스트라토노비치 적분

확률론적 공정에서 스트라토노비치 일체형(루슬란 스트라토노비치 및 도널드 피스크가 동시에 개발)은 확률론적 일체형으로, It integral 적분에 대한 가장 일반적인 대안이다. 이토노비치 적분은 응용 수학에서는 일반적인 선택이지만 물리에서는 스트라토노비치 적분이 자주 사용된다.

어떤 상황에서는 스트라토노비치 정의의 통합이 조작하기 더 쉽다. 이타 미적분학과는 달리 스트라토노비치 통합은 일반 미적분의 연쇄 규칙이 유지되도록 정의된다.

아마도 이것들이 마주치는 가장 흔한 상황은 스트라토노비치 확률적 미분 방정식(SSE)에 대한 해결책일 것이다. 이들은 Itô SSE에 해당하며, 하나의 정의가 더 편리할 때마다 둘 사이에서 변환이 가능하다.

정의

스트라토노비치 적분은 리만 적분과 유사한 방식으로 정의될 수 있는데, 리만 합계의 한계로 정의된다. Suppose that ${\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ is a Wiener process and ${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ is a semimartingale adapted to the natural filtration of the Wiener process. 그럼 스트라토노비치 적군

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\circule \mathrm {d}W_{t}}$

평균^[1] 제곱의 한계로 정의된$$ 랜덤 변수$:{\displaystyle }$→ R {\$displaystyle :\Oomega$ \$to \mathb {R} }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}+X_{t_{i}}}{{i}}}이상 \{}\{t_{t+1}-{t_{i}}\i}}}}}}\$

파티션 = < t >< t = T {\$displaystyle 0=t_{0$}<t_${1}<\dots <t_{k}=$T ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,T]}$의 메쉬가 0(Remann–Stieltjes intez)의 형식)이$$ 되는 경향이 있기 때문이다.

계산

일반적인 미적분의 많은 통합 기법을 스트라토노비치 적분(예: f:R→R)에 사용할 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{T}f'(W_{t})\circle \mathrm {d}W_{t}=f(W_{T}-f(W_{0})}$

그리고 보다 일반적으로 f:R×R→R이 매끄러운 기능이라면,

${\displaystyle \int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t}t}t)\circircle \mathrm {d}W_{t}+\int _{0}^{0}{0}^{}}T}{\partial f \over \partial t}(W_{t}t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T}T)-f(W_{0},0).}$

이 후자의 법칙은 보통 미적분의 연쇄 법칙과 비슷하다.

수치적 방법

확률적 통합은 분석적 형태로는 거의 해결할 수 없으며, 확률적 수치 통합은 확률적 통합의 모든 사용에서 중요한 주제가 된다. 다양한 수치적 근사치가 스트라토노비치 적분(Stratonovich integrated)에 수렴되며, 이들 변형은 스트라토노비치 SDEs를 해결하는 데 사용된다(Kloeden & Platen 1992). 그러나 랑게빈 방정식의 숫자 해법에 가장 널리 사용되는 오일러 체계( 오일러-마루야마 방법)는 등식이 Itô 형식이어야 한다는 점에 유의한다.^[2]

미분 표기법

X_t, Y_t, Z가_t 다음과 같은 확률적 과정인 경우

${\displaystyle X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circule \mathrm {d}W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d}t}$

모든 T>0에 대해 우리는 또한 글을 쓴다.

${\d}X=Y\circule \mathrm {d}W+Z\\mathrm {d}t.}$

이 표기법은 확률적 통합에 대한 실제 방정식인 확률적 미분 방정식을 공식화하기 위해 종종 사용된다. 예를 들면 보통 미적분학의 표기법과 양립할 수 있다.

${\daystyle \mathrm {d}(t^{2}\),W^{3}=3t^{2}W^{2}\circule \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.}$

Itô 적분과 비교

Wiener 프로세스 W와 관련하여 프로세스 X의 Itô 적분은 다음과 같다.

(원 없이). 그 정의에 대해, 각 하위간격의 왼쪽 끝점에서 프로세스$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 값을 선택하는 것을 제외하고, 스트라토노비치 적분 정의에서 위와 같은 절차를 사용한다.

${\displaystyle {}_{}}$$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$+ ${\displaystyle {1_{}}_{}}$+ ${\displaystyle {X{}_{}}_{}}$ t )${\displaystyle {{}_{}}_{}{{대신}_{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {t_{}}_{}}$ i ${\$${\displaystyle \}\}/2\mathrm{}}$ ${\displaystyle (X_{t_{i+1}+X_{t_{i}})/2}}$

이 일체형은 스트라토노비치 일체형이 그러하듯이 일반적인 체인 규칙을 따르지 않는다. 대신 조금 더 복잡한 Itô의 보조정리기를 사용해야 한다.

