e(mathemat 상수)

오일러 수
e 2.71828...[1]
일반정보
유형	초월적
역사
발견된	1685
타고	제이콥 베르누이
첫번째 언급	æ는 Ephem에서 null æ deusuris, cum solutione 문제는 eleum을 정렬하는 것입니다. 갈. 가. 1685
이름은 다음과 같습니다.	레온하르트 오일러 존 네이피어

에 관한 일련의 기사의 일부.
수학 상수
특성.
자연로그 지수함수
적용들
복리 오일러 항등식 오일러 공식 반 lives 기하급수적인 성장과 쇠퇴
정의e
비이성적이라는 증거 e의 표현 린데만-바이에르스트라스 정리
사람
존 네이피어 레온하르트 오일러
관련항목
샤누엘의 추측
v t

수 e는 여러 가지 방법으로 특징지을 수 있는 대략 2.71828과 같은 수학 상수입니다. 그것은 자연로그의 기본입니다. n이 무한대에 가까워짐에 따라 (1 + 1/n)ⁿ의 극한이며, 이는 복합 관심 계산에서 발생하는 표현입니다. 무한급수의 합으로 계산할 수도 있습니다.

또한 함수 y = a의 그래프가 x = 0에서 1의 기울기를 갖는 것은 고유한 양수 a입니다.

(자연) 지수 함수 f(x) = e는 자체 도함수와 같고 방정식 f(0) = 1을 만족하는 고유 함수 f이므로 e를 f(1)로 정의할 수도 있습니다. 자연 로그 또는 밑e에 대한 로그는 자연 지수 함수의 역함수입니다. 숫자 k > 1의 자연 로그는 x = 1과 x = k 사이의 곡선 아래 면적 y = 1/x로 직접 정의할 수 있으며, 이 경우 e는 이 면적이 1이 되는 k의 값입니다(이미지 참조). 그 외에도 다양한 특성이 있습니다.

수 e는 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따서 오일러의 수라고 불리기도 하지만, 이는 일반적으로$$γ${\displaystyle$gamma}로 표시되는 다른 상수인 오일러 상수와 혼동을 일으킬 수 있습니다. 또는, e는 존 네이피어의 이름을 따서 네이피어의 상수라고 부를 수 있습니다. 상수는 스위스의 수학자 야코프 베르누이가 복소수의 흥미를 연구하던 중 발견했습니다.^[4][5]

숫자 e는 수학에서 0, 1, π, i와 함께 매우 중요합니다. 다섯 가지 모두 오일러의 아이덴티티 ${\displaystyle {아이}^{}}$π + 1$$= 0 ${\displaystyle e^{i$\pi} + $1$ = 0}의 한 공식으로 나타나며 수학 전반에서 중요하고 반복되는 역할을 합니다. 상수 π와 마찬가지로 e는 비합리적이며 정수의 비율로 표현할 수 없음을 의미하며, 더욱이 초월적이며, 합리적인 계수를 갖는 0이 아닌 어떤 다항식의 근이 아님을 의미합니다. 소수점 40자리까지 e의 값은 다음과 같습니다.^[1]

역사

상수에 대한 최초의 언급은 1618년 존 네이피어(John Napier)의 로그에 관한 연구 부록의 표에 발표되었습니다. 그러나 여기에는 상수 자체가 포함된 것이 아니라 단순히 기본 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ e$}$에 대한 로그 목록이 포함되어 있습니다$.$ 이 표는 윌리엄 오어레드가 작성한 것으로 추정됩니다. 1661년 크리스티아누 하위헌스는 기하학적 방법으로 로그를 계산하는 방법을 연구했고, 돌이켜보면 e의 밑-10 로그인 양을 계산했지만, 그는 e 자체를 관심 있는 양으로 인식하지 못했습니다.^[5][9]

상수 자체는 1683년 제이콥 베르누이에 의해 관심의 연속적인 합성 문제를 해결하기 위해 도입되었습니다.^[10][11] 그의 해에서 상수는 극한으로 발생합니다.

