역함수의 적분

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미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
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전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
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수학에서 역함수의 통합은 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ f$^{-1$$\}$의 역 f${\displaystyle {}^{}}$- 1 {\$displaystyle f}$의 역 f - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 및 ${\displaystystyle f}$의 역변환성 f - 1의 항변성분을 나타내는 공식을 사용하여 계산할 수 있다.이 공식은 1905년에 찰스 앤지 라이산트에 의해 출판되었다.^[1]

정리명세서

$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle I_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$2{\displaystyle \mathbb{}}$}}:$$R {\$displaystyle \mathb{R}}}$의 두 구간이 되게$$ 두십시오$.$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$→ I 2$${\$displaystyf:$$I_{1}\to I_{2$}는 연속적이고 되돌릴 수 없는 기능이다$$. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 엄격히 단조롭다는 것은 중간값 정리에서 따온 것이다. 따라서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 간격을 구간으로$$ 매핑하므로 개방형 지도가 되고 따라서 동형성이 된다. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ 역 함수 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$→ I ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ f$^{-1$} 이후부터입니다$.$$I_{2}\to I_{1$}은$$(는) 연속적이며, 미적분의 근본적인 정리에 의한 해독제를 가지고 있다.

라이산트는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가$)$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 해독제라면$$ $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 해독제는 다음과 같은 것임을$$ 증명했다.

${\displaystyle \int f^{-1}(y)\,dy=yf^{-1}(y)-F^{-1(y)+C,}$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) 임의의 실제 수입니다. $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$이 다를$$ 수 있다고 가정하지 않는다는 점에 유의하십시오.

라이산트는 1905년 기사에서 세 가지 증거를 제시했다. 첫째, $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ f$^{-1}$이 다름을 가질 수 있다는 추가적인 가설 하에서, 위의 공식을 구별할 수 있으며, 이것이 바로 증거를 완성한다. 그의 두 번째 증거는 기하학이었다. ${\displaystyle f}$(${\displaystyle a}$ )${\displaystyle }$= c ${\displaystyle f(a)=c}$ 및 $f$ (${\displaystyle b}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(b)=d}$인 경우$,$ 다음과 같이 정리할 수 있다.

${\displaystyle \int_{c}^{d}f^{-1(y)\,dy+\int_{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.}$

오른쪽 그림은 이 공식의 말이 없는 증거다. 라이산트는 이 증거를 엄격하게 만드는 데 필요한 가설을 논하지 않지만, $만약{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$이(필수적으로 연속되는 것은 말할 것도 없고, 구별할 수도 없는 것은 말할 것도 없고) 엄격히 단조롭다고 가정한다면 이것은 증명될 수 있다. 이$$ 경우 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ f$^{-1}$ 둘 다 Rieman 통합 가능하며, $f{\displaystyle }$${\$$displaystyle f}$의 하한/상위 Darboux 합계와 $f{\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$ {\$displaysty f^{-1}$ 사이의 편향에서 정체성이 나타난다$.$^[2][3] 이어서 정리의 반변형 버전은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$도 연속적이라고 가정할$$ 때 미적분학의 근본적인 정리로부터 따르게 된다. 라이산트의 세 번째 증거는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 다를 수 있다는 추가적인 가설을 사용한다. $f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}f}$( ${\displaystyle x}$)로 시작${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ f$^{-1}(f(x)))$$=x$ 1에 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime (x}$) ${\displaystyle f'(x)}$을 곱하고$$ 양면을 통합한다. 우측은 $x$ $f$( $x$) -$\int$ f$$( $x$) $d$ x$$(\$\mathrm{텍스트}$ $스타일 xf (x)-\int f(x)\,dx}$로 하는 부품별 통합을 사용하여 계산되며, 공식은 다음과 같다.

