질량 중심

Center of mass
이 장난감은 손가락에 앉을 때 무게중심의 원리를 이용하여 균형을 잡습니다.

물리학에서, 공간 내 질량 분포의 질량 중심(균형점이라고도 함)은 분포된 질량의 가중 상대 위치가 0이 되는 유일한 지점이다.각가속도 없이 선형가속도를 발생시키기 위해 힘을 가할 수 있는 지점이다.역학에서의 계산은 질량 중심을 기준으로 공식화하면 종종 단순화된다.이것은 물체의 전체 질량이 움직임을 시각화하기 위해 집중되어 있다고 가정할 수 있는 가상의 지점이다.즉, 질량의 중심은 뉴턴의 운동 법칙을 적용하기 위한 주어진 물체와 동등한 입자입니다.

단일 강체의 경우 질량의 중심이 차체에 대해 고정되어 있으며, 차체의 밀도가 균일한 경우에는 중심부에 위치한다.때때로 말발굽과 같이 속이 비어 있거나 열린 모양의 물체의 경우와 같이 질량의 중심이 신체 외부에 위치할 수 있습니다.태양계행성과 같은 별개의 물체의 분포의 경우, 질량의 중심은 태양계의 어떤 개별 구성원의 위치와 일치하지 않을 수 있습니다.

질량의 중심은 행성체의 선형각운동량, 강체역학 등 우주공간에서 분산된 질량을 계산하는 유용한 기준점이다.궤도 역학에서, 행성의 운동 방정식은 질량의 중심에 위치한 점 질량으로 공식화된다.질량 중심 프레임은 좌표계의 원점에 대해 시스템의 질량 중심이 정지된 관성 프레임입니다.

역사

무게중심의 개념은 고대 그리스의 수학자, 물리학자, 그리고 시라쿠사의 기술자 아르키메데스에 의해 광범위하게 연구되었다.그는 중력에 대한 단순한 가정을 가지고 일했고, 이는 균일한 장에 해당하며, 따라서 우리가 질량의 중심이라고 부르는 것의 수학적 특성에 도달했다.아르키메데스는 지렛대를 따라 여러 지점에 무게중심이 놓여 있을 때 지렛대에 가해지는 토크는 모든 무게중심이 하나의 점, 즉 질량의 중심으로 이동될 때 가해지는 토크와 같다는 것을 보여주었다.아르키메데스는 떠다니는 물체에 관한 그의 작품에서, 떠다니는 물체의 방향이 질량의 중심을 가능한 낮게 만드는 것이라는 것을 증명했다.그는 다양한 명확한 형태의 [1]균일한 밀도의 물체의 질량 중심을 찾는 수학적 기술을 개발했다.

질량 중심 이론에 기여한 다른 고대 수학자들로는 알렉산드리아의 영웅알렉산드리아의 파푸스있다.르네상스 시대와 근대 초기에, 구이도 우발디, 프란체스코 마우로리코,[2] 페데리코 코만디노,[3] 에반젤리스타 토리첼리, 시몬 스테빈,[4] 루카 발레리오,[5] 장-샤를레, 폴 굴딘,[6] 왈리스, 크리스티아네,[7] 루이 후엔스, 에반젤리코에 의한 작품

뉴턴의 제2법칙 오일러[9]제1법칙에서 질량의 중심을 기준으로 재구성되었다.

정의

질량 중심은 공간 내 질량 분포의 중심에 있는 고유한 점으로, 이 점에 대한 가중 위치 벡터의 합이 0이 되는 특성을 가집니다.통계와 마찬가지로 질량 중심은 공간 내 질량 분포의 평균 위치입니다.

입자계

p입자계i 경우, i = 1, ..., n, 각각이 좌표 ri, i = 1, ..., n을 갖는 질량i m을 갖는 입자의 경우, 질량 중심의 좌표 R은 조건을 만족한다.

R에 대해 이 방정식을 풀면 공식이 생성된다.

서 M { M=\ _ 모든 입자의 총 질량이다.

연속 볼륨

질량 분포가 고체 Q 내의 밀도 θ(r)로 연속적인 경우, 부피 V 위의 질량 R의 중심에 상대적인 이 부피 내의 점들의 가중 위치 좌표의 적분은 0이다.

