적분 변환

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

수학에서, 적분 변환은 원래 기능 공간으로부터 다른 기능 공간으로 기능을 매핑하는데, 여기서 원 기능의 일부 특성은 원래 기능 공간보다 더 쉽게 특성화하고 조작될 수 있다. 변환된 함수는 일반적으로 역 변환을 사용하여 원래 함수 공간에 다시 매핑될 수 있다.

일반형식

적분 변환은 $다음{\displaystyle }$ 형식의$$ T ${\displaystyle T}$이다.

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

이 변환의 입력은 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이고$,$ 출력은 또 다른 함수 ${\displaystyle T}$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle Tf}$이다$.$ 적분 변환은 특정한 종류의 수학 연산자다.

수많은 유용한 통합 변환이 있다. 각각은 커널 함수, 통합 커널 또는 변환의 핵인 두$$ 변수 중 K {\$displaystyle$ K$} 함수$를 선택하여 지정된다.

일부 커널에는 $역{\displaystyle {}^{}}$ 커널 K${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}u}$ ,${\displaystyle t}$ )${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$이(가) 있으며, 이 경우$$ (거의) 역 변환이 발생한다.

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}^{{1}^{2}}(Tf)(u)\,K^{1}(u,t)\,du}$

대칭 커널은 $두{\displaystyle }$ 변수가 순열될 때 변하지 않는 커널이다. K${\displaystyle (t,u}$) = K${\displaystyle (u,}$ t ) = ${\displaystyle K}$(, ${\displaystyle t}$ $){\displaystyle$ K$(t,u)=K(u,t)}$와 같은 커널 함수 $(\displaysty$ K)이다$.$적분 방정식의 이론에서 대칭 커널은 자기 적응 연산자에 해당한다$.$^[1]

사용동기

수학 표기법은 차치하고라도 적분 변환 뒤에 숨은 동기는 이해하기 쉽다. 원래 표현으로는 풀기 어려운, 혹은 적어도 대수적으로 상당히 다루기 어려운 문제들이 많이 있다. 통합 변환은 방정식을 원래 "도메인"에서 다른 도메인으로 "맵"한다. 대상 도메인에서 방정식을 조작하고 해결하는 것은 원래 도메인에서 조작과 해결책보다 훨씬 쉬울 수 있다. 그런 다음 솔루션은 적분 변환의 역순으로 원래 영역으로 다시 매핑된다.

"신속한 커널"이나 확률적 할인율, 또는 강력한 통계에서 복구된 데이터의 평활화와 같이 적분된 변환에 의존하는 확률의 적용이 많다. 커널(통계)을 참조한다.

역사

변환의 전구체는 유한한 간격으로 기능을 표현하기 위한 푸리에 시리즈였다. 후에 푸리에 변환은 유한 구간의 요건을 제거하기 위해 개발되었다.

푸리에 시리즈를 사용하면, 시간의 거의 모든 실제 기능(예를 들어 전자 장치의 단자에 걸친 전압)을 각각 적절하게 스케일링(상수 인자에 의해 곱), 시프트(시간에서 진각 또는 지연됨), "수분화" 또는 "수분화"(프리큐 증가 또는 감소)의 합으로 나타낼 수 있다.ncy). 푸리에 시리즈에 나오는 씨네와 코사인(cosines)은 정형근위의 예다.

