응력을 받는 재료 변형을 설명하기 위한 수학적 모델
연속체 역학 에서, 무한소 변형 이론은 재료 입자의 변위 가 물체의 관련 치수보다 훨씬 더 작다고 가정되는 고체 물체의 변형 을 설명하는 수학적 접근법이다; 그래서 그것의 기하학과 구성 특성(밀도 및 강성 등 ) 재료의 각 지점에서의 변형은 변하지 않는 것으로 가정할 수 있다.
이 가정으로 연속체 역학의 방정식은 상당히 단순화된다. 이 접근방식은 작은 변형 이론, 작은 변위 이론 또는 작은 변위 경사 이론이라고 도 불립니다 . 그것은 정반대의 가정이 이루어지는 유한 변형률 이론과 대조된다.
콘크리트 및 강철과 같은 비교적 단단한 탄성 재료로 만들어진 구조물의 응력 분석을 위해 토목 및 기계 공학에서 일반적으로 극소 변형 이론이 채택됩니다. 이러한 구조물의 설계에서 공통적인 목표는 일반적 인 하중의 변형률을 최소화하는 것이기 때문입니다. 그러나 이 근사치에서는 로드, 플레이트 및 셸과 같이 상당한 회전을 일으키기 쉬운 얇고 유연한 물체의 경우 주의가 요구되므로 결과를 신뢰할 [1]
무한소 스트레인 텐서 단일성에 비해 변위구배 (2차 ) 연속체체 의 무한변형 에 대해서는 (무한히 ) 하나 기하학적 선형화 를 수행할 수 있다. 예를 들어, Lagrangian 스트레인 (\displaystyle \mathbf 스트레인 e(\ \mathbf } 이렇게 해서
E = 1 2 ( ∇ X u + ( ∇ X u ) T + ( ∇ X u ) T ∇ X u ) ≈ 1 2 ( ∇ X u + ( ∇ X u ) T ) {\displaystyle \mathbf {E} = mathbf {1}{2}}\left(\displayla _{\mathbf {X}}}\mathbf {u} +(\mathbf {u})^{T}+(\nabla _{\mathbf {X}\mathbf {X})\mathbu} } } T}\right)} 또는 E K L = 1 2 ( ∂ U K ∂ X L + ∂ U L ∂ X K + ∂ U M ∂ X K ∂ U M ∂ X L ) ≈ 1 2 ( ∂ U K ∂ X L + ∂ U L ∂ X K ) ({displaystyle E_{KL}=partial frac {1}{2}}\left frac {\partial X_{L}}+{\frac {\partial X_{L}}+{\frac {\partial U_{M}}}{\partial X}) 그리고. e = 1 2 ( ∇ x u + ( ∇ x u ) T − ∇ x u ( ∇ x u ) T ) ≈ 1 2 ( ∇ x u + ( ∇ x u ) T ) \displaystyle \mathbf {e} = left(\displayfrac {1} {2}} \mathbf {u} +(\displayla _ {\mathbf {x} } \mathbf {u} )^{T} - \ nabla _ {\mathbf {x} \ mathbu} \ laf {u} T}\right)\약 {frac {1}{2}\left(\nabla_{\mathbf {x}}\mathbf {u} +(\nabla_{\mathbf {x}}\mathbf {u})^{ T}\right)} 또는 e r s = 1 2 ( ∂ u r ∂ x s + ∂ u s ∂ x r − ∂ u k ∂ x r ∂ u k ∂ x s ) ≈ 1 2 ( ∂ u r ∂ x s + ∂ u s ∂ x r ) (\displaystyle e_{rs}=black {1}{2}}\left\frac {\flac u_{s}}+{\flac {\flac u_{s}}-{\flac {\flac u_{r}}-{\fr}{\flac u_{\fr}}{\fr}{\fr}{\fr}{\fl}{\fr}{\fr}{\frclac u_{{\fr}}}{{{
이러한 선형화는 라그랑지안 설명과 오일러안 설명이 연속체에서 주어진 물질 점의 물질 및 공간 좌표에서 거의 차이가 없는 것과 거의 같다는 것을 암시한다. 따라서 재료변위구배성분과 공간변위구배성분은 거의 동일하다. 이렇게 해서
E ≈ e ≈ ε = 1 2 ( ( ∇ u ) T + ∇ u ) {\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \ about \ bold symbol { varepsilon } = spec frac {1} {2} \ left ( \ specla \ mathbf {u})^{ T}+\nabla \mathbf {u} \right)} 또는 E K L ≈ e r s ≈ ε i j = 1 2 ( u i , j + u j , i ) ({displaystyle E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}=black {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right) 여기서 i i displaystyle varepsilon ij} 변형률 텐서 , 선형 변형률 텐서 또는 작은 변형률 텐서라고도 불리는 극소 변형률 텐서 {\ displaystyle boldsymbol varepsilon }
ε i j = 1 2 ( u i , j + u j , i ) = [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 ] = [ ∂ u 1 ∂ x 1 1 2 ( ∂ u 1 ∂ x 2 + ∂ u 2 ∂ x 1 ) 1 2 ( ∂ u 1 ∂ x 3 + ∂ u 3 ∂ x 1 ) 1 2 ( ∂ u 2 ∂ x 1 + ∂ u 1 ∂ x 2 ) ∂ u 2 ∂ x 2 1 2 ( ∂ u 2 ∂ x 3 + ∂ u 3 ∂ x 2 ) 1 2 ( ∂ u 3 ∂ x 1 + ∂ u 1 ∂ x 3 ) 1 2 ( ∂ u 3 ∂ x 2 + ∂ u 2 ∂ x 3 ) ∂ u 3 ∂ x 3 ] {\displaystyle {displaystyle {ij}&=snapfrac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\ \&, ={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&, \varepsilon _{12}&,\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&, \varepsilon _{22}&,\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31일}&, \varepsilon _{32}&, \varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}\\&, ={\begin{bmatrix}{\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac{1}{2}}\left(}{\frac{\partial u_{1}{\partial x_.{2}}}+{\frac{\partial u_{2}}{\parti 알 x_{1}}}\right)&{\frac{1}{2}}\left({\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}와{\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac{1}{2}}\left({\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}와{\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&,{\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac{1}{2}}\left({\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}.