순서

수학에서 수열은 반복이 허용되고 순서 문제가 있는 개체들의 열거된 집합입니다.집합과 마찬가지로 구성원(요소 또는 항이라고도 함)을 포함합니다.원소의 개수(아마도 무한대)를 수열의 길이라고 합니다.집합과 달리 동일한 요소가 시퀀스의 서로 다른 위치에서 여러 번 나타날 수 있으며 집합과 달리 순서가 중요합니다.형식적으로, 수열은 자연수(수열에서 요소의 위치)에서 각 위치의 요소까지의 함수로 정의될 수 있습니다.시퀀스의 개념은 임의의 인덱스 집합에서 함수로 정의되는 인덱스 패밀리로 일반화될 수 있습니다.

예를 들어, (M, A, R, Y)는 문자 'M'을 첫 번째로 하고 'Y'를 마지막으로 하는 문자의 연속입니다.이 순서는 (A, R, M, Y)와 다릅니다.또한, 두 개의 서로 다른 위치에서 숫자 1을 포함하는 수열(1, 1, 2, 3, 5, 8)도 유효한 수열입니다.시퀀스는 이 예에서와 같이 유한하거나 모든 짝수 정수(2, 4, 6, ...)의 시퀀스와 같이 무한할 수 있습니다.

시퀀스에서 요소의 위치는 해당 순위 또는 인덱스이며, 요소가 이미지가 되는 자연수입니다.첫 번째 요소는 컨텍스트 또는 특정 규칙에 따라 인덱스 0 또는 1을 갖습니다.수학적 분석에서, 수열은 $a_{n}$ ${\$ $b_{n}$ ${\$ }, $c_{n}$ {\ $displaystyle c_{n$ 의 형태로 문자로 표시됩니다. 여기서 첨자 n은 수열의 n번째 요소를 가리킵니다. 예를 들어, Fibonacci $수열$ F ${\displaystyle$ F $}$ 의 $f$ n번째 요소는 일반적으로 $F_{n}$ {\ $displaystyle$ F}로 표시됩니다. $F_{n$

컴퓨터와 컴퓨터 과학에서, 유한한 시퀀스는 때때로 문자열, 단어 또는 목록이라고 불리고, 컴퓨터 메모리에서 그것들을 표현하기 위한 다른 방법에 일반적으로 대응하는 다른 이름들; 무한한 시퀀스는 무한한 시퀀스가 스트림이라고 불립니다.빈 시퀀스( )는 대부분의 시퀀스 개념에 포함되지만 문맥에 따라 제외될 수 있습니다.

예제 및 표기법

시퀀스는 특정 순서를 ^[1]^[2]가진 요소의 목록으로 간주될 수 있습니다.시퀀스는 시퀀스의 수렴 특성을 사용하여 함수, 공간 및 기타 수학적 구조를 연구하는 여러 수학 분야에서 유용합니다.특히, 수열은 급수의 기초가 되며, 이는 미분 방정식과 분석에서 중요합니다.수열은 또한 그들 자신의 권리에 관심이 있으며 소수의 연구와 같이 패턴이나 퍼즐로 연구될 수 있습니다.

시퀀스를 나타내는 여러 가지 방법이 있으며, 그 중 일부는 특정 유형의 시퀀스에 더 유용합니다.시퀀스를 지정하는 한 가지 방법은 모든 요소를 나열하는 것입니다.예를 들어, 처음 4개의 홀수는 (1, 3, 5, 7) 수열을 형성합니다.이 표기법은 무한 시퀀스에도 사용됩니다.예를 들어, 양의 홀수 정수의 무한 순서는 (1, 3, 5, 7, ...)로 표기됩니다.타원으로 시퀀스를 기록하면 모호성이 발생하기 때문에 처음 몇 개의 요소에서 쉽게 인식할 수 있는 관습적인 무한 시퀀스에 가장 유용합니다.순서를 나타내는 다른 방법은 예제 다음에 설명합니다.

예

소수는 1보다 큰 자연수로 나눗셈이 없고 나눗셈이 1과 나눗셈밖에 없습니다.이것들을 자연적인 순서로 가져가면 순서가 나옵니다(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).소수는 수학, 특히 그와 관련된 많은 결과가 존재하는 수론에서 널리 사용됩니다.

피보나치 수는 앞의 두 원소의 합인 정수 수열로 구성됩니다.처음 두 요소는 0과 1 또는 1과 1이므로 시퀀스는 (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)^[1]입니다.