여기서 n은 1년 동안 복합 관심도를 평가하는 간격 수를 나타냅니다(예: 월별 복합성의 $경우$ n = ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle$n=$12}).$

이 상수에 사용된 첫 번째 기호는 1690년과 1691년에 고트프리트 라이프니츠가 크리스티아누 하위헌스에게 보낸 편지에 쓴 편지 b였습니다.^[12]

레온하르트 오일러는 1727년 또는 1728년에 상수에 e라는 문자를 사용하기 시작했고, 대포의 폭발력에 대한 출판되지 않은 논문과 ^[13]1731년 11월 25일에 크리스티안 골드바흐에게 보낸 편지에 사용했습니다.^[14][15] 인쇄된 출판물에 e가 처음 등장한 것은 오일러 메카니즘(Euler's Mechanica, 1736)이었습니다.^[16] 오일러가 왜 e라는 문자를 선택했는지는 알 수 없습니다.^[17] 비록 몇몇 연구자들이 그 후 몇 년 동안 c라는 글자를 사용했지만, e라는 글자는 더 흔했고 결국 표준이 되었습니다.^[2]

오일러는 e가 무한급수의 합이라는 것을 증명했습니다.

여기서 n!은 n의 계승입니다.^[5] 극한과 무한급수를 이용한 두 특성화의 동등성은 이항정리를 통해 증명할 수 있습니다.^[18]

적용들

복리

제이콥 베르누이는 1683년 복합적인 흥미에 대한 질문을 연구하던 중 이 상수를 발견했습니다.^[5]

계좌는 $1.00부터 시작하여 연간 100% 이자를 지불합니다. 이자를 1회 적립하면 연말에 해당 계좌의 가치는 2.00달러가 됩니다. 이자가 한 해 동안 더 자주 계산되고 공제되면 어떻게 됩니까?

이자를 1년에 두 번 청구하면 6개월마다 이자율이 50%가 되므로 초기 $1에 1.5를 두 번 곱하여 연말에 $1.00 × 1.5 = $2.25가 됩니다. 분기별 수익률 1.00 × 1.25 = 2.44140625달러, 월 수익률 1.00 × (1 + 1/12) = 2.613035달러를 합산합니다. 복합 구간이 n개인 경우 각 구간의 이자는 100%/n이며 연말의 값은 $1.00 × (1 + 1/n)입니다.^n[19][20]

베르누이는 이 수열이 n이 더 크고 따라서 더 작은 복합 간격을 갖는 극한(관심 있는 힘)에 접근한다는 것을 발견했습니다.^[5] 주간 복리(n = 52)는 2.692596달러를 산출하는 반면, 매일 복리(n = 365)는 2.714567달러를 산출합니다. (약 2센트 더) n이 커짐에 따라 한계는 e로 알려지게 된 숫자입니다. 즉, 지속적인 복합화를 통해 계정 가치는 $2.718281828에 이를 것입니다... 보다 일반적으로 1달러에서 시작하여 연리 R을 제공하는 계좌는 t년이 지나면 지속적인 복리를 통해 달러를^Rt 산출합니다. 여기서 R은 백분율로 표시된 이자율의 십진법에 해당하므로 5% 이자의 경우 R = 5/100 = 0.05입니다.

베르누이 재판

숫자 e 자체도 분명히 지수 성장과 관련이 없는 확률 이론에서 응용되고 있습니다. 도박꾼이 n분의 1의 확률로 지불하고 n번 플레이하는 슬롯 머신을 플레이한다고 가정해 보겠습니다. n이 증가함에 따라 도박사가 모든 n 베팅을 잃을 확률은 1/e에 가까워집니다. n = 20의 경우 이 값은 이미 약 1/2.789509입니다.

이것은 베르누이 재판 과정의 한 예입니다. 도박꾼이 슬롯을 플레이할 때마다 이길 확률이 있습니다. n번 연주하는 것은 이항 분포에 의해 모델링되며, 이는 이항 정리 및 파스칼의 삼각형과 밀접한 관련이 있습니다. n번의 시행 중 k번을 이길 확률은 다음과 같습니다.^[21]

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of}~n]={\binom {n}{k}}\left ({\frac {1}{n}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}$

특히, 0번 당첨 확률(k = 0)은

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

n이 무한대로 가는 경향이 있으므로 위 식의 극한은 정확히 1/e입니다.

