푸리에 분석

푸리에 변환
연속 푸리에 변환 푸리에 급수 이산 시간 푸리에 변환 이산 푸리에 변환 링 위의 이산 푸리에 변환 유한군의 푸리에 변환 푸리에 분석 관련 변환

수학에서 푸리에 해석(/ˈfrierie,, -irr/)^[1]은 일반적인 함수가 보다 단순한 삼각함수의 합으로 표현되거나 근사되는 방법에 대한 연구이다.푸리에 해석은 푸리에 급수의 연구에서 성장했으며 삼각함수의 합으로 함수를 표현하는 것이 열 전달 연구를 크게 단순화한다는 것을 보여준 조셉 푸리에의 이름을 따왔다.

푸리에 분석의 주제는 수학의 광범위한 스펙트럼을 포함한다.과학 및 공학에서 함수를 진동 성분으로 분해하는 과정은 종종 푸리에 분석이라고 불리는 반면, 이러한 조각들로부터 함수를 재구성하는 작업은 푸리에 합성이라고 알려져 있습니다.예를 들어 음표에 어떤 컴포넌트 주파수가 존재하는지 결정하는 것은 샘플링된 음표의 푸리에 변환을 계산하는 것을 포함합니다.그런 다음 푸리에 분석에 나타난 주파수 성분을 포함시킴으로써 동일한 소리를 재동기화할 수 있습니다.수학에서 푸리에 해석이라는 용어는 종종 두 연산을 모두 연구하는 것을 말한다.

분해 과정 자체를 푸리에 변환이라고 합니다.그 출력인 푸리에 변환은 변환되는 함수의 도메인 및 기타 속성에 따라 더 구체적인 이름이 지정되는 경우가 많습니다.게다가 푸리에 분석의 원래 개념은 시간이 지남에 따라 점점 더 추상적이고 일반적인 상황에 적용되도록 확장되어 왔고, 일반 필드는 종종 조화 분석으로 알려져 있다.분석에 사용되는 각 변환(푸리에 관련 변환 목록 참조)에는 합성에 사용할 수 있는 대응하는 역변환이 있습니다.

푸리에 분석을 사용하려면 데이터 간격이 같아야 합니다.불규칙한 간격의 데이터를 분석하기 위한 다양한 접근법이 개발되었으며, 특히 푸리에 ^[2][3]분석과 유사하게 데이터 샘플에 대한 사인파의 최소 제곱 적합을 사용하는 LSSA(Limest-Quares Spectrum Analysis) 방법이 개발되었다.과학에서 가장 많이 사용되는 스펙트럼 방법인 푸리에 분석은 일반적으로 긴 갭 기록에서 장기 노이즈를 증가시킨다. LSSA는 이러한 ^[4]문제를 완화한다.

적용들

푸리에 분석에는 물리, 편미분 방정식, 숫자 이론, 조합론, 신호 처리, 디지털 이미지 처리, 확률 이론, 통계학, 포렌식, 옵션 가격, 암호학, 수치 분석, 음향학, 해양학, 음파 탐지, 광학, 회절, 기하학, 단백질 구조 분석 등 많은 과학적 응용 분야가 있습니다.언니랑 다른 지역.

이러한 광범위한 적용성은 다음과 같은 변환의 많은 유용한 속성에서 비롯됩니다.

• 변환은 선형 연산자이며 적절한 정규화를 통해 단일화된다(파스발 정리 또는 보다 일반적으로 Plancherel 정리로 알려진 특성, 그리고 가장 일반적으로 폰트랴긴 이중성을 ^[5]통해).
• 변환은 일반적으로 반전할 수 있습니다.
• 지수함수는 미분의 고유함수로서, 이 표현은 계수가 일정한 선형 미분방정식을 일반적인 ^[6]대수방정식으로 변환하는 것을 의미합니다.따라서 선형 시간 불변 시스템의 동작을 각 주파수에서 독립적으로 분석할 수 있습니다.
• 컨볼루션 정리에 의해 푸리에 변환은 복잡한 컨볼루션 연산을 단순한 곱셈으로 변환한다.이것은 신호 필터링, 다항식 곱셈, 큰 ^[7]수 곱셈 등의 컨볼루션 기반 연산을 효율적으로 계산하는 방법을 제공하는 것을 의미한다.
• 푸리에 변환의 이산 버전(아래 참조)^[8]은 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘을 사용하여 컴퓨터에서 빠르게 평가할 수 있습니다.

