미분 연산자
수학 에서 라플라스 연산자 또는 라플라시안 (Laplacian)은 유클리드 공간 에서 스칼라 함수 의 경사 가 분산 되어 주어지는 미분 연산자 다. It is usually denoted by the symbols ∇ ⋅ ∇ {\displaystyle \nabla \cdot \nabla } ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ∇ {\displaystyle \nabla } nabla operator ), or Δ {\displaystyle \Delta } Cartesian coordinate system , the Laplacian is given by the sum of second partial derivatives of the function 각 독립 변수 와 관련하여. 원통형 좌표와 구면 좌표와 같은 다른 좌표계에서도 라플라시안에는 유용한 형태가 있다. 비공식적으로, p 지점 p p )p f (p )에서 얼마나 벗어나는지를 측정한다.
라플라스 연산자는 프랑스의 수학자 피에르 시몬 드 라플라스 (1749–1827)의 이름을 따왔다. 그는 연산자를 천체역학 연구에 처음 적용했다: 주어진 질량 밀도 분포에 따른 중력 전위 의 라플라스틱은 그 밀도 분포의 일정한 배수다. 라플레이스의 방정식 Δf = 0 의 용액은 조화 함수 라고 불리며 진공 영역 에서 가능한 중력 전위를 나타낸다.
라플라시안은 물리적 현상을 설명하는 많은 미분 방정식 에서 발생한다. 포아송의 방정식 은 전기 와 중력 전위 를 기술하고, 확산 방정식 은 열 과 유체 흐름 을 기술하고, 파동 방정식 은 파동 전파 를 기술하고, 슈뢰딩거 방정식 은 양자 역학 에서 기술한다. 이미지 처리 와 컴퓨터 비전 에서 라플라시안 연산자는 블롭 과 에지 검출 과 같은 다양한 작업에 사용되어 왔다. 라플라시안은 가장 단순한 타원 연산자 로, 드 람 코호몰로지 결과뿐만 아니라 호지 이론 의 핵심에 있다.
정의 라플라스 연산자는 n차원 유클리드 공간 의 2차 차동 연산자 로, 구배 ( gradient f {\displaystyle \nabla \cdot }) (∇ {\displaystyle \nabla f}) 따라서 f {\displaystyle f} 구별 가능한 실제 값 함수 인 경우, f {\displaystyle f
Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f} (1 )
후자의 공지가 공식적으로 쓰여진 것에서 유래된 경우:
∇ = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) . {\displaystyle \prefla =\left\frac {\data.}{\fldots,{\frac {\frac {}{\frac}{\n1}}\right). } 명시적으로 f 카르테시아 좌표x 에서i 혼합 되지 않은 두 번째 부분파생물 의 총합이다.
Δ f = ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ x i 2 {\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}{\partial x_{i}^{2}}: (2 )
2차 차등 연산자로서 라플라스 연산자는 Ck kk −2 2 의 C 함수에 매핑한다. 선형 연산자 Δ : C k R n C k −2R n 오픈 세트 Ω ⊆ R n Δ : C(Ωk → C(Ω) 이다k −2
동기 확산 확산 의 물리적 이론에서 라플라스 연산자는 평형 의 수학적 설명에서 자연적으로 발생한다.[1] 특히 u 내 V ∂V 를 통한 u 순유속 은 0이다.
∫ ∂ V ∇ u ⋅ n d S = 0 , {\displaystyle \int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,} 여기서 n V 정상인 외부 단위 다. 다양성 정리로는 ∫ V 칸막이하다 ∇ u d V = ∫ ∂ V ∇ u ⋅ n d S = 0. {\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \dS=0.}
이는 모든 매끄러운 지역
칸막이하다 ∇ u = Δ u = 0. \displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0. } 이 방정식의 왼쪽은 라플라스 연산자로, 전체 방정식 Δu = 0 은 라플라스 방정식 으로 알려져 있다. 라플라스 방정식의 해법, 즉 라플라스틱이 동일한 0이므로 확산 중 가능한 평형 밀도를 나타내는 함수.
라플라스 연산자 자체는 확산방정식 에 의해 정밀하게 만들어진 의미에서 점이 화학농도의 원천이나 싱크대를 나타내는 범위로서 비균형 확산에 대한 물리적 해석을 가지고 있다. 라플라크의 이러한 해석은 평균에 관한 다음의 사실에 의해서도 설명된다.
