파디 브루노 공식

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본정리 한계 연속성 롤의 정리 평균값정리 역함수 정리
미분 정의들 도함수(일반화) 미분 극소의 어떤 기능을 하는 총 컨셉트 미분 표기법 이차 도함수 암묵적 미분 로그 미분 관련요금 테일러 정리 규칙과 아이덴티티 합 제품. 체인 힘 몫 L'Hôpital's rule 인버스 라이프니츠 장군 파디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 적분 목록 적분 변환 라이프니츠 적분법칙 정의들 원시함수 적분(부적합) 리만 적분 레베그 적분 등고선 적분 역함수의 적분 에 의한 통합 부품. 디스크 원통형 포탄 치환(삼각형, 탄젠트 반각형, 오일러) 오일러 공식 부분분수 순서변경 환원식 적분 기호에 따른 미분 리쉬 알고리즘
시리즈 기하학적(산술-기하학적) 고조파 교대 힘 이항 테일러 수렴시험 합산한도(임기시험) 비율 뿌리 적분 직접비교 한계비교 교대급수 코시 응축 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향 도함수 아이덴티티 정리 그라데이션 그린즈 스톡스' 발산 일반화된 스톡스
다변수 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학적 정의들 편미분 다중적분 선적분 표면적분 부피적분 야코비안 헤센어
고급. 유클리드 공간에 관한 미적분학 일반화 함수 배점한계
전문화된 분수 말리아빈 확률적 변주곡
여러가지 종류의 프리칼큘러스 역사 용어집 토픽 목록 인테그레이션 비 수리해석학 비표준해석
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파디 브루노의 공식은 연쇄 규칙을 상위 도함수로 일반화하는 수학의 항등식입니다. 프란체스코 파디 브루노(Francesco Faàdi Bruno, 1855, 1857)의 이름을 따서 지어졌지만, 그가 이 공식을 최초로 진술하거나 증명한 것은 아닙니다. 파 디 브루노보다 50여 년 전인 1800년, 프랑스 수학자 루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트는 미적분학 교과서에 이 공식을 언급했는데,^[1] 이 공식은 이 주제에 대해 최초로 출판된 참고 문헌으로 여겨집니다.^[2]

아마도 가장 잘 알려진 형태의 파디 브루노 공식은

합이 전체 $n$ ${\displaystyle$ n$}$에 걸쳐 있는 경우 - 제약 조건을 만족하는 음이 아닌${\displaystyle {정수}_{}}$m1,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ $)$ {\$displaystyle(m_{1},\ldots,$ m_{n})}의 tup

때때로 기억에 남는 패턴을 주기 위해 아래에서 논의된 조합 해석이 있는 계수가 덜 명시적인 방식으로 작성됩니다.

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!})\right)^{m_{j}}.$

Combining the terms with the same value of ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}=k}$ and noticing that ${\displaystyle m_{j}}$ has to be zero for ${\displaystyle j>n-k+1}$ leads to a somewhat simpler formula expressed in terms of Bell polynomials ${\displaystyle B_{n,}}$${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots,x_{n-k+1$

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

조합형

공식의 조합 형태는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left \pi \right )}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left B\right )}(x)}$

어디에

• $π {\$$displaystyle$ \pi}은$($는) 집합 {1, …, n} {\displaystyle \Pi}의 모든 파티션 중${\displaystyle }$집합$π {\$displaystyle \Pi}에서 실행됩니다.
• "$B$$$∈ π {\$displaystyle B\in$\pi} "는 $변수$ B {\$displaystyle$B}가 $파티션$π $displaystyle$ \pi}의 모든 "블록" 목록을 통과하는 것을 의미하며,
• ${\displaystyle A }$ denotes the cardinality of the set ${\displaystyle A}$ (so that ${\displaystyle \pi }$ is the number of blocks in the partition ${\displaystyle \pi }$ and ${\displaystyle B }$ is the size of the block ${\displaystyle B}$).