+{\frac{\pa rtial u_{3}}{\frac {1}{2}}\leftfrac {\frac {\frac u_{3}+{\frac {\frac u_{1}{\frac {}\frac {\fright}\frac {2}\frac {\frac {\frac} 또는 다른 표기법을 사용합니다. [ ε x x ε x y ε x z ε y x ε y y ε y z ε z x ε z y ε z z ] = [ ∂ u x ∂ x 1 2 ( ∂ u x ∂ y + ∂ u y ∂ x ) 1 2 ( ∂ u x ∂ z + ∂ u z ∂ x ) 1 2 ( ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y ) ∂ u y ∂ y 1 2 ( ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y ) 1 2 ( ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z ) 1 2 ( ∂ u z ∂ y + ∂ u y ∂ z ) ∂ u z ∂ z ] {\displaystyle{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&, \varepsilon _{xy}&,\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&, \varepsilon _{yy}&,\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&, \varepsilon _{zy}&, \varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac{\partial u_{)}}{x\partial}}&{\frac{1}{2}}\left({\frac{\partial u_{)}}{이\partial}}+{.\frac{\partial u_{y}}{\part Ial x}}\right)&{\frac{1}{2}}\left({\frac{\partial u_{x}}{\partial z}}와{\frac{\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac{1}{2}}\left({\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}와{\frac{\partial u_{x}}{\partial는 y}}\right)&,{\frac{\partial u_{y}}{이\partial}}&{\frac{1}{2}}\left({\frac{\partial u_{y}}{z\partial}}+{\frac{\partial u_{z}}{\p.artial는 y}}\r ight)\{\frac {1}{2}}\frac {\frac x}+{\frac {\frac z}}{\frac {1}{\frac {\frac y}\frac {\frac {1}}\frac {\frac {\frac}}{\frac {\f}}}\frac {\frac {\fr}{\frac {\y}\frac {\f}}}}
또한 변형 구배는 F = u+ I displaystyle boldsymbol {F}}=\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}} , displaystyle boldsymbol {I}}}}
ε = 1 2 ( F T + F ) − I {\displaystyle {\boldsymbol {varepsilon}}=flac {1}{2}\left\boldsymbol {F}+{\boldsymbol {F}\right}-{\boldsymbol {I}}}}
또한, 라그랑지안과 오일러의 유한 변형률 텐서에 대한 일반식 으로부터 우리는 가지고 있다.
E ( m ) = 1 2 m ( U 2 m − I ) = 1 2 m [ ( F T F ) m − I ] ≈ 1 2 m [ { ∇ u + ( ∇ u ) T + I } m − I ] ≈ ε e ( m ) = 1 2 m ( V 2 m − I ) = 1 2 m [ ( F F T ) m − I ] ≈ ε {\displaystyle {displaystyle {aligned}\mathbf {E}_{(m)}&=mathbf {U}^{2m}-{\boldsymbol {I}}=mfrac {1}{2m}[({\boldsymboldmbolmbol}{F})}^{{{{\boldsymboldsymboldsymb}}}}}}}}}{{{{m}}}}}}{mboldsymbolds T}+{\boldsymbol {I}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}\\mathbf {e}_{(m)}&=mathbf {1}{2m}-{boldsymbol}{e}\mathbf {e}\mathbfrcal {e} {e}
기하학적 파생 그림 1 극소 재료 요소의 2차원 기하학적 변형입니다. 치수 d dx x dy displaystyle ) displaystyle ) 그림 1의 기하학적 구조에서 다음과 같은 것이 있습니다.
a b ¯ = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 1 + 2 ∂ u x ∂ x + ( ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 {\displaystyle{\begin{정렬}{\overline{농양}}&=ᆮ+\left({\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&, =dx{\sqrt{1+2{\frac{\partial u_{)}}{x\partial}}+\left({\frac{\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^ᆲ+\left({\frac{\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end.{정렬 }}}
매우 작은 변위 구배(예: ‖ u 1 displaystyle \ nabla mathbf { u ll )
a b ¯ ≈ d x + ∂ u x ∂ x d x \displaystyle \ overline {ab} \ about dx + { \ frac u _ { x } { \ flac }
직사각형 요소의 x(\displaystyle ) 표준 변형은 다음 과 같이 정의됩니다.
ε x = a b ¯ − A B ¯ A B ¯ {\displaystyle \varepsilon _{x}=slack {\overline {ab}}-{\overline {AB}}{\overline {AB}}}} A = d x displaystyle AB = ) 것 ε x = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}=\displayfrac u_{x}{\display x}}
마찬가지 \displaystyle y-방향 displaystyle
ε y = ∂ u y ∂ y , ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{y}=param frac {\param y}, \qquad \varepsilon _{z}=param frac {\param z}}
엔지니어링 전단 변형률 또는 원래 직교한 두 재료 라인(이 A {\ displaystyle {AC}} 및 B {\ displaystyle {AB
γ x y = α + β \displaystyle _{xy}=\alpha +\displays }
그림 1의 기하학적 구조에서 다음과 같은 것이 있습니다.
