표면 적분

수학, 특히 다변량 미적분학에서 표면 적분은 표면 위에 통합하기 위한 다중 통합의 일반화다. 라인 일체형의 이중 일체형 아날로그라고 생각할 수 있다. 표면이 주어진 경우 스칼라 필드(즉, 스칼라를 값으로 반환하는 위치 함수) 또는 벡터 필드(즉, 벡터를 값으로 반환하는 함수)를 표면 위에 통합할 수 있다. 영역 R이 평평하지 않으면 그림과 같이 표면이라고 한다.

표면적 통합은 물리학에서 특히 고전적인 전자석의 이론에 응용된다.

스칼라 필드의 표면적 통합

표면 S에 대해 표면 적분된 표면의 명시적 공식을 찾기 위해서는 구상의 위도와 경도처럼 S에 곡선 좌표계를 정의하여 S를 매개변수화할 필요가 있다. 이러한 매개변수화를 r(s, t)으로 하고, 여기서 (s, t)는 평면의 일부 영역 T에서 변화한다. 그런 다음, 표면 적분은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\ {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\ \mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

여기서 우측의 막대들 사이의 표현은 r(s, t)의 부분파생상품의 교차제품의 크기이며, 표면요소(예를 들어, 구의 극 근처에서 더 작은 값을 산출할 수 있음)로 알려져 있다. 경도 선이 더 극적으로 수렴되고 위도 좌표의 간격이 더 좁다). 표면 적분은 동등한 형태로도 표현할 수 있다.

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d}S=\iint _{T}f(\mathbf {r}(s,t)){\sqrt {g}\,\mathrm {d}s\mathrmet}t}t}$

여기서 g는 표면 매핑 r(s, t)의 첫 번째 기본 형태의 결정 요인이다.^[1][2]

예를 들어, 일부 스칼라 함수의 그래프의 표면적을 찾으려면 z = f(x, y)라고 해야 한다.

${\displaystyle A=\iint _{S}\\mathrm {d}S=\iint _{T}\left\\\partial \mathbf {r}\time {\partial \mathbf {r}\partial y}\right\matr}\mathrmat {d}y}$

여기서 r = (x, y, z) = (x, y, f(x, y)) So that ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$, and ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$. So,

${\displaystyle {\reasoned}A&{}=\iint _{T}\left\ \left(1,0,{\partial f\over \partial)}\right)\times\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\& \left(0,1,{\partial f\over\partial는 y}\right)\right\, \left(-{\partial f\over \partial)},-{\partial f\over\partial는 y},1\right)\right\ \mathrmx\,\mathrm{d}y\\&,{}=\iint _{T}{\sqrt{d}{\left({\partial f\ove{}=\iint _{T}\left\.r\partial는 관세 감축}\right)^{2}+\left \ft \over y}\right)^{2}+1}\,\\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aigned}}}}}}}}}}$

이 방법으로 설명한 표면적에 대한 표준 공식이다. 위의 두 번째 마지막 줄에 있는 벡터를 표면에 대한 정상 벡터로 인식할 수 있다.

교차 제품이 존재하기 때문에 위의 공식은 3차원 공간에 내장된 표면에만 적용된다는 점에 유의하십시오.

이는 지표면의 첫 번째 기본 형태에 의해 미터법 텐서가 주어지는 매개변수화된 지표면에 리만 체적 형태를 통합한 것으로 볼 수 있다.

벡터 필드의 표면적 통합

표면 S의 벡터 필드 v를 고려하십시오. 즉, S의 각 r = (x, y, z)에 대해 v(r)는 벡터입니다.

표면 적분은 스칼라 장의 표면 적분 정의에 따라 구성 요소별로 정의할 수 있으며, 그 결과는 벡터다. 이는 예를 들어 전기로 충전된 표면으로 인한 고정점에서의 전기장 표현이나 재료 시트로 인한 고정점에서의 중력에 적용된다.

