병리(수학)

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수학에서 병리학적 개체는 동일한 범주에서 전형적인 개체로 생각되는 것과 구별되는 방식으로 일탈, 불규칙 또는 반직관적인 속성을 가진 개체입니다.병리학의 반대는 ^[1][2]예의 바르다.

분석 중

병리학적 구조의 전형적인 예는 바이얼스트라스 함수입니다. 바이얼스트라스 함수는 어디에서나 연속적이지만 ^[1]어디에서도 미분할 수 없습니다.미분 가능 함수와 바이얼스트라스 함수의 합은 다시 연속적이지만 미분 가능 함수는 없습니다. 따라서 미분 가능 함수와 같은 함수가 적어도 있습니다.사실, Baire 범주 정리에 의해, 연속 함수는 일반적으로 어느 곳에서도 구별할 ^[3]수 없다는 것을 보여줄 수 있다.

문외한의 관점에서 보면, 대부분의 함수는 전혀 구별이 되지 않으며, 상대적으로 거의 기술되거나 연구될 수 없다.일반적으로, 대부분의 유용한 함수는 또한 어떤 종류의 물리적 기초나 실용적인 응용을 가지고 있는데, 이것은 그것들이 어려운 수학이나 논리 수준에서 병리학적일 수 없다는 것을 의미한다. 델타 분포와 같은 특정한 제한적인 경우를 제외하고, 그것들은 꽤 잘 행동하고 직관적인 경향이 있다.앙리 푸앵카레의 말을 인용하면:

논리는 때때로 괴물을 만든다.반세기 동안 우리는 어떤 목적에 도움이 되는 정직한 기능들을 가능한 한 적게 닮도록 강요당하는 것처럼 보이는 기괴한 기능들을 봐왔다.연속성이 더 많거나 적거나, 더 많은 파생 모델 등이 있습니다.사실 논리적인 관점에서 보면, 이러한 기묘한 함수는 가장 일반적인 반면, 찾지 않고 만나 단순한 법칙을 따르는 것은 작은 구석에 지나지 않는 특정한 경우로 보인다.

옛날에는 실용적인 목적으로 새로운 기능을 발명했지만, 오늘날에는 아버지들의 추리상의 결함을 드러내기 위해 일부러 발명하고, 그것으로부터만 추론할 수 있다.

논리가 교사의 유일한 지침이었다면, 가장 일반적인 기능, 즉 가장 기괴한 기능부터 시작할 필요가 있었을 것이다.이 기형학 박물관과 씨름해야 하는 것은 초보자입니다.

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이는 병리학적 용어(및 이에 대응하여 잘 동작하는 단어)가 주관적이고 상황에 따라 다르며 마모되기 쉽다는 사실을 강조합니다.어떤 경우든 그 의미는 수학자 커뮤니티에 존재하며 반드시 수학 자체에 있는 것은 아닙니다.또한, 인용문은 수학이 어떻게 직관적이거나 예상된 것들로 반례를 통해 발전하는지를 보여준다.예를 들어, 언급된 "파생물의 부족"은 태양 ^{[citation needed]}플라즈마에서 자기 재연결 사건에 대한 현재의 연구와 밀접하게 관련되어 있다.

토폴로지 내

위상학에서 가장 악명 높은 병리학 중 하나는 알렉산더 뿔 구체인데, 이것은 위상학적으로 R에 구체²³ S를 포함시키는 것이 공간을 깨끗하게 분리하는 데 실패할 수 있다는 것을 보여주는 반례입니다.반례로, 그것은 뿔 달린 구체가 ^[4]보이는 거친 행동을 억제하는 악성의 추가 조건을 자극했다.

다른 많은 병리학과 마찬가지로, 어떤 의미에서 뿔이 난 구는 무한히 미세하고 재귀적으로 생성된 구조에서 작동하며, 이는 한계에서 일반적인 직관에 위배됩니다.이 경우, 한계 내의 연속된 구의 연결 루프의 계속 내려가는 사슬의 위상은 공통 구체의 위상을 완전히 반영하며, 그 외부도 삽입 후 동일하게 작동하기를 기대할 수 있습니다.그러나 그것은 그렇지 않다: 그것은 단순하게 연결되어 있지 않다.

기본 이론은 요르단과 쇤파리 정리를 참조한다.

