적분방정식

Integral equation

수학에서, 적분 방정식은 미지의 함수적분 기호 아래 나타나는 방정식입니다.[1]수학적 표기법에서 적분 방정식은 다음과 같은 형태로 표현될 수 있습니다.

여기서 ( u에 작용하는 적분 연산자입니다.[1]따라서 적분 방정식은 미분을 포함하는 방정식 대신 적분을 포함하는 아날로그-미분 방정식으로 볼 수 있습니다.[1]위의 일반적인 적분 방정식의 수학적 형태와 다음과 같이 나타낼 수 있는 미분 방정식의 일반적인 형태를 직접 비교할 수 있습니다.
여기서 ( 는 차수 i미분 연산자로 볼 수 있습니다.[1]미분 방정식과 적분 방정식 사이의 밀접한 연결 때문에 둘 사이에서 종종 변환할 수 있습니다.[1]예를 들어, 경계값 문제를 해결하는 한 가지 방법은 경계조건을 갖는 미분방정식을 적분방정식으로 변환하여 적분방정식을 푸는 것입니다.[1]또한 둘 사이를 변환할 수 있기 때문에 맥스웰 방정식과 같은 물리학의 미분 방정식은 종종 아날로그 적분 및 미분 형태를 갖습니다.[2]그린 함수프레드홀름 이론 등도 참조하십시오.

분류 및 개요

적분 방정식에 대한 다양한 분류 방법이 있습니다.몇 가지 표준 분류에는 선형과 비선형의 구분, 동질과 비균질, 프레드홀름과 볼테라, 1차, 2차, 3차, 그리고 단수와 정규 적분 방정식이 포함됩니다.[1]이러한 차이는 일반적으로 방정식의 선형성 또는 방정식의 동질성을 고려하는 것과 같은 몇 가지 기본적인 특성에 있습니다.[1]이러한 의견은 다음과 같은 정의와 예시를 통해 구체화됩니다.

선형성

선형: 방정식에 미지의 함수 u(x)와 그 적분이 선형으로 나타나는 경우 적분 방정식은 선형입니다.[1]따라서 선형 방정식의 예는 다음과 같습니다.[1]

명명 규칙에 대한 참고로서 i) u(x)를 미지수 함수, ii) f(x)를 알려진 함수, iii) K(x,t) 변수의 함수이며 종종 커널 함수, iv) λ는 선형 대수학에서 고유값과 같은 역할을 하는 미지의 인자 또는 매개 변수입니다.

비선형:적분 방정식은 방정식에 알려지지 않은 함수 u(x) 또는 그 적분이 비선형으로 나타나는 경우 비선형입니다.[1]따라서, 다음과 같이 u(t)를 u ( ( u로 대체하면 비선형 방정식의 예는 위의 방정식이 될 것입니다

특정한 종류의 비선형 적분 방정식에는 특정한 이름이 있습니다.[3]이러한 방정식의 종류는 다음과 같습니다.[3]

  • 를 갖는 두 번째 종류의 비선형 볼테라 적분 방정식: u( x = f( ) +λ ∫ x ( )( x) u)= f( +\ lambda _ t F F는 알려진 함수입니다.
  • 일반적인 형태를 가지는 두 번째 종류의 비선형 프레드홀름 적분 방정식: () = ( ∫ a ( y ( ) =
  • 두 번째 종류의 비선형 프레드홀름 적분 방정식의 특별한 형태는 과 같습니다: f ( )= ( x) + ( x ( ( ) {\f ( = g (
    • 유리존 방정식: ( )= g( ) + k( y ( ) ) =
    • 해머스타인 방정식: ( )= ( x) + ( ) G( ( ) ) = +\_{

해머스타인 방정식과 해머스타인 방정식의 다양한 버전에 대한 자세한 정보는 아래 해머스타인 섹션에서 확인할 수 있습니다.

미지방정식의 위치

첫번째 종류:만약 알 수 없는 함수가 적분 기호 아래에만 나타난다면 적분 방정식은 첫 번째 종류의 적분 방정식이라고 불립니다.[3]예를 들어 ( )= ∫ ( t) u( )=\가 될 수 있습니다

두번째 종류:만약 알 수 없는 함수가 적분 밖에서도 나타난다면 적분 방정식을 두 번째 종류의 적분 방정식이라고 합니다.[3]

세번째 종류:적분 방정식이 다음 형태의 선형 적분 방정식일 경우 세 번째 종류의 적분 방정식이라고 합니다.[3]

구간 [a,b][4][5]에서 g(t)가 적어도 한 번 사라지거나, (a,b)의 유한한 수의 점에서 g(t)가 사라집니다.[6]