법의학에서, 실험실 적외선 분광 광도계는 적외선 스펙트럼에서 물질이 흡수하는 빛의 파장을 측정하기 위해 푸리에 변환 분석을 사용합니다.FT 방법은 측정된 신호를 디코딩하고 파장 데이터를 기록하는 데 사용됩니다.그리고 컴퓨터를 이용하여 이러한 푸리에 계산을 신속하게 할 수 있기 때문에 컴퓨터로 동작하는 FT-IR 기기가 프리즘 ^[9]기기와 동등한 적외선 흡수 패턴을 몇 초 만에 생성할 수 있다.

푸리에 변환은 신호의 콤팩트한 표현으로도 유용합니다.예를 들어 JPEG 압축은 디지털 화상의 작은 정사각형 조각의 푸리에 변환(이산 코사인 변환)의 변형을 사용합니다.각 사각형의 푸리에 성분은 낮은 산술 정밀도로 반올림되고 약한 성분은 완전히 제거되어 나머지 성분은 매우 콤팩트하게 저장된다.화상 재구축에서는, 보존된 근사 푸리에 변환 성분으로부터 각 화상 정사각형을 재구성해, 역변환해 원래의 화상의 근사치를 생성한다.

신호 처리에서 푸리에 변환은 종종 시계열 또는 연속 시간 함수를 취하여 주파수 스펙트럼에 매핑합니다.즉, 시간 영역에서 주파수 영역으로 함수를 가져갑니다. 함수를 다른 주파수의 사인파로 분해하는 것입니다. 푸리에 직렬 또는 이산 푸리에 변환의 경우 사인파는 분석되는 함수의 기본 주파수의 고조파입니다.

$함수{\displaystyle }$ s${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$)$${$display$ s$(t)}$가 시간의 함수이며 물리적 신호를 나타내는 경우 변환은 신호의 주파수 스펙트럼으로 표준 해석됩니다.$주파수{\displaystyle }$f {$displaystyle$ f$}$에서 생성되는 복소수 $함수{\displaystyle }$ S$)$ {$displaystyle$ S$(f)}$의 크기는 초기 위상이 S$)$ {$displaystyle$ S$(f)($극좌표)의 각도로 주어진 주파수 성분의 진폭을 나타냅니다$$.

푸리에 변환은 시간 및 시간 주파수에 국한되지 않습니다.공간 주파수 분석에 균등하게 적용할 수 있으며, 실제로 거의 모든 기능 영역에 적용할 수 있습니다.따라서 이미지 처리, 열전도, 자동 제어 등 다양한 분야에서 사용할 수 있습니다.

오디오, 전파, 광파, 지진파, 심지어 이미지와 같은 신호를 처리할 때 푸리에 분석을 통해 복합 파형의 협대역 성분을 분리하여 보다 쉽게 감지하거나 제거할 수 있습니다.신호 처리 기술의 큰 패밀리는 신호 푸리에 변환, 간단한 방법으로 푸리에 변환된 데이터 조작 및 변환 ^[10]반전으로 구성됩니다.

예를 들어 다음과 같습니다.

• 일련의 밴드패스 필터에 의한 오디오 녹음의 균등화
• 최신 휴대폰이나 라디오 스캐너와 같이 슈퍼헤테로다인 회로가 없는 디지털 라디오 수신
• 인터레이스된 비디오에서 재기, 스트립 항공 촬영에서 스트립 아티팩트, 디지털 카메라의 무선 주파수 간섭에서 파형 패턴과 같은 주기적 또는 이방성 아티팩트를 제거하는 이미지 처리
• 동일 정렬을 위한 유사한 영상의 상호 상관 관계
• 회절 패턴에서 결정 구조를 재구성하기 위한 X선 결정학
• 자기장의 사이클로트론 운동 주파수에서 이온의 질량을 결정하기 위한 푸리에 변환 이온 사이클로트론 공명 질량 분석법
• 적외선 및 핵자기공명분광법을 포함한 다른 여러 형태의 분광학.
• 소리 분석에 사용되는 소리 스펙트럼 생성
• 기계 소음을 기반으로 대상을 분류하는 데 사용되는 수동 음파 탐지 장치입니다.

