수학적 모형

Mathematical model

수학적 모델은 수학적 개념과 언어를 사용하여 시스템을 설명하는 것입니다.수학적 모델을 개발하는 과정은 수학적 모델링이라고 불립니다.수학 모델은 자연과학(물리학, 생물학, 지구과학, 화학 )과 공학 분야(컴퓨터 공학, 전기 공학 등)뿐만 아니라 사회과학(경제학, 심리학, 사회학, 정치학 )과 같은 비물리적 시스템에서도 사용됩니다.사업이나 군사작전의 문제를 해결하기 위해 수학적 모델을 사용하는 것은 운영연구 분야의 큰 부분을 차지한다.수학적 모델은 음악,[1] 언어학,[2] 철학에서도 사용됩니다(예를 들어 분석 철학에서 집중적으로 사용).

모형은 시스템을 설명하고 여러 성분의 효과를 연구하며 동작에 대한 예측을 하는 데 도움이 될 수 있습니다.

수학적 모델의 요소

수학적 모형은 동적 시스템, 통계적 모형, 미분 방정식 또는 게임이론 모형을 포함한 다양한 형태를 취할 수 있습니다.이러한 모델과 다른 유형의 모델은 다양한 추상 구조를 포함하는 주어진 모델과 겹칠 수 있습니다.일반적으로 수학 모델은 논리 모델을 포함할 수 있습니다.많은 경우에, 과학 분야의 질은 이론적인 측면에서 개발된 수학적 모델이 반복 가능한 실험의 결과와 얼마나 잘 일치하느냐에 달려있다.이론적인 수학적 모형과 실험적인 측정 사이의 불일치는 더 나은 이론이 개발됨에 따라 종종 중요한 진보를 이끈다.

물리과학에서 전통적인 수학적 모델에는 다음과 같은 요소가 대부분 포함되어 있습니다.

  1. 지배 방정식
  2. 보조 서브 모델
    1. 방정식의 정의
    2. 구성 방정식
  3. 전제조건 및 제약조건
    1. 초기경계 조건
    2. 고전적 구속조건과 운동학적 방정식

분류

수학적 모델에는 다양한 유형이 있습니다.