통합의 한계

프레드홀름:모든 적분에서 적분의 두 극한이 모두 고정되고 상수인 경우 적분 방정식을 프레드홀름 적분 방정식이라고 합니다.[1]예를 들면, 적분은 의 고정 부분 집합을 인수하는 것입니다[3] 따라서 다음 두 가지 예가 프레드홀름 방정식입니다.[1]

  • 번째 의 프레드홀름 방정식: f (x )= ∫ a ( ) u( ) f ( =\
  • 번째 유형의 프레드홀름 방정식: u( )= f( ) +λ ∫ a ( ) u( ) d x) = f (lambda

위와 같은 적분 방정식도 적분 연산자 표기법을 사용하여 표현할 수 있습니다.[7]예를 들어, 프레드홀름 적분 연산자를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

따라서 위의 두 번째 종류의 프레드홀름 방정식은 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있습니다.[7]

볼테라:적분의 극한 중 적어도 하나가 변수인 경우 적분 방정식을 볼테라 적분 방정식이라고 합니다.[1]따라서 적분은 적분 변수에 따라 변화하는 영역에서 인수됩니다.[3]볼테라 방정식의 예는 다음과 같습니다.[1]

  • 번째 종류의 볼테라 적분 방정식: f ( )= ∫ ( ) ( t ) )=\ _{
  • 번째 종류의 볼테라 적분 방정식: u( )= f( ) +λ ∫ x ( ) u( ) u ( x ) = ( x ) lambda ( t( t

프레드홀름 방정식과 마찬가지로 연산자 표기법을 채택할 수 있습니다.따라서 선형 볼테라 적분 V : ( )( ) 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

여기서 =[ t T] I = [K(t,s)를 커널이라고 하며 구간 : ={ ): ∞ } D : = : 0t\ \ 따라서 첫 번째 종류의 볼테라 적분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
( = ) = 인 경우 또한 I 에서 미지의 (t) {\ y및 주어진 연속 함수 ( 에 대한 두 번째 종류의 선형 볼테라 적분 방정식
볼테라-프레드홀름:고차원에서는 프레드홀름-볼테라 적분 방정식(VFIE)과 같은 적분 방정식이 존재합니다.[3]VFIE는 다음과 같은 형태를 갖습니다.
∈ ω 및 ω 이(가) 조각별로 매끄러운 경계를 갖는 의 닫힌 경계 영역입니다.프레드홀름-볼테라 적분 연산자 : ( ×ω )( × ω) 는 다음과 같이 정의됩니다.

이 글 전체에서 적분의 경계는 보통 구간으로 쓰이지만, 반드시 그럴 필요는 없습니다.[7]일반적으로 적분 방정식은 항상 간격 [= ] =이지만 곡선이나 표면을 통해 정의될 수도 있습니다.[7]

동질성

동질성:알려진 함수 동일하게 0이면 적분 방정식을 동차 방정식이라고 합니다.[1]

비균질성:알려진 함수 (가) 0이 아닌 경우 적분 방정식을 비균질 방정식이라고 합니다.[1]

규칙성

일반:사용된 적분이 모두 적절한 적분일 경우 적분 방정식을 정규 방정식이라고 합니다.[7]

단수 또는 약단수:적분이 부적절한 적분일 경우 적분 방정식을 단수 또는 약 단수라고 합니다.[7]이것은 통합의 한계 중 적어도 하나가 무한하거나, 커널이 무한하다는 것을 의미하는 무한대가 되기 때문일 수 있습니다.[1]

예를 들면 다음과 같습니다.[1]

이 두 적분 방정식은 각각 u(x)의 푸리에 변환과 라플라스 변환이며, 둘 다 커널 K = e - λ ) = = e -λ x ) = e인 첫 번째 종류의 프레드홀름 방정식입니다.커널이 무한대가 되는 단일 적분 방정식의 또 다른 예는 다음과 같습니다.[1]
이 방정식은 아벨의 적분 방정식이라고 불리는 첫 번째 종류의 약한 단수 볼테라 적분 방정식의 특별한 형태입니다.[7]
강한 단수:적분이 예를 들어 코시 원리 값에 의해 정의되는 특수 정규화에 의해 정의되는 경우 적분 방정식을 강단수 방정식이라고 합니다.[7]

적분 미분 방정식

이름에서 알 수 있듯이 적분 미분 방정식은 미분 연산자와 적분 연산자를 하나의 방정식으로 결합합니다.[1]아래에 정의된 볼테라 적분 방정식과 지연 유형 방정식을 포함한 많은 버전이 있습니다.[3]예를 들어, 위에 정의된 볼테라 연산자를 사용하여 볼테라 적분 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.[3]

지연 문제의 경우 지연 적분 연산자 θ 를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
여기서 지연 적분 미분 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.[3]

볼테라 적분 방정식

1D의 고유성과 존재 정리

첫 번째 종류의 선형 볼테라 적분 방정식에 대한 해는 다음과 같습니다.