푸리에 분석의 변종

(연속) 푸리에 변환

대부분의 경우, 무자격 항 푸리에 변환은 연속 실수 인수의 함수 변환을 의미하며, 도수 분포로 알려진 연속 도수 함수를 생성합니다.하나의 함수가 다른 함수로 변환되어 조작이 가역적입니다.입력(초기) 함수의 도메인이 시간(t)이고 출력(최종) 함수의 도메인이 일반 주파수인 경우 주파수 f에서 함수 s(t)의 변환은 복소수로 제공됩니다.

$\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft},dt.}$

f의 모든 값에 대해 이 양을 평가하면 주파수 영역 함수가 생성됩니다.s(t)는 가능한 모든 주파수의 복잡한 지수의 재조합으로 나타낼 수 있습니다.

$\displaystyle s(t)=\int _{-\infty}^{\infty}S(f)\cdot e^{i2\pi ft},df,}$

역변환 공식입니다.복소수 S(f)는 주파수 f의 진폭과 위상을 모두 전달한다.

다음을 포함한 자세한 내용은 푸리에 변환을 참조하십시오.

• 진폭 정규화 및 주파수 스케일링/스케일링에 대한 규칙
• 변환 특성
• 특정 함수의 표 변환
• 이미지와 같은 다차원 기능의 확장/일반화

푸리에 급수

주기 P를 갖는 주기 함수_P s(t)의 푸리에 변환은 일련의 복잡한 계수에 의해 변조되는 디랙 콤 함수가 됩니다.

${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle k}$] ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ P ${\displaystyle \int {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{P}_{}}$ (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle \cdot {}^{}}$、 ${\displaystyle e^{}}$ - ${\displaystyle {\mathrm{i}}^{}}$ 2 ${\displaystyle \pi \mathbb{}}$ k ${\displaystyle P{}^{}t}$ ${\displaystyle d}$ t ,${\displaystyle }$k${\$ Z , { $display$ S [ k ] =$display$frac ${ 1$ } { $P int$_ { $P$} $s$_ { $P$（ $t$) \ $cdot$ e ^ { - $2$\ $pi }$

푸리에 급수로 알려진 역변환은 잠재적으로 무한히 연관된 사인파 또는 복잡한 지수 함수의 합계로 s(t)를_P 표현하며, 각 함수는 다음 계수 중 하나로 지정된 진폭과 위상을 가집니다.

${\displaystyle s_{P}(t)\\\\\\\mathcal {F}^{-1}\left\{k=-\infty}^{+\infty}S[k],\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right}\\\\\\\\\ty= \ty_{\sum}Sum_{k-1}Sum$

임의의_P s(t)는 다른 함수 s(t)의 주기적 합계로 표현될 수 있다.

${\displaystyle s_{P}(t),\triangleq,\sum _{m=-\infty}^{\infty }s(t-mP),}$

그리고는 계수 S(f)샘플에.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{분리된 간격으로 정비례한다디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/P:.

${\displaystyle S[k]=cdot {1}{P}}\left({\frac {k}{P}}\오른쪽).}$^[A]

변환이 동일한 이산 샘플 값을 갖는 모든 s(t)는 주기적 합계에 사용할 수 있습니다.이러한 샘플(즉, 푸리에 계열로부터)에서만 s(t)를 복구하기 위한 충분한 조건은 s(t)의 0이 아닌 부분이 나이키스트-쉐넌 샘플링 정리의 주파수 영역 이중인 알려진 지속 시간 간격 P로 제한된다는 것이다.