R이 얻을 좌표에 대해 이 방정식을 푸십시오.

여기서 M은 부피의 총 질량입니다.

연속 질량 분포의 밀도가 균일하면, 즉 θ가 일정하면 질량 중심은 [10]부피의 중심과 같습니다.

중심 좌표

질량1 m2 m인 두 입자계 P1 P2 질량 중심 좌표 R은 다음과 같다.

이 두 입자로 나누어진 총 질량의 퍼센티지가 P100%와1 P0%에서21 P50%와 P502%에서 P01%와 P1002%까지 다양하다고 가정하면, 질량 R의 중심은 P에서1 P2 이동한다.각 점의 질량 백분율은 이 선의 R의 투영 좌표로 볼 수 있으며, 이를 중심 좌표라고 합니다.여기서 프로세스를 해석하는 또 다른 방법은 임의의 점에 대한 모멘트의 기계적 균형입니다.분자는 질량 중심에서 등가의 총 힘으로 균형을 이룬 총 모멘트를 제공합니다.이는 평면과 공간의 투영 좌표를 각각 정의하기 위해 3점과 4점으로 일반화할 수 있습니다.

주기적인 경계 조건을 가진 시스템

주기적인 경계 조건을 가진 시스템의 입자의 경우 두 입자가 시스템의 반대편에 있더라도 인접할 수 있습니다.는 분자역학 시뮬레이션에서 종종 발생한다. 예를 들어, 클러스터는 임의의 위치에서 형성되며, 때로는 인접한 원자가 주기적인 경계를 넘기도 한다.군집이 주기 경계에 걸쳐 있으면 질량 중심에 대한 단순한 계산이 부정확해집니다.주기계의 질량중심을 계산하는 일반적인 방법은 각 좌표 x, y 및/또는 z를 선 대신 원에 [11]있는 것처럼 취급하는 것이다.계산은 모든 입자의 x좌표를 잡아 각도로 매핑합니다.

x방향은 어디 xmax은 시스템 크기와)나는, x max){\displaystyle x_{나는}\in -LSB- 0,x_{\max})}. 이 각도에서 두가지 새 논점(ξ 나는, 나는 ζ){\displaystyle(\xi_{나는},\zeta_{나는})}, 나는}에{\displaystyle x_{나는}그 입자 x의 질량에 따라 가중치가 주어질 수 있는 생성될 수 있는 -LSB- 0∈. 의기하학적 중심에 대해 질량 또는 값 1을 부여합니다.

, ) \( \, \)에서 이들 좌표는 반지름 1의 원에 있습니다.모든 입자의 i \ style _ { }i \ \ _ { }values {\ ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

여기서 M은 모든 입자의 질량의 합이다.

이러한 값은 새로운 각도인 로 매핑되며, 여기서 질량 중심 x 좌표를 얻을 수 있습니다.

이 과정을 시스템의 모든 치수에 대해 반복하여 전체 질량 중심을 결정할 수 있습니다.알고리즘의 유용성은 주기적인 경계를 가로지르는 군집을 추측하거나 "접기"하기 위해 클러스터 분석을 사용하는 대신 수학이 "최적의" 질량 중심이 어디에 있는지를 결정할 수 있도록 하는 것입니다.두 평균값이 모두 0인 경우 )( ,) { \ \ left } \ \ } , { \ \ zeta} = ( , 0 ) θθ θ θ 、 display display display undefined undefined if 이는 모든 입자가 정확히 균일한 간격으로 있을 때만 발생하므로 올바른 결과입니다. 상태에서 x좌표는 주기계에서 수학적으로 동일하다.

무게 중심

점으로 균형을 잡는 교육용 완구 그림: 질량 중심(C)이 지지대 아래에 위치함(P)

물체의 무게중심은 중력에 의한 토크가 사라지는 지점이다.중력장이 균일한 것으로 간주할 수 있는 경우 질량 중심과 무게 중심은 동일합니다.그러나 행성 주위를 도는 위성의 경우, 위성에 다른 토크가 적용되지 않는 경우, 행성의 가까운 곳(강함)과 먼 곳(웨이커) 사이의 중력장의 약간의 변화(경사)는 긴 축이 수직이 되도록 위성을 정렬하는 경향이 있는 토크로 이어질 수 있습니다.이 경우 무게중심과 질량중심을 구분하는 것이 중요합니다.둘 사이에 수평 오프셋이 있으면 토크가 적용됩니다.

