대체에 의한 통합

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

미적분학에서 대체에 의한 통합은 u-submission 또는 변수의 변화라고도 하며,^[1] 적분 및 반분제를 평가하는 방법이다. 그것은 차별화를 위한 체인 규칙의 상대적인 것으로, 느슨하게 체인 규칙 "뒤로"를 사용하는 것으로 생각할 수 있다.

단일 변수에 대한 대체

소개

결과를 엄격하게 말하기 전에 무기한 통합을 사용하는 간단한 사례를 고려하십시오.

계산 $\int {\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$+ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {7\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$ ${\$^[2].

설정 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle u=2x^{3}+1$ 즉 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{u}{}}$ x${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 또는 차등 형태로 ${\displaystyle \mathrm{du}}$= ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{2d}}$ ${\displaystydu=6x^{2}\,dx$ .이제

${\displaystyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7$$}} _{u^{7}}\언더브레이스 {(6x^{2})\,dx} _{{du}={\frac {1}{6}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\frac {8}\right)$$+C={\frac{1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) 임의의 통합 상수다.

이 절차는 자주 사용되지만 모든 통합이 그 사용을 허용하는 형태는 아니다. 어떤 경우에도 원래 통합과 비교를 통해 결과를 검증해야 한다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}$

확실한 통합의 경우 통합의 한계도 조정해야 하지만 절차는 대부분 동일하다.

확정집적

Let φ : [a, b] → 나는 연속적인 파생상품으로 차별화할 수 있는 함수가 되는데 여기서 I ⊆ R은 간격이다. f : I → R이 연속함수라고 가정한다. 그러면^[3]

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(\varphi (x)\varphi '(x)\,dx=\int_{\varphi (a)^{\v)f(u)\,du.}}$

라이프니즈 표기법에서 대체 u = φ(x) 산출량

${\displaystyle {\frac {du}{dx}=\varphi '(x).}$

인피니티멘탈과 함께 경험적으로 일하면 방정식이 나온다.

${\displaystyle du=\varphi '(x)\,dx,}$

위와 같은 대체 공식을 시사한다. (이 방정식은 미분 형식에 대한 설명으로 해석하여 엄격한 기초 위에 올려질 수 있다.) 누군가는 대체에 의한 통합 방법을 통합과 파생상품에 대한 라이프니츠의 표기법의 부분적 정당성으로 볼 수 있다.

이 공식은 계산하기 쉬운 하나의 적분을 다른 적분으로 변환하기 위해 사용된다. 따라서 이 공식은 주어진 적분을 단순화하기 위해 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 오른쪽에서 왼쪽으로 읽을 수 있다. 종래의 방법으로 사용될 때, 새로운 변수를 복합함수 안에서 발견된 원래 변수의 함수로서 내부함수의 파생상품에 곱한 것으로 정의되는 것을 u-위헌 또는 w-위헌이라고도 한다. 후자의 방법은 일반적으로 삼각 치환에 사용되며, 원래 변수를 새로운 변수의 삼각함수로, 원래의 미분을 삼각함수의 미분 함수로 대체한다.

증명

치환에 의한 통합은 다음과 같은 미적분의 근본적인 정리로부터 도출할 수 있다. f는 I에 연속이고 φ′은 닫힌 간격에 통합할 수 있다는 위의 가설을 만족하는 f와 φ 두 함수가 되도록 한다[a,b]. 그러면 f( f)φ′(x)함수도 [a,b]에서 통합할 수 있다. 그러므로 통합자들은

${\displaystyle \int_{a}^{b}f(\varphi (x)\varphi '(x)\,dx}$

그리고

${\displaystyle \int _{\varphi (a)^{\\varphi (b)}f(u)\,du}$

실제로 존재하며, 그들이 평등하다는 것을 보여줘야 한다.

f는 연속적이기 때문에 항변성 F를 가지고 있다. 그런 다음 복합함수 F ∘ φ을 정의한다. φ은 차별성이 있기 때문에, 체인 룰과 해독제의 정의를 결합하면 주어진다.