역사적 발전을 포함한 자세한 내용은 푸리에 시리즈를 참조하십시오.

이산 시간 푸리에 변환(DTFT)

DTFT는 시간 영역 푸리에 급수의 수학적 이중입니다.따라서 주파수 영역의 수렴 주기 합계는 관련된 연속 시간 함수의 샘플인 푸리에 급수로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle S_{1}{T}}(f)\displayq \underbrace {{k=-\infty}^{\infty}S\left(f-{\frac {k}){\frac {k}{\displayq}T}}\right)\equiv\overbrace{n=-\infty}^{\infty}s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}^{\text{푸리에 급수(DTFT)}}_{\text{Poisson sum sum {F}={\sum _{n=-\infty}}{\infty}s[n]\s[n]\capture (t-nT)\right\},$

DTFT로 알려져 있습니다.따라서 s[n] 시퀀스의 DTFT는 변조된 Dirac 콤 ^[B]함수의 푸리에 변환이기도 합니다.

푸리에 직렬 계수(및 역변환)는 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle s[n]\ triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT},df=T\underbrace({-\infty}^{\infty}S(f)\cdot e^{i2\pi fnT},df}_{\triangleq \,s(nT)}).}$

파라미터 T는 샘플링 간격에 대응하며, 이 푸리에 급수는 이제 포아송 합산 공식의 형태로 인식될 수 있습니다.따라서 이산 데이터 시퀀스 s[n]가 기본 연속 함수 s(t)의 표본에 비례할 때 연속 푸리에 변환 S(f)의 주기적 합계를 관찰할 수 있다는 중요한 결과를 얻을 수 있다.동일한 이산 샘플 값을 가진 모든 s(t)는 동일한 DTFT를 생성하지만 이론적으로는 S(f)와 s(t)를 정확하게 복구할 수 있습니다.완벽한 회복을 위한 충분한 조건은 S(f)의 0이 아닌 부분이 폭 1/T의 기존의 주파수 간격으로 제한되는 것이다.해당 간격이 [-1/2T, 1/2T]인 경우 해당 재구성 공식은 Whittaker-Shannon 보간 공식이다.이것은 디지털 신호 처리의 기초가 되는 초석입니다.

S(f)에 관심이_1/T 있는 또 다른 이유는 샘플링 프로세스에 의해 발생하는 에일리어싱의 양을 파악할 수 있는 경우가 많기 때문입니다.

DTFT의 어플리케이션은 샘플링된 기능에 한정되지 않습니다.이 항목 및 다음을 포함한 기타 항목에 대한 자세한 내용은 이산 시간 푸리에 변환을 참조하십시오.

• 정규화 주파수 단위
• 윈도우 설정(시퀀스 길이)
• 변환 특성
• 특정 함수의 표 변환

이산 푸리에 변환(DFT)

푸리에 시리즈와 마찬가지로 주기 N을 갖는 주기 시퀀스_N s[n]의 DTFT는 일련의 복잡한 계수에 의해 변조되는 Dirac 콤 함수가 됩니다(DTFT periodic 주기 데이터 참조).

${\displaystyle S}$[ ${\displaystyle k}$] $=$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ n ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}{N}_{}}$ [ ${\displaystyle n}$]${\displaystyle {}^e}$ - ${\displaystyle {\mathrm{i}}^{}}$ ${\displaystyle {2\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle n}$ k${\displaystyle {}^{}}$N , ${\displaystyle k\mathbb{}}$ Z$$, { $display S$ [ k ]= \ $sum _$ { n }$s$ _ { $n$} \ $cdot$ e^ { -$i2$ \ pi { $frac$ { k$$} {$N$ } $n$} n ,$\ 、$ \ 。

S[k] 시퀀스는 통상적으로1 사이클의_N DFT라고 불리는 것입니다.또한 N-주기적이므로 N개 이상의 계수를 계산할 필요가 없습니다.이산 푸리에 급수라고도 하는 역변환은 다음과 같이 제공됩니다.