질량 중심은 주어진 강체에 대한 고정 특성(예: 슬러시 또는 관절이 없음)인 반면 무게 중심은 비균일한 중력장에서의 방향에 따라 달라질 수 있습니다.후자의 경우 무게중심은 질량중심에 비해 항상 주매력체에 다소 가까운 위치에 있으므로 방향이 변경됨에 따라 관심체에서의 위치가 변화한다.

항공기, 차량 및 선박의 역학 연구에서 질량 중심을 기준으로 힘과 모멘트를 해결해야 한다.그것은 중력 자체가 고려사항인지 아닌지에 관계없이 사실이다.질량중심을 무게중심이라고 하는 것은 일종의 구어체이지만, 일반적으로 사용되고 있으며, 중력구배 효과가 무시할 수 있는 경우에는 무게중심과 질량중심이 동일하여 서로 바꾸어 사용된다.

물리학에서 질량 중심을 사용하여 질량 분포를 모델링하는 것의 이점은 연속적인 물체에 대한 중력의 결과를 고려함으로써 볼 수 있습니다.부피의 각 지점 r에서 밀도 θ(r)를 갖는 부피 V의 본체 Q를 고려합니다.평행 중력장에서 각 지점 r에서의 f는 다음과 같이 주어진다.

여기서 dm은 r점에서의 질량, g는 중력 가속도 ^ {\ 수직 방향을 정의하는 단위 벡터입니다.

부피에서 기준점 R을 선택하고 이 지점에서 결과 힘과 토크를 계산합니다.

그리고.

기준점 R이 질량의 중심이 되도록 선택되면,

즉, 결과 토크 T = 0입니다. 결과 토크가 0이기 때문에 물체는 질량이 질량 중심에 집중된 입자처럼 움직입니다.

강체의 기준점으로 무게중심을 선택함으로써 중력에 의해 물체가 회전하지 않게 되고, 이는 물체의 무게가 질량중심에 집중된 것으로 볼 수 있다.

선형 및 각운동량

입자 집합의 선형 및 각운동량은 질량 중심에 상대적인 입자의 위치와 속도를 측정하여 단순화할 수 있습니다.질량 mi 입자i P, i = 1, ..., n의 시스템이 속도i v의 좌표i r에 위치한다고 가정합니다. 기준점 R을 선택하고 상대 위치와 속도 벡터를 계산합니다.

시스템의 총 선형 운동량과 각 운동량은 다음과 같습니다.

그리고.

R을 질량의 중심으로 선택하면 이 방정식은 다음과 같이 단순해집니다.

여기서 m은 모든 입자의 총 질량, p는 선형 운동량, L은 각 운동량입니다.

운동량 보존의 법칙은 외력을 받지 않는 계에 대해 계의 운동량은 일정하게 유지되며, 이는 질량 중심이 일정한 속도로 움직인다는 것을 의미합니다.이는 자기장, 전기장, 화학반응 등 고전적인 내부력을 가진 모든 시스템에 적용됩니다.좀 더 형식적으로 말하면, 이것은 뉴턴의 제3법칙[12]따라 상쇄되는 모든 내부력에 해당된다.

질량 중심 위치 지정

수직선법

물체의 질량 중심에 대한 실험적인 결정은 물체에 대한 중력을 사용하며, 질량 중심이 지구 표면 근처의 평행 중력장의 무게 중심과 동일하다는 사실에 기초한다.

대칭축과 일정한 밀도를 가진 물체의 질량 중심은 이 축에 있어야 한다.따라서 일정한 밀도의 원형 실린더의 질량 중심은 실린더의 축에 질량 중심이 있다.마찬가지로 일정한 밀도의 구형 대칭체의 질량 중심은 구체의 중심에 있다.일반적으로 물체의 대칭에 대해 물체의 질량 중심은 그 [13]대칭의 고정점이 될 것이다.

2차원

질량 중심을 특정하기 위한 실험적인 방법은 물체를 두 위치에서 매달고 매달린 지점에서 수직선을 떨어뜨리는 것이다.두 선의 교점은 [14]질량의 중심이다.