사용 예제

적분 변환의 적용 예로서 라플라스 변환을 고려한다. 이것은 "시간" 영역의 미분 또는 정분차 방정식을 "복잡한 주파수" 영역이라고 불리는 다항식 방정식으로 매핑하는 기법이다. (복잡한 주파수는 실제의 물리적 주파수와 비슷하지만 오히려 일반적이다. 구체적으로는 복잡한 주파수 s의 상상적 성분 Ω = -sv + iΩ은 사인파 사이클의 비율인 일반적인 주파수 개념인 viz에 해당하는 반면, 복잡한 주파수의 실제 성분 σ은 "damping" 정도, 즉 진폭의 지수 감소)에 해당한다. 복잡한 주파수 측면에서 주조된 방정식은 복잡한 주파수 영역(복합 주파수 영역의 다항식 방정식의 뿌리는 시간 영역의 고유값에 해당)에서 쉽게 해결되어 주파수 영역에 공식화된 "솔루션"으로 이어진다. 역변환, 즉 원래의 라플라스 변환의 역변환 절차를 채택하면 시간영역 솔루션을 얻는다. 이 예에서 복합 주파수 영역(일반적으로 분모에서 발생)의 다항식은 시간 영역의 동력 시리즈에 해당하는 반면, 복합 주파수 영역의 축방향 이동은 시간 영역의 지수 붕괴에 의한 감쇠에 해당한다.

라플라스 변환은 물리학과 특히 전기 공학에서 광범위한 응용을 발견하는데, 복잡한 주파수 영역에서 전기 회로의 동작을 기술하는 특성 방정식은 시간 영역에서 기하급수적으로 확장된 축축한 사인파의 선형 결합에 해당한다. 다른 통합형 변환은 다른 과학 및 수학 분야 내에서 특별한 적용 가능성을 발견한다.

또 다른 사용 예로는 경로의 커널이 있다.

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\nft }^{\npty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'이다.}$

This states that the total amplitude ${\displaystyle \psi (x,t)}$ to arrive at ${\displaystyle (x,t)}$ is the sum (the integral) over all possible values ${\displaystyle x'}$ of the total amplitude ${\displaystyle \psi (x',t')}$ to arrive at the point ${\$$displaystyle (x',t')}$에 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ x$'}$에서 $x{\displaystyle }$′ {\$displaystyle$ x$}$로 이동할 진폭을 곱한$$$$[예: $K{\displaystyle (x,}$ t$t$ {\$displaystyle$ K$(x,t;$t$\text{'})\}].$^[2] 그것은 종종 주어진 시스템의 전파자라고 불린다. 이 (물리학) 낟알은 적분 변환의 낟알이다. 그러나 양자 시스템마다 다른 커널이 있다.^[3]

변환 표

적분 변환 표

변형	기호	K	f(t)	t1	t2	K−1	u1	u2
아벨 변환	F, F	${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}:}$		u	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {u^{2}\!-\!t^{2}}}{\frac {d}{du}}}}}}$ [4]	t	$\displaystyle \infit }$
연관된 범례 변환	${\displaystyle {\mathcal{J}_{n,m}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	$\displaystyle \infit }$
푸리에 변환	${\displaystyle {\mathcal{F}}$	${\displaystyle e^{-2\pi iut}$	${\displaystyle L_{1}.$	$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle e^{2\pi iut}$	$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$
푸리에 사인 변환	${\displaystyle {\mathcal{F}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}{\pi }}\sin(ut)}$	$[{\displaystyle }$ 0 ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [0,\fty )}$에$,$ 실제 값	${\displaystyle 0}$	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\sqrt {2}{\pi }}\sin(ut)}$	${\displaystyle 0}$	$\displaystyle \infit }$
푸리에 코사인 변환	${\displaystyle {\mathcal{F}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}{\pi }}\cos(ut)}$	$[{\displaystyle }$ 0 ,${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle [0,\fty )}$에$,$ 실제 값	0	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\sqrt {2}{\pi }}\cos(ut)}$	0	$\displaystyle \infit }$
한클 변환		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$		0	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	0	$\displaystyle \infit }$
하틀리 변환	${\displaystyle {\mathcal{H}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$
헤르미트 변형	$H}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}H_{n}(x)}$		$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$		${\displaystyle 0}$	$\displaystyle \infit }$
힐버트 변환	${\displaystyle {\mathcal{H}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }{\frac {1}{u-t}}}$		$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }{\frac {1}{u-t}}}$	$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$
자코비 변형	$(\displaystyle J}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }\(1+x)^{\beta }\P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	$\displaystyle \infit }$
라구에르 변환	$L}$	${\displaystyle e^{-x}\x^{\alpha }\L_{n}^{\alpha }(x)}$		${\displaystyle 0}$	$\displaystyle \infit }$		${\displaystyle 0}$	$\displaystyle \infit }$
라플라스 변환	${\displaystyle {\mathcal{L}}$	e−ut		0	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}{2\pi i}}$	$♬ 디스플레이 스타일 c\!-\!i\fully }?$	$C\\displaystyle c\!+\!i\fully }$
레전드르 변환	${\displaystyle {\mathcal{J}}$	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	$\displaystyle \infit }$
멜린 변환	${\displaystyle {\mathcal{M}}$	tu−1		0	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}{2\pi i}\,}$[5]	$♬ 디스플레이 스타일 c\!-\!i\fully }?$	$C\\displaystyle c\!+\!i\fully }$
양면 라플라스 변형시키다	${\displaystyle {\mathcal{B}}$	e−ut		$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}{2\pi i}}$	$♬ 디스플레이 스타일 c\!-\!i\fully }?$	$C\\displaystyle c\!+\!i\fully }$
포아송 커널		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}}$		0	2π
라돈 변환	ƒ			$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$
바이에스트라스 변환	${\displaystyle {\mathcal{W}}$	${\displaystyle {\frac{-{-{\frac {(u-t)^{2}}:{4}{\sqrt{4}}}},}$		$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}{i{\sqrt{4\pi}}}}}$	$♬ 디스플레이 스타일 c\!-\!i\fully }?$	$C\\displaystyle c\!+\!i\fully }$
X선 변환	Xƒ			$-\displaystyle -\fully }$	$\displaystyle \infit }$