그럼에도 불구하고 $이{\displaystyle }$ 정리는 f ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathrm{또는}}^{}}$ f$$- 1 {\$displaystyle f^{-1}$가 다를 수 없는 경우에도$$ 유지됨을 보여줄 수 있다.^[3][4] 예를 들어, 이전 주장에서 Stieltjes 적분을 사용하는 것으로 충분하다. 한편, 일반적인 단조함수는 거의 모든 곳에서 차별화되지만, ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1 ${\$가 절대적으로 연속되지 않는 한, 일반 공식의 증거는 따르지 않는다.^[4]

It is also possible to check that for every ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle I_{2}}$, the derivative of the function ${\displaystyle y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))}$ is equal to ${\displaystyle f^{-1}(y)}$.^{[citation needed]} In other words:

${\displaystyle \fall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-xf(x)-\좌측(F(x+h)-F(x)\우측)}{f(x+h)-f(x)=x.}$

이를 위해 $f{\displaystyle }$ {\$displaystyle x}$과(와$)$ ${\displaystyle x}$+ h ${\displaystyle$ x$+h}$ 사이의$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$에 평균값 정리를 적용하면 충분하며$,$ 이는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 단조적이라는 점을 고려한다.

예

1. $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)=\exp(x$ $따라서{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$= ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle y}$) ${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)}$이라고 가정합시다$.$ 위의 공식은 즉시 주어진다.
   $$\displaystyle \int \ln(y)\,dy=y\ln(y)-y+C.}$$

   
2. 마찬가지로 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$cos (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$ 및 $f$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ =${\displaystyle \arccos }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle$ f$^{-1}=\arccos(y$
   $$\displaystyle \int \arccos(y)\,dy=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C.}$$

   
3. $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{황갈색}(x}$ ) = 황갈색(x$){\displaystyle f(x)=\tan(x)}$ 및$$ $f{\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{아크탄}}$(${\displaystyle y))(y}$ ) ${\displaystyle f^{-1(y)=\Arctan(y$
   $$\displaystyle \int \arctan(y)\,dy=y\arctan(y)+\ln \left \cos(\arctan(y)\right +C.}$$

   

역사

분명히 이러한 통합의 정리는 1905년 찰스 앤지 라이산트에 의해 처음으로 발견되었는데,^[1] 그는 "이 정리가 새로운 것이라는 것을 거의 믿을 수 없다"고 말했고, 이 정리가 학생들과 교사들 사이에 널리 쓰이기를 바랐다. 이 결과는 1912년 이탈리아 엔지니어 알베르토 카프릴리에 의해 "누오브 포몰레 드인테그라치온"이라는 제목의 분자로 독립적으로 출판되었다.^[5] 그것은 1955년 파커에 의해 재발견되었고,^[6] 그를 따르는 많은 수학자들에 의해 재발견되었다.^[7] 그럼에도 불구하고, 그들은 모두 f와⁻¹ f가 다를 수 있다고 가정한다. 이러한 추가적인 가정으로부터 자유로운 일반 버전의 정리는 1965년 마이클 스피박에 의해 미적분학에서의 연습으로 제안되었고,^[2] 같은 대사를 따르는 상당히 완전한 증거가 1994년에 에릭 키에 의해 발표되었다.^[3] 이 증거는 Darboux 적분의 바로 그 정의에 의존하며, 함수 f의 상위 Darboux 합계가 하위 Darboux 합계와⁻¹ 1:1 일치한다는 것을 보여주는 데 있다. 2013년 마이클 벤심훈(Michael Bensimhun)은 일반 정리가 아직 충분히 알려져 있지 않다고 추정하면서 다음과 같은 두 가지 다른 증거를 제시했다.^[4] 스틸트제스 적분 및 부품별 통합 공식과 변수의 동형변화에 근거한 두 번째 증거는 보다 복잡한 공식을 확립하는 데 가장 적합하다.

홀로모픽 함수에 대한 일반화

위의 정리는 홀로모르픽 함수에 대한 분명한 방법으로 일반화된다. $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$ $및$ V ${\displaystyle V}$을$($를) $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 두 개 세트로 열고$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f:$$U\to V}$은(는) 생동형이다. 그러면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$^{-$$1$}와 f$$- 1 {\$displaystyle f^{-1}$에 해독제가$$ 있고, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 해독제라면$$$f{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ f$^{-1}$의 일반 해독제는$$

${\displaystyle G(z)=zf^{-1(z)-F\circ f^{-1}(z)+C.}$

모든 홀모픽 함수는 차별성이 있기 때문에 복잡한 분화에 의해 입증은 즉시 이루어진다.

참고 항목

• 부품별 통합
• 레전드르 변환
• 상품에 대한 젊은이의 불평등

참조