수열의 다른 예로는 유리수, 실수, 복소수로 이루어진 수열이 있습니다.예를 들어, 수열(.9, .999, .999, .9999, ...)은 1에 가까워집니다.사실, 모든 실수는 유리수열의 극한(예를 들어 소수 확장을 통해)으로 쓸 수 있습니다.또 다른 예로, $γ$ 는 증가하고 있는 수열(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)의 극한입니다. $관련$ 순서는 π의 십진수, 즉 (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...)의 순서입니다.이 시퀀스는 앞의 시퀀스와 달리 검사로 쉽게 식별할 수 있는 패턴이 없습니다.

다른 예로는 함수의 시퀀스가 있는데, 함수의 요소는 숫자 대신 함수입니다.

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences는 정수 ^[3]시퀀스의 많은 예제 목록으로 구성됩니다.

인덱싱

$다른$ 표기법은 패턴을 쉽게 추측할 수 없는 시퀀스 또는 π의 숫자와 같은 패턴이 없는 시퀀스에 유용할 수 있습니다.그러한 표기법 중 하나는 n의 함수로 n번째 항을 계산하기 위한 일반적인 공식을 적고 괄호 안에 넣은 후 n이 취할 수 있는 값의 집합을 나타내는 첨자를 포함하는 것입니다.예를 들어, 이 표기법에서 짝수의 순서는 ( $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ ∈ N ${\displaystyle(2n)_{n\in \mathbb {N$ 로 쓸 수 있습니다.사각형 $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ 는 ( n $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ ) n ∈ $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N$ 로 쓸 수 있습니다.변수 n을 인덱스(index)라고 하고, 변수 n이 취할 수 있는 값의 집합을 인덱스 집합(index set)이라고 합니다.

이 표기법을 시퀀스의 요소를 개별 변수로 취급하는 기술과 결합하는 것이 종종 유용합니다.그러면 n번째 원소가 $a_{n}$ ${\displaystyle a_{n$ 에 의해 주어진 수열을 나타내는 ( $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ n ∈ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ {\ $displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N$ 와 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 같은 표현이 나옵니다. 예를 들어:

{\display{aligned}a_{1}&=1{\text{stele of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N}}\\a_{2}&=2{\text{ndelement}}\a_{3}&=3{\text{ndelement}}\&\&;\&;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{thelement}}\a_{n+1}&=(n+1){\text{thelement}}\a_{n+1}&=(n+1){\text{thelement}}\\&;\vdots \end{aligned}

다른 변수를 사용하여 여러 개의 시퀀스를 동시에 고려할 수 있습니다. 예를 들어 $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ( $((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }$ $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ n) $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ∈ $N$ {\ $displaystyle$ ( $b_{n})_{n\in$ \ $mathbb$ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ {N $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 은(는 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ∈ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ 과 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 는) 다른 시퀀스일 수 있습니다 $((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }$ (a m $((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }$ ) $((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }$ ∈ $((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }$ ∈ $((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle ((a_{m,n})_{n\in$ \ $m)$ $atbb {N}})_{m\in$ \ $mathbb$ { $N}}}$ 는 m번째 항이 $(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }$ 수열 ( $,$ ) $(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }$ $∈$ ${\displaystyle$ ( $a_{m,n})_{n\in \mathbb$ {N $(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }$ 인 수열을 나타냅니다.

첨자에 시퀀스의 도메인을 쓰는 대안은 최상위 및 최하위 법적 값을 나열하여 인덱스가 취할 수 있는 값의 범위를 나타내는 것입니다.예를 들어 $(k^{2})_{k=1}^{10}$ $(k^{2})_{k=1}^{10}$ $(k^{2})_{k=1}^{10}$ $(k^{2})_{k=1}^{10}$ ) $(k^{2})_{k=1}^{10}$ k = $110 {\displaystyle (k^{2})_{k$ =1}^{ $10}$ 는 $(1,4,9,\ldots ,100)$ 정사각형의 10항 시퀀스( $(1,4,9,\ldots ,100)$ $(1,4,9,\ldots ,100)$ $(1,4,9,\ldots ,100)$ $(1,4,9,\ldots ,100)$ $(1,4,9,\ldots ,100)$ {\ $displaystyle (1, 4, 9,\ldots, 100$ 를 나타냅니다.제한 ∞ {\ $displaystyle \infty}$ $-\infty$ 및 - ∞ {\ $displaystyle$ -\ $infty}$ 은(는) 허용되지만 인덱스에 대해 유효한 값을 나타내는 것은 아니며, 각각 해당 값의 최댓값 또는 최솟값만 나타냅니다.예를 들어 $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ 시퀀스( $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ ) $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ = 1 $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ ∞ {\ $displaystyle(a_{n})_{$ n=1 $}^{\infty}}$ 는 시퀀스 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ) n $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ∈ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ {\ $displaystyle(a_{n})_{n\in \mathbb$ {N $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 와 동일하며, "at infinity"라는 용어를 추가로 포함하지 않습니다.수열 $(a_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$ ) n = - ∞ ${\displaystyle(a_{n})_{n$ =-\ $infty}^{\$ infty $}}$ 은( $(\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ - 1 $(\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ $(\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ $(\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ a $(\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ $(\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ $(\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ $(\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ {\ $displaystyle(\ldots, a_{-1}, a_{1}, a_{2},\ldots$ 로 쓸 수도 있습니다.