역변환에 대한 통합 한계에서 c는 변환 함수의 특성에 따라 달라지는 상수다. 예를 들어, 단측 및 양측 라플라스 변환의 경우 c는 변환 함수의 0에서 가장 큰 실제 부분보다 커야 한다.

푸리에 변환에는 대체 개념과 규칙이 있다는 점에 유의하십시오.

다른 도메인

여기서 적분 변환은 실수의 함수에 대해 정의되지만, 그것들은 그룹의 함수에 대해 더 일반적으로 정의될 수 있다.

• 만약 그 대신 원(주기적 함수)의 함수를 사용한다면, 통합 커널은 생체주기적 함수가 된다; 원의 함수에 의한 콘볼루션은 원형 콘볼루션을 산출한다.
• 만일 어떤 사람이 n 순서(C_n 또는 Z/nZ)의 순환 그룹에 함수를 사용하는 경우, 통합 커널로서 n × n 행렬을 얻는다; 경련은 순환 매트릭스에 해당한다.

일반론

적분 변환의 속성은 매우 다양하지만, 그것들은 몇 가지 공통적인 속성을 가지고 있다. 예를 들어, 모든 적분 변환은 선형 연산자이기 때문에, 그리고 실제로 커널이 일반화 함수로 허용된다면 모든 선형 연산자는 적분 변환자(이 문장의 적절하게 공식화된 버전은 슈워츠 커널 정리)이다.

그러한 적분 방정식의 일반적인 이론은 프레드홀름 이론으로 알려져 있다. 이 이론에서, 낟알은 기능의 바나흐 공간에 작용하는 콤팩트한 연산자로 이해된다. 상황에 따라 그 커널을 프레드홀름 운영자, 핵 운영자 또는 프레드홀름 커널이라고 다양하게 부른다.

참고 항목

참조

추가 읽기

• A. D. Polyanin과 A. V. Manzhirov, Handbook of Integral 방정식, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN0-8493-2876-4
• R. K. M. Thambynayagam, the Disposition Handbook: 2011년 뉴욕 McGraw-Hill의 엔지니어용 솔루션 적용 ISBN 978-0-07-175184-1
• "Integral transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• EqWorld의 통합 변환 표: 수학 방정식의 세계.