예

다음은 $n$ = ${\$displaystyle n = 4} 경우에 대한 조합 형식에 대한 구체적인 설명입니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x).\end{align}}}$

패턴은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}g'(x)^{4}&\leftright 화살표 &&&1+1+1&\leftright 화살표 &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\[12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftright 화살표 &&6\[12pt]g"(x)^{2}&\leftright 화살표 &&2+2&\leftright 화살표 &&f"(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftright 화살표 &&4\\[12pt]g'(x)&\leftright 화살표 &&4&\leftright 화살표 &&f'(g(x))&&\leftright 화살표 &&1\end{array}}$

인자 ${\displaystyle {}^{}}$ ″${\displaystyle {}^{}}$(x )${\displaystyle g^{}}$'$$(x ) 2 {\$display g'$ (x) g$'$ (x)^{2}는 명백하게 정수 4의 파티션 2 + 1 + 1에 해당합니다. ${\displaystyle f}$‴${\displaystyle (}$g ($x$)) {\$displaystyle f'""($g(x))}와 일치하는 $인자$는 해당 파티션에 세 개의 합이 있다는 사실에 해당합니다. 그 요인과 일치하는 계수 6은 크기 2의 한 부분과 크기 1의 두 부분으로 분할되는 4인 집합의 파티션이 정확히 6개라는 사실에 해당합니다.

마찬가지로 세 번째 행의 인자 ${\displaystyle g^{}}$ ″$$(x$$) $2$ {\$displaystyle$ g"(x)^{2}는 정수 4의 파티션 2 + 2에 해당하는 반면, f ″ (g (x ) {\displaystyle f"(g(x))는 해당 파티션에 두 개의 합집합(2 + 2)이 있다는 사실에 해당합니다. 계수 3은 4개의 객체를 2개의 그룹으로 분할하는 ${\displaystyle \frac{12}{}(\genfrac{}{}{0ex}{}{42}{})}$=${\displaystyle 3}$ ${\$displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3}가지 방법이 있다는 사실에 해당합니다. 같은 개념이 다른 사람들에게도 적용됩니다.

기억할 수 있는 방법은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)}{2!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{\frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(4)}}{4!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right)\left({\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!})\right)&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(4)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{align}}}$

파디 브루노 계수의 조합론

분할 계수 Faà di Bruno 계수는 "닫힌 형태" 표현식을 갖습니다. 정수 분할에 대응하는 크기 n의 집합의 분할 개수

${\displaystyle \displaystyle n=\underbrace {1+\cdots +1}_{m_{1}}\,+\,\underbrace {2+\cdots +2}_{m_{2}}\,+\,\underbrace {3+\cdots +3}_{m_{3}+\cdots }$

정수의 n은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_{2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots}}.$

이 계수는 누적값 연구와 관련된 벨 다항식에서도 발생합니다.

변주곡

다변량 버전

$y$ = ${\displaystyle g}$(x$$1, …, x n ) {\displaystyle y = g(x_{1},\ dots,x_{n})}라고 합니다. $그러면{\displaystyle }$ n개의 ${\displaystyle n}$ 변수가$$ 모두 구별되는지 또는 모두 동일한지 또는 구별할 수 없는 여러 클래스의 변수로 분할되었는지 여부에 관계없이 다음과 같은 항등식이 유지됩니다(불투명해 보이는 경우 아래의 매우 구체적인 예를 참조하십시오).^[3]

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{n}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left \pi \right)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\left B\right }y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}$

여기서(위와 같이)

• $π {\$$displaystyle$ \pi}은$($는) 집합 {1, …, n} {\displaystyle \Pi}의 모든 파티션 중${\displaystyle }$집합$π {\$displaystyle \Pi}에서 실행됩니다.
• "$B$$$∈ π {\$displaystyle B\in$\pi} "는 $변수$ B {\$displaystyle$B}가 $파티션$π $displaystyle$ \pi}의 모든 "블록" 목록을 통과하는 것을 의미하며,
• $displaystyle A}$는 집합 $A$ ${\displaystyle A}$의 카디널리티를 나타${\displaystyle 냅}$니다(따라서$π$ ${\displaystyle$\p${\displaystyle i}$}는 $파티션$ π${\$displaystyle \pi}의 블록 수이고,