  • 선형 대 비선형:수학적 모델의 모든 연산자가 선형성을 보일 경우 결과 수학적 모델은 선형으로 정의됩니다.그렇지 않으면 모형이 비선형인 것으로 간주됩니다.선형성 및 비선형성의 정의는 상황에 따라 다르며 선형 모델에는 비선형 식이 포함될 수 있습니다.예를 들어, 통계 선형 모형에서 관계는 모수에서는 선형이지만 예측 변수에서는 비선형일 수 있다고 가정합니다.마찬가지로, 미분 방정식은 선형 미분 연산자를 사용하여 쓸 수 있지만 비선형 식을 포함할 수 있는 경우에는 선형 방정식이라고 합니다.수학 프로그래밍 모델에서, 목적 함수와 제약 조건이 전적으로 선형 방정식으로 표현될 경우, 모델은 선형 모델로 간주됩니다.목적 함수 또는 제약 조건 중 하나 이상이 비선형 방정식으로 표현되는 경우 모형을 비선형 모형이라고 합니다.
    선형 구조는 문제를 독립적으로 처리 및/또는 다른 척도로 분석할 수 있는 단순한 부분으로 분해할 수 있음을 의미하며, 얻은 결과는 재합성 및 재스케일링 시 초기 문제에 대해 유효하게 유지됩니다.
    비선형성은 매우 단순한 시스템에서도 종종 혼돈이나 불가역성같은 현상과 관련이 있습니다.예외는 있지만 비선형 시스템과 모형은 선형 시스템보다 연구하기가 더 어려운 경향이 있습니다.비선형 문제에 대한 일반적인 접근법은 선형화이지만, 비선형성과 강하게 관련되어 있는 불가역성과 같은 측면을 연구하려는 경우에는 문제가 될 수 있다.
  • 정적 대 동적:동적 모델은 시스템 상태의 시간 의존적 변화를 설명하는 반면 정적(또는 정상 상태) 모델은 평형 상태에서 시스템을 계산하므로 시간 불변입니다.동적 모델은 일반적으로 미분 방정식 또는 미분 방정식으로 표시됩니다.
  • 명시적 vs. 암묵시적:모델 전체의 입력 파라미터가 모두 알려져 있고, 출력 파라미터가 유한한 일련의 계산에 의해 계산될 수 있는 경우에는 모델은 명시적이라고 할 수 있다.그러나 때때로 알려진 것은 출력 파라미터이며, 이에 대응하는 입력은 뉴턴의 방법이나 브로이든의 방법같은 반복적인 절차에 의해 해결되어야 합니다.이러한 경우 모델은 암묵적이라고 한다.예를 들어, 터빈 및 노즐 슬로트 영역과 같은 제트 엔진의 물리적 특성은 특정 비행 조건 및 동력 설정에서 설계 열역학 주기(공기 및 연료 유량, 압력 및 온도)가 주어졌을 때 명시적으로 계산될 수 있지만, 다른 비행 조건 및 동력 설정에서의 엔진 작동 주기는 다음과 같을 수 없습니다.일정한 물리적 특성으로부터 적절히 계산됩니다.
  • 디스크리트와 연속:이산 모델은 물체분자 모델의 입자 또는 통계 모델의 상태와 같이 이산적인 것으로 취급하는 반면, 연속 모델은 파이프 흐름의 유체의 속도장, 고체의 온도와 응력, m 전체에 걸쳐 연속적으로 적용되는 전기장과 같은 방식으로 물체를 나타냅니다.포인트 충전으로 인한 악취.
  • 결정론적 대 확률론적(확률적):결정론적 모델은 모든 변수 상태 집합이 모델의 매개 변수와 이러한 변수의 이전 상태 집합에 의해 고유하게 결정되는 모델이다. 따라서 결정론적 모델은 주어진 초기 조건 집합에 대해 항상 동일한 방식으로 수행됩니다.반대로 확률적 모델(일반적으로 "통계적 모델"이라고 함)에서는 랜덤성이 존재하며 변수 상태는 고유한 값으로 기술되지 않고 확률 분포로 기술된다.
  • 연역적, 유도적 또는 부동:a연역적 모델은 이론에 기초한 논리적 구조이다.귀납적 모델은 경험적 발견과 그것들로부터의 일반화로부터 발생한다.플로팅 모델은 이론도 관찰도 아닌 예상 구조의 호출일 뿐이다.경제학이 아닌 사회과학에서 수학을 응용하는 것은 근거 없는 [3]모델이라는 비판을 받아왔다.과학에서 재앙 이론의 적용은 부유 [4]모델로 특징지어져 왔다.
  • 게임 이론에서 사용되는 전략적 모델과 비전략적 모델은 경쟁하는 종이나 경매 입찰자 등 호환되지 않는 인센티브를 가진 에이전트를 모델링한다는 점에서 다릅니다.전략 모델은 참가자들이 자신의 객관적 기능을 극대화하는 행동을 합리적으로 선택하는 자율적인 의사결정자라고 가정합니다.전략 모델을 사용하는 데 있어 중요한 과제는 내쉬 균형과 같은 솔루션 개념을 정의하고 계산하는 것입니다.전략 모델의 흥미로운 특성은 게임의 규칙에 대한 논리와 [5]플레이어의 행동에 대한 논리를 분리한다는 것입니다.

건설

비즈니스 및 엔지니어링에서는 수학적 모델을 사용하여 특정 출력을 극대화할 수 있습니다.검토 중인 시스템에는 특정 입력이 필요합니다.입력과 출력에 관련된 시스템은 의사결정 변수, 상태 변수, 외부 발생 변수 및 랜덤 변수와 같은 다른 변수에도 의존합니다.

결정 변수는 독립 변수라고도 합니다.외부 발생 변수는 모수 또는 상수라고도 합니다.상태 변수는 결정, 입력, 랜덤 및 외부 발생 변수에 따라 달라지기 때문에 변수는 서로 독립적이지 않습니다.또한 출력 변수는 시스템 상태(상태 변수에 의해 표시됨)에 따라 달라집니다.

시스템과 사용자의 목적과 제약은 출력 변수 또는 상태 변수의 함수로 나타낼 수 있습니다.목적 기능은 모델 사용자의 관점에 따라 달라집니다.문맥에 따라 객관적 함수는 사용자가 관심을 갖는 지표이기 때문에 성능 지표로도 알려져 있습니다.모델이 가질 수 있는 객관적 함수와 제약의 수에 제한이 없지만, 모델이 증가함에 따라 모델을 사용하거나 최적화하는 작업이 (계산적으로) 더 많이 관여하게 됩니다.