또는 표면 위에 벡터장의 정상적인 성분을 통합하면 그 결과는 보통 표면을 통과하는 플럭스라고 불리는 스칼라(scalar)가 된다. v(r)가 r에서 유체의 속도를 결정하도록 S를 통해 흐르는 유체가 있다고 상상해 보십시오. 유량은 단위 시간 당 S를 통해 흐르는 유체의 양으로 정의된다.

이 그림은 각 지점에서 벡터장이 S에 접하면 유체가 S에 평행하게 흐르기 때문에 플럭스가 0이라는 것을 의미하며, 안과 밖은 아니다. 이는 또한 v가 단순히 S를 따라 흐르지 않는 경우, 즉 v가 접선성분과 정상성분을 모두 가지고 있다면 정상성분만이 플럭스에 기여한다는 것을 의미한다. 이러한 추론에 근거해 플럭스를 찾으려면 각 지점에서 단위 표면이 정상 n~S인 v의 도트 제품을 취하여 스칼라장을 주고, 얻은 필드를 위와 같이 통합해야 한다. 공식을 찾으면

${\displaystyle{\begin{정렬}\iint _{S}{\mathbf{v}}\cdot\mathrm{d}{\mathbf{S}}&=\iint _ᆯ\left({\mathbf{v}}\cdot{\mathbf{n}}\right)\,\mathrm{d}S\\&,{}=\iint _ᆲ\left({\mathbf{v}}({r}(s,t\mathbf))\cdot{{\frac{\partial \mathbf{r}}{s\partial}}}\over\left\{\frac{\par{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial지}\times.tial \maThbf{r}}{s\partial}}\times{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial지}}\right\}\right)\left\{\frac{\partial \mathbf{r}}{s\partial}}}\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t\\& \right\,{}=\iint _{T}{\mathbf{v}}(\mathbf{r}(s,t))\cdot \left({\frac{\partial \mathbf{r}}{s\partial}}\times{\frac{\p{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial지}\times.arti\mathbf {r}{\reason t}}\right)\mathrm {d}s\,\mathrm {d} t.\end{aigned}}}}}$

이 표현식의 오른쪽에 있는 교차 생산물은 파라메타레이션에 의해 결정되는 (필수적으로 단비) 표면 정규이다.

이 공식은 왼쪽의 적분을 정의한다(표면 요소의 점 및 벡터 표기법 참고).

우리는 또한 이것을 1-폼으로 벡터장을 식별한 다음 표면 위에 그것의 호지 듀얼을 통합하는 2-폼 통합의 특별한 사례로 해석할 수도 있다. This is equivalent to integrating ${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S}$ over the immersed surface, where ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ is the induced volume form on the surface, obtained by interior multiplication of the Riemannian metric of the ambient space 표면의 정상을 가지고.

미분 2-폼 표면 통합

내버려두다

${\dapplaystyle f=f_{z}\,\mathrm {d}x}x\,\mathrm {d} y+f_{x}\,\mathrm {d} z+f_{y}\d},\mathrm {d} z\mathrmath {d}x}x}$

표면 S에 정의된 미분 2형식이다.

${\displaystyle \mathbf {r}(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)\!}$

D에서${\displaystyle }$(${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle (s,t)}$을(를) 사용하여 S의 파라메트리화를 보존하는 방향이다. 좌표를${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle (s,t)}($)로$$ 변경하면 차등 폼이 다음과 같이 변환된다$.$

${\daystyle \mathrm {d}x={\frac {\frac}{\reason s}\mathrm {d}s+{\frac {\reason x}{\reason t}\mathrm {d}t}$

${\dplaystyle \mathrm {d}y={\frac {\fract y}{\reason s}\mathrm {d}s+{\fract y}{\reason t}\mathrm {d}t}$

So ${\displaystyle \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$ transforms to ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\wedge \mathrm {d} t}$, where ${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$ denotes the d$({\displaystyle }$s ,${\displaystyle t}$) ${\displaystyle (s,t)}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y)}$로의 전환함수의 제이콥리언트$.$ 다른 형태의 변환도 비슷하다.

그 다음, S에 대한 f의 표면 적분은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

어디에

${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

표면 요소가 S에 대해 정규적인 것이다.

