이동원리

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모델 이론에서, 전송 원리는 어떤 구조에 대해 참된 어떤 언어의 모든 진술은 다른 구조에 대해 참이라고 말한다. 첫 번째 예시 중 하나는 렙체츠 원리로서 복잡한 숫자에 대해 참인 필드의 제1차 언어의 어떤 문장도 특성 0의 어떤 대수적으로 닫힌 필드에 대해서도 참이라고 기술하고 있다.

역사

초기 형태의 이전 원리는 라이프니츠에 의해 "계속성의 법칙"^[1]이라는 이름으로 설명되었다. 여기서 infinitesimal은 "같은" 속성을 주목할 만한 숫자로 가질 것으로 예상된다. 이전원리는 영속원리의 엄격한 공식화로도 볼 수 있다. 코우치에서도 비슷한 경향이 발견되는데, 코우치에서는 infinitesimal을 사용하여 (Cours d'Analyse에서) 함수의 연속성과 디락 델타 함수의 형태를 모두 정의했다.^{[1]: 903}

1955년, Jerzy Wwoś은 어떤 초현실적인 수 시스템에 대한 전송 원리를 증명했다. 그것의 가장 일반적인 용도는 초현실 숫자에 대한 아브라함 로빈슨의 비표준적인 분석에서인데, 여기서 전송 원리는 실제 숫자에 맞는 특정한 공식 언어로 표현 가능한 문장은 초현실 숫자에 대해서도 사실이라고 말한다.

하이퍼 리알에 대한 전송 원리

전송 원리는 실수 R의 속성과 초현실수라 불리는 *R을 나타내는 더 큰 필드의 속성 사이의 논리적 관계에 관한 것이다. 필드 *R에는 특히 극소수("무한히 작은")의 숫자가 포함되어 있어 라이프니즈가 시작한 프로젝트의 엄격한 수학적 실현을 제공한다.

R에 대한 분석을 수학적 논리의 적절한 언어로 표현한 다음 이 언어가 *R에도 동일하게 잘 적용된다는 점을 지적하는 것이다. 이는 집합이론적 수준에서 그러한 언어의 명제는 모든 집합에 적용되는 것이 아니라 내부 집합에만 적용되는 것으로 해석되기 때문에 가능한 것으로 밝혀진다. 로빈슨의 말대로 [이론]의 문장은 헨킨의 뜻에서 *R로 해석된다.^[2]

각 명제가 R에 대해 유효하며 *R에 대해서도 유효하다는 취지의 정리를 전송 원리라고 한다.

비표준 수학의 어떤 모델을 사용하느냐에 따라 몇 가지 다른 버전의 전이 원리가 있다. 모델 이론의 관점에서, 전송 원리는 표준 모델에서 비표준 모델로의 지도가 초등 내장(언어로 된 모든 문장의 진실 값을 보존하는 내장)이거나, 때로는 경계된 초등 내장(비슷하지만, 한정된 정량자가 있는 문장에 한함)이라고 기술한다.

이적원리가 제대로 처리되지 않으면 모순으로 이어지는 것으로 보인다. 예를 들어 초실수(초실수)는 비 아르키메데스 순서 필드를 형성하고 실수는 아르키메데스 순서 필드를 형성하기 때문에 아르키메데스("일부 양의 정수 n"의 경우 모든 양의 실수는 1/n보다 크다)의 속성이 첫눈에 전송원리를 충족하지 못하는 것처럼 보인다. "일부 양의 정수 n의 경우 모든 양의 하이퍼리얼이 1/n보다 크다"는 문구는 거짓이지만, 올바른 해석은 "일부 양의 하이퍼리얼은 모든 양의 하이퍼리얼이 1/n보다 크다"이다. 즉, 비표준 우주에 살고 있는 내부 관찰자에게는 초자연적인 것으로 보이지만, 우주 밖의 외부 관찰자에게는 비 아르키메데스적인 것으로 보인다는 것이다.

이양 원리의 1학년 수준의 접근 가능한 공식은 키슬러의 저서 '초등 미적분학'이다. 무한대의 접근법.

예

모든 실제 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 불평등을 충족함$$

$\displaystyle x\geq \lfloor,}$

여기서 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle \lfloor \,\cdot$ \,\$cdloor$}은$$ 정수 부분 함수다$.$ 전송 원리의 일반적인 적용에 의해 모든 하이퍼리얼 x ${\displaystyle$ x}은$($는) 불평등을 만족시킨다$$.