예를 들어, 경제학자들은 종종 입출력 모델을 사용할 때 선형 대수를 적용한다.변수가 많은 복잡한 수학 모델은 하나의 기호가 여러 변수를 나타내는 벡터를 사용하여 통합할 수 있습니다.

선험적 정보

전형적인 "블랙박스 접근법"으로 무언가를 분석하기 위해 자극/반응의 행동만 설명하여 (알 수 없는) 상자를 추론한다.이 블랙박스 시스템의 일반적인 표현은 상자 중앙에 있는 데이터 흐름도입니다.

수학적 모델링 문제는 시스템의 사용 가능한 선험적 정보에 따라 블랙박스 또는 화이트박스 모델로 분류되는 경우가 많습니다.블랙박스 모델은 사용 가능한 사전 정보가 없는 시스템입니다.화이트 박스 모델(유리 상자 또는 투명 상자라고도 함)은 필요한 모든 정보를 사용할 수 있는 시스템입니다.실제로 모든 시스템은 블랙박스와 화이트박스 모델 사이에 있기 때문에 이 개념은 어떤 접근방식을 취할지를 결정하는 직관적인 가이드로만 도움이 됩니다.

일반적으로 모델을 더 정확하게 만들기 위해 가능한 한 많은 사전 정보를 사용하는 것이 좋습니다.따라서 흰색 상자 모형은 일반적으로 더 쉬운 것으로 간주됩니다. 정보를 올바르게 사용하면 모형이 올바르게 동작하기 때문입니다.종종 선험적 정보는 다른 변수와 관련된 기능의 유형을 아는 형태로 나타난다.예를 들어, 인간 시스템에서 약이 어떻게 작용하는지에 대한 모델을 만든다면, 우리는 보통 혈액에 있는 약의 양이 기하급수적으로 감소하는 기능이라는 것을 알고 있습니다.하지만 우리는 아직 알려지지 않은 몇 가지 변수들을 남겨두고 있다: 약의 양은 얼마나 빨리 부패하고, 혈액 속의 약의 초기 양은 얼마인가?따라서 이 예는 완전한 화이트 박스 모델이 아닙니다.모형을 사용하려면 이러한 모수를 몇 가지 방법으로 추정해야 합니다.

블랙박스 모델에서는 변수 간 관계의 기능적 형태와 함수 내 수치적 매개변수를 모두 추정하려고 한다.예를 들어, 선험적 정보를 사용하면 시스템을 적절하게 설명할 수 있는 일련의 기능을 얻을 수 있습니다.사전 정보가 없는 경우 가능한 한 일반적인 기능을 사용하여 모든 모델을 커버하도록 하겠습니다.블랙박스 모델에서 자주 사용되는 접근법은 일반적으로 수신 데이터에 대해 가정을 하지 않는 신경 네트워크입니다.또는 비선형 시스템 식별[6] 일부로 개발된 NARMAX(Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs) 알고리즘을 사용하여 모델 항을 선택하고 모델 구조를 결정하며 상관 및 비선형 노이즈가 존재하는 경우 미지의 파라미터를 추정할 수 있습니다.신경망에 비해 NARMAX 모델의 장점은 NARMAX가 기록될 수 있고 기본 프로세스와 관련된 모델을 생성하는 반면, 신경망은 불투명한 근사치를 생성한다는 것이다.

주관적 정보

때로는 주관적인 정보를 수학적 모델에 통합하는 것이 유용합니다.이것은 직관, 경험 또는 전문가의 의견에 근거하거나 수학 형식의 편리함에 근거할 수 있습니다.베이지안 통계는 그러한 주관성을 엄격한 분석에 통합하기 위한 이론적 프레임워크를 제공한다. 우리는 사전 확률 분포(주관적일 수 있음)를 지정하고 경험적 데이터에 기초하여 이 분포를 업데이트한다.

이러한 접근법이 필요한 경우의 예로는 실험자가 동전을 약간 구부려 던지고 앞면이 나오는지 여부를 기록한 다음 다음 앞면이 나올 확률을 예측하는 작업이 주어지는 경우를 들 수 있다.동전을 구부린 후, 동전이 앞면이 나올 진짜 확률은 알려지지 않았습니다. 그래서 실험자는 어떤 사전 분배를 사용할지 결정할 필요가 있습니다.그러한 주관적 정보의 통합은 확률을 정확하게 추정하기 위해 중요할 수 있다.