얌전하다

수학자들(및 관련 과학자들)은 함수, 집합, 공간 등 수학적 물체가 "잘 동작"하는지에 대해 매우 자주 언급합니다.이 용어는 고정된 공식 정의를 가지고 있지 않지만 일반적으로 문맥, 수학적 관심사, 패션 및 취향에 따라 달라질 수 있는 일반적인 조건의 목록을 만족시키는 품질을 의미한다.물체가 "잘 행동"하도록 보장하기 위해 수학자들은 연구의 영역을 좁히기 위해 추가적인 공리를 도입합니다.이는 분석을 용이하게 하는 장점이 있지만, 도달한 결론의 일반성을 잃게 한다.

순수 및 응용 수학(예: 최적화, 수치 적분, 수리 물리학)에서 올바른 처신은 논의 중인 분석을 성공적으로 적용하는 데 필요한 가정을 위반하지 않는 것을 의미한다.

반대되는 경우는 보통 "병리학적"이라고 라벨이 붙어 있습니다.대부분의 경우(가진성 또는 측정 측면에서) 병적인 상황이 발생하는 것은 드문 일이 아니지만, 의도적으로 구축하지 않는 한 실제로 병적인 경우가 발생하지 않는다.

"잘 행동했다"는 용어는 일반적으로 어떤 것이 잘 동작했든 그렇지 않든 간에 절대적인 의미로 사용됩니다.예를 들어 다음과 같습니다.

• 알고리즘 추론에서 잘 동작하는 통계량은 단조롭고, 잘 정의되며, 충분합니다.
• 베주 정리에서, 두 다항식은 잘 동작하며, 따라서 만약 그들의 다항식 최대공약수가 상수라면 그들의 교집합 수에 대한 정리에 의해 주어진 공식이 유효하다.
• meromape 함수는 두 함수가 정형이라는 의미에서 잘 동작하는 두 함수의 비율입니다.
• Karush-Khn-Tucker 조건은 정상 동작의 비선형 프로그래밍 문제에서 솔루션이 최적이 되기 위해 필요한 1차 조건입니다.일부 규칙성 조건이 충족되면 문제를 정상 동작이라고 합니다.
• 확률 공간의 해당 시그마 대수에 포함된 사건들은 측정 가능한 함수와 마찬가지로 잘 동작합니다.

이례적으로 이 용어는 다음과 같은 비교적인 의미로 적용될 수도 있다.

• 미적분:
  • 분석 함수는 일반적인 스무스 함수보다 더 잘 동작합니다.
  • 부드러운 함수는 일반 미분 가능한 함수보다 더 잘 동작합니다.
  • 연속 미분 가능한 함수는 일반적인 연속 함수보다 더 잘 동작합니다.함수를 구분할 수 있는 횟수가 많을수록 함수는 더 잘 작동합니다.
  • 연속 함수는 콤팩트 집합의 리만 적분 가능 함수보다 더 잘 동작합니다.
  • 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분 가능 함수보다 더 잘 동작합니다.
  • 르베그 적분 가능 함수는 일반 함수보다 더 잘 작동합니다.
• 토폴로지에서는 연속 함수가 불연속 함수보다 더 잘 동작합니다.
  • 유클리드 공간은 비유클리드 기하학보다 더 잘 동작한다.
  • 매력적인 고정점은 반발 고정점보다 더 잘 작동합니다.
  • Hausdorff 토폴로지는 임의의 일반 토폴로지보다 동작이 좋습니다.
  • 보렐 세트는 임의의 실수의 세트보다 동작이 좋습니다.
  • 정수 치수의 공간은 프랙탈 치수의 공간보다 동작이 좋습니다.
• 추상 대수학에서:
  • 그룹은 마그마나 반그룹보다 더 잘 행동한다.
  • Abelian 그룹은 비 Abelian 그룹보다 더 잘 동작합니다.
  • 최종 생성 아벨 군들은 최종 생성되지 않은 아벨 군들보다 더 나은 행동을 보인다.
  • 유한 차원 벡터 공간은 무한 차원 벡터 공간보다 더 잘 동작합니다.
  • 필드는 스큐 필드나 일반 링보다 더 잘 작동합니다.
  • 분리 가능한 필드 확장자는 분리 불가능한 필드 확장자보다 더 잘 작동합니다.
  • 노름분할대수는 일반구성대수보다 더 잘 동작한다.