${\displaystyle B}$ ${\$$displaystyle B}$는 $블록{\displaystyle }$ B {\$displaystyle$ B$}$의 $크기$입니다.$$

더 일반적인 버전은 모든 함수가 벡터 값이고 심지어 바나흐 공간 값인 경우에도 적용됩니다. 이 경우에는 프레셰 도함수 또는 Gateaux 도함수를 고려해야 합니다.

예

다음 식의 5개 항은 집합${\displaystyle }${${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ 3$}$ {\$displaystyle$\{$1, 2$, $3\}$의 5개 파티션과 명백하게 일치하며$,$ 각 경우 $f{\displaystyle }${\$displaystyle$ f$}$의 도함수 순서는 파티션의 부품 수입니다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\[10pt]&{}+f'(y)\left ({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\right)\\[10시]&{}+f'"(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\cdot y \over \partial x_{3}}.\end{align}}}$

세 변수가 서로 구별할 수 없는 경우 위의 다섯 항 중 세 항도 서로 구별할 수 없는 경우 고전적인 1변수 공식이 있습니다.

정식 멱급수 버전

Suppose ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}}$ and ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}}$ are formal power series and ${\displaystyle b_{0}=0}$.

$그렇다면$∘ g ${\displaystyle f$\circ}의 $조성$은 다시 공식적인 멱급수입니다.

${\displaystyle f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},}$

where ${\displaystyle c_{0}=a_{0}}$ and the other coefficient ${\displaystyle c_{n}}$ for ${\displaystyle n\geq 1}$ can be expressed as a sum over compositions of ${\displaystyle n}$ or as an equivalent sum over partitions of ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},}$

어디에

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}}$

는 부품 수를 나타내는$$ k ${\displaystyle k}$와 $함께{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 합성 집합입니다.

아니면

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},}$

어디에

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}}$

는 n$${\$displaystyle$ n$}$개의$$파티션 $집합$을 k {\$displaystyle$ k$}$의 부품으로 구성한 빈도 형식입니다.

$첫$ 번째 형태는$$($b$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle 2^{}{}^{}}$+$$⋯) k ${\displaystyle$(b_{1}$x$+b_{2)에서 $x$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle x^{n}}$의 계수를 선택하여 얻어집니다.$}x^{2}+\cdots)^{k}$ $$"검사에 의해", 두 번째 형태는 같은 항들을 모아서, 또는 대안적으로 다항식 정리를 적용하여 얻어집니다.

${\displaystyle {특수}^{}}$ 케이스 f${\displaystyle (x}$) = x$$$displaystyle$f(x) = e^{x}}, g(x ) = ∑ n ≥ 11 n! x n {\displaystyle g(x) =\sum _{n\geq$$1}{\frac {1}{n!$}}a_{n}x^{n}}$는 지수 공식을 제공합니다. 특수 케이스 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) = 1${\displaystyle }$/$$(${\displaystyle 1}$ - x ) {\displaystyle f (x) = 1 / (1 - x)}, ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 1}(-a_{n})x^{n}}$ gives an expression for the reciprocal of the formal power series ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}}$ in the case ${\displaystyle a_{0}=1}$.

Stanley는 지수 멱급수 버전을 제공합니다. 공식적인 멱급수에서

${\displaystyle f(x)=\sum_{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}}$

$그리고{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$번째$$ 도함수가 0:

${\displaystyle f^{(n)}(0)=a_{n}}입니다.$

이 시리즈는 순수하게 형식적이기 때문에 함수의 값으로 해석해서는 안 됩니다. 이 컨텍스트에는 수렴 또는 발산과 같은 것이 없습니다.

한다면

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}}$

그리고.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}}$

그리고.