복잡성

일반적으로 모형 복잡성은 모형의 단순성과 정확성 사이의 균형을 수반합니다.Occam의 면도기는 특히 모델링과 관련된 원리로, 예측력이 거의 동일한 모델 중에서 가장 단순한 것이 가장 바람직하다는 것이 핵심 아이디어입니다.추가된 복잡성은 일반적으로 모델의 사실성을 개선하지만, 모델을 이해하고 분석하는 것을 어렵게 할 수 있으며, 수치 불안정성을 포함한 계산상의 문제를 야기할 수도 있습니다.토마스 쿤은 과학이 진보함에 따라 패러다임의 변화가 급진적인 [7]단순화를 제공하기 전에 설명이 더 복잡해지는 경향이 있다고 주장한다.

예를 들어, 항공기의 비행을 모델링할 때, 우리는 항공기의 각 기계 부품을 모델에 포함시킬 수 있으며, 따라서 시스템의 거의 화이트 박스 모델을 획득할 수 있을 것이다.그러나 그러한 엄청난 양의 세부사항을 추가하는 계산원가는 그러한 모델의 사용을 효과적으로 억제할 것이다.또한, 각각의 개별적인 부분이 모델에 일정량의 분산을 유도하기 때문에, 지나치게 복잡한 시스템으로 인해 불확실성이 증가할 것이다.따라서 일반적으로 모형을 적절한 크기로 줄이기 위해 근사치를 작성하는 것이 적절합니다.엔지니어는 종종 보다 견고하고 단순한 모델을 얻기 위해 몇 가지 근사치를 받아들일 수 있습니다.예를 들어, 뉴턴의 고전 역학은 실제 세계의 대략적인 모델이다.하지만 뉴턴의 모델은 대부분의 평범한 삶, 즉 입자의 속도가 빛의 속도보다 훨씬 낮으면 충분하며, 우리는 매크로 입자만을 연구합니다.

정확도가 높다고 해서 반드시 모형이 더 나은 것은 아닙니다.통계 모형은 과적합 경향이 있으며, 이는 모형이 데이터에 너무 많이 적합되고 이전에 관측되지 않았던 새로운 사건에 일반화할 수 있는 기능을 상실했음을 의미합니다.

트레이닝과 튜닝

순수 화이트 박스가 아닌 모델에는 모델을 설명하려는 시스템에 적합시키는 데 사용할 수 있는 몇 가지 매개변수가 포함되어 있습니다.모델링이 인공 뉴럴 네트워크나 다른 기계 학습에 의해 이루어지는 경우, 파라미터의 최적화를 트레이닝이라고 하는 한편, 모델 하이퍼 파라미터의 최적화를 튜닝이라고 하는 것으로, 종종 [8]교차 검증을 사용합니다.명시적으로 주어진 수학적 함수를 통한 보다 일반적인 모델링에서 매개변수는 종종 곡선[citation needed] 적합에 의해 결정됩니다.

모델 평가

모델링 프로세스의 중요한 부분은 주어진 수학적 모델이 시스템을 정확하게 기술하는지 여부를 평가하는 것입니다.이 질문은 몇 가지 다른 유형의 평가를 수반하기 때문에 답변하기 어려울 수 있습니다.

경험적 데이터에 적합

일반적으로 모형 평가에서 가장 쉬운 부분은 모형이 실험 측정값이나 다른 경험적 데이터에 적합한지 확인하는 것입니다.모수가 있는 모형에서 이러한 적합도를 검정하는 일반적인 방법은 데이터를 훈련 데이터와 검증 데이터라는 두 개의 분리된 하위 집합으로 나누는 것입니다.교육 데이터는 모형 모수를 추정하는 데 사용됩니다.정확한 모델은 검증 데이터와 거의 일치합니다. 이러한 데이터는 모델의 매개 변수를 설정하는 데 사용되지 않았더라도 마찬가지입니다.이 방법을 통계학에서는 교차 검증이라고 합니다.