이 2-폼의 표면 적분은 ${\displaystyle f_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ f ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ $f$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$ 성분으로 있는 벡터 필드의 표면 적분과 동일하다는 점에 유의하십시오$.$

표면 통합과 관련된 이론

표면 통합에 대한 다양한 유용한 결과는 발산 정리, 그리고 그 일반화, 스톡스의 정리 등 미분 기하학 및 벡터 미적분학을 이용하여 도출할 수 있다.

파라메트리제이션 의존성

표면 S의 파라메트리제이션(parametrization)을 사용하여 표면 적분을 정의했다는 것을 알아두자. 우리는 주어진 표면이 여러 파라메트리지를 가질 수 있다는 것을 안다. 예를 들어 북극과 남극의 위치를 구에 옮겨놓으면 구의 모든 점에 대해 위도와 경도가 바뀐다. 자연스러운 질문은 표면 적분의 정의가 선택된 파라메트리제이션에 따라 달라지는가 하는 것이다. 스칼라 필드의 통합의 경우, 이 질문에 대한 대답은 간단하다. 표면 적분 값은 어떤 파라메트리제이션이 사용되더라도 동일할 것이다.

벡터장 통합의 경우 표면 정규가 관여하기 때문에 사물이 더 복잡하다. 표면 규범이 동일한 방향을 가리키는 동일한 표면의 두 파라메트리제이션이 주어진 경우 두 파라메트리제이션에 모두 통합된 표면에 대해 동일한 값을 얻는다는 것을 증명할 수 있다. 그러나 이러한 파라메트리제이션에 대한 정규들이 반대 방향으로 점철되는 경우, 하나의 파라메트리제이션으로 얻은 표면 적분 값은 다른 파라메트리제이션으로 얻은 값의 음수가 된다. 표면이 주어진다면 우리는 어떤 독특한 파라메트리제이션에 집착할 필요는 없지만 벡터장을 통합할 때, 우리는 어떤 방향으로 정상의 포인트가 될 것인지를 미리 결정한 다음 그 방향과 일치하는 파라메트리제이션은 어떤 파라메트리제이션이 될 것인지 선택할 필요가 있다.

또 다른 문제는 표면이 때로는 전체 표면을 덮는 파라메트리제이션이 없다는 것이다. 그리고 나서 분명한 해결책은 그 표면을 여러 조각으로 나누고 각 조각에 통합된 표면을 계산한 다음 그것들을 모두 합하는 것이다. 이것이 실제로 사물이 작용하는 방식이지만 벡터장을 통합할 때는 표면의 각 조각에 대해 정상점 벡터를 선택하는 방법을 다시 주의할 필요가 있어 조각들을 다시 합치면 결과가 일치한다. 실린더의 경우, 이것은 만약 우리가 옆부분의 경우 정상 부분이 몸 밖으로, 그 다음에 위쪽과 아래쪽 원형 부분의 경우 정상도 몸 밖으로 가리켜야 한다는 것을 의미한다.

마지막으로, 일관된 결과를 가지고 각 지점에서 표면이 정상임을 인정하지 않는 표면이 있다(예: 뫼비우스 스트립). 그러한 표면을 조각으로 쪼개어 각 조각에 파라메트리제이션과 그에 상응하는 표면 정규를 선택하고 조각들을 다시 합친다면, 우리는 다른 조각에서 오는 정상적인 벡터들은 조정될 수 없다는 것을 알게 될 것이다. 이것은 두 조각 사이의 어떤 연결점에서 우리는 반대 방향을 가리키는 정상적인 벡터를 갖게 된다는 것을 의미한다. 그런 표면을 비방향성이라고 하는데, 이런 종류의 표면에서는 벡터장 통합에 대해 말할 수 없다.

참고 항목

• 발산정리
• 스토크스 정리
• 라인 적분
• 부피요소
• 부피 적분
• 데카르트 좌표계
• 구형 좌표계의 부피 및 표면적 요소
• 원통형 좌표계의 부피 및 표면적 요소
• 홀슈타인-청어법

참조

외부 링크

• 표면 적분 - MathWorld의
• 표면 적분 — 이론 및 실습