햇볕에 그을 띠다 α = ∂ u y ∂ x d x d x + ∂ u x ∂ x d x = ∂ u y ∂ x 1 + ∂ u x ∂ x , 햇볕에 그을 띠다 β = ∂ u x ∂ y d y d y + ∂ u y ∂ y d y = ∂ u x ∂ y 1 + ∂ u y ∂ y {\displaystyle \tan \alpha = {\dfrac {\dfrac u_{y} {\dfrac x} {\dfrac u_{x}} {\dfrac u_{x}}} {1+{\dfrac u_{x}}} {\frac} {\dfrac x}} al u_{x} {\dfrac {\dfrac u_{y} {\frac y}}
작은 회전의 경우, 예를 들어 displaystyle \alpha ) 및 displaystyle beta) (\displaystyle \ll )
햇볕에 그을 띠다 α ≈ α , 햇볕에 그을 띠다 β ≈ β \displaystyle \tan \alpha \약 \alpha \alpha \alpha \alpha \alpha \alpha, \qquad \tan \tan \alph 작은 변위 구배에 대해서는 α = ∂ u y ∂ x , β = ∂ u x ∂ y \displaystyle \alpha = param frac {\display u_{y}} \display, \qquad \displays = param frac {\display u_{x} {\display y} 따라서 γ x y = α + β = ∂ u y ∂ x + ∂ u x ∂ y \displaystyle _{xy}=\alpha +\displays =\frac {\frac u_{y}+{\frac u_{x} {\frac y} x(\displaystyle ) displaystyle ) 및 u (\ displaystyle u_{x}) (\ displaystyle u_{y }) 교환함 xxy =\displaystyle {xy 임
마찬가지 \ displaystyle y-z \ displaystyle displaystyle x\ 대해서는
γ y z = γ z y = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y , γ z x = γ x z = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z \displaystyle _{yz}=\display frac {\displays u_{y}}+{\frac y}{\displays u_{z}=\display frac {\displays u_{z}}=display frac u_{z}{\frac}
그리고 나서 공학적 변형률 정의인 δ\displaystyle \gamma
[ ε x x ε x y ε x z ε y x ε y y ε y z ε z x ε z y ε z z ] = [ ε x x γ x y / 2 γ x z / 2 γ y x / 2 ε y y γ y z / 2 γ z x / 2 γ z y / 2 ε z z ] {\displaystyle{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&, \varepsilon _{xy}&,\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&, \varepsilon _{yy}&,\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&, \varepsilon _{zy}&, \varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&, \gamma _{xy}/2&, \gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&, \varepsilon _{yy}&, \.감마 _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&, \gamma_{z y}/2&\varepsilon _{zz}\\end {bmatrix}}
물리적 해석 유한 변형률 이론에서 우리는
d x 2 − d X 2 = d X ⋅ 2 E ⋅ d X 또는 ( d x ) 2 − ( d X ) 2 = 2 E K L d X K d X L {\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} =d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \cdot {X} \mathbf {X} \cdisplaystyle (dx)^2}-(DX)^{2_D}
극소량의 변종에 대해서는
d x 2 − d X 2 = d X ⋅ 2 ε ⋅ d X 또는 ( d x ) 2 − ( d X ) 2 = 2 ε K L d X K d X L {\displaystyle d\mathbf {x}^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} \text{or}\d_2-(x)^{2} = d\mathbf {X}
( d 2 display dX )
d x − d X d X d x + d X d X = 2 ε i j d X i d X d X j d X {\displaystyle {dX-dX}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{dX}{\frac {dX}{dX}}}{\frac {dX}}{dX}}}}{\frac {dX}}}}
작은 변형에서는 d x displaystyle about 가정 d d X 2 display frac dx dX dX about .
그리고 우리는
d x − d X d X = ε i j N i N j = N ⋅ ε ⋅ N {\displaystyle {dx-dX}{dX}=\varepsilon _{ij}N_{i} N_{j}=\mathbf {N}\cdot {boldsymbol {varepsilon }}\cdot \mathbf {N} 여기 Ni = d i d displaystyle N_{i flac dX_{ i}}{dX }}} d 방향 정규 변형률 N ) displaystyle e_mathbf}(\nf)입니다. r X1 ({ displaystyle X_{1 }) N mathbf }) N = I ({ displaystyle \mathbf {N} mathbf {I} _1 e ( I 1 ) = I 1 ⋅ ε ⋅ I 1 = ε 11 . {\displaystyle e_{{1}}=\mathbf {I}_{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I}_{1}=\varepsilon _{11}.
마찬가지 = I 2 {\displaystyle mathbf mathbf {I } _{ 및 = I displaystyle \mathbf {N} mathbf {I} { 3 ε displaystyle \ mathbf { I ε {\ 따라서, 극소 스트레인 텐서의 대각선 요소는 좌표 방향의 정규 스트레인입니다.
