교대 급수

수학에서, 교대 급수는 형태의 무한 급수이다.

\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}

또는

\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n

모든

n에 대해 a >

0

으로

설정

합니다_n.일반 용어의 부호는 양의 부호와 음의 부호를 번갈아 사용합니다.다른 열과 마찬가지로 교대 열도 관련된 부분 합계 시퀀스가 수렴되는 경우에만 수렴됩니다.

예

기하 급수 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + sums의 합은 1/3입니다.

교대 고조파 급수는 유한 합계를 가지지만 고조파 급수는 그렇지 않습니다.

Mercator 시리즈는 자연 로그의 분석식을 제공합니다.

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}x^{n}\;=\;\ln(1+x)}}.

삼각법에서 사용되는 사인 및 코사인 함수는 초등 대수에서 직각 삼각형의 변의 비율로 도입되더라도 미적분학에서 교대 급수로 정의될 수 있다.실은.

\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^2n+1}}{(2n+1)!}},

그리고.

\cos x=\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.

교대 인자(-1

) n 가

이 급수에서 제거되면 미적분학에서 사용되는 쌍곡선 함수 sinh와 cosh를 얻을 수 있다.

정수 또는 양의 지수α의 경우 첫 번째 종류의 베셀 함수는 교대 급수를 사용하여 정의할 수 있다.

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{m!},\Gamma(m+\alpha +1)}{\leftfrac {x}{2}}^2m+\alpha

여기서

δ(z)

는 감마 함수이다.

s가 복소수일 $경우$ 디리클레 에타 함수는 교대 급수로 형성됩니다.

\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}=parc {1}{1^{s}-{\frac {2^{s}}+{\frac {1}{3^{s}}}{{{\frac}}}}}}}{{{{\frac}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{\frac}}}}}}}}}}}}}}}}}

해석적 수 이론에서 사용되는 것입니다.

교대 직렬 검정

"Leibniz 검정" 또는 교대 급수 검정으로 $알려진 n$ 정리는 항이 단조롭게 0으로 수렴하면 교대 급수가 수렴한다는 것을 알려줍니다.

증명: 시퀀스 $a_{n}$ n(\ $style a_{$ })이 0으로 수렴되어 모노톤이 감소한다고 가정합니다. $m$ {\ $displaystyle$ m $}$ 이 $m$ $m<n$ 이고 $m<n$ m < $m<n$ n { $displaystyle$ m < $m<n$ n $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ a $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ { $displaystyle S$ _ { $n$ - $S$ { $m$ } \ $leq a$ _ { $m$ } a $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ 를 다음 계산으로 구합니다.

디스플레이 스타일S_{n}-S_{m}&={k=0}^{n}(-1)^{k},a_{k},-,\sum_{k=0}^{m},(-1)^{k},a_{k}\=\sum _{k=m+1}^{n},{k},{k},{k},{k},{k},{k},{k},{k},\end { aligned}}

$(\$ 은 $a_{n}$ 단조롭게 감소하므로 - $-(a_{m}-a_{m+1})$ ( $-(a_{m}-a_{m+1})$ - $-(a_{m}-a_{m+1})$ + 1 $)(\displaystyle -$ ( $a_{m}-a_{m+1})$ 는 $-(a_{m}-a_{{m+1}})$ 음수입니다.따라서 최종 부등식이 있습니다. $S$ $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ n - $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ m $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ $S_{n}-S_{m}\leq a_{m}$ m { $displaystyle S$ _ { $n$ } - $S$ _ { $m$ } \ $leq$ a _ { $m$ } 。 마찬가지로 m $a_{m}$ $-a_{m}\leq S_{n}-S_{m}$ S $-a_{m}\leq S_{n}-S_{m}$ - $-a_{m}\leq S_{n}-S_{m}$ { $displaystyle$ - $a$ _ a _ { $m$ } \ $leq$ S $_$ { $n$ } - $a_{m}$ $a_{m}$ a _ { m $-a_{m}\leq S_{n}-S_{m}$ m . m . . a . $-a_{m}\leq S_{n}-S_{m}$ $yle$ S_ ${m}}$ 는 $S_m$ 코시 시퀀스를 형성하므로(즉, 계열이 코시 기준을 충족함) 수렴한다. $m에$ 대한 $인수$ (display $style$ m $)$ 도 $m$ 비슷합니다.

어림셈

위의 추정치는 n ${displaystyle$ n $n$ 에 의존하지 않습니다.따라서 ${$ 이 $a_{n}$ 단조롭게 0에 가까워지면 추정치는 부분합에 의한 무한합에 대한 오차범위를 제공합니다.

\displaystyle \left \sum _{k=0}^{\infty}(-1)^{k},a_{k}^{m},(-1)^{k},a_{k}\right \leq a_{m+1}}}.

그렇다고 해서 항상 첫 번째 원소가 발견되고 그 후에 오차가 시리즈 내의 다음 항의 계수가 되는 것은 아닙니다.

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

-

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

/

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

2

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

+

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

/

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

-

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

/

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

4

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

+ .

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

†

2 {

display style

1 -

1

/

2

+ 1 / 3 -

1

/ 4

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

+ ... } 를

1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2

합니다.

