킨친 적분

수학에서, 덴조이-킨친 적분, 일반화된 덴조이 적분 또는 넓은 덴조이 적분으로 알려져 있는 킨친 적분(Khinchine 적분이라고도 함)은 함수의 적분(Denjoy-Khinchin 적분)에 대한 여러 정의 중 하나이다. 리만과 르베그 통합의 일반화다. 알렉산드르 킨친과 아르노우드 덴조이의 이름을 따서 지었지만(나선)덴조이의 적분과 혼동해서는 안 된다.

동기

만약 g : I → R이 어떤 간격 I = [a,b]에 대한 Lebesgue 통합 함수라면

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$

그것의 르베그 무기한적립이다. 그렇다면 다음과 같은 주장은 사실이다.^[1]

1. f는 절대적으로 연속적이다(아래 참조)
2. f는 거의 모든 곳에서 차별화된다.
3. 그것의 파생상품은 거의 모든 곳에서 g(x)와 일치한다. (사실, 모든 절대적으로 연속적인 기능은 이러한 방식으로 얻는다.)^[2]

Lebesgue 적분은 다음과 같이 정의될 수 있다: g는 I에서 Lebesgue 통합할 수 있다. 만약 파생상품이 거의 모든 곳에서 g와 일치하는 절대적으로 연속적인 함수 f가 존재한다면.

단, f : I → R이 어디에서나 차별성이 있고, g가 그 파생상품이라고 하더라도, 단순히 g가 르베그-통합이 불가능할 수 있기 때문에 f가 (상수까지) g의 르베그 무제한 적분이라는 것을 따르지 않는다. 그 예는 (차별적이지만 절대적으로 연속적이지 않은) 함수 f(x)=x²·sin(1/x²)의 파생 g에 의해 제시된다^[3](함수 g는 0 주위에 Lebesgue 통합이 가능하지 않다).

Denjoy 적분은 어디에서나 다르고 다른 기능 f의 파생상품(또는 거의 셀 수 있을 정도로 많은 지점을 제외하고 모든 곳에서 다르고 심지어 다르고 다르고)을 통합할 수 있고, 그것의 적분은 상수까지 재구성할 수 있도록 함으로써 이러한 부족을 시정한다. Khinchin 적분은 대략적인 d를 통합할 수 있다는 점에서 훨씬 더 일반적이다.대략적으로 다른 함수의 소거(정의는 아래 참조) 이를 위해 먼저 절대 연속성보다 약하지만 근사적으로 다른 기능에 의해 만족하는 조건을 찾는다. 이것은 일반화된 절대 연속성의 개념이다; 일반화된 절대 연속적인 기능은 정확히 무한정 Khinchin 통합인 기능이 될 것이다.

정의

일반화 절대 연속함수

Let I = [a,b]는 구간이고 f : I → R은 I에 대한 실제값 함수가 된다.

모든 양수 ε에 대해 양수 Δ가 있는 경우에만 F가 I의 부분집합 E에서 절대적으로 연속된다는 점을 상기하십시오$.{\displaystyle }$ 따라서 E의 끝점과 I의 쌍방향 연결 부분 중 [${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$, y ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [x_{k},y_{k}}]}$이(가) 유한 수집될 때마다 양수 Δ가 ${\displaystyle {}_{}}$.

${\displaystyle \sum _{k}\왼쪽 y_{k}-x_{k}\오른쪽 <\cHB }$

그것은 또한 만족한다.

${\displaystyle \sum _{k}f(y_{k}-f(x_{k}) <\varepsilon .}$

f to E의 제한이 (E에 대한) 연속이고 E가 각 E에_i 대해 절대적으로 연속되는 하위 집합 E의_i 카운트 가능한 조합으로 기록될 수 있는 경우, I의 하위 집합 E에 대해 f가 절대적으로 연속적으로 일반화될 함수 f를 정의한다^[4][5]. 이것은 E의 모든 비어 있지 않은 완벽한 부분집합이 절대적으로 연속적인 부분을^[7] 포함한다는 진술과 동등하다^[6].

