특수 기능

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특수 함수는 수학적 해석, 함수 분석, 기하학, 물리학 또는 기타 응용 분야에서 중요하기 때문에 다소 확립된 이름과 표기를 가진 특별한 수학 함수입니다.

이 용어는 합의에 의해 정의되기 때문에 일반적인 공식 정의는 없지만, 수학 함수 목록에는 일반적으로 특별하게 받아들여지는 함수가 포함되어 있습니다.

특수 기능 표

많은 특수함수는 미분방정식의 해 또는 기초함수의 적분으로 나타난다.따라서 적분표에는^[1] 보통 특수함수에 대한 설명이 포함되며, 특수함수에^[2] 대한 표에는 대부분의 중요한 적분이 포함됩니다. 적어도 특수함수의 적분표현을 포함합니다.미분방정식의 대칭성은 물리학과 수학 모두에 필수적이기 때문에, 특수함수 이론은 수리물리학의 특정 주제뿐만 아니라 리 군 이론과 밀접하게 관련되어 있다.

기호 연산 엔진은 보통 특수 함수의 대부분을 인식합니다.

특수 기능에 사용되는 표기법

국제 표기가 확립된 함수는 사인($$ {\$displaystyle$ $\$$sin$$$}), ${\displaystyle \mathrm{코사인}}$($cos${\$displaystyle$ \cos$$$}),$ 지수 함수(${\displaystyle \exp }$ ${\$$displaystyle$$$$\$$operatorname$${erf$$})$ 및$$ 오류 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$(${\displaystyle \mathrm{erfc}}$ ${displaystyle$ \$operatorname$ {erf$})$입니다.

일부 특수 기능에는 다음과 같은 표기가 있습니다.

• 자연로그는 컨텍스트에 따라 $ln,$ ${\displaystyle {\log }_{}}$ ${displaystyle \log$$\},$ ${\displaystyle {log}_{}}$e {$displaystyle$ \$log _{$e$\}\}$$$ $Log${displaystyle \$operatorname${Log$}}$ 로$$ ${\displaystyle \mathrm{표시}}$될 수 있습니다.
• 접선 함수는$$tan {$displaystyle \tan$$\},$$$ {$displaystyle \operatorname {$$tg}$ 또는 ${\displaystyle \mathrm{tg}}${$displaystyle \operatorname${tg}로 표시될 수 있습니다(${\displaystyle \mathrm{tg}}$ ${displaystyle \operatorname {tg}$은 주로$$ 러시아어 및 불가리아 문헌에서 사용됩니다).
• Arctangent는 $(\displaystyle \arctan$ $(\displaystyle \operatorname {atan$ $(\displaystyle \operatorname {arctg$ ${\displaystyle {\mathrm{또는}}^{}}$tan - $(\$ \$tan$ \tan$^{-1$로 표시됩니다.
• 베셀 함수는 다음과 같이 표시될 수 있습니다.
  • ${\displaystyle J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle\operatorname{beselj}(n,x),}$
  • ${\displaystyle {BeselJ}}[n,x]}$

첨자는 인수(일반적으로 정수)를 나타내기 위해 자주 사용됩니다.세미콜론(;) 또는 백슬래시(\)가 구분자로 사용되는 경우도 있습니다.이 경우 알고리즘 언어로의 변환은 애매함을 인정하고 혼란을 초래할 수 있습니다.

위 첨자는 지수화뿐만 아니라 함수의 수정도 나타낼 수 있습니다.예를 들어, (특히 삼각함수 및 쌍곡선 함수의 경우) 다음과 같습니다.