$displaystyle$$$$S[k]\cdot$ e$^{i2\pi {frac {n}{N}}k}}.$ 여기서$$ δ는_k 길이 N의 임의의 시퀀스에 걸친 합계입니다.

s[n]가 다른 함수의 주기적 합계로 표현되는 경우_N:

${\displaystyle s_{}}$N [ ${\displaystyle n}$]${\displaystyle \underset{m}{\overset{}{}}}$ m m$=$ - ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{\infty }}}}$ [ [${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$[ n -${\displaystyle m}$ $]$ , {\$style s_{N},\triangleq,\sum$_{m=-\$infty$}{\$infty }s$[${\displaystyle \mathrm{n-mN}],\}}$ ${\displaystyle 및}$ s [$n$ s$,$ {$n$trilearchyle s, s, s, n, n, n }, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n

계수는 1/P = 1/NT의 분산_1/T 간격으로 S(f)의 표본에 비례한다.

${\displaystyle S[k]=black {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\오른쪽).}$^[D]

반대로 연속 DTFT, S_1/T(f)의 1사이클의 이산 샘플의 임의의 수(N)를 계산하려면 위에서 정의한 바와 같이 s[n]의_N 비교적 단순한 DFT를 계산하면 된다.대부분의 경우, N은 s[n]의 0이 아닌 부분의 길이와 동일하게 선택됩니다.제로 패딩 또는 보간으로 알려진 N을 증가시키면 S(f)의_1/T 한 주기의 표본 간격이 더 촘촘해집니다.N을 줄이면 시간 영역에 오버랩(에일리어싱과 유사)이 발생하며, 이는 주파수 영역의 소멸에 해당합니다.(이산시간 푸리에 변환δ L=N×I 참조) 대부분의 실제적인 경우, s[n] 시퀀스는 유한 길이 윈도우 함수 또는 FIR 필터 배열의 적용에 의해 잘린 긴 시퀀스를 나타냅니다.

DFT는 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있으므로 컴퓨터에서 실용적이고 중요한 변환이 됩니다.

다음을 포함한 자세한 내용은 이산 푸리에 변환을 참조하십시오.

• 변환 특성
• 적용들
• 특정 함수의 표 변환

요약

주기 함수의 경우 푸리에 변환과 DTFT는 모두 별개의 주파수 성분 세트(푸리에 시리즈)로만 구성되며 변환은 이러한 주파수에서 분산됩니다.(위에서 설명하지 않은) 일반적인 관행 중 하나는 Dirac 델타 및 Dirac 콤비 함수를 통해 이 차이를 처리하는 것입니다.그러나 다른 모든 주기가 동일하기 때문에 주기함수의 한 주기에서만 동일한 스펙트럼 정보를 식별할 수 있다.마찬가지로, 유한 지속 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있으며, 역변환의 주기성이 단순한 아티팩트에 불과하다는 점을 제외하고 실제 정보의 손실은 없다.

s(•)의 지속 시간은 기간 P 또는 N으로 제한되는 것이 일반적이지만, 이러한 공식은 그러한 조건을 요구하지 않는다.

s(t) 변환(연속 시간)

	연속 주파수	개별 주파수
변혁	$\displaystyle S(f),\triangleq,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft},dt}$	${\displaystyle {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)}^{S[k]},\triangleq,{P}}\int _{-\infty}^{\infrighti}{\cdfrot^2\i}$
역	$\displaystyle s(t)=\int _{-\infty}^{\infty}S(f)\cdot e^{i2\pi ft},df}$	${\displaystyle \underbrace {s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty}{\infty}S[k]\cdot e^{i2\pi {frac {k}{P}}}_{\text {Poisson 집계식(Fourier 시리즈)}}\,}$

s(nT) 변환(이산 시간)