기하급수적 성장과 쇠퇴

기하급수적 성장은 시간이 지남에 따라 계속 증가하는 속도로 수량이 증가하는 과정입니다. 시간에 대한 수량의 순간 변화율(즉, 도함수)이 수량 자체에 비례할 때 발생합니다.^[20] 함수로 설명하면 지수 성장을 하는 양은 시간의 지수 함수, 즉 시간을 나타내는 변수는 지수입니다(2차 성장과 같은 다른 유형의 성장과 대조적). 비례 상수가 음수이면 시간이 지남에 따라 수량이 감소하고 대신 지수 함수적 붕괴가 진행되고 있다고 합니다. 지수 성장 법칙은 다른 기저를 사용하여 수학적으로 동등한 형태로 작성될 수 있으며, 숫자 e는 일반적이고 편리한 선택입니다.

여기서 ${\displaystyle x_{}}$ 0 ${\displaystyle x_{0}}$은 수량 x의 초기값을 나타내고, k는 성장 상수를 나타내며,$$τ${\displaystyle \$tau}은 수량이 e만큼 성장하는 데 걸리는 시간입니다.

표준정규분포

평균과 단위 표준 편차가 0인 정규 분포를 확률 밀도 함수에 의해 주어진 ^[22]표준 정규 분포라고 합니다.

단위 표준 편차(따라서 단위 분산)의 제약 조건은 다음과 같습니다. 지수에서 1/2이고 곡선$$ϕ(x) ${\displaystyle \$phi(x)} 아래의 단위 총 면적 제약으로 인해${\displaystyle \sqrt{\mathrm{요인}}}$ 1$/$2 π${\displaystyle \textstyle$1$/\{\backslash$sqrt {2\pi}}이(가) 발생합니다. 이 함수는 x = 0을 중심으로 대칭입니다. 여기서 최대값 $1{\displaystyle /2}$π ${\displaystyle$ \$textstyle 1/{\sqrt${2$\backslash$pi}}을(를) 얻고 x = ±1에서 변곡점을 갖습니다.

디레인지먼트

Jacob Bernouli가 Pierre Remond de Montmort와 함께 부분적으로 발견한 e의 또 다른 응용은 모자 점검 문제라고도 알려진 정신착란 문제에 있습니다:^[23] n명의 손님들이 파티에 초대되고, 문 앞에서 손님들은 모두 집사에게 모자를 확인하고, 집사는 그들의 모자를 n개의 상자에 넣습니다. 각각 한 명의 손님 이름으로 라벨이 붙어 있습니다. 하지만 집사는 손님들의 신원을 묻지 않았기 때문에 무작위로 선택한 상자에 모자를 넣습니다. 드 몽모트의 문제는 모자가 올바른 상자에 들어가지 않을 확률을 찾는 것입니다. ${\displaystyle {pn}_{}}$ $displaystyle p_{n}\!}$로 표시되는 이 확률은 다음과 같습니다$.$

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1}!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

n이 무한대가 되는 경향이 있으므로 1_n/e에 가까워집니다. 또한 올바른 상자에 모자가 들어가지 않도록 상자에 넣을 수 있는 방법의 수는 모든 양수 n에 대해 n!/e를 가장 가까운 정수로 반올림합니다.^[24]

최적계획문제

The maximum value of ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ occurs at ${\displaystyle x=e}$. Equivalently, for any value of the base b > 1, it is the case that the maximum value of ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ occurs at ${\displaystyle x=e}$ (Steiner's problem, discussed below).

이는 길이가 L인 막대기가 n개로 나뉘는 문제에서 유용합니다. 길이의 곱을 최대화하는 n의 값은 다음과^[25] 같습니다.

${\displaystyle n}$ ⌋ {\$displaysty$=\$left\lfloor${\$frac {L$}{e$}}\$$}$${\displaystyle }$$또$${\displaystyle 는}$$⌈$⌉. ${\displaystyle \left\$lceil {\frac {L}{e}\rceil.}

${\displaystyle {수량}_{}}$ $x{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {\log }_{}}$ ${\displaystyle b}$ ⁡ x {\$displaystyle x$^{-$1}\log$_{b}x}는 또한${\displaystyle 확률}$1 / x${\displaystyle$1/x}로 발생한 이벤트에서 수집된 정보의 척도이므로 비서 문제와 같은 최적 계획 문제에서도 본질적으로 동일한 최적 분할이 나타납니다.