평균 감안할 때는 두번 연속 미분 가능 함수 f:Rn→ R^{n}\to \mathbb{R}{\displaystyle f:\mathbb{R}}, 점 p∈ Rn{\displaystylep\in \mathbb{R}^{n}}과 같은 h>0{\displaystyle h>0}, 우리는 f¯ B({\displaystyle{\overline{f}}_ᆱ(p,h)}이 되aver게 했다.나이 va 반경 h {\displaystyle h} ( 가 ) p {\ displaystyle h} 공 있는 {\ displaystyle } 구) {\displaystyle f} 반경 {\displaystystyle h} . p[\displaystyle p} . 그리고 다음이 있다.[2]
f ¯ B ( p , h ) = f ( p ) + Δ f ( p ) 2 ( n + 2 ) h 2 + o ( h 2 ) 을 위해 h → 0 {\displaystyle {f}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\delta f(p)}{2(n+2)}}}h^{2}+}{2}+(h^{2})\quad{\text{for};h\to 0} 그리고 f ¯ S ( p , h ) = f ( p ) + Δ f ( p ) 2 n h 2 + o ( h 2 ) 을 위해 h → 0. {\displaystyle {\text{f}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\delta f(p)}{2}}:h^{2}+{2}}\text{{for}\;h\to.}
잠재력과 관련된 밀도 φ 전하 분포 q 정전 전위 를 나타내는 경우, 전하 분포 자체는 φ
q = − ε 0 Δ φ , {\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,} 여기서 ε 0 전기 상수 다.
이것은 가우스의 법칙 의 결과다. 실제로 V ∂V 를 가진 부드러운 지역일 경우, 가우스의 법칙에 의해 경계를 가로지르는 정전기장 E
∫ ∂ V E ⋅ n d S = ∫ V 칸막이하다 E d V = 1 ε 0 ∫ V q d V . {\displaystyle \int_{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int_{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \dV={\frac {1}{0}}}}int _{V}. } 첫 번째 평등이 분기 정리 에서 기인하는 경우. 정전기장은 전위(음극)의 구배이므로 다음과 같다. − ∫ V 칸막이하다 ( 등급을 매기다 φ ) d V = 1 ε 0 ∫ V q d V . {\displaystyle -\int _{V}\operatorname {grad}\varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}\int _{V}q\,dV. }
모든 지역에서 V 가 열리기 때문에, 우리는 반드시
칸막이하다 ( 등급을 매기다 φ ) = − 1 ε 0 q {\displaystyle \divname {drad} \varphi )=-{\frac {1}{\barepsilon _{0}q}
같은 접근방식은 중력 전위 의 라플라시안(Laplacian)의 음이 질량분포 라는 것을 암시한다. 흔히 전하(또는 질량) 분포가 주어지며, 관련 전위는 알 수 없다. 적절한 경계 조건의 대상이 되는 잠재적 함수를 찾는 것은 포아송의 방정식 을 푸는 것과 같다.
에너지 최소화 라플라크가 물리학에 나타난 또 다른 동기는 지역 U 0 에 대한 해결책이 디리클레 에너지 를 정지 상태로 만드는 기능이라는 것이다.
E ( f ) = 1 2 ∫ U ‖ ∇ f ‖ 2 d x . {\displaystyle E(f)={\frac {1}{1}:{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}
이를 보려면 f U R u : U → R 이 U의 경계에서 소멸되는 함수라고 가정하면 다음과 같다.
d d ε ε = 0 E ( f + ε u ) = ∫ U ∇ f ⋅ ∇ u d x = − ∫ U u Δ f d x 왼쪽. {\frac {d}{d}{d\varepsilon }}\오른쪽 _{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla \,dx=-\{U}u\,\Delta f\,dx}
여기서 마지막 평등은 그린의 첫 번째 정체성 을 이용해 뒤따른다. 이 계산은 Δf = 0 이면 E 주위 반대로 E 주위 변동의 미적분학의 기본 보조정리법 에 의한 Δf = 0 .
좌표식 2차원 2차원의 라플라스 연산자는 다음과 같이 주어진다.
데카르트 좌표에서
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}+{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}:} 여기서 x 와 y 는 xy 평면의데카르트 좌표 다.
극좌표에서는
Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 = ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 , {\displaystyle{\begin{정렬}\Delta f&, ={\frac{1}{r}}{\frac{\partial}{r\partial}}\left(r{\frac{\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac{1}{r^{2}}}{\frac{\partial ^{2}f}{\partial\theta ^{2}}}\\&, ={\frac{\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac{1}{r}}{\frac{\partial f}{r\partial}}+{\frac{1}{r^{2}}}{\frac{\partial ^{2}f}{\partial \t.heta ^{2 }}},\end{aigned}} 여기서 r 은 방사상 거리를 나타내며 θ 각도를 나타낸다.