	연속 주파수	개별 주파수
변혁	${\displaystyle\underbrace{\frac{1}}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f),\triangleq},\sum _{n=-\infty}^{\infty}s(nT)\cdot e^{-i2\pi fNT}_{\text{Poismission summary }}}}$	${{\frac {1}\displaystyle {\frac {\aligned}\오버브레이스T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}){NT}}\right)^{S[k]},&\triangleq,\sum _{n=-\infty }^{\infty}s(nT)\cdot e^{-i2\pi {frac {k}{N}}\&\equiv \sum {n}s_{P}(CDOT)FT},\end {aligned}}$
역	${\displaystyle s(nT)=T\int _{\frac {1}{T}}{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT},df}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty}^{\infty}s(nT)\cdot \cdot (t-nT)=\underbrace {int _{-\infty}^{\infty}{\frac {1}{\frac {\}T}}\ S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft},df}_{\text{역 푸리에 변환}},}$	${\displaystyle {\begin{aligned}s_{P}(nT)&= 오버브레이스 {\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {frac {kn}}}^{\text{frac DFT}}\&=sum _{k}S_{\frac {1}{\frac {1}{\text}T}}\left({\frac {k}{P}}\오른쪽)\cdot e^{i2\pi{frac {kn}{N}}\end{aligned}}}$

대칭 특성

복잡한 함수의 실수 부분과 허수 부분을 짝수 부분과 홀수 부분으로 분해하면, 아래에 RE, RO, IE 및 IO로 나타나는 4개의 구성요소가 있습니다.복잡한 시간 함수의 4가지 성분과 복잡한 주파수 ^[11]변환의 4가지 성분 사이에는 일대일 매핑이 있습니다.

${\displaystyle{array}{rcccccc}{\text{Time domain}}&s&={_{\text{}RE}}&+s_{_{\text{\text}RO}}&+is_{_{\text{\text}IE}}&+&\괄호 {i\s_{\text{\text}IO}}: \&{\Bigg \Updownarrow}{\mathcal {F}&{\Bigg \Updownarrow}{\mathcal {F}&\\\\\\\mathcal {F}&\Bigg \Updownarrow}RE}}&+&\오버브레이스 {,i\S_{\text{\text}IO}},},+&iS_{\text{IE}}&+S_{\text{\text}RO}}\end {array}}$

이를 통해 다음과 같은 다양한 관계를 알 수 있습니다.

• 실수값 함수(s_RE + s_RO)의 변환은 짝수 대칭 함수_RE S + i S입니다_IO.반대로 짝수 대칭 변환은 실제 값의 시간 도메인을 의미합니다.
• 허수값 함수(i_IE s + i s_IO)의 변환은 홀수 대칭 함수_RO S + i_IE S이며, 그 반대가 참입니다.
• 짝수 대칭 함수(s_RE + i_IO s)의 변환은 실수값 함수_RE S + S이며_RO, 그 반대가 참입니다.
• 홀수 대칭 함수(s_RO + i s_IE)의 변환은 허수 값 함수 i_IE S + i_IO S이며, 그 반대가 참입니다.

역사

고조파 급수의 초기 형태는 고대 바빌로니아의 수학으로 거슬러 올라가는데, 그곳에서 그것들은 덧없는 천체 위치를 ^{[12][13][14][15]}계산하는데 사용되었다.

천문학의 프톨레마이오스 체계에서 고대 그리스어의 공변과 에피사이클 개념은 푸리에 급수와 관련이 있었다.

현대에 이산 푸리에 변환의 변형은 1754년 알렉시스 클레르트에 의해 DFT의 ^[17]첫 공식으로 기술된 ^[16]궤도를 계산하기 위해 그리고 1759년 조셉 루이스 라그랑지에 의해 진동 현에 ^[17]대한 삼각 급수의 계수를 계산하기 위해 사용되었다.엄밀히 말하면, 클라로트의 작업은 코사인 전용 계열(이산 코사인 변환의 한 형태)이었던 반면, 라그랑쥬의 작업은 사인 전용 계열(이산 사인 변환의 한 형태)이었다; 진정한 코사인+사인 DFT는 1805년 가우스에 의해 소행성 ^[18]궤도의 삼각 보간법에 사용되었다.오일러와 라그랑주 둘 다 오늘날 ^[17]샘플이라고 불리는 것을 사용하여 진동 현의 문제를 밝혀냈다.