색인 번호 집합을 이해하는 경우 첨자와 위첨자는 생략되는 경우가 많습니다.즉, 임의의 시퀀스에 대해 단순히 ( $(a_{k})$ {\ $displaystyle (a_{k})}$ 을 $(a_{k})$ $(a_{k})$ 를) 씁니다.흔히 지수 k는 1에서 ∞까지 진행되는 것으로 이해됩니다.그러나 시퀀스는 에서와 같이 0부터 시작하여 자주 인덱싱됩니다.

{\displaystyle(a_{k})_{k=0}^{\infty}=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots).}

어떤 경우에는 시퀀스의 요소가 패턴을 쉽게 추론할 수 있는 정수 시퀀스와 자연스럽게 관련되어 있습니다.이 경우 인덱스 집합은 처음 몇 개의 추상적 요소의 나열로 암시될 수 있습니다.예를 들어, 홀수의 제곱수열은 다음과 같은 방법으로 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle(1,9,25,\ldots)}$
${\displaystyle(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots),\qquada_{k}=k^{2}}$
${\displaystyle(a_{2k-1})_{k=1}^{\infty}},\qquada_{k}=k^{2}}$
${\displaystyle(a_{k})_{k=1}^{\infty}},\qquada_{k}=(2k-1)^{2}}$
$\left((2k-1)^{2}\right)_{k=1}^{\infty}$

또한 색인 집합을 자연수로 이해한다면, 첨자와 위첨자는 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 주석에서 생략될 수도 있었습니다.두 번째와 세 번째 총알에는 잘 정의된 시퀀스 $(a_{k})_{k=1}^{\infty }$ $(a_{k})_{k=1}^{\infty }$ $(a_{k})_{k=1}^{\infty }$ = 1 ∞ {\ $displaystyle(a_{k})_{k$ = $1}^{\infty$ 가 있지만 수식으로 표시된 시퀀스와는 다릅니다.

재귀에 의한 시퀀스 정의

요소가 이전 요소와 간단한 방식으로 연관된 시퀀스는 종종 재귀를 사용하여 정의됩니다.이는 요소의 시퀀스를 해당 위치의 함수로 정의하는 것과는 대조적입니다.

재귀로 수열을 정의하려면 각 요소를 이전 요소의 관점에서 구성하기 위해 재귀 관계라는 규칙이 필요합니다.또한 시퀀스의 모든 후속 요소가 재발 관계의 연속적인 적용에 의해 계산될 수 있도록 초기 요소가 충분히 제공되어야 합니다.

피보나치 수열은 단순한 고전적인 예로, 재발 관계에 의해 정의됩니다.

a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}

초기 $a_{0}=0$ 0 = $a_{0}=0$ {\ $displaystyle a_{0$ }= $0}$ 이고 1 = $a_{1}=1$ {\ $displaystyle a_{1$ }= $1$ 인 경우, 간단한 계산을 통해 이 수열의 처음 열 개의 항이 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34임을 알 수 있습니다.

재발 관계에 의해 정의된 수열의 복잡한 예는 재발 관계에 의해 정의된 레카만 [4]수열입니다.

{\display{case}a_{n}=a_{n-1}-n,\displaystyle {\text{positive이고 이전 용어가 아닌 경우}},\a_{n}=a_{n-1}+n,\displaystyle {\text{positive}},\end{case}

초기 $a_{0}=0.$ a $a_{0}=0.$ = $a_{0}=0.$ {\ $displaystyle a_{0$ }= $0.}$

계수가 일정한 선형 반복은 폼의 반복 관계입니다.

a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\displaystyle +c_{k}a_{n-k}

$c_{0},\dots ,c_{k}$ 서 $c_{0},\dots ,c_{k}$ 0 $c_{0},\dots ,c_{k}$ $c_{0},\dots ,c_{k}$ $c_{0},\dots ,c_{k}$ ${\$ 는 $c_{0},\dots ,c_{k}$ 상수입니다.이러한 $a_{n}$ 의 일반 $a_{n}$ {\ $displaystyle a_{$ n $a_{n}$ }}를 $n$ 의 함수로 표현하는 일반적인 방법이 있습니다. 선형 반복을 참조하십시오.피보나치 수열의 경우, $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$ 는 $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$ $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$ = $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$ , c $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$ = $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$ 2 $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$ = 1, {\ $displaystyle$ c_ ${0$ }= $0$ ,c_{ $1}$ = $c_{$ 2}= 1 $,}$ 이고, 결과적인 $n$ 의 함수는 Binet의 공식으로 주어집니다.