다음과 같은 유일성과 존재 정리로 설명할 수 있습니다.[3]볼테라 적분 연산자 (I )( I) 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
여기서 =[ t T] I = [ T이고 K(t,s를 커널이라고 하며 D : = ) : ∞ } D : =\{( :

정리 K {\displaystyle ( K / K 및 K (t, 0> > 0 I인 임의의 C C( = 0 ) 위의 적분방정식은 에서 유일한 해를 갖습니다

두 번째 종류의 선형 볼테라 적분 방정식에 대한 해는 다음과 같습니다.[3]

다음과 같은 유일성과 존재 정리로 설명할 수 있습니다.[3]

정리 {\ K C라고 하고, 을(를) K 과(와) 연관된 해결책 커널이라고 하자 그러면, 임의의 ( 에 대하여, 2차 볼테라 적분 방정식은 유일한 해 y 를 가지며, 이 해는 과 같이 주어진다: y ( = g ( + 0 ( ) ( ) y) 입니다

ℝ에서의 볼테라 적분 방정식

두 번째 종류의 볼테라 적분 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.[3]

여기서( )∈ ω :=[ ]×[ ] :=[ ∈ Cω C 2 : ={ ξ ,η) : ξ η ≤ } : =\{( ) : 0이 적분 방정식은 다음과 같이 주어진 고유한 해 ∈ C (ω C를 갖습니다.
여기서 (는) K의 레졸벤트 커널입니다.[3]

프레돔-볼테라 방정식의 유일성과 존재 정리

위에서 정의한 바와 같이 VFIE는 다음과 같은 형태를 갖습니다.

∈ ω 및 ω 이(가) 조각별로 매끄러운 경계를 갖는 의 닫힌 경계 영역입니다.프레드홀름-볼테라 적분 연산자 : ( ×ω )( × ω) 는 다음과 같이 정의됩니다.
커널 K( ,ξ) = k( -) H( ξ) s, x, ) = 로 표기될 수 있는 경우 K를 양의 메모리 커널이라고 합니다.이를 염두에 두고 이제 다음과 같은 정리를 소개할 수 있습니다.[3]

정리 ( t, x )= g( ) + ω ξ( t x,ξ) G( ( ,ξ ) d {\u x)= g, x) x 가 ( x) ω ×ω 의 조건을 만족하는 경우:

  • ( × C
  • x 여기서 : : : =\{( : T = ×ω }=\

그러면 VFIE는 = +∫ 0 ∫ ω ,ξ x) + d ξ u C의 유일한 해 x\times \Omega ) {\ u(t, = g, x)+\_{ _{\s, D\R xω 2) {\ C(D \Omega}}} 는 해결책 커널이라고 불리며 커널 에 대한 노이만 급수의 극한에 의해 주어지며 해결책 방정식: , ) s , ) + 0 t ∫ ω K( x z) z, ) z v = K( s ,) +∫ 0 t ∫ ω ( x ) K( s , ξ) R displ )

특수 볼테라 방정식

다양한 응용 분야에서 사용되는 특수 유형의 볼테라 방정식은 다음과 같이 정의됩니다.[3]

여기서 = T] I = [ 함수 g(t)는 구간 에서 연속이고볼테라 적분 연산자( 는 다음과 같이 주어집니다.
< ) < [3]와 함께.

IVP를 적분 방정식으로 변환

다음 절에서는 초기값 문제(IVP)를 적분 방정식으로 변환하는 방법에 대한 예를 제시합니다.그렇게 하는 데는 여러 가지 동기가 있는데, 그 중에서도 적분 방정식이 종종 더 쉽게 풀 수 있고 존재와 고유성 정리를 증명하는 데 더 적합하다는 것입니다.[7]

와즈와즈는 그의 책에서 1,2면에 다음과 같은 예를 제시했습니다.[1]우리는 다음 식에 의해 주어진 IVP를 조사합니다.

초기 조건:

식의 양변을 적분하면 다음을 얻을 수 있습니다.

그리고 미적분학의 기본 정리에 의해 다음을 얻습니다.

위의 방정식을 다시 정리하면 적분 방정식을 얻을 수 있습니다.

다음과 같은 형태의 볼테라 적분 방정식입니다.

여기서 K(x,t)를 커널이라 하고 2t과 같으며 f(x)=1.

적분방정식에 대한 멱급수 해

많은 경우 적분 방정식의 커널이 K(xt)의 형태이고 K(t)멜린 변환이 존재한다면 적분 방정식의 해를 찾을 수 있습니다.