삼차원 3차원에서는 다양한 좌표계에서의 라플라시안과의 작업이 일반적이다.
데카르트 좌표에서
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{{2}+{\partial y^{2}}{\partial y^{2}}+{\partial y^{2}}{\partial z^{2}}}}}}. }
원통형 좌표에서는
Δ f = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 , {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},} 여기서 ρ {\displaystyle \rho } φ 높이
구형 좌표
Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 죄를 짓다 θ ∂ ∂ θ ( 죄를 짓다 θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 죄를 짓다 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 , {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},} 또는 Δ f = 1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r f ) + 1 r 2 죄를 짓다 θ ∂ ∂ θ ( 죄를 짓다 θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 죄를 짓다 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 , {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},} 여기서 φ 방위각 을 나타내며 θ 정점각 또는 공동각도 를 나타낸다.
일반 곡선 좌표 ξ 1 , ξ 2 ,ξ 3
Δ = ∇ ξ m ⋅ ∇ ξ n ∂ 2 ∂ ξ m ∂ ξ n + ∇ 2 ξ m ∂ ∂ ξ m = g m n ( ∂ 2 ∂ ξ m ∂ ξ n − Γ m n l ∂ ∂ ξ l ) , {\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}
여기 서l 반복 지수에 대한 합계는 g 는 역 메트릭mn metric은 선택 된 좌표에 대한 Christoffel 기호 다.
N 치수임의 N차원의 곡선 좌표(ξ 1 , ξN )에서는 역 미터법 텐서 , g i j {\ displaystyle ^{ij}
Δ = 1 퇴장시키다 g ∂ ∂ ξ i ( 퇴장시키다 g g i j ∂ ∂ ξ j ) , {\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}{\partial \partial \partial ^{i}}}}\partial \partial \partial \xi ^{j}}}\partial \j}오른쪽)} 분열 을 위한 보스-와일 [3]
N 치수의 구형 좌표 에서, 파라메트리제이션 x rθ R N r 은 양의 실제 반경을 나타내며 θ 단위 구 S N −1
Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 Δ S N − 1 f {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\prac {N-1}{\partial f}{{\partial r}}{\partial r}}{r^{1}}}}\Delta _{S^{{{{N-1}f}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 여기서 Δ 는S N −1(N - 1)- sphere의 라플라스-벨트라미 연산자 다. 두 개의 방사형 파생상품 용어는 다음과 같이 동등하게 재작성할 수 있다. 1 r N − 1 ∂ ∂ r ( r N − 1 ∂ f ∂ r ) . {\displaystyle {\frac{1}{r^{N-1}{\frac {\partial r}{\partial r}}\좌측(r^{{N-1}{\partial f}{\partial r}}\오른쪽). }
결과적으로 S N −1R N {{0} 까지 확장 N 동질 이다.
유클리드 불변성 라플라시안은 모든 유클리드 변형 , 즉 회전 과 번역 에서 불변한다. 예를 들어, 2차원에서 이것은 다음을 의미한다.
Δ ( f ( x cas θ − y 죄를 짓다 θ + a , x 죄를 짓다 θ + y cas θ + b ) ) = ( Δ f ) ( x cas θ − y 죄를 짓다 θ + a , x 죄를 짓다 θ + y cas θ + b ) #\displaystyle \Delta(f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +b)=(\Delta f)(x\cos \cos \theta -y\sin \cosin \theta +b) 모든 θ , a , b 에 대하여 임의의 치수에서는, Δ ( f ∘ ρ ) = ( Δ f ) ∘ ρ {\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circle \rho } ρ 가 회전일 때마다, 마찬가지로 다음과 같다. Δ ( f ∘ τ ) = ( Δ f ) ∘ τ {\displaystyle \Delta (f\circle \tau )=(\Delta f)\circle \tau } τ 이 번역일 때마다. (더 일반적으로 ρ 이 반사 와 같은 직교 변환 일 때 이는 그대로 유지된다.)
사실, 모든 유클리드 변환과 함께 통근하는 일정한 계수를 가진 모든 스칼라 선형 미분 연산자의 대수는 라플라스 연산자에 의해 생성된 다항식 대수다.
스펙트럼 이론 라플라스 연산자의 스펙트럼 은 다음과 같은 고유함수 f 고유값 λ
− Δ f = λ f . Delta f=\lambda f. }
이것은 헬름홀츠 방정식 이라고 알려져 있다.