점근법

숫자 e는 점근법과 관련된 많은 문제와 관련하여 자연스럽게 발생합니다. 요인 함수의 점근선에 대한 스털링의 공식을 예로 들 수 있는데, 여기서 숫자 e와 π가 모두 나타납니다.

결과적으로,^[26]

특성.

미적분학.

특히 미적분학에서 수 e를 도입한 주된 동기는 지수 함수와 로그를 가진 미분적분학을 수행하는 것입니다.^[27] 일반적인 지수 함수 y = a는 다음과 같은 극한으로 주어진 도함수를 갖습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{align}}$

오른쪽의 괄호 안의 한계는 변수 x와 무관합니다. 그 값은 a에서 밑위 e의 로그 값으로 밝혀졌습니다. 따라서 a의 값을 e로 설정하면 이 한계는 1과 같으므로 다음과 같은 단순 항등식에 도달합니다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}e^{x}=e^{x}}$

따라서 밑e가 있는 지수 함수는 미적분학을 수행하는 데 특히 적합합니다. (다른 숫자가 아닌) e를 지수 함수의 기본으로 선택하면 도함수와 관련된 계산이 훨씬 간단해집니다.

또 다른 동기는 x > 0에 대한 기저-a 로그(즉, 로그_a x)^[27]의 도함수를 고려하는 데서 비롯됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{align}}$

여기서 u = h/x로 대체되었습니다. e의 밑-a 로그는 a가 e일 경우 1입니다. 그러니까 상징적으로.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

이 특별한 밑이 있는 로그를 자연로그라고 하며, 계산을 수행하는 데 결정되지 않은 한계가 없기 때문에 미분 하에서 잘 작동합니다.

따라서, 그러한 특별한 숫자 a를 선택하는 두 가지 방법이 있습니다. 한 가지 방법은 지수 함수 a의^x 도함수를 a와^x 같게 설정하고 a를 해결하는 것입니다. 다른 방법은 기저 a의 도함수를 1/x로 설정하고 a에 대해 푸는 것입니다. 각각의 경우, 미적분학을 하기 위한 편리한 베이스 선택에 도달합니다. a에 대한 이 두 해는 실제로 동일하다는 것이 밝혀졌습니다: 수 e.

지수 함수에 대한 테일러 급수는 지수 함수가 자체 도함수이며 0에서 평가할 때 1과 같다는 사실로부터 추론할 수 있습니다.^[28]

${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 1 ${\displaystyle$x=$1}$을(를) 설정하면 e의 정의가 무한 급수의 합으로 복구됩니다.

$자연{\displaystyle \mathrm{}}$ 로그 함수는 1${\displaystyle }$/ t ${\displaystyle 1/t}$의 1부터 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$까지의 적분으로 정의할 수 있으며$,$ 지수 함수는 자연 로그의 역함수로 정의할 수 있습니다. 숫자 e는 $x$ = 1 ${\display$x=$1}$에서 평가된 지수 함수의 값이거나$,$ 이와 동등하게 자연 로그가 1인 숫자입니다. e는 다음과 같은 고유한 양의 실수입니다.

e는^x 자신의 도함수와 동일한 고유 함수(상수 K의 곱까지)이기 때문에,

따라서 자체적인 안티도티브이기도 합니다.^[29]

이와 동등하게, 함수족

여기서 K는 임의의 실수 또는 복소수이며 미분방정식의 완전해입니다.

부등식

숫자 e는 다음과 같은 고유한 실수입니다.

모든 양의 ^[30]x에 대하여

또한, 우리는 불평등을 가지고 있습니다.

모든 실수 x에 대하여, x = 0인 경우에만 동등합니다. 또한 e는 모든 x에 대해 a ≥ x + 1의 부등식이 유지되는 지수의 고유한 기저입니다. 이것은 베르누이의 불평등을 제한하는 경우입니다.

지수함수

슈타이너의 문제는 함수에 대한 전역 최대값을 찾으라는 것입니다.

이 최대값은 정확히 x = e에서 발생합니다. (이 값 x에 대해서만 ln f(x))의 도함수가 0인 것을 확인할 수 있습니다.)

마찬가지로 x = 1/e는 함수의 전역 최소값이 발생하는 곳입니다.