홀로노믹스 수열은 형태의 재발 관계에 의해 정의되는 수열입니다.

a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\displaystyle +c_{k}a_{n-k}

$c_{1},\dots ,c_{k}$ 서 $c_{1},\dots ,c_{k}$ 1 $c_{1},\dots ,c_{k}$ $c_{1},\dots ,c_{k}$ $c_{1},\dots ,c_{k}$ ${\$ 는 $c_{1},\dots ,c_{k}$ $n$ 의 다항식입니다.대부분의 홀로노믹스 수열의 경우 ${\$ 를 $a_{n}$ $n$ 의 함수로 $a_{n}$ 하는 명시적인 공식이 없습니다.그럼에도 불구하고, 홀로노믹스 수열은 수학의 다양한 영역에서 중요한 역할을 합니다.예를 들어, 많은 특수 함수에는 계수 시퀀스가 홀로노믹스인 테일러 급수가 있습니다.재발 관계를 사용하면 이러한 특수 함수의 값을 빠르게 계산할 수 있습니다.

일부 시퀀스는 반복 관계로 지정할 수 없습니다.예를 들어, 소수들의 자연순(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...)의 순서가 있습니다.

형식적 정의 및 기본 속성

수학에는 수열에 대한 다양한 개념이 있으며, 그 중 일부(예: 정확한 수열)는 아래에 소개된 정의 및 표기법에서 다루지 않습니다.

정의.

본 논문에서, 수열은 정의역이 정수의 간격인 함수로 공식적으로 정의됩니다.이 정의는 "시퀀스"라는 단어의 다양한 용도를 포함하며, 단변 무한 시퀀스, 쌍무한 시퀀스 및 유한 시퀀스를 포함합니다(이러한 종류의 시퀀스의 정의는 아래 참조).그러나 많은 저자들은 수열의 정의를 자연수의 집합으로 요구함으로써 더 좁은 정의를 사용합니다.이 좁은 정의는 표준 수학적 연습에서 보통 수열이라고 불리는 유한 수열과 이중 무한 수열을 배제한다는 단점이 있습니다.또 다른 단점은 수열의 첫 번째 항을 제거할 경우 이 정의에 맞는 나머지 항을 재인덱스해야 한다는 것입니다.어떤 맥락에서는, 노출을 단축하기 위해, ^[5]수열의 코드 도메인은 예를 들어 실수의 집합 R, 복소수의 ^[6]집합 C 또는 위상 ^[7]공간이 되도록 요구함으로써 맥락에 의해 고정됩니다.

수열은 함수의 한 종류이지만, 입력이 괄호가 아닌 첨자로 쓰인다는 점, 즉 $a n$ $(n)$ 가 아닌 a라는 점에서 보통 함수와 공칭적으로 구별됩니다.가장 낮은 입력(종종 1)에 있는 시퀀스의 값을 시퀀스의 "첫 번째 요소"라고 하고, 두 번째로 작은 입력(종종 2)에 있는 값을 "두 번째 요소"라고 합니다.또한, 입력에서 추상화된 함수는 일반적으로 한 글자로 표시되지만, 입력에서 추상화된 수열은 $(a_{n})_{n\in A}$ 으로 ( $(a_{n})_{n\in A}$ $(a_{n})_{n\in A}$ ∈ A ${\displaystyle (a_{n})_{$ n $(a_{n})_{n\in A}$ in A}}와 같은 표기법으로 쓰이거나 ( $(a_{n}).$ ${\displaystyle (a_{n}).$ $}$ $여기$ 서 $(a_{n}).$ A는 시퀀스의 도메인 또는 인덱스 집합입니다.

서열과 그 한계(아래 참조)는 위상 공간을 연구하는 데 중요한 개념입니다.수열의 중요한 일반화는 그물의 개념입니다.그물은 (세어지지 않을 수도 있는) 방향 집합에서 위상 공간으로의 함수입니다.시퀀스에 대한 표기 규칙은 일반적으로 그물에도 적용됩니다.

유한과 무한

시퀀스의 길이는 시퀀스에 포함된 항의 개수로 정의됩니다.

유한한 길이 n의 수열을 n-튜플이라고도 합니다.유한 수열에는 원소가 없는 빈 수열( )이 포함됩니다.