${\displaystyle g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n}}$

그런 다음 ${\displaystyle {계수}_{}}$ c$${\$displaystyle c_{n}}($$정식{\displaystyle }$ 멱급수가 아닌 수렴급수를 다룰 경우 0으로 평가된$$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$의 ${\displaystyle n}$번째$$ 도함수일 것)는 다음과 같습니다.

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left B_{1}\right }\cdots a_{\left B_{k}\right }b_{k}}$

$여기$서$$${\displaystyle \$pi }$$π은${\displaystyle }${$,$ …, $n$ ${\displaystyle$ \{$1,\$$ldots$, ${\displaystyle n_{}}$\} 집합의 모든 파티션 집합에서 실행됩니다${\displaystyle .}$ 그리고 ${\displaystyle B_{}}$ 1$,$ …, B${\displaystyle B_${1$},\ldots$, B_{k}는 파티션$$π $\{\backslash$displaystyle \pi }의 블록입니다. 그리고 ${\displaystyle {Bj}_{}}$ $displaystyle B_{j}$는 $j$ ${\displaystyle j}$번째 블록의 멤버 수이며, $j$ = $…,$ k {\displaystyle j=1,\ldots, k}입니다.

이 공식의 버전은 조합론의 목적에 특히 적합합니다.

우리는 또한 위의 표기법과 관련하여 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}}$

여기서 ${\displaystyle {B,}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{n,k}(a_{1},\ldots,a_{n-k+1})}$는 벨 다항식입니다.

특별한 경우

$f{\displaystyle (x)}$ = ${\displaystyle x^{}}${\$displaystyle$ f(x) = e^{x}}인 경우, f {\displaystyle f}의 도함수는 모두 동일하며 모든 항에 공통되는 인자입니다.

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}e^{g(x)}=e^{g(x)}B_{n}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x)\right),}$

여기서 ${\displaystyle {Bn}_{}}$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$는 n번째 완전 지수 벨 다항식입니다.

$g{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle g(x))$가 누적 생성 함수인 경우, $f{\displaystyle (g(x}$)) ${\displaystyle f(g(x))}$는 모멘트$$ 생성 함수이고, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 다양한 도함수에서의 다항식은$$ 모멘트를 누적의 함수로 표현하는 다항식입니다.

참고 항목

• 연쇄법칙 – 구성된 함수의 도함수에 대하여
• 삼각함수의 미분 – 삼각함수의 도함수를 구하는 수학적 과정
• 미분 규칙 – 함수 도함수 계산 규칙
• 일반 라이프니츠 규칙 – 미적분학에서 곱 규칙의 일반화
• 역함수 및 미분 – 재연결 대상에 대한 짧은 설명을 표시하는 미적분 ID 페이지
• 미분의 선형성 – 미적분학적 성질
• 곱의 법칙 – 곱의 도함수에 대한 공식
• 도함수의 표 – 함수의 도함수를 계산하기 위한 규칙 리다이렉트 대상에 대한 짧은 설명을 표시하는 페이지
• 벡터 미적분 항등식 – 수학 항등식

메모들

참고문헌

역사적 조사와 에세이

• Brigaglia, Aldo (2004), "L'Opera Matematica", in Giacardi, Livia (ed.), Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione, Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (in Italian), vol. XII, Torino: Deputazione Subalpina di Storia Patria, pp. 111–172Brigaglia, Aldo (2004), "L'Opera Matematica", in Giacardi, Livia (ed.), Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione, Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (in Italian), vol. XII, Torino: Deputazione Subalpina di Storia Patria, pp. 111–172"수학적 작업"은 수학적 활동에 대한 에세이로 프란체스코 파 디 브루노의 연구와 교수 활동을 모두 설명합니다.
• Craik, Alex D. D. (February 2005), "Prehistory of Faà di Bruno's Formula", American Mathematical Monthly, 112 (2): 217–234, doi:10.2307/30037410, JSTOR 30037410, MR 2121322, Zbl 1088.01008.
• Johnson, Warren P. (March 2002), "The Curious History of Faà di Bruno's Formula" (PDF), American Mathematical Monthly, 109 (3): 217–234, CiteSeerX 10.1.1.109.4135, doi:10.2307/2695352, JSTOR 2695352, MR 1903577, Zbl 1024.01010.