=\ln2

오류가 0.00005인 항을 찾으려 하면 최적 항보다 2배 많은 항을 찾을 수 있습니다.실제로 첫 번째 9999 요소에서 합한 후의 오차는 0.0000500025이며 다음 항은 0.0000500025입니다.이

a_{n}-a_{n+1}

에는

a_{n}-a_{n+1}

-

a_{n}-a_{n+1}

+

a_{n}-a_{n+1}

({

displaystyle a_{n}-a_{n+

1

a_{n}-a_{n+1}

})의 새로운 시리즈가 생성되면 라이프니즈 테스트가 적용되는 교대 시리즈가 제공되므로 이 단순한 오차 한계가 최적이 되지 않는다는 특성이 있습니다.이를 위해서는 1962년 Calabresse bound에서 발견된 이 특성이 라이프니츠 오류 결합보다 2배 적은 결과를 얻을 필요가 있습니다.사실 이 특성은 Johnsonbaugh 오류 결합에 의해 기술된 두 번 이상 적용된 시리즈에 대해서도 최적화되지 않습니다.사실, 만약 어떤 사람이 시간의 무한 암마운트를 적용할 수 있다면, 오일러 변환 급수가 적용된다.

절대 수렴

시리즈 ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ n ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ \ $textstyle$ \ $sum$ a _ { $n$ }이 ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ (가) ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ 되면 시리즈 ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ n ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ $\$ $textstyle$ \ $sum$ a _ { n $}$ 이 ${\textstyle \sum a_{n}}$ (가) 수렴됩니다.

정리:절대 수렴 급수는 수렴됩니다.

증명: $\$ a_ ${n}$ 이 ${\textstyle \sum a_{n}}$ (가 ${\textstyle \sum a_{n}}$ 완전히 수렴된다고 가정합니다. ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ 후 ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ n $텍스트$ 스타일 $\sum$ a_ ${n})$ 이 ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ 수렴하고 ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ 그 결과 n $텍스트$ 스타일 $\sum$ 2 $a_{n})$ 도 수렴한다 ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ .0 ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ n + ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ 、 ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ { $textstyle$ 0 \ $leq a$ _ { $n }$ + a ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ $_$ { n } ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ 0 0 $、$ ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ + a _ { n ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ } $conver$ 0 series 0 series series the the since since since since since since $since$ since since since since since since since since since since since 0 0 0 00\leq $a_$ { n\leq $a_{$ n}+ ${n}$ 이므로 비교 테스트에 의해 수렴됩니다 ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ .따라서 시리즈 ${\textstyle \sum a_{n}}$ $(\textstyle$ \ $sum$ a_ ${n})$ 은 2개의 수렴 시리즈 ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$ a $=$ θ ( $n$ ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$ ) ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$ - ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$ \ $textstyle \sum$ a_ ${n}-\sum$ a_ ${n}-\sum a_{$ n}-\ $sum$ a_n ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$ 의 차이로 수렴됩니다 ${\textstyle \sum a_{n}}$ .

조건부 수렴

시리즈가 수렴되지만 절대 수렴되지 않는 경우 조건부로 수렴됩니다.

예를 들어, 고조파 급수는

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n}}

다른 버전에서는 다른 버전에서는

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},

는 교류 직렬 테스트에 의해 수렴됩니다.

재배치

모든 시리즈에 대해 집계 순서를 조정하여 새로운 시리즈를 만들 수 있습니다.정렬이 원래 시리즈와 동일한 컨버전스를 가진 시리즈를 만드는 경우 영상 시리즈는 무조건 컨버전스됩니다.절대 수렴 계열은 무조건 수렴됩니다.그러나 리만 급수 정리에 따르면 조건부 수렴 급수는 임의 ^[1]수렴을 생성하기 위해 재배열될 수 있다.일반적인 원리는 무한합을 더하는 것은 절대 수렴 급수에 대해서만 가환적이라는 것입니다.

예를 들어, 1=0이 무한합계에 대한 연관성 실패를 이용한다는 잘못된 증거가 하나 있습니다.

또 다른 예로는 Mercator 시리즈에 의한

\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}{n}}=1-{\frac {1}{3}-{\frac {1}{4}+cdots}

단, 시리즈가 완전히 수렴되는 것은 아니기 때문에 용어를 재배열하여 ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ † ( ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ 2 $){ textstyle$ { $tfrac {1}{2}\ln$ (2) ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ :

{\displaystyle{\begin{정렬}&,{}\quad \left(1-{\frac{1}{2}}\right)-{\frac{1}{4}}+\left({\frac{1}{3}}-{\frac{1}{6}}\right)-{\frac{1}{8}}+\left({\frac{1}{5}}-{\frac{1}{10}}\right)-{\frac{1}{12}}+\cdots, ={\frac{1}{2}}-{\frac{1}{4}}+{\frac{1}{6}}-{\frac{1}{8}}+{\frac{1}{10}}-{\frac{1}{12}}+\cdots \\[8pt]&, ={\frac{1}{\\[8pt]&.2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}-{\frac {1}{6}+\cdots \right}=snfrac {1}{2}}\ln(2)입니다.\end { aligned}}

직렬 가속

실제로 교류 급수의 수치 합계는 다양한 급수 가속도 기술 중 하나를 사용하여 고속화할 수 있다.가장 오래된 기술 중 하나는 오일러 합계의 기술이고, 훨씬 더 빠른 수렴을 제공할 수 있는 많은 현대 기술들이 있다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Mallik, AK (2007). "Curious Consequences of Simple Sequences". Resonance. 12 (1): 23–37. doi:10.1007/s12045-007-0004-7.

레퍼런스

Earl D. Rainville(1967) 무한 시리즈, 페이지 73-6, Macmillan Publishers.
Weisstein, Eric W. "Alternating Series". MathWorld.

[1] Mallik, AK (2007). "Curious Consequences of Simple Sequences". Resonance. 12 (1): 23–37. doi:10.1007/s12045-007-0004-7.

[1]

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