일반적으로 무한 수열이라는 용어는 한 방향으로는 무한하고 다른 방향으로는 유한한 수열을 말합니다. 즉, 수열은 첫 번째 원소를 가지지만 마지막 원소는 없습니다.이러한 수열을 단독 무한 수열 또는 애매모호화가 필요할 때 편면 무한 수열이라고 합니다.이와는 대조적으로, 양방향으로 무한한 수열, 즉, 첫 번째 원소나 마지막 원소가 없는 수열을 쌍무한 수열, 쌍방향 무한 수열, 또는 이중 무한 수열이라고 합니다.예를 들어 모든 짝수 정수(..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...)의 집합 Z에서 집합으로의 함수는 쌍무한입니다.이 시퀀스는 ( $(2n)_{n=-\infty }^{\infty }$ ) $(2n)_{n=-\infty }^{\infty }$ = - ∞ ${\displaystyle(2n)_{n$ =-\ $infty}^{\infty$ 으로 $(2n)_{n=-\infty }^{\infty }$ 나타낼 수 있습니다.

증가와 감소

각 항이 앞의 항보다 크거나 같으면 수열은 단조롭게 증가한다고 합니다.예를 들어 $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ 수열 ( $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ n = $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ ∞ {\ $displaystyle (a_{n})_{n$ = $1}^{\infty$ }}는 모든 n ∈ N에 대하여 ≥ {\ $displaystyle \geq }$ $\geq$ 인 경우에만 단조적으로 증가합니다. 각 연속 항이 이전 항 (>)보다 엄격하게 크면 수열은 엄격하게 단조적으로 증가한다고 불립니다.연속되는 각 항이 이전 항보다 작거나 같으면 수열이 단조롭게 감소하고, 각각이 이전 항보다 엄격하게 작으면 엄격하게 단조롭게 감소합니다.시퀀스가 증가하거나 감소하는 경우 모노톤 시퀀스라고 합니다.이것은 단조 함수라는 더 일반적인 개념의 특별한 경우입니다.

non-discreed 및 non-discreed라는 용어는 각각 엄격하게 증가 및 엄격하게 감소하는 혼란을 방지하기 위해 증가 및 감소를 대신하여 종종 사용됩니다.

유계

실수 (a_n)의 수열이 모든 항이 어떤 실수 M보다 작다면, 그 수열은 위에서 경계지어졌다고 합니다.즉, 이것은 모든 n에_n 대하여 ≤ M인 M이 존재한다는 것을 의미합니다.이러한 M을 상한이라고 합니다.마찬가지로, 만약 어떤 실수 m에 대하여_n, 어떤 N보다 큰 모든 n에 대한 π m이 있다면, 그 수열은 아래로부터 경계지어지고 그러한 m은 하한이라고 불립니다.만약 어떤 수열이 위에서 경계지어지고 아래에서 경계지어진다면, 그 수열은 경계지어진 것이라고 합니다.

서브시퀀스

주어진 시퀀스의 연속은 나머지 요소들의 상대적인 위치를 방해하지 않고 일부 요소들을 삭제함으로써 주어진 시퀀스로부터 형성되는 시퀀스입니다.예를 들어, 양의 짝수 정수(2, 4, 6, ...)의 수열은 양의 정수(1, 2, 3, ...)의 수열입니다.다른 요소를 삭제하면 일부 요소의 위치가 바뀝니다.그러나 상대적 위치는 그대로 유지됩니다.

형식적으로, 수열 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ) $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ∈ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $(a_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$ 의 연속은 형식 $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ k $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ ∈ $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ {\ $displaystyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N$ 의 임의의 수열이며 $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 여기서 ( $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ k $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ ∈ $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ $(n_{k})_{k\in \mathbb {N}}$ 는 양의 정수로 이루어진 수열입니다.

기타 유형의 수열

정의하기 쉬운 다른 유형의 시퀀스는 다음과 같습니다.

정수 수열은 항이 정수인 수열입니다.
다항식 수열은 항이 다항식인 수열입니다.
양의 정수 수열은 때때로 모든 쌍 n에 대해 a = a이면 n과 m이 공분점이 되도록 곱셈이라고 합니다.다른 경우에는 모든 n에 대해 a = na인 경우 수열을 곱셈이라고 합니다.또한, 곱셈 피보나치 수열은 재귀 관계 a = a를 만족시킵니다.
이진 수열은 두 개의 이산 값(예: 기본 2 값(0,1,1,0,...), 일련의 동전 던지기(H,T,H,H,T,...), 참 또는 거짓 질문에 대한 답(T,F,T,T,T,...) 중 하나를 갖는 수열입니다.

한계 및 수렴

수열의 중요한 성질은 수렴입니다.시퀀스가 수렴하면 한계값으로 알려진 특정 값으로 수렴합니다.시퀀스가 어떤 한계로 수렴되면 수렴합니다.수렴하지 않는 수열은 발산적입니다.