푸리에 분석에 대한 초기의 근대적 발전은 1770년 라그랑쥬의 논문인 Réflexions sur la résolution algébrique des quations 였다₃. 라그랑쥬는 입방체의 해법을 연구하기₁₂ ^[19]위해 복잡한 푸리에 분해를 사용했다.

${\displaystyle {arigned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\=x_{1}+\zeta ^{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}$

여기서 θ는 unity의 세제곱근으로 순서 3의 DFT입니다.

작가들 번호, 특히 장 르 롱 달랑 베르, 카를 프리드리히 가우스 더위 equation,[20]을 연구하고자 했으나 Mémoire 드 라 chaleur dans les 단결 조제프 푸리에의 중요한 통찰력 삼각 시리즈에 의해 모든 기능을 모형으로 만드는 것 solides intrla 전파 sur의 돌파구가 된 발전의 1807년 종이 삼각 사용했다.oduc푸리에 급수를 입력한다.

역사학자들은 푸리에 이론의 발전에 대해 라그랑주와 다른 사람들을 얼마나 믿어야 하는지에 대해 의견이 분분하다: 다니엘 베르누이와 레옹하르트 오일러는 함수의 삼각함수 표현을 도입했고, 라그랑주는 파동 방정식에 푸리에 급수 해답을 주었다. 그래서 푸리에의 기여는 주로 임의의 함수에 대한 대담한 주장이었다.이온은 푸리에 ^[17]급수로 나타낼 수 있습니다.

그 다음 발전된 장은 조화 분석으로 알려져 있으며, 표현 이론의 초기 사례이기도 합니다.

DFT를 위한 최초의 고속 푸리에 변환(FFT) 알고리즘은 소행성 Juno와 Palas의 궤도 측정을 보간할 때 1805년경에 발견되었지만, 특정 FFT 알고리즘은 현대의 재발견자 Coolley와 Tukey에 ^[18][16]의해 더 자주 기인한다.

시간 주파수 변환

신호 처리 용어에서, (시간의) 함수는 완벽한 시간 분해능을 가지지만 주파수 정보가 없는 신호의 표현이며, 푸리에 변환은 완벽한 주파수 분해능을 가지지만 시간 정보가 없습니다.

푸리에 변환의 대안으로 시간-주파수 분석에서는 시간-주파수 변환을 사용하여 약간의 시간 정보와 주파수 정보가 있는 형태로 신호를 표현합니다. 불확도 원리에 따라 이들 사이에 트레이드오프가 있습니다.이것들은 단시간 푸리에 변환, 가보르 변환 또는 부분 푸리에 변환(FRFT)과 같은 푸리에 변환의 일반화가 될 수 있고, (연속) 푸리에 변환의 웨이브렛 아날로그가 연속 웨이브인 웨이브렛 변환과 같이 신호를 표현하기 위해 다른 함수를 사용할 수 있다.t변환

임의의 국소 콤팩트 아벨 위상군에 대한 푸리에 변환

푸리에 변형은 또한 임의 로컬 콤팩트 아벨 위상 그룹의 푸리에 변환으로 일반화될 수 있으며, 이는 조화 분석에서 연구됩니다. 푸리에 변환은 그룹의 함수를 이중 그룹의 함수로 가져갑니다.이 처리는 또한 푸리에 변환과 컨볼루션을 관련짓는 컨볼루션 정리를 일반화할 수 있습니다.푸리에 변환의 일반화된 기초에 대해서는 폰트랴긴 이중성을 참조하십시오.

좀 더 구체적으로 말하면,^[21] 푸리에 분석은 코셋, 심지어 이산 코셋에서 수행될 수 있습니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

추가 정보

외부 링크

• EqWorld의 통합 변환 표:수학 방정식의 세계.
• Steven Lehar의 푸리에 이론에 대한 직관적 설명.
• 이미지 처리 강의: Vanderbilt University의 pdf 형식의 18개 강의 모음입니다. 강의 6은 1-D 및 2-D 푸리에 변환에 대해 설명합니다. Alan Peters의 7~15강좌에서 이를 활용한다.
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "Σ Summation (and Fourier Analysis)". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.