변형률 변환 규칙 직교 정규 좌표계 ( e e 2 e displaystyle \mathbf {e} 1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} {3
ε = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ε i j e i ⊗ e j {\displaystyle {\boldsymbol {varepsilon }=\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e}_{i}\otimes \mathbf {e}_{j} 매트릭스 형태로, ε _ _ = [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 12 ε 22 ε 23 ε 13 ε 23 ε 33 ] (\displaystyle {\boldsymbol {varepsilon }} = varepsilon _{11} &\varepsilon _{12} &\varepsilon _{12} &\varepsilon _{22} &\varepsilon _{23}) _varepsilon _{12} 대신 다른 직교 좌표계 e e 2 e^ style {mathbf {e}}}_{1}, {\hat {mathbf e}}}_{2}, hat {mathbf {e}}}}}_{3 이 경우 텐서의 구성요소가 다르다. 예를 들어, ε = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ε ^ i j e ^ i ⊗ e ^ j ⟹ ε ^ _ _ = [ ε ^ 11 ε ^ 12 ε ^ 13 ε ^ 12 ε ^ 22 ε ^ 23 ε ^ 13 ε ^ 23 ε ^ 33 ] {\displaystyle{\boldsymbol{\varepsilon}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat{\varepsilon}}_{ij}{\hat{\mathbf{e}}}}}({\underline{\underline{\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}}}}={\begin{bmatrix}{\hat{\varepsilon}}_{11}&,{\hat{\mathbf{e}_{j}\quad \implies _{나는}\otimes.{\hat{\varepsilon}}_{12}&.{\hat{\varepsilon}}_{13}\\{\hat{\var 엡실론 }}_{12}&{hat {varepsilon }}_{22}&{hat {varepsilon }}_{23}\{\hat {varepsilon }}_{23}&{\hat {varepsilon }}{33}\end{bmatrix} 두 좌표계에서 변형률의 구성요소는 다음과 같이 관련된다. ε ^ i j = ℓ i p ℓ j q ε p q (\displaystyle\hat\{ij}=\ell_{ip}~\ell_{jq}~\varepsilon_{pq}) 여기서 반복 지수에 대한 아인슈타인 합산 규칙 이 사용되었고 i j = i ⋅ j displaystyle \ell ij hat mathbf } cdot mathbf { } _ } ε ^ _ _ = L _ _ ε _ _ L _ _ T (\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon}}={\boldsymbol {L}}}~{\baldsymbol {\varepsilon}}}}}~{{\boundsymbol {L}}}})^{{\brine} T}} 또는 [ ε ^ 11 ε ^ 12 ε ^ 13 ε ^ 21 ε ^ 22 ε ^ 23 ε ^ 31 ε ^ 32 ε ^ 33 ] = [ ℓ 11 ℓ 12 ℓ 13 ℓ 21 ℓ 22 ℓ 23 ℓ 31 ℓ 32 ℓ 33 ] [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 ] [ ℓ 11 ℓ 12 ℓ 13 ℓ 21 ℓ 22 ℓ 23 ℓ 31 ℓ 32 ℓ 33 ] T {\displaystyle{\begin{bmatrix}{\hat{\varepsilon}}_{11}&.{\hat{\varepsilon}}_{12}&.{\hat{\varepsilon}}_{13}\\{\hat{\varepsilon}}_{21}&을 말한다.{\hat{\varepsilon}}_{22}&.{\hat{\varepsilon}}_{23}\\{\hat{\varepsilon}}_{31일}&을 말한다.{\hat{\varepsilon}}_{32}&.{\hat{\varepsilon}}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&, \ell _{12}&, \ell _{13}\\\ell _{21}. &\ell _{22}&, \ell _{23}\\\ell _{31일}&, \ell _{32}&, \ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&, \varepsilon _{12}&,\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&, \varepsilon _{22}&,\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31일}&, \varepsilon _{32}&, \varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&, \ell _{12}&, \.엘 _{13}\\\ell _{21}&, \ell _{22}&,\ell _{23}\\\el. l _{311}&\ell _{32}&\ell _{33}\end {bmatrix}}^{ T}}
변형률 불변량 변형률 텐서에 대한 특정 연산은 변형률의 성분을 나타내기 위해 사용되는 직교 정규 좌표계를 고려하지 않고 동일한 결과를 제공합니다. 이러한 연산의 결과를 변형 불변량이라고 합니다 . 가장 일반적으로 사용되는 변형률 불변량은 다음과 같습니다.
I 1 = t r ( ε ) I 2 = 1 2 { [ t r ( ε ) ] 2 − t r ( ε 2 ) } I 3 = 멈추다 ( ε ) 디스플레이 스타일 I_{1}&=\mathrm {tr}({\boldsymbol\varepsilon}})\\ I_{2}&=boldtfrac {1}{2}}\{\mathrm {tr}({\boldsymbol {varepsilon }}}{tr}(\boldsymbol {varepsilon }}}{2}\)\\mathrm {tr} I_{3}&=\det({\boldsymbol\varepsilon}})\end {aligned}} 컴포넌트의 관점에서 I 1 = ε 11 + ε 22 + ε 33 I 2 = ε 11 ε 22 + ε 22 ε 33 + ε 33 ε 11 − ε 12 2 − ε 23 2 − ε 31 2 I 3 = ε 11 ( ε 22 ε 33 − ε 23 2 ) − ε 12 ( ε 21 ε 33 − ε 23 ε 31 ) + ε 13 ( ε 21 ε 32 − ε 22 ε 31 ) 디스플레이 스타일 I_{1}&=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33)\\\ I_{2}&=\varepsilon_{11}\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33)+\varepsilon_{11}-\varepsilon_{12}^2}-\varepsilon_{23}_varepsilon_31)_varepsilon_{22}_varepsilon_{22}_varepsilon_{22}_{22}_varepsilon_{22}_varepsilon_varepsilon. I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{23}^2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{3}-\varepsilon_{31})_varepsilon_{31)
주요 변종 변형 텐서의 성분이 다음과 같은 좌표계( n n 2 n {\ displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} {3
ε _ _ = [ ε 1 0 0 0 ε 2 0 0 0 ε 3 ] ⟹ ε = ε 1 n 1 ⊗ n 1 + ε 2 n 2 ⊗ n 2 + ε 3 n 3 ⊗ n 3 {\displaystyle{\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&, 0&, 0\\0&, \varepsilon _{2}&, 0\\0&, 0&, \varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies({\boldsymbol{\varepsilon}}=\varepsilon _{1}\mathbf{n}_{1}\otimes{n}_{1}+\varepsilon _{2}\mathbf{n}_{2}\otimes \mathbf{n}\mathbf_{2.}+\varepsilon _{3}\mathb f {n} _{3} \otimes \mathbf {n} _{3}} ( n1 n 2 displaystyle \mathbf {n} 1} mathbf {n} _{ } mathbf {n} {3 성분 을 주 변형률이라고 하며, 방향 i displaystyle \mathbf {n} i} 이 좌표계에는 전단 변형률 성분이 없으므로 주 변형률은 요소 부피의 최대 및 최소 연장을 나타냅니다.