무한한 테트라세이션.

${\displaystyle x^{\mathrm{x\; x}}}$$⋅$ ⋅ ⋅ {\$displaystyle x^{x$^{\cdot ^{\$cdot$}}${\displaystyle {\}}^{}}$ $또는$∞ x ${\displaystyle {^{\$infty}}x}

x ∈ [(1/e), e] ≈ [0.06599, 1.4447]인 경우에만 수렴하며, 이는 레온하르트 오일러의 정리로 나타납니다.

수론

실수 e는 무리수입니다. 오일러는 단순 연속 분수 확장이 종료되지 않는다는 것을 보여줌으로써 이를 증명했습니다.^[37] (e가 무리수라는 푸리에의 증명도 참조하십시오.)

게다가 린데만에 의해-Weierstrass 정리, e는 초월론적이며, 이는 합리적인 계수를 가진 0이 아닌 다항식의 해가 아님을 의미합니다. 1873년 샤를 헤르미테에 의해 증명되었으며, 이를 위해 특별히 구성되지 않은 채 초월적으로 증명된 최초의 숫자입니다.^[38]

e는 정규적인 것으로 추측되는데, 이는 e가 임의의 기저로 표현될 때 해당 기저의 가능한 숫자가 균일하게 분포되어 있다는 것을 의미합니다(주어진 길이의 시퀀스에서 동일한 확률로 발생).^[39]

대수기하학에서 주기는 대수적 영역에 대한 대수 함수의 적분으로 표현될 수 있는 수입니다. 상수 π은 주기이지만 e는 주기가 아닌 것으로 추측됩니다.

복소수

지수 함수 e는^x 테일러 급수로 기록될 수 있습니다.

이 급수는 x의 모든 복소수 값에 대해 수렴하기 때문에 e의^x 정의를 복소수로 확장하는 데 일반적으로 사용됩니다.^[41] sin과 cos x에 대한 테일러 급수를 사용하면 오일러의 공식을 유도할 수 있습니다.

모든 복소 x에 대해 성립합니다.^[41] x = π를 갖는 특수한 경우는 오일러의 항등식입니다.

수학에서 가장 기본적인 수 사이의 깊은 연관성을 보여주기 때문에 수학적 아름다움의 모범으로 여겨집니다. 또한, π이 초월적이라는 증명에 직접 사용되며, 이는 원의 제곱이 불가능하다는 것을 의미합니다. 게다가, 이 항등식은 ^[41]로그의 주요 가지에서

나아가 지수화에 관한 법리를 이용하여,

임의의 정수 n에 대하여, 이것은 드 모이브르의 공식입니다.^[44]

지수 함수에 대한 cos x와 sin x의 식을 테일러 급수에서 추론할 수 있습니다.^[41]

$\cos$ ⁡$x$+ $\mathrm{is}$ $in$⁡ x ${\textstyle$\cos x+i\sin x} 식을 cis(x)로 축약하기도 합니다.

표현

수 e는 무한급수, 무한곱, 연속분수 또는 수열의 극한과 같은 다양한 방법으로 표현될 수 있습니다. 위에 주어진 극한과 급수 외에 연속 분수도 있습니다.

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$^[45][46]

다음과 같이 쓴 것으로 보이는

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

다음 무한 제품은 다음과 같이 평가됩니다.^[25]

e의 많은 다른 급수, 수열, 연속 분수 및 무한 곱 표현이 증명되었습니다.

확률적 표현

e의 표현을 위한 정확한 분석적 표현 외에도 e를 추정하기 위한 확률적 기법이 있습니다. 이러한 접근 방식 중 하나는 [0, 1]의 균일 분포에서 추출된 독립적인 무작위₁ 변수 X, X...의₂ 무한 순서로 시작됩니다. 처음 n개의 관측치의 합이 1을 초과하도록 V를 최소 n개라고 합니다.

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}$

그러면 V의 기대값은 E(V) = e입니다.

