파라메트릭 파생 모델을 사용한 통합

이 글에는 여러 가지 문제가 있다. 이 문제를 개선하거나 대화 페이지에서 토의하십시오. (이러한 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기) 이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "모수파생물을 이용한 통합" – 뉴스 · 신문 · 도서 · 학자 · JSTOR (1919년 7월) (이 템플릿 메시지 제거 방법과 시기 학습) 이 글은 주제를 잘 모르는 사람들에게 불충분한 맥락을 제공한다. 독자에게 더 많은 맥락을 제공하여 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2019년 6월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

미적분학에서 파라메트릭 통합이라고도 하는 파라메트릭 파생상품에 의한 통합은 알려진 Integals를 사용하여 파생된 함수를 통합하는 방법이다.^[1] 물리학에서 자주 사용되며, 대체에 의한 통합과 유사하다.

정리명세서

상한과 하한을 고정한 라이프니즈 일체형 규칙을 사용함으로써 우리는 그것을 얻을 수 있다.
${\dplaystyle {\frac{d}}\왼쪽(\int _{a}^{b}f(x,t)dx\right)=\int _{a}^{a}{b}{\fract {}{\fract t}f(x,t)dx}$
그것은 또한 마무리되지 않은 범위에도 적용된다.

예

예제 1: 지수 적분

예를 들어, 적분을 찾고 싶다고 가정해 봅시다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\\nft }x^{2}e^{-3x}\,dx.}$

이것은 분리해서 통합하기 쉬운 두 가지 기능의 산물이기 때문에, 부품에 의한 반복적인 통합은 확실히 그것을 평가하는 한 가지 방법이다. 그러나 이 경우 t = 3:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx=\left[{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right]_{0}^{\infty }=\left(\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right)-\left({\frac {e^{-t0}}{-t}}\right)\\&=0-\left-\frac {1}{-t}\right)={\frac {1}{t}}.\end{정렬}}}$

이것은 원하는 적분에서 참인 t > 0에 대해서만 수렴한다. 이제 우리가 알게 되었으니

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{\\e^{-tx}\,dx={\frac {1}{t},}$

원래 적분에서 x의² 인자를 추가하기 위해 t(x가 아님)에 대해 양쪽을 두 번 구별할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{\frac{{2d^}}{dt^{2}}}\int _{0}^{\infty}e^{-tx}\,dx={\frac{{2d^}}{dt^{2}}}{\frac{1}{t}}\\[10pt]&, \int _{0}^{\infty}{\frac{{2d^}}{dt^{2}}}e^{-tx}\,dx={\frac{{2d^}}{dt^{2}}}{\frac{1}{t}}\\[10pt]&, \int _{0}^{\infty}{\frac{d}{dt}}\left(-xe^{-tx}\right)\,dx={\frac{d}{dt}}\left(-{\frac{1}{t^{2}}}\righ.t=\\[10pt]&\int _{0}^{0}^{}\x^{2}e^{-tx}\,dx={\frac {2}{t^{3}}}}.\end{정렬}}}$

이것은 원하는 적분(t = 3)과 동일한 형태다. 그것을 위의 방정식으로 대체하면 다음과 같은 값을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{\x^{2}e^{-3x}\,dx={\frac {2}{3^}}}={\frac {2}{27}}}.}$

예제 2: 가우스 적분

적분 $\int {\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$ - x ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {}^{}}$ =${\displaystyle \pi \frac{\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}}$ ${\$ _${-\inflt }^{-x^{2}dx={\pi$}}}{\$sqrt{\$sqrt$}}}}}}$을 시작으로 양쪽$$ t에 대한 파생상품 취하기
${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}t}dx={\frac {d}{dt}}{\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\\&-\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}t}=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}t^{\frac {3}{2}}\\&\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}t}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}t^{\frac {3}{2}}\end{aligned}}}$
일반적으로 t에 관한 n번째 파생상품은 우리에게
${\displaystyle \int _{-\infit _}^{2n}e^{-x^{2}t}={\frac {(2n-1)!!{\sqrt{\pi }{2^{n}}t^{\frac {2n-1}{2}}}$

예제 3: 다항식

클래식한 $\int {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$ ${\displaystyle t\frac{{}^{}}{}}$+ 1 ${\displaystyle \frac{\mathrm{t}}{}}$+ 1 ${\$을(를) 사용하고$$ t에 대해 파생 모델을 취함. we get \come
${\displaystyle \int \ln(x)x^{t}={\frac {\ln(x)x^{t+1}:{t+1}:{t+1}:{2}}}}$

예제 4: 합계

이 방법은 또한 총액에 b를 사용할 수 있다.
Sinh 함수의 Weierstrass 인자화 사용
${\displaystyle {\frac {\sinh(z)}{z}}=\prod _{n=1}^{n=1}^{n1}\pi ^{2}n^{2}+z^{2}}}{\pi ^{2}n^{2}}\\오른쪽)}}$
로그 기록
${\displaystyle \ln(z)-\ln(z)=\sum _{n=1}^{n=1}^{\n\ln \ln \frac \\pi ^{2}n^{2}+z^{2}}}{\pi ^{2}n^{2}}\\오른쪽)}}$
z에 대한 파생 모델 채택
${\displaystyle \cot(z)-{\frac {1}{z}=\sum _{n=1}^{n1}^{\frac {2z}{z^{2}+\pi ^{2}}n^{2}}:$
$허용{\displaystyle }$w = ${\displaystyle \frac{z}{}}$ {$${\$displaystyle w={\frac {z}{\pi}}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}:\frac {\cot(\pi w)}{\pi w-{1}{1}{z^{2}}:}}}}}{n=1}={n1}^{n1}{n^}+w^{2}{\pi w}}{\piw}{\piw}}}}}}}{\piw}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

참조

외부 링크

위키북스: 파라메트릭_통합