임의의 직교 정규 좌표계에서 변형률 텐서의 성분이 주어진다면, 우리는 방정식의 시스템을 풀어서 결정되는 고유값 분해 를 사용하여 주요 변형률을 찾을 수 있다.
( ε _ _ − ε i I _ _ ) n i = 0 _ ({displaystyle(\displaystyle {\boldsymbol {varepsilon }})}-\varepsilon _{i}~{\underline {mathbf {I}})-\mathbf {n}=밑줄(\mathbf {0})) 이 방정식 시스템은 변형 텐서가 전단 성분이 없는 순수한 스트레치가 되는 벡터 i displaystyle \mathbf {n} _{i}
체적 변형률 팽창 (체적의 상대적 변화)은 텐서의 첫 번째 변형 불변량 또는 트레이스이다.
δ = Δ V V 0 = I 1 = ε 11 + ε 22 + ε 33 {\displaystyle \displays = frac {Delta V} {V_{0}} = I_{1}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33} 실제로 모서리 길이 가 a인 입방체를 생각하면 변형 후의 준입방체(각도의 변화는 부피를 바꾸지 않음)이며, 치수 1 + 11 ) a 1 22 ) a 33 displaystyle cdot (1 varepsilon a\cdot _1 _{33)} 및 0 V = a 의3 경우, 따라서 Δ V V 0 = ( 1 + ε 11 + ε 22 + ε 33 + ε 11 ⋅ ε 22 + ε 11 ⋅ ε 33 + ε 22 ⋅ ε 33 + ε 11 ⋅ ε 22 ⋅ ε 33 ) ⋅ a 3 − a 3 a 3 {\displaystyle {\frac {Delta V} {V_{0}} = left (1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot } \frac 작은 변형을 고려했을 때론 1 ≫ ε i i ≫ ε i i ⋅ ε j j ≫ ε 11 ⋅ ε 22 ⋅ ε 33 \displaystyle 1 \g \varepsilon _{ii} \g \varepsilon _{i} \cdot \varepsilon _{11} \cdot \varepsilon _{22} \cdot \varepsilon _{33} 따라서 공식입니다.
순수 전단일 경우 부피의 변화가 없음을 알 수 있습니다.
변형률 편차 텐서 코시 응력 텐서와 유사하게 무한소 스트레인 텐서 δ i displaystyle varepsilon ij
팽창 또는 체적 변화와 관련된 평균 변형 텐서 또는 체적 변형 텐서 , δ i j varepsilon {M}\delta {ij 변형률 편차 텐서 라고 불리는 편차 성분, δ i {\ displaystyle varepsilon ' _ ij
ε i j = ε i j ′ + ε M δ i j \displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij} 여기 (\ displaystyle\varepsilon_{M}) ε M = ε k k 3 = ε 11 + ε 22 + ε 33 3 = 1 3 I 1 e {\displaystyle \varepsilon _{M}={varepsilon _{kk}}{3}={varepsilon _{22}+\varepsilon _{3}}={tfrac {1}{3}} I_{1}^{e}}
편차 변형률 텐서는 최소 변형률 텐서에서 평균 변형률 텐서를 빼서 구할 수 있습니다.
ε i j ′ = ε i j − ε k k 3 δ i j [ ε 11 ′ ε 12 ′ ε 13 ′ ε 21 ′ ε 22 ′ ε 23 ′ ε 31 ′ ε 32 ′ ε 33 ′ ] = [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 ] − [ ε M 0 0 0 ε M 0 0 0 ε M ] = [ ε 11 − ε M ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 − ε M ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 − ε M ] {\displaystyle{\begin{정렬}\ \varepsilon '_{ij}&, =\varepsilon _{ij}-{\frac{\varepsilon_{kk}}{3}}\delta _{ij}\\{\begin{bmatrix}\varepsilon '_{11}&, \varepsilon '_{12}&,\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&, \varepsilon '_{22}&,\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31일}&, \varepsilon '_{32}&, \varepsilon '_{33}\\\end{bmatrix}}&am.p/&={\begin{bmatrix}\varepsilon_ {11}&, \varepsilon _{12}&,\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&, \varepsilon _{22}&,\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31일}&, \varepsilon _{32}&, \varepsilon _{33}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\varepsilon _{M}&, 0&, 0\\0&, \varepsilon _{M}&, 0\\0&, 0&, \varepsilon _{M}\\\end{bmatrix}}\\&, ={\begin{bmatrix}\varepsilon_{1.1}-\varepsilon _{M}&, \varepsilon _{12}&, \varepsilon_{ 13}\\varepsilon _{21}-\varepsilon _{22}-\varepsilon _{23}\\varepsilon _{312}&\varepsilon _{3}-\varepsilon _{M}\end\} 행렬
팔면체 변종 ( n n 2 3 (\displaystyle mathbf n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} {3 팔면체 는 법선이 세 가지 주요 방향과 동일한 각도를 이루는 면이다.8면체 평면에서의 공학적 전단 변형은 8면체 전단 변형이라고 불리며 다음과 같이 주어진다.
γ o c t = 2 3 ( ε 1 − ε 2 ) 2 + ( ε 2 − ε 3 ) 2 + ( ε 3 − ε 1 ) 2 ({ displaystyle _ { \ mathrm { oct } = tfrac {2} {3} } } { \ varepsilon _ { 2} - \ varepsilon _ { 2} + ( \ varepsilon _ { } - { } )^{2} + ( \ varepsilon _ { } - { } ) } } } ^{ } } } } } } 여기서 1 2 3 displaystyle varepsilon 1}, varepsilon 2}, varepsilon } [citation needed 변형입니다.