Ω 이 R n 힐버트 공간 L 2 (Ω)정형화된 기초 가 된다. 이 결과는 본질적으로 라플라시안(Poincaré 불평등 과 렐리히-콘드라초프 정리 )의 역에 적용된 콤팩트 자기 적응 연산자 에 대한 스펙트럼 정리 에서 나타난다.[4] 또한 고유특성은 무한히 다른 기능임을 알 수 있다.[5] 보다 일반적으로, 이러한 결과는 경계가 있는 콤팩트한 리만 다지관의 라플라스-벨트라미 운영자 또는 실제로 경계 영역에 부드러운 계수를 갖는 타원 운영자 의 디리클레 고유값 문제를 지탱한다. Ω 이 n-sphere일 때, 라플라시안의 고유 기능은 구형 고조파 다.
벡터 라플라시안 벡터 라플라스 연산자 는 2 {\ displaystyle \nabla ^{2}} 하는 벡터 필드 위에 정의된 미분 연산자 다. [6] 벡터 라플라시안은 스칼라 라플라시안과 유사하다. 스칼라 라플라시안은 스칼라장 에 적용되고 스칼라 양을 반환하는 반면, 벡터 라플라시안은 벡터장에 적용 되어 벡터 수량을 반환한다. 직교 카르테시안 좌표 로 계산했을 때, 반환된 벡터 필드는 각 벡터 구성요소에 적용되는 스칼라 라플라시안의 벡터 필드와 동일하다.
벡터 필드 A {\ displaystyle \mathbf {A} 벡터 라플라시안 은 다음과 같이 정의된다
∇ 2 A = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) . \displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A})-\nabla \times \mathbf {A} }
데카르트 좌표 에서 이것은 다음과 같이 훨씬 단순한 형태로 감소한다.
∇ 2 A = ( ∇ 2 A x , ∇ 2 A y , ∇ 2 A z ) , {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2} A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),} where A x {\displaystyle A_{x}} A y {\displaystyle A_{y}} A z {\displaystyle A_{z}} A {\displaystyle \mathbf {A} } ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 이것은 라그랑주 공식의 특별한 경우라고 볼 수 있다. 벡터 트리플 제품 을 참조하라.
다른 좌표계의 벡터 라플라시안 표현은 원통형 및 구형 좌표 델을 참조 한다.
일반화 모든 텐서 필드 displaystyle \mathbf {T} 차이 로 정의 된다.
∇ 2 T = ( ∇ ⋅ ∇ ) T . {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T}}
T {\ displaystyle \mathbf {T}} 스칼라 (도 0의 텐서)인라플라시안 은 익숙한 형태를 취한다.
T {\ displaystyle \mathbf {T}} 공변량 파생상품 으로, 텐서(tensor)가 2도이고, 이것의 발산도 다시 벡터(vector)이다. 위의 벡터 라플라시안 공식은 텐서 수학을 피하기 위해 사용될 수 있으며 벡터의 구배를 위해 아래에 제시된 자코비안 행렬 의 다양성과 동등하다고 보여질 수 있다.
∇ T = ( ∇ T x , ∇ T y , ∇ T z ) = [ T x x T x y T x z T y x T y y T y z T z x T z y T z z ] , 어디에 T u v ≡ ∂ T u ∂ v . {\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}})={\begin{bmatrix}T_{x}> T_{xy}&T_{xz}\ \T_{yx}& T_{yy}&T_{yz}\\ T_{zx}&T_{zy}&T_{zy}\end{bmatrix},{\text{{{{}, 여기서 }T_{uv}\equiv{\frac {\partial T_{u}}}{\partial v}}. }
그리고 같은 방법으로 다른 벡터(2도 텐서)의 경사로 벡터의 벡터까지 평가하는 도트 제품은 행렬의 산물로 볼 수 있다.
A ⋅ ∇ B = [ A x A y A z ] ∇ B = [ A ⋅ ∇ B x A ⋅ ∇ B y A ⋅ ∇ B z ] . {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} = {\begin{bmatrix} A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}. } 이 정체성은 좌표에 의존하는 결과로서 일반적이지 않다.
물리학에 사용 벡터 라플라시안의 사용 예로는 뉴턴 의 압축 불가능 한 흐름에 대한 Navier-Stokes 방정식 이 있다.
ρ ( ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v ) = ρ f − ∇ p + μ ( ∇ 2 v ) , {\displaystyle \rho \left\frac {v}{\mathbf{v}}{\cdot \nabla )\mathbf {v}}\rho \mathbf {f} -\cdla p+\mu \lef(\v}오른쪽),}} 여기 서 속도장 μ(∇ 2v ){\ displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right) 점성스트레스 를 나타낸다
또 다른 예는 전하와 전류가 없는 경우 맥스웰 방정식 에서 도출할 수 있는 전기장의 파동 방정식이다.