관측 데이터와 예측 데이터 사이의 거리를 측정하는 메트릭을 정의하는 것은 모형 적합도를 평가하는 데 유용한 도구입니다.통계학, 의사결정 이론 및 일부 경제 모형에서 손실 함수는 유사한 역할을 한다.

매개변수의 적절성을 테스트하는 것은 비교적 간단하지만 모델의 일반적인 수학적 형식의 타당성을 테스트하는 것은 더 어려울 수 있습니다.일반적으로 통계적 모델의 적합성을 테스트하기 위해 미분방정식을 포함하는 모형보다 더 많은 수학적 도구가 개발되었다.비모수 통계량의 도구를 사용하여 데이터가 알려진 분포에 얼마나 적합한지 평가하거나 모형의 수학적 형식에 대해 최소한의 가정만 하는 일반 모형을 만들 수 있습니다.

모델의 범위

모형의 범위를 평가하는 것, 즉 모형이 적용되는 상황을 결정하는 것은 덜 간단할 수 있다.모델이 데이터 세트를 기반으로 구성된 경우 알려진 데이터가 "일반적인" 데이터 세트인 시스템 또는 상황을 결정해야 합니다.

모형이 데이터 지점 간 시스템의 속성을 잘 기술하는지 여부를 보간이라고 하며, 관측된 데이터 외부의 사건이나 데이터 지점에 대해서도 동일한 질문을 외삽이라고 합니다.

모델 범위의 전형적인 한계로 뉴턴의 고전 역학을 평가할 때, 우리는 뉴턴이 첨단 장비 없이 측정을 했기 때문에 빛의 속도에 가까운 속도로 이동하는 입자의 특성을 측정할 수 없었다는 것을 알 수 있다.마찬가지로, 그는 분자와 다른 작은 입자의 움직임을 측정하지 않고, 단지 거시 입자의 움직임을 측정했다.그의 모델이 평범한 생명 물리학에 꽤 충분할지라도 이러한 영역에 잘 추론되지 않는 것은 놀라운 일이 아니다.

철학적 고려 사항

많은 모델링 유형은 암묵적으로 인과관계에 대한 주장을 포함한다.이것은 보통 (항상 그렇지는 않지만) 미분 방정식을 포함하는 모형에서 해당됩니다.모델링의 목적은 세계에 대한 이해를 높이는 것이기 때문에 모델의 유효성은 경험적 관찰에 대한 적합성뿐만 아니라 원래 모델에 기술된 상황이나 데이터를 추론하는 능력에 달려 있습니다.이를 질적 예측과 양적 예측의 차이라고 생각할 수 있다.또한 연구되고 있는 현상에 대한 직접적인 조사를 통해 이미 알려진 것 이상의 통찰력을 제공하지 않는 한 모델은 가치가 없다고 주장할 수 있다.

그러한 비판의 예는 최적의 먹이찾기 이론의 수학적 모델이 진화의 상식적인 결론과 [9]생태학의 다른 기본 원리를 뛰어넘는 통찰력을 제공하지 못한다는 주장이다.

자연과학의 의의

수학 모형은 자연과학, 특히 물리학에서 매우 중요하다.물리 이론은 거의 항상 수학적 모델을 사용하여 표현된다.

역사를 통틀어, 점점 더 정확한 수학적 모델들이 개발되어 왔다.뉴턴의 법칙은 많은 일상적인 현상을 정확하게 설명하지만, 어느 정도 한계가 있을 때는 상대성 이론과 양자 역학을 사용해야 한다.

물리에서는 사물을 단순화하기 위해 이상적인 모델을 사용하는 것이 일반적입니다.질량 없는 로프, 점 입자, 이상 기체상자 안의 입자는 물리학에서 사용되는 많은 단순화된 모델 중 하나입니다.물리 법칙은 뉴턴의 법칙, 맥스웰 방정식, 슈뢰딩거 방정식과 같은 간단한 방정식으로 표현된다.이 법칙들은 실제 상황의 수학적 모델을 만드는 기초가 된다.많은 실제 상황은 매우 복잡하며, 따라서 컴퓨터 상에서 대략적으로 모델링됩니다. 계산적으로 실현 가능한 모델은 기본 법칙 또는 기본 법칙에서 만들어진 대략적인 모델에서 만들어집니다.예를 들어, 분자는 슈뢰딩거 방정식의 대략적인 해인 분자 궤도 모델에 의해 모델링될 수 있습니다.공학에서, 물리 모델은 종종 유한 요소 분석과 같은 수학적 방법에 의해 만들어진다.

