해 수량인 경우에만 [a, b]에 Riemann 통합할 수 있다.

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

메쉬와는 독립적이다. 이 경우 공통 값은 [a, b]에 대한 f의 리만 적분이다.

적용들

하나의 즉각적인 적용은 초실수의 간격에 따라 분화와 통합의 표준 정의를 내부 기능으로 확장하는 것이다.

[a, b]의 내부 초현실 값 함수 f는 x에서 S-구분이 가능하다. 단,

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

존재하며 극소수의 h로부터 독립적이다. 값은 x에서 S 파생상품이다.

정리: f는 [a, b]의 모든 지점에서 S-차별이 가능하다고 가정하고, 여기서 b - a는 경계 초현실이다. 더 나아가서 이라고 가정하자.

$\\displaystyle f'(x) \leq M\quad a\leq x\leq b.}$

그렇다면 일부 극소수의 ε은 다음과 같다.

$\displaystyle f(b)-f(a) \leq M(b-a)+\epsilon .}$

이를 증명하기 위해 N을 비표준 자연수가 되게 한다. 간격 [a, b]을 N - 1과 동일하게 간격을 두고 중간점을 배치하여 N 하위절차로 나누십시오.

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

그러면

${\displaystyle f(b)-f(a) \leq \sum _{k=1}^{N-1} f(x_{k+1})-f(x_{k}) \leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{ f'(x_{k}) +\epsilon _{k}\right\} x_{k+1}-x_{k} .}$

이제 어떤 내부적인 인피니티멀의 집합의 최대치는 극소수다. 따라서 모든 ε은_k 극소수의 ε이 지배하고 있다. 그러므로

${\displaystyle f(b)-f(a) \leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(b-a)+\엡실론(b-a)}$

그 결과가 뒤따르는 다음과 같다.

참고 항목

• 적정성
• 비표준 분석 비판
• 아르키메데스의 인피니티멀 사용
• 기초 미적분: 무한대의 접근법
• 비분류적 분석

메모들

참조

• Fitzpatrick, Patrick (2006), Advanced Calculus, Brooks/Cole
• H. 제롬 키슬러: 기초 미적분: 인피니티시멀을 이용한 접근법. 초판 1976년, 제2판 1986. (이 책은 이제 절판되었다. 출판사는 저작권을 http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.calc.properties에서 다운로드 가능한 .pdf 형식의 2판을 이용할 수 있게 한 저자에게 돌려주었다.
• H. 제롬 키슬러: Infinitesimal 미적분학의 기초, http://www.math.wisc.edu/~keisler/1907년 1월 10일 다운로드 가능
• Blass, Andreas (1978), "Review: Martin Davis, Applied nonstandard analysis, and K. D. Stroyan and W. A. J. Luxemburg, Introduction to the theory of infinitesimals, and H. Jerome Keisler, Foundations of infinitesimal calculus", Bull. Amer. Math. Soc., 84 (1): 34–41, doi:10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• 남작, 마가렛 E: 극소수의 미적분학의 기원. Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York 1969. 도버 퍼블리셔스 주식회사, 1987년 뉴욕. (2004년 남작 신판이 나왔다)
• "Infinitesimal calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

외부 링크

• 온라인 버전의 "초기 미적분: Infinitesimals를 이용한 접근법"
• infinitesimal을 이용한 온라인 미적분 텍스트