${\displaystyle(F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x)\varphi '(x)\varphi '(x)).}$

미적분학의 기본 정리를 두 번 적용하면 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)^{\\varphi (b)}f(u)\,du,\end{arligned}}}$

그게 대체 규칙이야

예

예 1

적분 고려

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.}$

$대체{\displaystyle }$ $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}2}$ + 1 ${\displaystyle u=x^{2}+1}$을(를) 얻으려면$$ ${\displaystyle \mathrm{du}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle du=2xx}$을(를) 가져오십시오$.$ 즉, ${\displaystyle xd\frac{\mathrm{}}{}}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ du = $\$ . 그러므로

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{정렬}}}$

하한 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$을(를)$$${\displaystyle \mathrm{u}}$= 1 ${\displaystyle u=1}$로 교체하고$$ 상한 ${\displaystyle \mathrm{x}}$= ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1${\displaystyle }$= ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 2^{2}+1=5}$로 $변경$했기 때문에$$x {\$displaystyle$ x$}$로 다시 변환할 필요가 없었다$$$.$

또는 무한정 적분(아래 참조)을 먼저 완전히 평가한 후 경계 조건을 적용할 수 있다. 이것은 특히 다수의 대체품을 사용할 때 편리해진다.

예 2

적분용

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}\,dx,}$

위의 절차의 변형이 필요하다. 대체 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin u}$ ${\displaystyle x=\sin u}$을(를) 의미하는$$ d x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle uu}$ ${\displaystyle dx=\cos u\,du}$은${\displaystyle \sqrt{(}}$는) ${\displaystyle \sqrt{{1\mathrm{}}^{}}}$ -${\displaystyle \sqrt{{}^{}\sin }}$ 2 u${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ $⁡$ (${\displaystyle u}$) ${\sisplaystyle$ {\$sqrt{1-\}=}=\$cos(u$}}=\cos($u})}=\cos$(u})$가 유용하다$.$ 따라서 우리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos(u)\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\,du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]{\Biggl }_{0}^{\pi /2}\\[6pt]\&={\frac {\pi }{4}}}+0={\frac {\pi }{4}}}.\end{정렬}}}$

결과 적분은 부품별 통합 또는 이중 각도 공식, $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$= 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( 2 ${\displaystyle u}$) ${\displaystyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u$ 그 다음에 한 번 더 대체하여 계산할 수 있다. 또한 통합되는 기능은 반지름이 1인 원의 오른쪽 상단 사분위수로서, 따라서 오른쪽 상단 사분위를 0에서 1로 통합하는 것은 단위 원의 1/4 면적, 즉 $\pi {\displaystyle }$ /${\displaystyle 4\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi /4}$에 해당하는 기하학적임을 알 수 있다$.$

해독제

대체는 해독제를 결정하는 데 사용될 수 있다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$와 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 사이의 관계를 선택하고$$$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ $dx$$}$와 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystydu}$의 해당 관계를 구분하여$$ 결정하고 대체 작업을 수행한다. 대체된 함수에 대한 해독제를 결정할 수 있다. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과($와{\displaystyle }$)$u$ {\$displaystyle$ u$}$ 사이의 원래 대체는 실행 취소된다$$.

위의 예 1과 유사하게 다음과 같은 해독제를 이 방법으로 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) 임의의 통합 상수다.

변환할 본질적인 경계가 없었지만, ${\displaystyle {}^{}}$ 단계에서는 원래의 대체$u$ = ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$2 + $1을 되돌리는$ 것이 필요했다$.$ 대체에 의한 명확한 통합을 평가할 때 먼저 반분제를 완전히 계산한 다음 경계 조건을 적용할 수 있다. 그럴 경우 경계 용어를 변형할 필요가 없다.

접선 함수는 사인(sine)과 코사인(cosine) 단위로 표현하여 치환법을 사용하여 통합할 수 있다.

${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\sin x}{\cos x}\,dx}$

대체 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u=\cos x}$을(를) 사용하면 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \sin d}$ ${\displaystyle x}$ d x ${\displaysty du=-\sin$ x$\,dx}$ 및

${\displaystyle {\begin{aigned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac}{\cos x}\,dx\&=\int -{\frac}{u}\-\ln u+C\&=-ln \cos x\c.\end{정렬}}}$

다중 변수에 대한 대체

여러 변수의 함수를 통합할 때도 치환을 사용할 수 있다. 여기서 대체함수(v₁, ...,v_n) = φ(u₁, ..., u_n)는 주입성이 있어야 하며 지속적으로 다를 수 있어야 하며, 미분들은 다음과 같이 변한다.