수학 모델마다 다른 기하학이 사용되는데, 이는 우주의 기하학을 정확하게 설명할 필요는 없습니다.유클리드 기하학은 고전 물리학에서 많이 사용되는 반면, 특수 상대성 이론과 일반 상대성 이론은 유클리드 기하학이 아닌 기하학을 사용하는 이론의 예이다.

일부 응용 프로그램

엔지니어가 제어 또는 최적화할 시스템을 분석할 때 수학적 모델을 사용하는 경우가 많습니다.분석에서 엔지니어는 시스템이 어떻게 작동할 수 있는지에 대한 가설로서 시스템의 기술 모델을 구축하거나 예측할 수 없는 사건이 시스템에 어떻게 영향을 미칠 수 있는지 추정할 수 있습니다.마찬가지로 시스템을 제어할 때 엔지니어는 시뮬레이션에서 다른 제어 접근법을 시도할 수 있습니다.

수학적 모형은 일반적으로 변수 집합과 변수 간의 관계를 설정하는 방정식 집합을 통해 시스템을 설명합니다.변수는 실수 또는 정수, 부울또는 문자열 등 여러 유형일 수 있습니다.변수는 시스템의 일부 속성을 나타냅니다.예를 들어 측정된 시스템 출력은 신호, 타이밍 데이터, 카운터, 이벤트 발생 등의 형태로 나타납니다.실제 모형은 여러 변수 간의 관계를 설명하는 함수 집합입니다.