멱급수의 형태로

어디에

는 함수 g()의 Z 변환이고, M(n + 1)은 커널의 멜린 변환입니다.

수치해

적분 방정식은 종종 해석적 해를 갖지 않으며, 수치적으로 풀어야 한다는 것을 주목할 필요가 있습니다.이것의 한 예는 전자기 산란 문제에서 임의로 형상화된 물체에 대한 전기장 적분 방정식(EFIE) 또는 자기장 적분 방정식(MFIE)을 평가하는 것입니다.

수치적으로 풀기 위한 하나의 방법은 변수를 이산화하고 적분을 직교 규칙으로 대체하는 것을 요구합니다.

그러면 n개의 방정식과 n개의 변수를 가진 시스템이 있습니다.그것을 풀면 n개의 변수의 값을 얻습니다.

고유치 방정식의 일반화로서 적분 방정식

특정 균질 선형 적분 방정식은 고유값 방정식의 연속체 한계로 볼 수 있습니다.지수 표기법을 사용하면 고유값 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

여기서 M = [M]은 행렬이고 v고유 벡터 중 하나이며 λ는 관련 고유 값입니다.

연속체 극한을 취하면, 즉 이산 지수 i와 j를 연속형 변수 x와 y로 대체하면 산출됩니다.

여기서 합 위 j는 적분 오버 y로 대체되었고 행렬 M과 벡터 v커널 K(x, y)와 고유 함수 φ(y)로 대체되었습니다.(적분의 한계는 j에 대한 합의 한계와 유사하게 고정됩니다.)이것은 두 번째 유형의 선형 동형 프레드홀름 방정식을 제공합니다.

일반적으로 K(x, y)는 엄밀한 의미의 함수가 아니라 분포가 될 수 있습니다.분포 K가 점 x = y에서만 지지를 갖는 경우 적분 방정식은 미분 고유 함수 방정식으로 줄어듭니다.

일반적으로 볼테라와 프레드홀름 적분 방정식은 해의 영역 경계에 적용되는 조건의 종류에 따라 단일 미분 방정식에서 발생할 수 있습니다.

위너-호프 적분 방정식

원래 그러한 방정식은 복사 전달의 문제와 관련하여 연구되었으며, 최근에는 경계가 부분적으로만 매끄러운 평면 문제에 대한 경계 적분 방정식의 해와 관련이 있습니다.

해머스타인 방정식

해머스타인 방정식(Hammerstein equation)은 다음과 같은 형태의 비선형 제1종 볼테라 적분 방정식입니다.[3]

일정한 규칙성 조건 하에서, 이 방정식은 2종의 암시적 볼테라 적분 방정식과 동등합니다.[3]
여기서:
그러나 방정식은 비선형 볼테라-해머스타인 연산자라고 불리는 다음 연산자의 정의에 동기를 부여하는 연산자 형태로 표현될 수도 있습니다.[3]
서 G :× → R G:(는) 매끄러운 함수인 반면, 커널 K는 연속, 즉 유계이거나 약하게 단수일 수 있습니다.[3]볼테라-함메르슈타인 적분 방정식이라고 불리는 2차 볼테라 적분 방정식 또는 간단히 줄여서 함메르슈타인 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.[3]
특정 응용에서 함수 G의 비선형성은 다음과 같은 형태의 반선형으로만 취급될 수 있습니다.[3]
이 경우, 우리는 다음과 같은 반선형 볼테라 적분 방정식을 갖습니다.[3]
이 형태에서, 우리는 반선형 해머스타인 적분 방정식에 대한 존재와 유일성 정리를 진술할 수 있습니다.[3]

정리 — 반선형 해머스타인 방정식이 고유한 를 갖는 × R 립시츠 연속 함수입니다. 이 방정식의 해는 ( t) = ( +∫ 0 ( ) ( y( ) y( = ) s 서 y( 는 위 방정식의 선형 부분의 고유한 해를 나타내며 ( ) = ( ) +∫ 0 ( ) ( ) 이며 R입니다.

우리는 또한 니미츠키 연산자 또는 치환 , N{\이라는 다음과 같이 정의된 다른 연산자를 사용하여 함머슈타인 방정식을 쓸 수 있습니다.[3]

이에 대한 자세한 내용은 이 책의 75페이지에서 확인할 수 있습니다.[3]

적용들

적분 방정식은 많은 응용 분야에서 중요합니다.적분 방정식이 발생하는 문제에는 복사 전달, 끈, 막 또는 축의 진동이 포함됩니다.발진 문제도 미분 방정식으로 해결할 수 있습니다.

참고 항목

서지학

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참고문헌

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