병리학적 예

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병리학적 예는 종종 이론 내에서 포함하거나 설명하기 어렵게 만드는 바람직하지 않거나 특이한 특성을 가지고 있다.그러한 병적인 행동은 종종 새로운 연구와 연구를 촉진하고, 이것은 새로운 이론과 더 일반적인 결과로 이어진다.여기에는 다음과 같은 중요한 과거의 예가 있습니다.

• 고대 그리스의 피타고라스 학파에 의한 불합리한 수의 발견. 예를 들어 단위 정사각형의 대각선 길이, 즉 2$(\$입니다.
• 16세기에 복소수의 발견으로 입방정식과 사분정식 다항식 함수의 근원을 찾을 수 있었다.
• 이성은 셀 수 있다.즉, 모든 유리수는 하나의 정수에 매핑할 수 있습니다.
• 일부 number 필드에는 고유한 인수분해 도메인을 형성하지 않는 정수 링이 있습니다.$예$를 들어 필드${\displaystyle }$Q${\displaystyle \sqrt{}}$( -${\displaystyle \sqrt{5}}$ $)\displaystyle \mathbb {Q}({\sqrt${-5$\}\}\})$입니다.
• 프랙탈 및 기타 "거친" 기하학적 객체의 발견(하우스도르프 차원 참조).
• Weierstrass 함수는 실선상의 실수치 함수로, 어디에서나 연속적이지만 어느 ^[1]곳에서도 미분할 수 없습니다.
• 실제 분석 및 분포 이론에서 함수를 테스트합니다. 실선상에서 무한히 미분 가능한 함수로, 주어진 제한된 구간을 벗어나면 어디에서나 0이 됩니다.이러한 함수의 예는 테스트 함수입니다.
  $$\displaystyle \varphi(t)=cases}e^{-1/(1-t^{2}),&-1 <1,\0,&{\text{cases}}.\end {case}}$$

  
• 칸토어 집합은 측정값이 0이지만 셀 수 없는 구간 $]({displaystyle [0,1])$의 하위 집합입니다.
• 지방 캔터 세트는 밀도가 낮지만 측정값이 양수입니다.
• Fabius 함수는 모든 면에서 매끄럽지만 분석적인 측면은 없습니다.
• 볼테라의 함수는 어디에서나 유계 도함수로 구분할 수 있지만, 도함수는 리만 적분할 수 없다.
• Peano 공간 채우기 곡선은 단위 간격 $]({display$ [$0,1])$을 [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1]}$× [$]({display [0,1]\times$ [$0,1$에${\displaystyle }$매핑하는 연속 투영 함수입니다.
• 유리수의 지시 함수인 디리클레 함수는 리만 적분할 수 없는 유계 함수이다.
• 칸토어 함수는 [$]({displaystyle$ [$0,$$1])$을 [${\displaystyle 0,}$1$]([0,1$에${\displaystyle }$매핑하는 단조로운 연속 투영 함수이지만 거의 모든 곳에 0의 도함수가 있습니다.
• 민코프스키 물음표 함수는 연속적이며 엄격하게 증가하지만 거의 모든 곳에 0 도함수가 있습니다.
• "직관적으로 잘못된" 산술 문장이 포함된 만족도 클래스는 계산 가능하고 반복 포화 상태인 Peano ^{[citation needed]}산술 모델에 대해 구성할 수 있습니다.
• Osgood 곡선은 (대부분의 공간을 채우는 곡선과 달리) 양의 면적의 조던 곡선입니다.
• 이국적인 구는 동형이지만 표준 유클리드 n-구와는 다르지는 않다.

발견 당시 이들 각각은 매우 병적인 것으로 여겨졌고, 오늘날에는 각각 현대 수학 이론에 동화되어 있다.이러한 예는 관찰자가 자신의 신념이나 직관을 수정하도록 촉구하며, 경우에 따라서는 기본 정의와 개념의 재평가가 필요하다.역사를 통해, 그것들은 더 정확하고, 더 정확하고, 더 강력한 수학으로 이어졌다.예를 들어 디리클레 함수는 르베그 적분 가능하며, 테스트 함수와 함께 컨볼루션(convolution)은 부드러운 함수에 ^{[Note 1]}의해 국소적으로 적분 가능한 함수에 근사하기 위해 사용됩니다.

어떤 행동이 병적인지는 정의상 개인적인 직관에 달려있다.병리학은 맥락, 훈련 및 경험에 따라 달라지며, 한 연구자에게 병적인 것은 다른 연구자에게 표준적인 행동일 수 있다.