물체의 모양은 이미 수학적으로 결정되었을 수 있지만 알려진 공식을 사용하기에는 너무 복잡할 수 있습니다.이 경우 복잡한 모양을 보다 단순하고 기본적인 모양으로 세분할 수 있으며, 질량 중심을 찾기 쉽습니다.각 면적에 대해 총 질량과 질량 중심을 결정할 수 있는 경우 전체 질량의 중심은 [15]중심들의 가중 평균이다.이 방법은 음의 [16]질량으로 간주될 수 있는 구멍이 있는 물체에도 효과가 있습니다.

적분계 또는 정수계로 알려진 평면계의 직접 개발은 불규칙한 2차원 형상의 중심 또는 질량 중심을 확립하기 위해 사용될 수 있습니다.이 방법은 다른 방법이 너무 어려운 불규칙하거나 매끄럽거나 복잡한 경계가 있는 모양에 적용할 수 있습니다.이것은 선박 건조업자들이 배의 필요변위량과 부력의 중심을 비교하고 [17][18]전복되지 않도록 하기 위해 정기적으로 사용되었습니다.

입체적으로

한 실험 법 질량 중심의 3차원 좌표를 찾기 세가지 점에서와 병력이 측정 개체 지원을 통해, F1, F2, F3는 개체의 무게에 저항하고 W)− Wkm그리고 4.9초 만 ^{\displaystyle \mathbf{W}({\hat{k}}}(k^{\displaystyle \mathbf{\hat{k}}}시작한다. 는수직 방향의 단위 벡터).r, r2, r3 지지점의 위치 좌표로 하고 질량 중심의 좌표 R이 결과 토크가 0인 조건을 만족한다고 가정한다1.

또는

이 방정식은 수평면에서 질량 중심 R*의 좌표를 다음과 같이 산출한다.

질량의 중심은 다음과 같은 수직선 L 위에 있다.

질량 중심의 3차원 좌표는 물체를 통해 두 개의 다른 수평면에 대해 이러한 힘이 측정되도록 물체를 배치한 상태에서 이 실험을 두 번 수행하여 결정됩니다.질량 중심은 두 실험에서 얻은 두 선 L과12 L의 교차점이 될 것입니다.

적용들

엔지니어링 설계

자동차 애플리케이션

엔지니어들은 자동차의 핸들을 더 좋게 하기 위해, 즉 비교적 급격한 회전을 하면서 트랙션을 유지하기 위해 무게 중심을 낮추도록 스포츠카를 설계하려고 한다.

미군 험비의 특징은 수평에서 멀리 떨어진 각도에서도 4개의 바퀴로 둘러싸인 공간에 낮은 무게중심을 유지함으로써 높은 차량보다 더 멀리 기울일 수 있도록 설계됐다.

항공학

질량 중심은 항공기에서 중요한 지점이며, 이는 항공기의 안정성에 큰 영향을 미친다.항공기가 안전하게 비행할 수 있을 만큼 안정적이려면 질량 중심이 지정된 한계 내에 있어야 한다.질량의 중심이 전방 한계보다 앞에 있는 경우, 항공기는 이륙을 위해 회전하거나 [19]착륙을 위해 플레어를 회전할 수 없을 정도로 기동성이 떨어집니다.질량의 중심이 후방 한계보다 뒤떨어지면 항공기는 더 기동성이 뛰어나지만 안정성이 떨어지며 비행이 불가능할 정도로 불안정할 수 있다.엘리베이터의 모멘트 암도 줄어들어 정지상태에서 [20]회복하기가 더욱 어려워진다.

호버에 있는 헬리콥터의 경우 질량 중심은 항상 로터헤드 바로 아래에 있습니다.전방 비행에서 질량 중심은 헬리콥터를 전진시키기 위해 주기적 제어를 적용하여 발생하는 음의 피치 토크의 균형을 맞추기 위해 전방으로 이동한다. 따라서 순항 헬리콥터는 수평 [21]비행에서 "노즈다운" 비행한다.