${\displaystyle x\geq {}^{*}\!\lfloor x\bloor ,}$

여기서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \lfloor {}^{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle {}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\cdloor }$은 정수 부분함수의 자연스러운 확장이다$$. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$이(가) 무한인 경우 하이퍼인테거$ger$ ${\displaystyle x}${ { { { { ${$ ${\^{*}\!\lfloor x\rfloor }$도 무한인$$ 것이다.

숫자 개념의 일반화

역사적으로 숫자의 개념은 반복적으로 일반화되었다. 자연수 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 0을 추가한 것은 그 시대에$$ 주요한 지적 성취였다. $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 형성하기 위해 음의 정수를 추가하는 것은 이미$$ 즉각적인 경험의 영역에서 수학 모델의 영역으로의 이탈을 구성했다. 추가 확장인 합리적 숫자 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\mathb$ ${$$Q}}$은 완료 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$보다 일반인에게 더 친숙하다$.$ 부분적으로는 실물이 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$}에 표시된 실물과 (측정 및 계산의 의미상) 다른 물리적 실체와 일치하지 않기 때문이다.$ystyle \mathb {Q}$$}$ 그러므로 가장 강력한 부동 소수점 컴퓨터에게도 비합리적인 숫자의 개념은 무의미하다. 그러한 연장의 필요성은 물리적 관찰에서가 아니라 수학적 일관성의 내부 요구에서 기인한다. 그 당시 수학적인 발달, 즉 미적분학으로 알려지게 된 것의 출현에 의해 그러한 개념이 요구되던 시기에 무한정들은 수학 담론에 들어갔다. 위에서 이미 언급했듯이, 이 최근의 연장에 대한 수학적인 정당성은 3세기나 지연되었다. 키슬러는 이렇게 썼다.

그는 "실제 라인에 대해 논의하면서 물리적 공간의 라인이 어떤 것인지 알 방법이 없다"고 말했다. 초현실적인 선, 진짜 선, 아니면 둘 다일 수도 있다. 그러나 미적분학을 응용할 때는 물리적 공간에 있는 선을 초현실적인 선으로 상상하는 것이 도움이 된다."

초실수들의 자기 일관적인 발전은 기본 산술(자연수, 플러스, 시간, 비교)을 사용하고 실수에 대해서만 계량화하는 진정한 1차 논리 서술이 초실수보다 정량화된다고 가정할 경우 모두 재해석된 형태로 진리로 가정할 경우 가능한 것으로 밝혀졌다. 예를 들어, 우리는 모든 실제 숫자에 대해 그것보다 더 큰 다른 숫자가 있다고 말할 수 있다.

$\displaystyle \forall x\in \mathb {R} \quad \exists y\in \mathb {R} \quad x<y.}$

그런 다음 하이퍼레알도 동일하다.

$\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\quad \exists y\in {}^{\star }\mathb {R}\quad x<y.}$

또 다른 예는 숫자에 1을 추가하면 더 큰 숫자가 나온다는 문장이 있다.

${\displaystyle \forall x\in \mathb {R} \quad x<x+1}$

또한 초회전을 위해 유지될 수 있다.

$\displaystyle \forall x\in {}^{\\star }\mathb {R} \quad x<x+1.}$

이러한 동등성을 형성하는 올바른 일반적 진술을 이전원리라고 한다. 분석의 많은 공식에서 정량화는 함수나 집합과 같은 고차 객체를 초과하므로 위의 예에서 제시하는 것보다 전달 원리가 다소 더 교묘하다는 점에 유의한다.

R과 R의 차이

그러나 전송 원리는 R과 *R이 동일한 동작을 가지고 있다는 것을 의미하지는 않는다. 예를 들어 *R에는 다음과 같은 Ω 원소가 존재한다.

$1+1[\displaystyle 1], 1+1[\displaystyle one], 1+1+1[\dots]$

하지만 R에는 그런 숫자가 없다. 이는 이 숫자의 불분명한 것이 위의 유형의 첫 번째 주문 명세서로 표현될 수 없기 때문에 가능하다. Ω과 같은 초현실적인 수를 무한대라고 부른다. 무한대수의 왕복수는 무한대수다.

하이퍼레알 *R은 하위 필드로 reals R을 포함하는 순서 필드를 형성한다. 실물과 달리 하이퍼레알은 표준 미터 공간을 형성하지 않지만, 질서에 의해 주문 토폴로지를 가지고 있다.