알 수 있는 숫자

e의 알려진 숫자는 지난 수십 년 동안 상당히 증가했습니다. 이는 컴퓨터의 성능 향상과 알고리즘 개선 덕분입니다.^[49][50]

e의 알려진 소수 자릿수

날짜.	십진수	수행한 계산:
1690	1	제이콥 베르누이[10]
1714	13	로저 코츠[51]
1748	23	레온하르트 오일러[52]
1853	137	윌리엄 섕크스[53]
1871	205	윌리엄 섕크스[54]
1884	346	J. 마커스 부먼[55]
1949	2,010	존 폰 노이만 (ENIAC)
1961	100,265	다니엘 샹크스와 존 렌치[56]
1978	116,000	스티브 워즈니악(Steve Wozniak on the Apple II[57])

2010년경부터 현대적인 고속 데스크톱 컴퓨터의 보급으로 아마추어들이 허용 가능한 시간 내에 수조 자리의 e를 계산하는 것이 가능해졌습니다. 2020년 12월 5일에는 31,415,926,535,897자리(약 π×10)를 부여하는 기록적인 계산이 이루어졌습니다.

숫자 계산하기

e의 자리수를 계산하는 한 가지 방법은 급수를^[59] 이용하는 것입니다.

더 빠른 방법은 두 개의 재귀 함수 $p{\displaystyle (a,}$ ${\displaystyle b)}$ ${\displaystyle$ p$(a,$ b$)}$ 및 $q{\displaystyle (a,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle q(a, b)}$를 포함합니다$.$ 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

표정이.

는 위 시리즈의 n번째 부분합을 생성합니다. 이 방법은 이진 분할을 사용하여 한 자리 수 연산이 적고 비트 복잡도가 감소하는 e를 계산합니다. 이것을 정수를 곱하는 빠른 푸리에 변환 기반 방법과 결합하면 숫자를 계산하는 것이 매우 빠릅니다.^[59]

컴퓨터 문화에서

인터넷 문화가 출현하는 동안 개인과 조직은 때때로 숫자 e에 경의를 표했습니다.

초기 예에서, 컴퓨터 과학자인 Donald Knuth는 그의 프로그램 메타폰트의 버전 번호를 접근하게 했습니다. 버전은 2, 2.7, 2.71, 2.718 등입니다.^[60]

또 다른 예로, 2004년 구글의 IPO 신청은 일반적인 라운드 수 금액이 아니라 가장 가까운 달러에 10억 달러를 반올림한 2,718,281,828 달러를 조달하겠다는 의사를 발표했습니다.^[61]

구글은 또한 실리콘 밸리의 중심부와 그 후 매사추세츠주 케임브리지, 워싱턴주 시애틀, 그리고 텍사스주 오스틴에 출현한 광고판을^[62] 책임졌습니다. "{e.com의 연속된 숫자에서 발견된 첫 번째 10자리 프라임}"이라고 적혀 있습니다. 첫 번째 10자리 소수는 7427466391로 99번째 자리부터 시작합니다.^[63] 이 문제를 해결하고 광고된(현재는 폐지된) 웹사이트를 방문하는 것은 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391 시퀀스에서 5번째 항을 찾는 것으로 구성된 훨씬 더 해결하기 어려운 문제로 이어졌습니다. 그 수열은 숫자가 49인 e의 연속된 숫자에서 발견된 10자리 숫자로 구성되어 있음이 밝혀졌습니다. 시퀀스의 다섯 번째 항은 5966290435로 127번째 자리에서 시작합니다.^[64] 이 두 번째 문제를 해결한 결과 마침내 방문자가 이력서를 제출하도록 초대된 Google Labs 웹 페이지로 이어졌습니다.^[65]

참고문헌

추가읽기

• Maor, Eli; e: 숫자의 이야기, ISBN 0-691-05854-7
• 또 다른 확률적 표현을 위한 Prime Obsession 책의 Endnote 10에 대한 해설
• McCartin, Brian J. (2006). "e: The Master of All" (PDF). The Mathematical Intelligencer. 28 (2): 10–21. doi:10.1007/bf02987150. S2CID 123033482.

외부 링크

• e~100만 곳, NASA.gov 2~500만 곳.
• e 근사치 – Wolfram MathWorld
• 상수에 대한 기호의 초기 사용 2008년 1월 13일
• 2007년 2월 28일 그레샴 칼리지에서 로빈 윌슨이 쓴 "The Story of e" (오디오 및 비디오 다운로드 가능)
• eSearch Engine 20억 개의 검색 가능한 숫자의 e, π 및 √2