비공식적으로, 수열의 요소가 L {\ $displaystyle L}($ 수열의 한계라고 함) $L$ 에 점점 더 가까워지고L {\ $displaystyle$ L $L$ 에 임의로 가까워지고 유지된다면 수열은 제한을 갖는데, 이는 0보다 큰 $실수$ {\ $displaystyle$ d $}$ 이 주어졌을 때 유한한 수의 요소를 제외한 모든 것을 의미합니다.시퀀스의 거리가 L ${\displaystyle$ L $}$ 에서 $L$ d{\ $displaystyle$ d $d$ 보다 작습니다.

예를 들어 오른쪽에 표시된 n = ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ + ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ {\ $textstyle a_{n$ }={\ $frac {n+1}{2n^{2}}}}$ 의 ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ 가 0 값으로 수렴됩니다.반면, ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ b ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ = ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ 3 ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ {\ $textstyle b_{n$ }= $n^{3}($ 1, 8, 27, …로 시작) $c_{n}=(-1)^{n}$ $c_{n}=(-1)^{n}$ = $c_{n}=(-1)^{n}$ ( $c_{n}=(-1)^{n}$ $c_{n}=(-1)^{n}$ ${\displaystyle c_{n$ }=(- $1)^{n}(-$ 1, 1, -1, 1, 1, …로 시작)은 모두 발산합니다.

시퀀스가 수렴되면 해당 시퀀스가 수렴하는 값이 고유합니다.이 값을 시퀀스의 한계라고 합니다.수렴 수열 $(a_{n})$ ${\displaystyle (a_{$ n}}}의 한계는 일반적으로 ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ → ${\textstyle$ \ $lim _{n\to$ \infty $}a_{$ n ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ 로 표시됩니다 $(a_{n})$ $(a_{n})$ ( $)$ ${\displaystyle$ ( $a_{$ n})}가 발산 수열이라면, ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ → ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim$ _ ${n\to \infty}a_{n}$ 은 의미가 없습니다.

수렴의 공식적인 정의

$\varepsilon >0$ ε > $\varepsilon >0$ ${\$ $displaystyle \varepsilon >0$ 에 대해 n ≥ ${\displaystyle$ n $\geq$ N}이(가) 존재하는 $N$ $L$ {\ $displaystyle$ N $}$ 이(가 $)$ 존재하면 실수 ${\$ $displaystyle$ L $}$ 로 수렴합니다.

a_{n}-L <\varepsilon .

만약 $(a_{n})$ ( $(a_{n})$ $(a_{n}}$ 가 실수의 수열이 아닌 복소수의 수열이라면, 이 마지막 공식은 여전히 수렴을 정의하는 데 사용될 수 있으며, ⋅ {\ $displaystyle \cdot}$ 은 복소수 계수, 즉 $|z|={\sqrt {z^{*}z}}$ = $|z|={\sqrt {z^{*}z}}$ ∗ $|z|={\sqrt {z^{*}z}}$ {\ $displaystyle$ z = {\ $sqrt {z^{*}$ z $|z|={\sqrt {z^{*}z}}$ 를 의미합니다. $(a_{n})$ ( $(a_{n})$ $(a_{n}}$ 이(가) 실수의 수열이라면메트릭 공간의 점입니다. $|a_{n}-L|$ 식 $|a_{n}-L|$ - $|a_{n}-L|$ L {\ $displaystyle a_{$ n}- $L}$ 이(가 $)$ $\operatorname {dist} (a_{n},L)$ dist $\operatorname {dist} (a_{n},L)$ ⁡ ( $\operatorname {dist} (a_{n},L)$ ) $\operatorname {dist} (a_{n},L)$ {\ $displaystyle \operatorname {dist}$ ( $a_{n},L$ $displaystyle a_{n}}$ 와 L ${\displaystyle$ L $L$ $a_{n}$ 의 거리를 나타내는 식으로 대체되면 공식을 사용하여 수렴을 정의할 수 있습니다.

응용프로그램 및 중요한 결과

( $(a_{n})$ {\ $displaystyle (a_{n})}$ 과 $(a_{n})$ $(b_{n})$ ( $(b_{n})$ $(b_{n})$ 이 $(b_{n})$ $(a_{n})$ 가) 수렴 시퀀스라면 다음과 같은 한계가 존재하며 다음과 ^[5]^[10]같이 계산할 수 있습니다.