병리학적 예는 정리에서의 가정의 중요성을 보여줄 수 있다.예를 들어, 통계학에서 코시 분포는 대칭 종 모양은 많은 분포와 비슷하지만 중심 한계 정리를 충족하지 않습니다. 즉, 존재하고 유한한 평균 및 표준 편차를 가질 필요가 없습니다.

바나흐-타르스키 역설과 하우스도르프 역설과 같이 가장 잘 알려진 역설 중 일부는 측정 불가능한 집합의 존재에 기초한다.수학자들은 선택의 공리를 부정하는 소수의 입장을 취하지 않는 한 일반적으로 그러한 ^{[citation needed]}집합과 함께 사는 것에 체념한다.

컴퓨터 공학

컴퓨터 과학에서, 병리학은 알고리즘의 연구와 관련하여 약간 다른 감각을 가지고 있다.여기서 입력(또는 입력 세트)은 알고리즘으로부터 평균 케이스 복잡도 또는 그 정확성 위반과 같은 비정형적인 행동을 일으키면 병적이라고 한다.예를 들어 해시 테이블에는 일반적으로 해시 값에서 충돌하는 키 집합이라는 병리학적 입력이 있습니다.QuickSort는 보통 O${\displaystyle (n}$ log${\displaystyle n}$n $)(\displaystyle O(n\log${n}) 시간$$ 복잡도를 $가지지만{\displaystyle }$ 차선의 동작을 트리거하는 입력이${\displaystyle }주어지면{\displaystyle }$ O($n$ 2$)\display$ O$(n^{2})$

이 용어는 (비잔틴과 비교해서) 현실에서 건전한 루틴을 깨기 위해 특별히 고안된 입력이라는 것을 무시하는 방법으로 종종 경멸적으로 사용된다.한편, 병리학적 입력에 대한 인식은 중요합니다.병리학적 입력은 컴퓨터 시스템에 서비스 거부 공격을 가하기 위해 악용될 수 있기 때문입니다.또한, 이 용어는 다른 의미와 마찬가지로 주관적인 판단의 문제이다.충분한 실행 시간, 충분히 크고 다양한 사용자 커뮤니티(또는 기타 요인)가 주어진다면, 병리적인 것으로 치부될 수 있는 입력이 실제로 발생할 수 있다(Ariane 5의 첫 번째 시험 비행에서 보듯이).

예외

유사하지만 구별되는 현상은 예외적인 객체(및 예외적인 동형사상)의 현상입니다.일반 패턴에 대한 예외의 수가 적은 경우(예: 무한 규칙에 대한 예외의 유한 집합)에 발생합니다.대조적으로, 병리학의 경우, 현상의 대부분 또는 거의 모든 예는 병리적이다(예: 거의 모든 실수는 비합리적이다).

주관적으로 예외적인 물체(예: 20면체 또는 산발적인 단순군)는 일반적으로 이론의 예상치 못한 예로서 "아름답다"고 여겨지는 반면, 병리학적 현상은 종종 이름에서 알 수 있듯이 "추악하다"고 여겨진다.따라서 이론들은 보통 예외적인 대상을 포함하도록 확장된다.예를 들어, 예외적인 리 대수는 반단순 리 대수의 이론에 포함된다: 공리는 좋은 것으로 보이고, 예외적인 물체는 예상하지 못했지만 유효한 것으로 보인다.

대조적으로, 병리학적 예는 대신 공리의 결점을 지적하기 위해 채택되며, 이를 배제하기 위해 더 강력한 공리를 필요로 한다.예를 들어, 쇤플라이 문제에서 구체의 삽입을 변조할 필요가 있습니다.일반적으로, 사람들은 병리학을 포함한 보다 일반적인 이론을 연구할 수 있는데, 이것은 그 자체의 단순화를 제공할 수 있다. (실수는 합리성과 매우 다른 속성을 가지고 있고, 마찬가지로 연속적인 지도는 부드러운 지도와 매우 다른 속성을 가지고 있다.) 그러나 원래의 예들이 도출된 좁은 이론도 연구할 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 프랙탈 곡선
• 수학 용어 목록
• 룽지 현상
• 깁스 현상
• 역설 집합

레퍼런스

메모들

외부 링크

• 병리학적 구조와 프랙탈– Freeman Dyson의 기사 발췌, "불규칙의 특징" (사이언스, 1978년 5월)

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