8면체 평면에서의 정규 변형률은 다음 과 같다.
ε o c t = 1 3 ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} = parec tfrac {1} {3}}({varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}) [필요
등가 변형률 등가 변형률 또는 폰 미제 등가 변형률이라고 불리는 스칼라 양은 고체의 변형률 상태를 설명하기 위해 종종 사용됩니다.등가 변형률에 대한 몇 가지 정의는 문헌에서 찾을 수 있습니다. 가소성 에 관한 문헌에서 일반적으로 사용되는 정의는 다음과 같다.
ε e q = 2 3 ε d e v : ε d e v = 2 3 ε i j d e v ε i j d e v ; ε d e v = ε − 1 3 t r ( ε ) I {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq}=sqrt {\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {varepsilon }{\mathrm {dev}}}{\boldsym {vallepsilon}}{\mathrm {dev}}}}}{{{\frm}}}}}}}}}}{\syparrt{\frcrcrcrcrm {{{{\frcrcr athrm {tr}({\boldsymbol {varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}) 이 양은 다음과 같이 정의된 등가 스트레스와 공역합니다. σ e q = 3 2 σ d e v : σ d e v {\displaystyle {\mathrm {eq} = rt {\tfrac {3} {2}} {\boldsymbol {\mathrm {dev}} {\boldsymbol {\mathrm {dev}}} {{\mathrm {dev}}}}}
호환성 방정식 소정의 변형률 성분 i i displaystyle varepsilon ij style u_{i , j} u_{j,i = 2\varepsilon u_ varepsilon {ij} u }}: 따라서 변형률 성분의 임의 선택에 대한 솔루션은 일반적으로 존재하지 않습니다. 따라서 변형률 성분에는 호환성 방정식이라고 하는 몇 가지 제한이 부과됩니다. 3개의 호환성 방정식을 추가하면 독립 방정식의 수가 3개로 줄어들어 알 수 없는 변위 성분의 수와 일치합니다. 변형률 텐서의 이러한 제약은 Saint-Venant 에 의해 발견되었으며, "Saint Venant 호환성 방정식"이라고 불립니다.
만약 그 탄성 매질 파장에 비해 사각의 무리하지 않은 상태에 있는 집합으로, 후에 중간 변형된 임의의 변형 텐서가 왜곡된 입방체 아직도 끼워 맞출 수 있는 상황을 산출하지 않을 수도 있visualised은 호환성 기능}나는{\displaystyle u_{나는}single-valued 지속적인 변위 함수 u을 확신시키기.를 대접한다. gether 중복되지 않는.
지수 표기법에, 호환성 방정식으로 표현된다.
ε i j , k m + ε k m , i j − ε i k , j m − ε j m , i k = 0 {\displaystyle \varepsilon_{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}.
공학 표기법에,
∂ 2 ϵ x ∂ y 2 + ∂ 2 ϵ y ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ϵ x y ∂ x ∂ y {\displaystyle{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{)}}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partialx\partial y}}}. ∂ 2 ϵ y ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ y 2 = 2 ∂ 2 ϵ y z ∂ y ∂ z {\displaystyle{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partialy\partial z}}}. ∂ 2 ϵ x ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ϵ z x ∂ z ∂ x {\displaystyle{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{)}}{\partial z^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{z\partial는 관세 감축\partial}}}. ∂ 2 ϵ x ∂ y ∂ z = ∂ ∂ x ( − ∂ ϵ y z ∂ x + ∂ ϵ z x ∂ y + ∂ ϵ x y ∂ z ) {\displaystyle{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{)}}{\partialy\partial z}}={\frac{\partial}{x\partial}}\left(-{\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x}}와{\frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial는 y}}와{\frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}}\right)}. ∂ 2 ϵ y ∂ z ∂ x = ∂ ∂ y ( ∂ ϵ y z ∂ x − ∂ ϵ z x ∂ y + ∂ ϵ x y ∂ z ) {\displaystyle{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{y}}{z\partial는 관세 감축\partial}}={\frac{\partial}{이\partial}}\left({\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x}}-{\frac{\partial \epsilon_{zx}}{y}\partial}와{\frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}}\right)}. ∂ 2 ϵ z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ z ( ∂ ϵ y z ∂ x + ∂ ϵ z x ∂ y − ∂ ϵ x y ∂ z ) {\displaystyle{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partialx\partial y}}={\frac{\partial}{z\partial}}\left({\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x}}와{\frac{\partial \epsilon_{zx}}{y}\partial}-{\frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}}\right)}. 특수한 경우 평면 변형률 실제 엔지니어링 구성요소에서는 응력(및 변형률)이 3차원 텐서 이지만 긴 금속 빌렛과 같은 프리즘 구조에서는 구조물의 길이가 다른 2차원보다 훨씬 큽니다. 길이와 관련된 변형률 33 { displaystyle varepsilon 33 13 displaystyle \ varepsilon 13 및 {\ displaystyle varepsilon _ 횡단면 대비 작다. 씨티온 변종평면 변형률은 허용 가능한 근사치입니다. 평면 변형률에 대한 변형률 텐서는 다음과 같이 작성됩니다.
