레지오몬타누스의 각도 극대화 문제

수학에서 레지오몬타누스의 각도 극대화 문제는 15세기 독일 수학자 요하네스 뮐러가^[2] 제기한 유명한 최적화 문제입니다^[1]. 문제는 다음과 같습니다.

그림이 벽에 걸려 있습니다. 그림의 상단과 하단의 높이를 고려할 때, 그림에 따라 달라지는 각도를 최대화하기 위해 벽에서 얼마나 떨어져 있어야 하며, 그 꼭짓점은 누구의 눈에 있습니까?

뷰어가 벽에 너무 가까이 있거나 벽에서 너무 멀리 있는 경우 각도가 작으며, 그 사이의 어딘가가 가능한 한 큽니다.

럭비에서 공을 차는 최적의 장소를 찾는 데도 같은 접근법이 적용됩니다.^[3] 이 문제에 있어서, 그림의 정렬이 직각일 필요는 없습니다: 우리는 기울어진 피사의 탑의 창문이나 경사진 다락방 지붕에서 하늘빛의 장점을 뽐내는 부동산 중개인을 보고 있을 수 있습니다.

기본기하학에 의한 해

그림의 위와 아래를 지나며 눈높이 선에 접하는 독특한 원이 있습니다. 기본적인 기하학적 구조에 의해, 만약 관람자의 위치가 원을 따라 움직인다면, 그림에 의해 감산된 각도는 일정하게 유지될 것입니다. 접선 지점을 제외한 모든 눈 높이 선의 위치는 원 밖에 있으므로 해당 지점에서 그림이 뺀 각도가 더 작습니다.

허락하다

a = 눈 높이 이상의 그림 바닥 높이;

b = 눈 높이 이상의 그림 상단 높이;

원의 중심, 그림의 중심, 그리고 그림의 아래로부터 직각 삼각형이 형성됩니다. 빗변의 길이는 원의 반지름 a+(b-a)/2이고, 두 다리의 길이는 벽에서 접선 지점까지의 거리와 (b-a)/2입니다. 따라서 피타고라스 정리에 따르면 벽에서 접선 지점까지의 거리는 ${\displaystyle \sqrt{b}}$ $displaystyle {\sqrt {ab\,{}}},$즉 그림의 상단과 하단 높이의 기하 평균입니다.

미적분학에 의한 해

오늘날 이 문제는 많은 1학년 미적분학 교과서(예를 들어 Stewart의 문제)에 연습문제로 등장하기 때문에 널리 알려져 있습니다.

허락하다

a = 눈 높이 이상의 그림 바닥 높이;

b = 눈 높이 이상의 그림 상단 높이;

x = 벽에서 보는 사람의 거리;

α = 관람자의 위치에서 본 그림 바닥의 상승 각도

β = 보는 사람의 위치에서 본 그림 상단의 상승 각도.

우리가 최대화하고자 하는 각도는 β - α입니다. 각도가 증가함에 따라 각도의 접선이 증가하므로 최대화하기에 충분합니다.

${\displaystyle \tan(\beta -\alpha)={\frac {\tan \beta -\alpha }{1+\tan \alpha }{1+\tan \alpha }}={\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2+ab}}}}$

b - a는 양의 상수이므로, 우리는 그것을 따르는 분수만 최대화하면 됩니다. 차별화, 우리는

${\displaystyle {d \over dx}\left ({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}.\end{case}}}$

따라서 x가 0에서 √ab으로 갈수록 각도가 증가하고 √ab에서 x가 증가할수록 각도가 감소합니다. 따라서 각도는 a와 b의 기하 평균인 x = √ab일 때 가능한 한 정확하게 커집니다.

대수에 의한 해

우리는 그것이 최대화하기에 충분하다는 것을 보았습니다.

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+ab}}.$

이는 역수를 최소화하는 것과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}.}$

이 마지막 수량은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \left ({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.$

이것은 정사각형이 0일 때 가능한 한 작으며, x = √ab일 때 발생합니다. 또는 이것을 산술 평균과 기하 평균 간의 불평등의 예로 들 수 있습니다.

참고문헌