• ${\displaystyle {cos\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle \cos ^{3}$ ($x$${\displaystyle )\}}$는 보통 ( ${\displaystyle \cos }$)${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${$ $displaystyle$( \$cos$ ($$$x$ )${\displaystyle {}^{}}\}{\displaystyle }$를 ${\displaystyle {\mathrm{의미}}^{}}$합니다.$^{3}}$
• ${\displaystyle {}^{}\cos }$ 2 ${\displaystyle (}$( x$$) { $displaystyle$\cos ^ {2$}$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $)$${\displaystyle {}^{}}\}{\displaystyle }$는 ${\displaystyle \mathrm{일반적}}$으로 ( cos${\displaystyle }$)$$ \$displaystyle$( \$cos$ ($$$x$ )$^{2$ 단, ${\displaystyle \cos }$는 ${\displaystyle (}$cos${\displaystyle )}$ (${\displaystyle x}$)$${$displaystyle \cos(\cos(x)}$ ) 。
• ${\displaystyle {\cos }^{}}$- ${\displaystyle 1^{}(}$ (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle$\$cos$$^$ { -$$${\displaystyle 1^{}}$($$x )${\displaystyle {}^{}\mathrm{display<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash cos\; ^\{-1\}(x)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a4b47b94e7cfe8f96009f53c3fbb28b0946f8240"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.583ex;\; height:3.176ex;">}}$ 、 cccc ar （ x ) 、${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{cc}}$ ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ar ($x$ )가 아니라 (${\displaystyle }$${\displaystyle x}$$$) \ $displaystyle \$$x$$$)를 의미합니다.$^{-1$ 이 지수의 의미가 다른 지수와 일치하지 않기 때문에 일반적으로 가장 큰 혼란을 일으킵니다.

특수기능 평가

대부분의 특수 함수는 복합 변수의 함수로 간주됩니다.그것들은 분석적이다; 특이점과 절단이 설명된다; 미분 및 적분 표현이 알려져 있고, 테일러 시리즈 또는 점근 시리즈로의 확장을 이용할 수 있다.또한, 때로는 다른 특수 함수와 관계가 있습니다. 복잡한 특수 함수는 단순한 함수로 표현될 수 있습니다.평가에 다양한 표현을 사용할 수 있습니다. 함수를 평가하는 가장 간단한 방법은 함수를 Taylor 급수로 확장하는 것입니다.그러나 이러한 표현은 천천히 수렴되거나 전혀 수렴되지 않을 수 있습니다.알고리즘 언어에서는, 복잡한 인수의 경우 동작하지 않을 수 있지만, 일반적으로 합리적인 근사치가 사용됩니다.

특수기능의 이력

고전 이론

삼각법은 이미 18세기(전까지는 아니더라도)의 전문 수학자들에게 명백하게 성문화될 수 있지만, 특수 함수에 대한 완전하고 통일된 이론을 찾는 것은 19세기 이후로 계속되어 왔다.1800~1900년 특수함수 이론의 정점은 타원함수 이론이었다; 태너리와 ^{[citation needed]}몰크처럼 본질적으로 완전한 논문들은 이론의 모든 기본 정체성에 대한 지침서로 쓰여질 수 있었다.그것들은 복잡한 분석의 기술에 기초하고 있었다.

이때부터 삼각함수와 지수함수를 이미 통합한 해석함수이론은 기본적인 도구라고 가정할 것이다.세기의 말에는 구면 고조파에 대한 매우 상세한 토론도 있었다.

변화하고 고정된 동기

물론 알려진 특수 기능을 최대한 많이 포함한 넓은 이론을 원하는 것은 지적 매력이 있지만, 다른 동기에 주목할 가치가 있다.오랫동안 특수 함수는 응용 수학의 특정 영역에 있었습니다. 물리 과학 및 공학 분야에서의 응용은 함수의 상대적 중요성을 결정하였습니다.전자 컴퓨터가 등장하기 전 시대에 특수 기능에 대한 궁극적인 보상은 그 값의 확장 테이블을 손으로 계산하는 것이었습니다.이것은 친숙한 로그표와 같이 검색으로 함수를 이용할 수 있도록 하기 위한 자본집약적인 프로세스였다.그 당시 중요한 이론의 측면은 두 가지가 될 수 있다.

• 수치 분석, 무한 급수 또는 신속한 계산을 가능하게 하는 기타 분석식의 발견 및
• 주어진 기능으로 가능한 한 많은 기능을 축소합니다.