$\lim _{n\to \infty}(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty}a_{n}\pm \lim _{n\to \infty}b_{n}$
$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$ $c$ c {\ $displaystyle$ c $}$ 에 $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$ $∞$ $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$ can $=$ $l$ → $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$ \ $n\to$ \ $infty }c$ _ ${n\to \infty }a_{n}$
$\lim _{n\to \infty}(a_{n}b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty}a_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty}b_{n}\right)$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ n $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ n $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ a $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ n → ∞ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ {\ $displaystyle$ \ $lim _{n\to$ \infty $}{\frac$ { $a_{n}}{\frac {\$ lim \lim \ $lim _{n\to$ \infty $}a_{n}}{\$ $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ \ $lim _{n$ \to \infty $}$ $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ }}}}: $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ $imits$ b n $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ ≠ 0 ${\$ displaystyle \ $lim$ _ ${n\to \infty}b_{$ n}\ $neq 0}:$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}$ n $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}$ p $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}$ ( $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}$ n → ∞ $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}$ ) p $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${n\to \infty}a_{n$ _ ${n\to \infty}a_{n}\right)^{p},$ $a_{n}>0$ $p>0$ > $a_{n}>0$ $p>0$ $a_{n}>0$

또한:

모든 $n개$ 의 {\ $displaystyle$ n $}$ 에 대해 $N$ $a_{n}\leq b_{n}$ 의 ${\displaystyle$ N $N$ 보다 큰 $a_{n}\leq b_{n}$ b ${\displaystyle a_{n}\leq b_$ {n $}$ 인 $a_{n}\leq b_{n}$ , $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ n $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ → $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ → $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ ≤ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ ${\displaystyle \lim$ _ ${n\to \infty}a_{n}\leq \lim$ _ ${n\to \infty}b_{n$ 입니다.
(스퀴즈 정리)
만약 $(c_{n})$ ( $(c_{n})$ n $)$ ${\displaystyle (c_{$ n})}가 $n>N$ n에 $n>N$ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ ${\$ $displaystyle$ $a_{n}\leq c_{n$ $}\$ $leq$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ ${n}$ 인 경우, lim $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ → ∞ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ = $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ n $n>N$ → $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ n = $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${n\to$ \ $infty }a_{n$ }=\ $lim$ _{ $n\to$ \ $infty }b_{n$ }= $L$
$(c_{n})$ {\ $displaystyle (c_{n})}$ 이(가) $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ 되고, $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ → ∞ $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ = $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ {\ $displaystyle \lim$ _ ${n\to \infty}c_{n$ }= $L$
수열이 유계이고 단조로운 경우 수렴합니다.
수열은 모든 수열이 수렴하는 경우에만 수렴합니다.

코시 수열

코시 수열은 n이 매우 커짐에 따라 항들이 임의로 서로 가까워지는 수열입니다.코시 수열의 개념은 미터법 공간에서의 수열 연구, 특히 실제 분석에서 중요합니다.실제 분석에서 특히 중요한 결과는 시퀀스에 대한 수렴의 코시 특성화입니다.

실수의 수열은 코시인 경우에만 수렴합니다.

반대로, 유리수에는 수렴하지 않는 유리수의 코시 수열이 있습니다. 예를 들어 x = 1과 x =에 의해 정의된 수열이 있습니다.x_n + 2/x_n/2는 코시이지만, 합리적인 한계가 없습니다.여기서. 더 일반적으로, 무리수로 수렴하는 유리수의 모든 수열은 코시이지만 유리수의 집합에서 수열로 해석될 때 수렴하지 않습니다.

수열에 대한 수렴의 코시 특성을 만족하는 메트릭 공간을 완전 메트릭 공간이라고 하며 특히 분석하기 좋습니다.

무한한계

미적분학에서는 위에서 논의한 의미로 수렴하지 않고 임의로 커져서 유지되거나 임의로 음수가 되어 유지되는 수열에 대한 표기법을 정의하는 것이 일반적입니다. $a_{n}$ 가 $n\to \infty$ 로 n → ∞ {\ $displaystyle$ n $\to \infty$ 만큼 커지면 다음과 같이 적습니다.

\lim _{n\to \infty}a_{n}=\infty.

이 경우 우리는 수열이 발산하거나 무한대로 수렴한다고 말합니다.그러한 수열의 예로는 = n이 있습니다.

$a_{n}$ 가 n → ${\displaystyle$ n $\to \infty$ 와 같이 임의로 음수(즉, 음수이고 크기가 큼)가 되면 다음과 같이 적습니다.

\lim _{n\to \infty}a_{n}=-\infty

그리고 순서가 음의 무한대로 갈라지거나 수렴한다고 말합니다.

시리즈

급수는 비공식적으로 말하면 수열의 항들의 합입니다.즉, ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ∑ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ∞ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ {\ $textstyle \sum$ _ ${n$ = $1}^{\infty}a_{n}}$ $a_{1}+a_{2}+\cdots$ 1 $a_{1}+a_{2}+\cdots$ + $a_{1}+a_{2}+\cdots$ $a_{1}+a_{2}+\cdots$ + ⋯ {\ $displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots$ 의 표현이며 $(a_{n})$ 여기서 ( $(a_{n})$ {\ $displaystyle (a_{n})}$ 은 실수 또는 복소수의 수열입니다.급수의 부분합은 무한 기호를 유한한 숫자로 바꾼 결과의 표현, 즉 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 의 N번째 부분합 ∑ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ∞ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ {\ $textstyle \sum$ _ ${n$ = $1}^{\infty }a_{n}}$ 는 숫자입니다.