연구작업

• Arbogast, L. F. A. (1800), Du calcul des derivations [On the calculus of derivatives] (in French), Strasbourg: Levrault, pp. xxiii+404구글 책에서 Arbogast, L. F. A. (1800), Du calcul des derivations [On the calculus of derivatives] (in French), Strasbourg: Levrault, pp. xxiii+404완전히 자유롭게 이용할 수 있습니다.
• Faà di Bruno, F. (1855), "Sullo sviluppo delle funzioni" [On the development of the functions], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (in Italian), 6: 479–480, LCCN 06036680구글 책에서 Faà di Bruno, F. (1855), "Sullo sviluppo delle funzioni" [On the development of the functions], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (in Italian), 6: 479–480, LCCN 06036680완전히 자유롭게 이용할 수 있습니다. 프란체스코 파 디 브루노가 바르나바 토르톨리니가 설립한 저널에 출판된 두 가지 버전의 공식을 발표하는 잘 알려진 논문.
• Faà di Bruno, F. (1857), "Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel" [On a new formula of differential calculus], The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (in French), 1: 359–360구글 책에서 Faà di Bruno, F. (1857), "Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel" [On a new formula of differential calculus], The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (in French), 1: 359–360완전히 자유롭게 이용할 수 있습니다.
• Faà di Bruno, Francesco (1859), Théorie générale de l'élimination [General elimination theory] (in French), Paris: Leiber et Faraguet, pp. x+224구글 책에서 Faà di Bruno, Francesco (1859), Théorie générale de l'élimination [General elimination theory] (in French), Paris: Leiber et Faraguet, pp. x+224완전히 자유롭게 이용할 수 있습니다.
• Flanders, Harley (2001) "Ford에서 Faa까지", American Mathematical Monthly 108(6): 558–61 doi: 10.2307/2695713
• Fraenkel, L. E. (1978), "Formulae for high derivatives of composite functions", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 83 (2): 159–165, Bibcode:1978MPCPS..83..159F, doi:10.1017/S0305004100054402, MR 0486377, S2CID 121007038, Zbl 0388.46032.
• Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2002), A Primer of Real Analytic Functions, Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (Second ed.), Boston: Birkhäuser Verlag, pp. xiv+205, ISBN 978-0-8176-4264-8, MR 1916029, Zbl 1015.26030
• Porteous, Ian R. (2001), "Paragraph 4.3: Faà di Bruno's formula", Geometric Differentiation (Second ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. 83–85, ISBN 978-0-521-00264-6, MR 1871900, Zbl 1013.53001.
• T. A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1850), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions" [On the derivation of functions], Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Série 1 (in French), 9: 119–125T. A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1850), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions" [On the derivation of functions], Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Série 1 (in French), 9: 119–125{{citation}}CS1 maint: 여러 이름: 저자 목록(링크), NUMDAM에서 사용할 수 있습니다. 존슨(2002, p. 228)에 따르면, 이 논문은 Faà di Bruno 1855의 선구자 중 하나입니다: 저자는 "T.A."로만 서명하고 J. F. C. Tiburce Abadie의 귀속은 다시 존슨에게 기인합니다.
• A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1852), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski" [On the derivation of functions. Burmann, Lagrange and Wronski series.], Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Série 1 (in French), 11: 376–383A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1852), "Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski" [On the derivation of functions. Burmann, Lagrange and Wronski series.], Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Série 1 (in French), 11: 376–383{{citation}}CS1 maint: 여러 이름: 저자 목록(링크), NUMDAM에서 사용할 수 있습니다. 존슨(2002, p. 228)에 따르면 이 논문은 Faà di Bruno 1855의 선구자 중 하나입니다: 저자는 "A"로만 서명하고 J. F. C. Tiburce Abadie의 귀속은 존슨에게 다시 귀속됩니다.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Faa di Bruno's Formula". MathWorld.