대조적으로, 사람들은 순수 수학의 관심사에 전형적인 접근법이 있다고 말할 수 있다: 복소 평면에서의 점근 분석, 분석 연속성 및 단색성, 그리고 끝없는 공식의 파사드 뒤에 있는 대칭 원리와 다른 구조의 발견.사실, 이러한 접근법들 사이에 실질적인 충돌은 없습니다.

20세기

20세기는 특수함수이론에 대한 몇 가지 관심의 물결을 보았다.고전 Whittaker와 Watson (1902) 교과서는 복잡한 변수를 사용하여 이론을 통합하려고 했습니다; G. N. Watson Tome A Treatise on Bessel Functions는 특히 점근성을 인정하는 한 가지 중요한 유형을 위해 가능한 한 많은 기술들을 밀어붙였습니다.

후에 Arthur Erdelyi의 편집자인 Bateman Mancript Project는 백과사전화를 시도했고, 전자연산이 표면화되고 표식이 주요 이슈가 되지 않게 되었을 때 왔다.

현대 이론

직교 다항식의 현대 이론은 확실하지만 제한된 범위이다.펠릭스 클라인에 의해 천문학과 수리 ^[3]물리학에서 중요한 것으로 관찰된 초기하 급수는 나중에 개념적인 배열이 필요한 복잡한 이론이 되었다.거짓말 군, 특히 그들의 표현 이론은 일반적으로 구면 함수가 무엇인지를 설명한다; 1950년부터 고전 이론의 상당 부분은 거짓말 군이라는 관점에서 다시 주조될 수 있었다.게다가, 대수 조합론에 대한 연구는 또한 이론의 오래된 부분에 대한 관심을 되살렸다.Ian G. Macdonald의 추측은 전형적인 특수 기능 맛으로 크고 활동적인 새로운 분야를 개척하는 데 도움이 되었습니다.미분방정식 외에 미분방정식이 특수함수의 소스로 자리 잡기 시작했다.

수 이론의 특수 함수

수론에서는 전통적으로 특정 디리클레 급수와 모듈러 형태와 같은 특정 특수 함수가 연구되어 왔다.특수 기능 이론의 거의 모든 측면과 괴물 문샤인 이론에서 나온 몇 가지 새로운 측면들이 거기에 반영되어 있다.

행렬 인수의 특수 함수

몇 가지 특수 함수의 유추는 양의 유한 행렬의 공간에 정의되었으며, 그 중 아틀 ^[4]셀버그로 거슬러 올라가는 멱함수, 다변량 감마 ^[5]함수 및 베셀 ^[6]함수 유형이다.

NIST 수학 함수 디지털 라이브러리에는 행렬 ^[7]인수의 몇 가지 특수 함수를 다루는 섹션이 있다.

연구자

「 」를 참조해 주세요.

• 함수 목록
• 특수기능 및 용어 목록
• 기본 함수

레퍼런스

참고 문헌

• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999). Special functions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 71. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. MR 1688958.
• Terras, Audrey (2016). Harmonic analysis on symmetric spaces – Higher rank spaces, positive definite matrix space and generalizations (second ed.). Springer Nature. ISBN 978-1-4939-3406-5. MR 3496932.

외부 링크

• 미국 상무부 국립 표준 기술 연구소NIST 수학 함수 디지털 라이브러리.2018년 12월 13일 원본에서 보관.
• Weisstein, Eric W. "Special Function". MathWorld.
• 온라인 계산기, 100개 이상의 함수를 가진 온라인 과학 계산기(>=32자리, 많은 복잡한 숫자)(독일어)
• EqWorld의 특수 기능: 수학 방정식의 세계
• Gerard't Hooft와 Stefan Nobbenhuis의 특수 함수 및 다항식(2013년 4월 8일)
• 특수함수에 대한 수치적 방법, A.Gil, J. Segura, N.M. Temme(2007)
• R. Jagannathan, (P,Q)-특수 기능
• 특수기능위키