${\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\좌측 \det(D\varphi )(u_{1},\ldots,u_{n})\우측 \,du_{1}\cdots du_{n},}$

여기서 det(Dφ)(u₁, ..., u_n)는 지점(u₁, ..., u_n)에서 φ의 부분파생상품의 제이콥 매트릭스의 결정인자를 나타낸다. 이 공식은 행렬의 결정 인자의 절대값이 그 열이나 행에 의해 확장되는 평행사변수의 부피와 같다는 사실을 나타낸다.

더 정확히 말하면 변수 공식의 변경은 다음 정리에 명시되어 있다.

정리. U를 R과ⁿ φ에서 오픈 세트로 하자: U → Rⁿ 연속적인 부분파생상품을 가진 주입상 차별화 함수, 그 중 Jacobian은 U의 모든 x에 대해 0이 아니다. 그러면 ((U)에 포함된 지원을 통해 실질가치가 되고, 압축적으로 지지되며, 연속적인 함수 f는, φ(U)에 포함된 지원으로,

${\displaystyle \int \\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\\d\mathbf {v} =\int _{U}f(\mathbf {u})\왼쪽 \d\mathbf {u}\right.$

정리정돈의 조건은 여러 가지로 약화될 수 있다. 첫째로, φ은 연속적으로 다를 수 있다는 요구사항은 φ은 단지 다를 수 있고 연속적인 역효과를 갖는다는 더 약한 가정으로 대체될 수 있다.^[4] 이것은 역함수 정리에 의해 φ이 연속적으로 상이한 경우에 유지될 수 있도록 보장된다. 또는 det 0 det(D()에 대한 요건은 사르드의 정리를 적용하면 제거할 수 있다.^[5]

르베그(Lebesgue)의 측정 가능한 함수의 경우, 다음과 같은 형태로 정리가 명시될 수 있다.^[6]

정리. U를 R과ⁿ φ의 측정 가능한 부분집합으로 하고 U의 모든ⁿ x에 대해 φ(y) = φ(x) + φ(x) + -(y - x) + y - x (여기서는 little-o 표기법)이 R에^n,n 존재한다고 가정한다. 그런 다음 ((U)을 측정할 수 있으며, φ(U)에 정의된 모든 실제 값 함수 f에 대해,

${\displaystyle \int_{\varphi(U)}f(v)\,dv=\int_{U}f(\varphi(u)\왼쪽 \varphi '(u)\오른쪽 \du}$

어느 하나의 적분이라도 존재한다면(적당하게 무한할 수 있는 가능성을 포함), 다른 적분도 존재하며, 동일한 가치를 갖는다.

측정 이론의 또 다른 매우 일반적인 버전은 다음과 같다.^[7]

정리. X는 유한 라돈 측정 μ를 탑재한 국소적 소형 하우스도르프 공간이고, Y는 fin-피니트 라돈 측정 ρ을 가진 σ-콤팩트 하우스도르프 공간이다. φ : X → Y를 연속적이고 절대적으로 연속적인 함수로 한다(여기서 후자는 μ(E) = 0을 의미한다). 그 다음 X에 실제 값 Borel 측정 가능한 함수가 존재하여 모든 Lebegue 통합함수 f : Y → R에 대해 함수(f ) )) w w는 X에 통합할 수 있고,

${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho(y)=\int _{X}(f\circle \varphi )\(x)\,w(x)\,d\mu(x).}$

게다가 글씨를 쓸 수도 있다.

${\displaystyle ww(x)=(g\filename \varphi )(x)}$

Y의 일부 Borel 측정 가능한 함수 g에 대해.

기하학적 측정 이론에서 대체에 의한 통합은 립스치츠 기능과 함께 사용된다. bi-lipschitz 함수(bi-lipschitz 함수)는 Lipschitz 함수 φ : U → R이며ⁿ, 그 역함수 φ⁻¹ : φ(U) → U도 Lipschitz이다. Rademacher의 정리로는 바이 립시츠 맵핑은 거의 모든 곳에서 차별화된다. 특히 바이 립시츠 지도 뎁의 제이콥의 결정요인은 거의 모든 곳에서 잘 정의되어 있다. 그 다음 결과는 다음과 같다.

정리. U를 R과ⁿ φ의 공개 서브셋으로 하자 : U → R은ⁿ 바이 립시츠 맵핑으로 한다. f : φ(U) → R을 측정할 수 있게 한다. 그러면.