천문학

중심 궤도를 도는 두 물체(적십자)

질량의 중심은 천문학 및 천체물리학에서 중요한 역할을 하는데, 여기서 그것은 보통 중력의 중심이라고 불립니다.중심은 두 물체 사이의 점으로, 두 개 이상의 천체가 서로 궤도를 도는 질량 중심입니다.행성 주위를 돌거나 행성이 주위를 돌 때, 두 물체는 사실 [22]주체의 중심에서 멀리 떨어져 있는 점을 돌고 있습니다.예를 들어, 달은 지구의 정확한 중심을 공전하는 것이 아니라, 각각의 질량이 균형을 이루는 지구 표면에서 약 1,710 km (1,062 마일) 아래에 있는 지구의 중심과 달 사이의 선상의 한 지점을 선회한다.이것은 지구와 달이 태양 주위를 돌면서 공전하는 지점이다.만약 명왕성과 카론처럼 질량이 더 비슷하다면, 중입자 중심은 두 물체 모두 바깥쪽으로 떨어질 것이다.

연결 및 안전

연결 무게중심의 위치를 아는 것은 매우 중요하며, 잘못 가정할 경우 심각한 부상이나 사망을 초래할 수 있습니다.무게 중심이 리프트 지점 또는 그 위에 있을 경우 전복 사고가 발생할 가능성이 높다.일반적으로 무게 중심이 선택 지점보다 낮을수록 리프트가 더 안전합니다.이동 하중, 하중과 질량의 강도, 픽 포인트 간의 거리, 픽 포인트 수 등 고려해야 할 사항이 있습니다.구체적으로는 리프트 포인트를 선택할 때 무게 중심을 리프트 [23]포인트보다 훨씬 아래에 배치하는 것이 매우 중요합니다.

몸의 움직임

운동학과 생체역학에서 질량의 중심은 사람들이 인간의 움직임을 이해하는 데 도움을 주는 중요한 변수이다.일반적으로, 인간의 질량 중심은 두 가지 방법 중 하나로 검출됩니다: 반응 보드 방법은 그 기구 위에 누워 있는 사람을 포함하는 정적 분석과 그들의 질량의 중심을 찾기 위해 정적 평형 방정식의 사용; 분할 방법은 물리 원리에 기초한 수학적 해법에 의존합니다.특정 축에 상대적인 개별 차체 섹션의 토크합계는 동일한 [24]축에 대해 측정된 차체를 구성하는 전체 시스템의 토크와 같아야 한다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ Shore 2008, 9-11페이지.
  2. ^ 2004년 남작, 페이지 91~94
  3. ^ 2004년 남작, 94-96페이지
  4. ^ 2004년 남작, 96~101쪽
  5. ^ 2004년 남작, 101~106쪽
  6. ^ 만코스 1999, 페이지 56~61
  7. ^ Erlichson, H. (1996). "Christiaan Huygens' discovery of the center of oscillation formula". American Journal of Physics. 64 (5): 571–574. Bibcode:1996AmJPh..64..571E. doi:10.1119/1.18156. ISSN 0002-9505.
  8. ^ 월튼 1855, 페이지 2
  9. ^ Beaty 2006, 페이지 29
  10. ^ Levi 2009, 페이지 85
  11. ^ Bai & Breen 2008.
  12. ^ Kleppner & Kolenkow 1973, 페이지 117.
  13. ^ 파인만, 레이튼 & 샌즈 1963, 19.3페이지
  14. ^ Kleppner & Kolenkow 1973, 119-120페이지.
  15. ^ 파인만, 레이튼 & 샌즈 1963, 19.1-19.2페이지.
  16. ^ Hamill 2009, 페이지 20-21.
  17. ^ "The theory and design of British shipbuilding". Amos Lowrey Ayre. p. 3. Retrieved 2012-08-20.
  18. ^ Sangwin 2006, 7
  19. ^ 2007년 연방항공청, 1.4페이지.
  20. ^ 연방항공청 2007, 페이지 1.3.
  21. ^ "Helicopter Aerodynamics" (PDF). p. 82. Archived from the original (PDF) on 2012-03-24. Retrieved 2013-11-23.
  22. ^ Murray & Dermott 1999, 페이지 45-47.
  23. ^ "Structural Collapse Technician: Module 4 - Lifting and Rigging" (PDF). FEMA.gov. Retrieved 2019-11-27.
  24. ^ 빈트 2003, 페이지 1~11.

레퍼런스

외부 링크