ε _ _ = [ ε 11 ε 12 0 ε 21 ε 22 0 0 0 0 ] (\displaystyle {\boldsymbol {varepsilon }} = varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&0&0&0&end{bmatrix}) 이중 밑줄이 2차 텐서를 나타낸다. 이 변형 상태를 평면 변형이라고 합니다 . 해당하는 응력 텐서는 다음과 같습니다. σ _ _ = [ σ 11 σ 12 0 σ 21 σ 22 0 0 0 σ 33 ] (\displaystyle {\boldsymbol {bmatrix}}=bmatrix_{11}&\display_{12}&\display_{21}&\display_{22}&0&\display_{33)\end{bmatrix}) 0 33 {\ 33 = displaystyle explon _ } = 0 이 응력 항은 분석에서 일시적으로 제거되어 평면 내 항만 남게 되어 3-D 문제를 훨씬 단순한 2-D 문제로 효과적으로 줄일 수 있습니다.
안티플레인 스트레인 안티플레인 스트레인은 예를 들어 나사 탈구 에 가까운 영역 등에서 본체에서 발생할 수 있는 또 다른 특수한 스트레인 상태입니다. 반평면 스트레인에 대한 스트레인 텐서는 다음 과 같다.
ε _ _ = [ 0 0 ε 13 0 0 ε 23 ε 13 ε 23 0 ] (\displaystyle {\boldsymbol {varepsilon }} = paretric {bmatrix} 0&\varepsilon _{23}\varepsilon _{23}&\varepsilon _{23}&0\end{matrix})
무한소 회전 텐서 극소 스트레인 텐서는 다음과 같이 정의된다.
ε = 1 2 [ ∇ u + ( ∇ u ) T ] ({displaystyle {\boldsymbol {varepsilon}}=bladfrac {1}{2})[{\boldsymbol {\bla}}}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\bla}}}}}^{T}}}) 따라서 변위 구배는 다음과 같이 표현될 수 있다. ∇ u = ε + ω (\displaystyle {\boldsymbol {\mathbf {u} = boldboldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {\mega }}) 어디에 ω := 1 2 [ ∇ u − ( ∇ u ) T ] {\displaystyle {\boldsymbol {1}{2}} [{\boldsymbol {\mathbf {u} -({\boldsymbol {\mathbf {u}})^{T}}}} δ(\ displaystyle\boldsymbol\mega}}) 극소 회전 텐서입니다.이 텐서는 스큐 대칭입니다. 극소변형의 경우 displaystyle\boldsymbol\obe} δ ij 1 displaystyle\obe_{ij}\lll1 경우 에만 변위 구배가 작다는 점에 유의하십시오.
축 벡터 스큐 대칭 2차 텐서는 3개의 독립된 스칼라 성분을 가진다. 이 세 가지 구성 요소는 다음과 같이 축 벡터 w\ displaystyle \mathbf {w
ω i j = − ϵ i j k w k ; w i = − 1 2 ϵ i j k ω j k \displaystyle _{ij}=-\ilon _{ijk}~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\ilon _{ijk}~\ilon _{jk} 여기서 i i k displaystyle _ ijk 치환 기호입니다. 매트릭스 형식 ω _ _ = [ 0 − w 3 w 2 w 3 0 − w 1 − w 2 w 1 0 ] ; w _ = [ w 1 w 2 w 3 ] {\displaystyle {\boldsymbol {mega }} = param {bmatrix} 0&-w_{2}\w_{2}\w_{1}\w_{1}&0\end{bmatrix} ~ {\w_{f} } = parammatrix 0&-w_{b} 축 벡터는 또한 무한소 회전 벡터라고도 불립니다. 회전 벡터는 다음 관계에 의해 변위 구배와 관련됩니다. w = 1 2 ∇ × u {\displaystyle \mathbf {w} = boldtfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {bla }}\times \mathbf {u} } 색인 표기법 w i = 1 2 ϵ i j k u k , j ({displaystyle w_{i}=tfrac {1}{2}}~\ilon _{ijk}~u_{k,j}) 1(디스플레이 스타일\lVert) 및 0( 디스플레이 \mathbf {0}) 벡터 크기 {0}) . }.
변형률 텐서와 회전 벡터 사이의 관계 연속적인 단일값 변위장 {\displaystyle mathbf } 텐서 {\ displaystyle boldsymbol varepsilon }}} 도함수(연속역학 참조 ).
∇ × ε = e i j k ε l j , i e k ⊗ e l = 1 2 e i j k [ u l , j i + u j , l i ] e k ⊗ e l \displaystyle \boldsymbol \baldsymbol \varepsilon } = e_{ijk} ~\varepsilon _{mathbf {e} _{k} \otimes \mathbf {e} _{l} = baldsfrac {1} {2} ~ {iju} 미분 순서를 변경해도 결과는 변경되지 않으므로, u j i = ul i display style {l u_{l ij 그러므로 e i j k u l , j i = ( e 12 k + e 21 k ) u l , 12 + ( e 13 k + e 31 k ) u l , 13 + ( e 23 k + e 32 k ) u l , 32 = 0 \displaystyle e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k}u_{l,12}+(e_{13k}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0} 또한. 1 2 e i j k u j , l i = ( 1 2 e i j k u j , i ) , l = ( 1 2 e k i j u j , i ) , l = w k , l {\displaystyle {tfrac {1}{2}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left\tfrac {1}{2}~e_{ijk}_{,l}=\left\tfrac {1}{2}~e_{kij}~u}_i}_j},i}_i}_i}을(오른쪽) 이런 이유로 ∇ × ε = w k , l e k ⊗ e l = ∇ w \displaystyle \boldsymbol \varepsilon } = w_{k,l} ~\mathbf {e} _{k} \otimes \mathbf {e} _{l} = boldboldsymbol \w}
회전 텐서와 회전 벡터 간의 관계 텐서의 컬 에 관한 중요한 동일성으로부터 연속적인 단일값 변위장 u\ displaystyle \mathbf {u ,