Itô와 Stratonovich 통합 간의 변환은 다음 공식을 사용하여 수행할 수 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(W_{t}t)\circle \mathrm {d}W_{t}={\frac {1}{1}2}}\int _{0}^{0}^{0}}{0}^{}}}}T}{\partial f \over \partial W}(W_{t}t)\\\\mathrm {d}t+\int_{0}^{T}f(W_{t}t)\,\mathrm {d}W_{t}}}}}$

여기서 ƒ은 두 변수 W와 t의 연속적으로 다른 함수이며 마지막 적분은 Itô 적분이다(Kloeden & Platen 1992, 페이지 101).

란제빈 방정식은 주어진 문제에서 해석(Stratonovich 또는 Itô)을 명시하는 것의 중요성을 예시한다. Suppose X_t is a time-homogeneous Itô diffusion with continuously differentiable diffusion coefficient σ, i.e. it satisfies the SDE ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$. In order to get the corresponding Stratonovich version, the term ${\displaystyle \sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$ (in Itô interpretation) should translate to ${\displaystyle \sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}}$ (in Stratonovich interpretation) as

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sigma(X_{t})\circle \mathrm {d}W_{t}={\frac {1}{1}2}}\int _{0}^{0}}T}{{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\\\mathrm {d}t+\int_{0}^{{0}}}T}\sigma(X_{t}),\mathrm {d}W_{t}}$

분명히 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma$}이$($가) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$와 독립되어 있다면$$, 이 두 해석은 랑게빈 방정식에 대해 동일한 형태로 이어질 것이다$.$ $그{\displaystyle }$ 경우 소음 ${\displaystyle {}_{}}$ d W t ${\$를 고정 계수만 곱하기 때문에 소음 용어를 "addivitive"라고 부른다. Otherwise, if ${\displaystyle \sigma =\sigma (X_{t})}$, the Langevin equation in Itô form may in general differ from that in Stratonovich form, in which case the noise term is called multiplicative (i.e., the noise ${\displaystyle dW_{t}}$ is multiplied by a function of ${\displaystyle X_{t}}$ 즉, $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle \sigma (X_{t}})$ 입니다.$$

일반적으로 두 개의 세미마팅일 X와 Y에 대해

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{s-}\circule \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d}Y_{s}+{\frac {1}{1}{2}}[X,Y]__{T}^{c}}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ T ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$${T}^{c}}}$는 공분산의 연속 부분이다.

애플리케이션에서의 Stratonovich 통합

스트라토노비치 일체형에는 "미래를 바라보지 않는다"는 이토노비치 일체형의 중요한 속성이 결여되어 있다. 주가를 모델링하는 것과 같은 많은 실제 애플리케이션에서는 과거의 사건에 대한 정보만 가지고 있기 때문에 Itô의 해석은 더 자연스럽다. 금융 수학에서는 Itô 해석이 주로 사용된다.

그러나 물리학에서는 확률적 통합이 란제빈 방정식의 해법으로 일어난다. 란제빈 방정식은 보다 미세한 모델의 거친 결이 있는 버전이다. 고려하는 문제에 따라 스트라토노비치 또는 이타트 해석이나 등온 해석과 같은 훨씬 더 이국적인 해석이 적절하다. 스트라토노비치 해석은 물리과학계에서 가장 많이 쓰이는 해석이다.

Wong-Zakai 정리에서는 유한 소음 상관 시간 τ으로 특징지어지는 비백색 소음 스펙트럼을 가진 물리적 시스템은 τ이 0이 되는 한계에서 스트라토노비치 해석에서 백색 소음을 가진 랭빈 방정식으로 근사하게 추정할 수 있다고 기술하고 있다.^{[citation needed]}

스트라토노비치 미적분학은 일반적인 체인 규칙을 만족하기 때문에 스트라토노비치 의미에서의 확률적 미분 방정식(SSE)은ⁿ R에만 있는 것이 아니라 서로 다른 다지관에 대해 정의하는 것이 더 간단하다. Itô 미적분학의 까다로운 체인 룰은 다지관들에게는 더욱 어색한 선택을 하게 한다.

SSDE의 스트라토노비치 해석과 초대칭 이론

SDEs의 초대칭 이론에서는 SDE가 결정한 확률적 흐름에 의해 위상 공간의 외부 대수에서 유도된 풀백을 평균하여 얻은 진화 연산자를 고려한다. 이러한 맥락에서, SSDE의 스트라토노비치 해석을 이용하는 것은 자연스러운 일이다.

메모들

참조

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN 3-540-04758-1.
• Gardiner, Crispin W. (2004). Handbook of Stochastic Methods (3 ed.). Springer, Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-20882-8.
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "A short history of stochastic integration and mathematical finance: The early years, 1880–1970". IMS Lecture Notes Monograph. 45: 1–17. CiteSeerX 10.1.1.114.632.
• Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (1992). Numerical solution of stochastic differential equations. Applications of Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54062-5..