  • 컴퓨터 과학에서 인기 있는 예 중 하나는 다양한 기계의 수학적 모델입니다. 예를 들어 추상적인 수학적 개념으로 정의되는 결정론적 유한 오토마톤(DFA)이지만, DFA의 결정론적 특성 때문에 다양한 특정 문제를 해결하기 위해 하드웨어와 소프트웨어에서 구현 가능합니다.예를 들어, 다음은 이진 알파벳을 사용하는 DFA M입니다. 입력에 짝수 0이 포함되어 있어야 합니다.
M상태 다이어그램
M = (Q, δ, δ0, q, F) 여기서
  • Q = {S1, S2}
  • δ = {0, 1)
  • q01 = S,
  • F = {S1} 및
  • is δ 、 다음 상태 전이 테이블로 정의됩니다.
0
1
S1 S2 S1
S2 S1 S2
상태1 S는 지금까지 입력에 짝수 0이 존재했음을 나타내며2, S는 홀수를 나타냅니다.입력의 1이 되어도, 자동의 상태는 바뀌지 않습니다.입력이 종료되면 상태는 입력에 짝수 0이 포함되었는지 여부를 나타냅니다.입력에 짝수 0이 포함되어 있는 경우 M은 상태 S1(수용 상태)로 종료되므로 입력 문자열이 받아들여집니다.
M에 의해 인식되는 언어는 정규 표현식 1*(0(1*) 0(1*)*에 의해 주어진 정규 언어이다. 여기서 "*"는 클린 별이다. 예를 들어, 1*은 기호 1의 음수가 아닌 숫자(아마도 0)를 나타낸다.
  • 아무 생각 없이 진행되는 많은 일상 활동은 수학적 모델을 이용한다.작은 평면 표면에 지구의 지역을 투영하는 지리 지도는 여행 [10]계획 등 다양한 용도로 사용할 수 있는 모델이다.
  • 또 다른 간단한 활동은 주행 거리가 시간과 속도의 산물이라는 방정식을 사용하여 차량의 초기 위치, 방향 및 속도를 예측하는 것입니다.이것은 좀 더 공식적으로 사용될 경우 데드 어카운팅으로 알려져 있다.이런 식으로 수학적 모형을 만드는 것은 반드시 공식적인 수학이 필요한 것은 아니다; 동물들은 데드 [11][12]카운팅을 사용하는 것으로 나타났다.
  • 인구 증가인구증가의 간단한 모델은 맬서스식 성장모델이다.조금 더 현실적이고 널리 사용되는 모집단 증가 모델은 로지스틱 함수와 그 확장입니다.
  • 전위장 입자의 모델입니다.이 모델에서 우리는 입자를 공간의 궤적을 설명하는 질량의 점으로 간주하며, 이는 공간의 좌표를 시간의 함수로 제공하는 함수에 의해 모델링됩니다.전위 필드는 : 3 V 함수로 지정됩니다. the the 3 \ \ {r} \ ! \ \ \ ^{3}{ { { { { \ { \ \ \ 。
다음과 같이 쓸 수 있습니다.
이 모델은 입자가 점질량이라고 가정하며, 이 모델을 사용하는 많은 경우(예: 행성 운동 모형)에는 잘못된 것으로 알려져 있습니다.
  • 소비자를 위한 합리적인 행동 모델입니다.,n 각 시장 가격 p1, p2,..., pn 이 모델에서 우리는 소비자와 일용품들이 선택, 1,2표지 얼굴...추측하고 있다.소비자는 서수적 효용 함수 U(점에서 두 전력 회사 사이의 차이점의 징후 아니라 각 전력 회사의 수준은 의미 있는 서수), c의 금액에 따라 가정한다Ommodities1 x, x2, ..., xn 소비되었습니다.또, 이 모델은, U(x2, x, xn)를1 최대화하기 위해서1 벡터2n x, x, x를 구입하기 위해서 사용되는 예산 M을 소비자에게 가지고 있다고 가정한다.이 모델에서 합리적인 동작 문제는 수학적 최적화 문제가 됩니다. 즉, 다음과 같습니다.
대상:
이 모델은 경제균형의 존재와 파레토 효율을 보여주기 위해 일반균형 이론과 같은 다양한 경제적 맥락에서 사용되어 왔다.
  • 근린감지모델은 초기 혼돈된 균류망에서 버섯형성을 설명하는 모델이다.
  • 컴퓨터 과학에서는 수학 모델을 사용하여 컴퓨터 네트워크를 시뮬레이션할 수 있습니다.
  • 역학에서 수학 모델은 로켓 모델의 움직임을 분석하는데 사용될 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ D. Tymoczko, 음악의 기하학:확장 공통 관행(Oxford Studies in the Extended Common Practice), 옥스포드 대학 출판부, 일러스트레이티드 에디션(2011년 3월 21일), ISBN978-0195336672
  2. ^ Andras Kornai, 수리언어학(고급정보 및 지식처리), 스프링어, ISBN 978-1849966948
  3. ^ Andreski, Stanislav (1972). Social Sciences as Sorcery. St. Martin’s Press. ISBN 0-14-021816-5.
  4. ^ Truesdell, Clifford (1984). An Idiot's Fugitive Essays on Science. Springer. pp. 121–7. ISBN 3-540-90703-3.
  5. ^ Li, C., Xing, Y., He, F. 및 Cheng, D. (2018년)주(州) 기반 게임을 위한 전략적 학습 알고리즘입니다.ArXiv.
  6. ^ Billings S.A. (2013), 시간, 주파수 및 시공간-임시 도메인의 비선형 시스템 식별: NARMAX 방법, Wiley.
  7. ^ "Thomas Kuhn". Stanford Encyclopedia of Philosophy. 13 August 2004. Retrieved 15 January 2019.
  8. ^ Thornton, Chris. "Machine Learning Lecture". Retrieved 2019-02-06.
  9. ^ Pyke, G. H. (1984). "Optimal Foraging Theory: A Critical Review". Annual Review of Ecology and Systematics. 15: 523–575. doi:10.1146/annurev.es.15.110184.002515.
  10. ^ "GIS Definitions of Terminology M-P". LAND INFO Worldwide Mapping. Retrieved January 27, 2020.
  11. ^ Gallistel (1990). The Organization of Learning. Cambridge: The MIT Press. ISBN 0-262-07113-4.
  12. ^ Whishaw, I. Q.; Hines, D. J.; Wallace, D. G. (2001). "Dead reckoning (path integration) requires the hippocampal formation: Evidence from spontaneous exploration and spatial learning tasks in light (allothetic) and dark (idiothetic) tests". Behavioural Brain Research. 127 (1–2): 49–69. doi:10.1016/S0166-4328(01)00359-X. PMID 11718884. S2CID 7897256.

추가 정보

책들

특정 응용 프로그램

외부 링크

일반참조
철학적인
  • 프리그, R, SHartmann, 과학 모델:스탠포드 철학 백과사전 (2006년 봄호)
  • 그리피스, E.C. (2010) 모델이란?