하이퍼 리알의 구성

하이퍼레알은 자명적으로 또는 보다 건설적으로 지향하는 방법으로 개발될 수 있다. 자명적 접근법의 본질은 (1) 최소 1개 이상의 수의 존재와 (2) 이전 원칙의 타당성을 주장하는 것이다. 다음 항에서 우리는 보다 건설적인 접근방식의 상세한 개요를 제공한다. 이 방법은 울트라필터라고 하는 셋이테오틱 물체가 주어지면 하이퍼레알을 구성할 수 있지만, 울트라필터 자체는 명시적으로 구성할 수 없다. Vladimir Kanobei와 Shelah는^[3] 그 위에 있는 진짜와 모든 세부적인 관계들로 구성된 구조의 확실하고, 헤아릴 수 없이 포화상태인 초등 확장 공사를 한다.

그것의 가장 일반적인 형태에서, 이전은 구조물들 사이의 경계된 기본적인 내장이다.

성명서

비표준 실수의 순서 필드 R에는 실제 필드 R이 적절히 포함된다. R을 적절하게 포함하는 모든 순서가 지정된 필드와 마찬가지로 이 필드는 아르키메데스가 아니다. R의 일부 멤버 x ≠ 0이 최소라는 뜻, 즉,

${\displaystyle \underbrace {\좌측 x\오른쪽 +\cdots +\좌측 x\cdots } _{n{\text{ 용어}}<1}}}{1n.}$

R의 유일한 소수점은 0이다. R의 일부 다른 멤버들, 즉 0이 아닌 인피니티멀의 왕복 y는 무한하다.

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}<\왼쪽 y\오른쪽 {\text{ 모든 한정된 추기경 번호 }}}$

필드 R의 기본 집합은 R의 부분 집합 A에서 R의 부분 집합까지의 매핑 A ↦ A에 따른 R의 영상이다. 모든 경우에

$(\displaystyle A\subseteq {^{*}\!A}}$

A가 유한할 경우에만 동등하게. 일부 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에 대한 형식 A 집합을 R의 표준 하위 집합이라고 한다$$. 표준 집합은 내부 집합이라 불리는 R 하위 집합의 훨씬 더 큰 종류에 속한다. 유사하게 각 함수

${\displaystyle f:A\rightarrow \mathb {R} }$

기능까지 확장하다.

${\displaystyle {^{*}\!f:{^{*}\!A}\오른쪽 화살표 {^{*}\mathb {R};}$

이것들은 표준 함수라고 불리며, 훨씬 더 큰 종류의 내부 함수에 속한다. 내부에 없는 세트와 기능은 외부에 있다.

이러한 개념의 중요성은 다음과 같은 명제에 대한 그들의 역할에서 비롯되며, 그 뒤에 나오는 사례로 설명된다.

전송 원리:

• R에 참인 명제는 미세하게 많은 변수(예: (x, y) ↦ x + y), 미세하게 많은 변수(예: x x y), 미세하게 많은 변수(예: x ≤ y), 미세한 논리 결합체(예: if...)와 같은 미세한 논리 결합체 및 정량자를 통해 표현될 수 있다고 가정합시다.

${\displaystyle \forall x\in \mathb {R} {\text{ 및 }\exists x\in \mathb {R} .}$

예를 들어, 그러한 명제 중 하나는

$\displaystyle \forall x\in \mathb {R} \exists y\in \mathb {R} \x+y=0.}$

그러한 명제는 정량자가 R에서 참인 경우에만 R에서 참이다.

${^{*}\\\\mathb {R}}}}}}}에 대해 \displaystyle \forall x\in {^}\mathb {$

대신하다

${\displaystyle \forall x\in \mathb {R},}$

similarly${\displaystyle \cHB }$의 경우와 유사하게$.$

• 위에서 고찰한 명제들이 일부 특정 집합 $⊆$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ {\$displaystyle$ \$scriptstyle$A\,\$subseteq$\,\$mathb$ {$R}}}$을(를) 언급하는 것처럼 달리 표현할 수 있는 명제를 가정해 보자$.$ 그러한 명제는 R에서 해당 "A"로 대체된 각 "A"가 사실인 경우에만 해당된다. 여기 두 가지 예가 있다.

• 세트

${\displaystyle [0,1]^{{}=\\,x\in \mathb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }}}}}}$

야 한다.

${\displaystyle \{\,x\in {^{*}\mathb {R} }:0\leq x\leq 1\,\}$

0과 1 사이의 R 멤버뿐만 아니라 0과 1 사이의 R 멤버도 포함하며, 인피니티멀에 의한 멤버와 다르다. 이를 보려면 문장을 관찰하십시오.

${\displaystyle \forall x\in \mathb {R} \(x\in [0,1]{\text{ 만약 }}}{0\leq x\leq 1)}$

R에서 참이며, 전송 원리를 적용한다.