∇ × ( ∇ u ) = 0 . {\displaystyle {\boldsymbol {\boldsymbol} {\mathbf {u}}=\boldsymbol {0}. } Since ∇ u = ε + ω {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {\omega }}} ∇ × ω = − ∇ × ε = − ∇ w . (*displaystyle\boldsymbol\boldsymbol\boldsymbol\varepsilon}=-{\boldsymbol\bal\mathbf {w})
원통 좌표의 변형 텐서 원통형 극좌표 ( , z displaystyle theta , z
u = u r e r + u θ e θ + u z e z \displaystyle \mathbf {u} =u_{r} ~\mathbf {e} _{r} +u_{\theta} ~\mathbf {e} _{\theta } +u_{z} ~\mathbf {e} 원통형 좌표계에서 변형률 텐서의 구성요소는 다음과 [2] ε r r = ∂ u r ∂ r ε θ θ = 1 r ( ∂ u θ ∂ θ + u r ) ε z z = ∂ u z ∂ z ε r θ = 1 2 ( 1 r ∂ u r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r ) ε θ z = 1 2 ( ∂ u θ ∂ z + 1 r ∂ u z ∂ θ ) ε z r = 1 2 ( ∂ u r ∂ z + ∂ u z ∂ r ) {\displaystyle{\begin{정렬}\varepsilon _{rr}&, ={\cfrac{\partial u_{r}}{r\partial}}\\\varepsilon _{\theta\theta}&, ={\cfrac{1}{r}}\left({\cfrac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&, ={\cfrac{\partial u_{z}}{z\partial}}\\\varepsilon _{r\theta}&, ={\cfrac{1}{2}}\left(}{\cfrac{1}{r}{\cfrac{년.부분 u_{r}}{) 부분 \theta}}+{\cfrac{\partial u_{\theta}}{r\partial}}-{\cfrac{u_{\theta}}{r}}\right)\\\varepsilon _{z\theta}&, ={\cfrac{1}{2}}\left({\cfrac{\partial u_{\theta}}{\partial z}}와{\cfrac{1}{r}}{\cfrac{\partial u_{z}}{\partial \theta}}\right)\\\varepsilon _{zr}&, ={\cfrac{1}{2}}\left({\cfrac{\partial u_{r}}{z\partial}}와{\cfrac{\p.마artial _{z}}{\sign r}}\right)\end {aligned}}
구면 좌표의 변형 텐서 구면 좌표(r , {\ displaystyle theta phi
물리학에서 일반적 으로 사용되는 구면 좌표(r , θ , θ )는 반경 거리 r , 극각 θ (theta ), 방위각 θ (phi )이다. 기호 of (rho )는 r 대신 자주 사용됩니다.
u = u r e r + u θ e θ + u ϕ e ϕ {\displaystyle \mathbf {u}~\mathbf {e}_{r}+u_{\theta}~\mathbf {e}_{\theta}+u_{\phi}~\mathbf {e}} 구면 좌표계에서 변형률 텐서의 구성요소는 다음과 같이 주어진다. ε r r = ∂ u r ∂ r ε θ θ = 1 r ( ∂ u θ ∂ θ + u r ) ε ϕ ϕ = 1 r 죄 θ ( ∂ u ϕ ∂ ϕ + u r 죄 θ + u θ 왜냐하면 θ ) ε r θ = 1 2 ( 1 r ∂ u r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r ) ε θ ϕ = 1 2 r ( 1 죄 θ ∂ u θ ∂ ϕ + ∂ u ϕ ∂ θ − u ϕ 요람 θ ) ε ϕ r = 1 2 ( 1 r 죄 θ ∂ u r ∂ ϕ + ∂ u ϕ ∂ r − u ϕ r ) {\displaystyle{\begin{정렬}\varepsilon _{rr}&, ={\cfrac{\partial u_{r}}{r\partial}}\\\varepsilon _{\theta\theta}&, ={\cfrac{1}{r}}\left({\cfrac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi}&, ={\cfrac{1}{r\sin \theta}}\left({\cfrac{\partial u_{\phi}}{\phi\partial}}+u_{r}\sin\theta +u_{\theta.}\cos \thet A\right)\\\varepsilon _{r\theta}&, ={\cfrac{1}{2}}\left({\cfrac{1}{r}}{\cfrac{\partial u_{r}}{\partial \theta}}와{\cfrac{\partial u_{\theta}}{\partial r}}-{\cfrac{u_{\theta}}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi}&, ={\cfrac{1}{2r}}\left({\cfrac{1}{\sin \theta}}{\cfrac{\partial u_{\theta}}{\phi\partial}}와{\cfrac{\partial u_{\p.안녕}}{\p 아티알 \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\varepsilon _{\phi r}&=suphac {1}{r\sin \theta }}{\cot u_right}\varepsilon {\phi}\cotac {{\cot}{\cot}
「 」를 참조해 주세요. 레퍼런스 외부 링크
코시의 변형률 텐서, 선형 변형률 텐서 또는 작은 변형률 텐서라고도 불리는 극소 변형률 텐서 
2차 텐서식이다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f23afe38e5f63d74050dbaf5d362b65b4da1ca0)
정규 변형률은
1
.
y
나누면,
특정 경우, 즉 
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc12c6f3d7e5049f74857861c3178c3f6728d99)
주 변형률 방향이라고 한다.이 좌표계에는 전단 변형률 성분이 없으므로 주 변형률은 요소 부피의 최대 및 최소 연장을 나타냅니다. 
0 V = a의3 경우, 따라서
다음과 같은 평균 변형률입니다.
![{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a120dd47853fdf623ed080096e75e2069e84c220)
![{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf990ac8f37393cf1f0835349a51872f9476ce7)
극소 회전 텐서입니다.이 텐서는 
경우, 재료는 
대략적인 강체 회전을 거칩니다
![{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13fbd0b77f6478a70d04b0f31759e5076ca30028)