∇ 2 E − μ 0 ϵ 0 ∂ 2 E ∂ t 2 = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E}}{\partial t^{2}}=0}=0}. }
이 방정식은 다음과 같이 기록할 수도 있다.
◻ E = 0 , {\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,} 어디에 ◻ ≡ 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 , {\displaystyle \Equiv {\frac {1}{c^{2}}:{\frac {\partial ^{2}}:{\partial t^{2}}-\nabla ^{2},} 클라인-고든 방정식 에 사용되는 달렌베르트어다.
일반화 라플라크의 버전은 디리클레 에너지 기능 이 이치에 닿는 곳이라면 어디든 정의될 수 있는데, 디리클레의 이론 이다. 추가 구조물이 있는 공간의 경우 다음과 같이 라플라시안(Laplacian)에 대해 보다 명시적으로 설명할 수 있다.
라플라스-벨트라미 연산자 또한 라플라시안(Laplacian )은 리만 다지관에 정의 라플라스-벨트라미 라플라스-벨트라미 연산자는 함수에 적용될 때 함수의 헤시안 추적 (tr )이다.
Δ f = tr ( H ( f ) ) {\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}} 미터법 텐서 의 역순에 대해 추적이 수행되는 경우. 또한 라플라스-벨트라미 연산자는 유사 한 공식으로 텐서 필드 에서 작동하는 연산자(라플라스-벨트라미 연산자라고도 함)로 일반화할 수 있다.
사이비-리만 다양체에서 이용할 수 있는 라플라스 연산자의 또 다른 일반화는 "지오미터의 라플라스틱"이 다음과 같이 표현되는 외부 파생물 을 사용한다.
Δ f = δ d f . Delta f=\delta df. }
여기서 Δ 는 코드프렌더 로, 호지 항성 과 외부 파생물의 측면에서도 표현할 수 있다. 이 연산자는 위에서 정의한 "분석학자의 라플라시안"과 부호가 다르다. 보다 일반적으로 "Hodge" Laplacian은 다음과 같이 미분형 α 에 대해 정의된다.
Δ α = δ d α + d δ α . {\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}
이것은 라플라스-데 럼 연산자 바이첸뵈크 정체성 에 의해 라플라스-벨트라미 연산자와 관련이 있다.
달렘베르트어 라플라시아인은 타원체 , 쌍곡체 또는 초극성일 수 있는 유클리드 이외의 공간에 특정한 방법으로 일반화될 수 있다.
민코프스키 공간 에서 라플라스-벨트라미 운영자는 달렌베르트 운영자 ◻ {\displaystyle \Box}
◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ 2 ∂ y 2 − ∂ 2 ∂ z 2 . {\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}. }
그것은 기초 공간의 등계 그룹 에 따라 불변하는 차동 연산자라는 점에서 라플라스 연산자의 일반화이며, 시간 독립적인 기능으로 제한될 경우 라플라스 연산자로 감소한다. 여기서 미터법의 전체적인 부호는 운영자의 공간 부분이 음의 부호를 인정하는 방식으로 선택되는데, 이는 고에너지 입자물리학 에서 흔히 볼 수 있는 관례다. 달랑베르 연산자는 파동 방정식 에 나타나는 미분 연산자여서 파동 연산자로도 알려져 있으며, 질량이 없는 경우 파동 방정식으로 감소하는 클라인-고든 방정식 의 일부이기도 하다.
공간과 시간이 서로 다른 단위로 측정되는 경우 미터법에서 c y 방향을 센티미터로 측정하는 동안 x 방향 을 미터로 측정했다면 유사한 인자가 필요할 것이다. 실제로 이론 물리학자들은 방정식을 단순화하기 위해 보통 1
달른베르트 운영자는 사이비-리만 다양체 에서 쌍곡선 운영자를 일반화한다.
참고 항목 메모들 참조 Evans, L. (1998), Partial Differential Equations , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9 Feynman, R.; Leighton, R; Sands, M. (1970), "Chapter 12: Electrostatic Analogs", The Feynman Lectures on Physics 2 , Addison-Wesley-Longman Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order , Springer, ISBN 978-3-540-41160-4 Schey, H. M. (1996), Div, Grad, Curl, and All That , W. W. Norton, ISBN 978-0-393-96997-9 추가 읽기 외부 링크
(가) 두 번 