근사파생상품

E는 측정 가능한 실제의 Lebesgue가 되게 하라. 실제 숫자 x(E에는 반드시 있지 않음)는 다음과 같은 경우 E의 밀도 점이라고 하는 것을 상기하라.

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu(E\cap [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ])}{2\varepsilon }}}}}{1}$

(여기서 μ는 르베그 측정값을 나타낸다.) ALebesgue-measurable 기능 g:E→ R에서 대략적인 limit[8]는 y(E의 밀도의 점)모든 양수 ε에 g의 1([y− ε, y+ε]){\displaystyle g^{)}([y-\varepsilon ,y+\varepsilon])− 밀도의 경우 이 포인트= 관점을}다고 한다.(만약 더욱이 g()))y, 우리가 g대략 연속적이다 말할 수 있다. at x.)^[9] 동등하게, g는 측정 가능한 E의 부분집합 F가 존재하는 경우에만 x에 근사치 y를 가지며, x는 F의 밀도 지점이고 f ~ F의 제한 x에서 (상용) 한계는 y이다. 통상적인 한계와 마찬가지로 대략적인 한계는 존재한다면 독특하다.

마지막으로, Lebesgue 측정 가능한 함수 f : E → R은 x iff에 대략적인 파생 y를 가지고 있다고 한다.

${\displaystyle {\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}$

x에 대략적인 한계 y를 가지고 있다. 이는 f가 x에서 대략적으로 연속적이라는 것을 의미한다.

정리

르베그 측정이 가능한 함수는 거의 모든 곳에서(그리고 반대로) 대략적으로 연속된다는 것은 루신의 정리로부터 따른다는 것을 상기하라.^[10][11] 킨친 적분 구성의 핵심 정리는 다음과 같다: 절대적으로 연속적으로 일반화된 함수 f(또는 더 약한 개념인 "일반화된 경계변동"의 경우에도)는 거의 모든 곳에서 대략적인 파생상품을 가지고 있다.^[12][13][14] 더욱이, 만약 f가 절대적으로 연속적이고 그것의 대략적인 파생상품이 거의 모든 곳에서 음성적이지 않다면, f는 감소하지 않고,^[15] 결과적으로 이것이 거의 모든 곳에서 0이라면, f는 일정하다.

킨친 적분

Let I = [a,b]은 구간이고 g : I → R은 I에 대한 실제값 함수가 된다. 이 함수 g나는Khinchin-integrable iff이 절대적으로 연속 g이 대략적인 유도체 일치한다 거의 모든 곳이 일반화되어 있는 함수 f가 존재하고,[16]이 경우에는 함수 fg에 의해 일정한에게 달려 있고, 그 Khinchin-integral g의 b에에서 f(b)− f(를){\displa로 정의된다 결정되다고 한다.ys$tyle f(b)-f(a$

특별한 경우

f : I → R이 연속적이고 I 상의 거의 모든 곳에 대략적인 파생상품이 존재한다면, 사실 f는 절대적으로 연속적으로 일반화되기 때문에, 대략적인 파생상품의 (불확실한) Khinchin-integral이다.^[17]

이 결과는 F가 근사적인 파생상품을 가지고 있다고 가정하지 않는 지점 집합이 칸토르 함수가 보여주는 것처럼 르베그 측정값 0에 불과한 경우 유지되지 않는다.

메모들

참조

• Springer 수학 백과사전: 기사 "Denjoy integrated"
• Springer 수학 백과사전: 기사 "대략적인 파생상품"
• Bruckner, Andrew (1994). Differentiation of Real Functions. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6990-1.
• Gordon, Russell A. (1994). The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3805-1.
• Filippov, V.V. (1998). Basic Topological Structures of Ordinary Differential Equations. ISBN 978-0-7923-4951-8.