${\displaystyle \int _{U}(f\circ \varphi )(x) \,dx=\dx=\int _{\varphi(U)f(x)\,dx}$

만약 어느 하나의 적분이 존재한다면(또는 적절히 무한하다면), 다른 적분도 존재하게 되고, 같은 가치를 갖게 된다.

위의 정리는 오일러가 1769년 이중집적 개념을 개발하면서 처음 제안한 것이다. 1773년 라그랑주(Lagrange)에 의해 3중 통합으로 일반화되었고, 레전드레, 라플라스, 가우스(Gauss)에 의해 사용되었고, 1836년 미하일 오스트로그라드스키에 의해 n변수에 처음으로 일반화되었지만, 놀라울 정도로 오랜 시간 동안 완전히 엄격한 형식적인 입증에 저항하였고, 125년 후에 에일리 카탄에 의해 처음으로 만족스럽게 해결되었다.e-1950년대 ^[8][9]중반

확률 적용

대체는 확률로 다음과 같은 중요한 질문에 답하기 위해 사용될 수 있다: $확률밀도{\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle X_{}}$ ${\$의 랜덤$$ 변수 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Y$}$와 $Y{\displaystyle }$= ${\displaystyle \varphi }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ Y$=\phi (X)}$와 같은 또 다른 랜덤 $변수{\displaystyle }$ Y ${\displaystyley Y$$\}$에 대한 확률 밀도는?$Y {\displaystyle$ Y$\}?$

먼저 약간 다른 질문에 답하는 것이 가장 쉽다: $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 특정 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 값을$$ 취할 확률은 얼마인가$?$ 이 확률 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \in }$ S$){\displaystyle P(Y\in$ S$)\}.$ $물론{\displaystyle }$, Y ${\displaystysty Y}$에 densi가 있을$$ 경우${\displaystyle {ty}_{}}$ p Y ${\$$Y}}$ 그렇다면$$ 답은 다음과 같다.

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}$

$그러나{\displaystyle {}_{}}$ p ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$를 모르기 때문에 이것은 별로 유용하지 않다.$Y$ 우리가 찾으려는 것이다. X $변수{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X$}의 문제를 고려하여 진전을 이룰 수 있다$.$ Y ${\displaystyle$ Y$}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(${\displaystyle 가}$) $\varphi$ - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle \phi ^{-1(S$의 값을$$ 얻을 때마다 $S{\displaystyle }$ ${\displaystystylean$ S$}$의 값을 취한다$$.

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\pi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}$

변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 y ${\displaystyle$ y$}(으$)로$$ 변경하면

${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\pi ^{-1}p_{-1}p(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1})(\phi ^{-1)(y)\frac {d\pi ^{-1}}}}}{-1}{-1}}{-{-dy,dydydy,dy,dy,dydy,dy,dy,dy,dy,dy,dy,dy,}$

이것과 우리의 첫 번째 방정식을 결합하면

${\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1})(\phi ^{d\pi ^{-1}}\frac {d\pi ^{-1}}}}\right \dy,dy,}}$

그렇게

${\displaystyle p_{Y}=p_{X}(\phi ^{-1}(y)\왼쪽 {\frac {d\pi ^{-1}}{dy}}\오른쪽 .}$

In the case where ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ depend on several uncorrelated variables, i.e. ${\displaystyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ and ${\displaystyle y=\phi (x)}$, ${\displaystyle p_{$$Y}$은(는) 위에서 논의한 몇 가지 변수에서 대체하여 찾을 수 있다$$. 결과는

${\displaystyle p_{Y}=p_{X}(\phi ^{-1}(y)\왼쪽 \det D\phi ^{-1}(y)\오른쪽 .}$

참고 항목

• 확률밀도함수
• 변수의 대체
• 삼각 치환법
• 바이어스트라스 대체
• 오일러 대체
• 푸시포워드 측정

메모들

참조

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Calculus /Early Transcendentals (Single Variable ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
• Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler and differentials", The College Mathematics Journal, 25 (2): 102–111, doi:10.2307/2687130
• Fremlin, D.H. (2010), Measure Theory, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
• Katz, V. (1982), "Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan", Mathematics Magazine, 55 (1): 3–11, doi:10.2307/2689856
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

외부 링크

위키북 미적분학에는 다음과 같은 주제에 관한 페이지가 있다. 대체 규칙

위키다양성은 대체에 의한 통합에 대한 학습 자원을 가지고 있다.

• 수학 백과사전 대체에 의한 통합
• 수학 백과사전 영역 공식