• 세트 N은 R에 상한이 없어야 하며(R에서 N의 상한이 없음을 나타내는 문장은 전송원리가 적용하기에 충분히 간단하므로) n을 포함해야 하며, n을 포함하면 n + 1을 포함해야 하지만 n과 n + 1 사이에 어떤 것도 포함해서는 안 된다. 멤버

${\displaystyle {^{*}\mathb {N}\setminus \mathb {N}}$

"무한정수"이다.

• 위에서 고찰한 명제가 정량자를 포함하는 것처럼 간단하게 표현할 수 있는 명제를 가정하자.

$모든 A\subseteq \mathb {R} \dots {\text{ 또는 }\exists A\subseteq \mathb {R} \dots \ .}$

그러한 명제는 위에서 명시한 변경과 정량자를 로 교체한 후 R에서 그것이 사실인 경우에만 R에서 참이다.

${\displaystyle [\text{nternal }}}A\subseteq {^{*}\mathb {R}}\dots ]}$

그리고

${\displaystyle [\exists {\text{internal }A\subseteq {^*}\mathb {R}}\dots ]\ .}$

세 가지 예

초현실 전송 원리에 대한 적절한 설정은 내부 실체의 세계다. 따라서 전송에 의한 자연수의 순서가 양호한 $속성$은 N ${\$의 모든 내부 하위 집합에 최소 요소가 있다는$$ 사실을 산출한다. 이 절에서 내부 세트는 더 자세히 설명된다.

• R에 상한선이 있는 R의 비어 있지 않은 내부 부분집합은 R에 최소 상한을 가진다. 결과적으로 모든 인피니티멀의 집합은 외부적이다.
  • 순서가 잘 되어 있는 원리는 N의 비어 있지 않은 모든 내부 부분집합은 최소의 구성원을 가지고 있음을 의미한다. 결과적으로 집합

${\displaystyle {^{*}\mathb {N}\setminus \mathb {N}}$

모든 무한한 정수들 중 외부적이다.

• n이 무한정 정수인 경우 {1, ..., n}(표준이 아님) 집합이 내부여야 한다. 이를 증명하기 위해 먼저 다음과 같은 내용이 사소한 사실임을 관찰한다.

${\displaystyle \for \in \mathb {N} \exists A\subseteq \mathb {N} \fall x\in \mathb {N} \in \x\text{{x\in if.}$

결과적으로,

${\displaystyle \forall n\in {^*}\mathb {N}\exists {\exists{}} 내부 }A\subseteq {^{*}\mathb {N}\all x\in {^{*}}\mathb {N}}}}\in [x\ext{n]}$

• 내부 세트와 마찬가지로 내부 기능: 교체

$[\displaystyle \forall f:A\rightarrow \mathb {R} \dots }$

와 함께

${\displaystyle \all {\text{ internal }f:{^{*}\!A}\오른쪽 화살표 {^{*}\mathb {R}}\dots }$

전송 원리를 적용할 때, 그리고 마찬가지로 $▼{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\property$$$} 대신$$ $▼$ {\displaystyle$$$\forall$ }.

예를 들어 n이 무한정수인 경우, 무한세트 {1, ..., n}에서 {1, ..., {1, n, n + 1, n + 2, n + 3}까지의 내부 일대일 함수 ƒ의 이미지 보완은 전송 원리에 의해 정확히 3개의 멤버를 가진다. 도메인의 초기성 때문에 전자 세트부터 후자에 이르기까지 일대일 기능의 이미지 보완은 여러 가지 크기로 나오지만, 이러한 기능들은 대부분 외부적이다.

이 마지막 예는 중요한 정의에 동기를 부여한다: R의 *-마인드(예고된 항성-마인드) 부분 집합은 일부 n for N에 대해 {1, ..., n}과(와)의 내부 일대일 대응으로 배치할 수 있는 부분 집합이다.

참고 항목

• 기초 미적분: 무한대의 접근법
• 영속성의 원리
• 대수 일반성

메모들

참조

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
• Hardy, Michael: "Scaled Boolean Algebras". Apple의 조언. 수학. 29번(2002년), 2번, 243–292.
• Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "A definable nonstandard model of the reals", Journal of Symbolic Logic, 69: 159–164, arXiv:math/0311165, doi:10.2178/jsl/1080938834
• Keisler, H. Jerome (2000). "Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach".
• Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "Transfer principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 우와, 예르지(1955) 퀼케스는 재혼하고, 테오르메스 외 프로블렘 레즈 클래스는 데피니세블 달제브르. 형식 시스템의 수학적 해석, 페이지 98–113. 암스테르담 노스홀랜드 출판사
• Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3, MR 0205854