S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}

부분합들 자체가 $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ ( $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ ) $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ ∈ N {\ $displaystyle$ ( $S_{N})_{N\in \mathbb$ {N $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ 를 이루며, 이를 급수 ∑ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ∞ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ {\ $textstyle \sum$ _ ${n$ = $1}^{\infty }a_{n$ 라고 합니다. 만약 부분합들의 수열이 수렴한다면, 급수 ∑ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ∞ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ {\ $textstyle \sum$ _ ${n$ = $1}^{\infty }a_{n}}$ 는 사기입니다.vergent, 그리고 ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ N → ∞ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ {\ $textstyle \lim$ _ ${N\to$ \ $infty }S_{N}$ 를 급수의 값이라고 합니다.동일한 표기법을 사용하여 급수와 그 값을 표기합니다. 즉, ∑ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ∞ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$ N → ∞ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$ N ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$ {\ $textstyle \sum$ _ ${n$ = $1}^{\infty }a_{n$ }=\ $lim$ _ ${N\to$ \ $infty }S_{N$

다른 수학분야에서 사용

위상

시퀀스는 토폴로지, 특히 메트릭 공간 연구에서 중요한 역할을 합니다.예를 들어 다음과 같습니다.

메트릭 공간은 순차적으로 압축될 때 정확히 압축됩니다.
메트릭 공간에서 다른 메트릭 공간으로의 함수는 수렴 시퀀스에서 수렴 시퀀스로 이동할 때 정확히 연속적입니다.
메트릭 공간은 공간이 두 집합으로 분할될 때마다 두 집합 중 하나에 다른 집합의 한 점으로 수렴하는 시퀀스가 포함된 경우에만 연결된 공간입니다.
위상 공간은 점들의 조밀한 배열이 있을 때 정확히 분리할 수 있습니다.

시퀀스는 그물이나 필터로 일반화할 수 있습니다.이러한 일반화를 통해 위의 정리 중 일부를 메트릭이 없는 공간으로 확장할 수 있습니다.

제품위상

일련의 위상 공간들의 위상적 산물은 그 공간들의 데카르트적 산물이며, 제품 위상이라고 불리는 자연적인 위상을 갖추고 있습니다.

좀 더 형식적으로 $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 일련의 공백 ( $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ∈ $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N$ 제품 공간이 주어졌을 때,

X:=\prod _{i\in \mathbb {N}}X_{i}

는 각 i에 $x_{i}$ $x_{i}$ {\ $displaystyle x_{i$ }}가 $X_{i}$ {\ $displaystyle X_{i$ 의 원소가 되도록 모든 $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 수열 ( $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ) $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ∈ $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ {\ $displaystyle$ ( $x_{i})_{i$ $}}$ 의 집합으로 정의됩니다.표준 투영은 방정식 $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$ ( ( $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$ j $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$ ) $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$ ∈ $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$ ) = $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$ i $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$ {\ $displaystyle p_{i}$ (( $x_{j})$ 로 정의된 맵 p : X → X $_{j\in \mathbb {N}})=x_{i$ 그러면 X의 곱 토폴로지는 모든 투영_i p가 연속적인 가장 거친 토폴로지(즉, 열린 집합이 가장 적은 토폴로지)로 정의됩니다.제품 토폴로지를 Tychonoff 토폴로지라고 부르기도 합니다.

분석.

분석에서, 시퀀스에 대해 이야기할 때, 일반적으로 형태의 시퀀스를 고려할 것입니다.

{\displaystyle(x_{1},x_{2},x_{3},\displaystyle){\text{또는 }}(x_{0},x_{1},x_{2},\displaystyle)}

즉, 자연수에 의해 지수화된 원소들의 무한한 수열.

시퀀스는 1 또는 0과 다른 인덱스로 시작할 수 있습니다.예를 들어, x = 1/log(n)로 정의된 시퀀스는 n ≥ 2에 대해서만 정의됩니다.그러한 무한 시퀀스에 대해 이야기할 때, 시퀀스의 구성원이 적어도 충분히 큰 모든 지수에 대해 정의된다고 가정하는 것이 보통 충분합니다(그리고 대부분의 고려 사항에서 크게 변하지 않습니다). 즉, 주어진 일부 N보다 더 큽니다.

가장 기본적인 유형의 수열은 숫자 수열, 즉 실수 또는 복소수 수열입니다.이 유형은 일부 벡터 공간의 요소 시퀀스로 일반화될 수 있습니다.분석에서 고려되는 벡터 공간은 종종 함수 공간입니다.더 일반적으로, 어떤 위상 공간에 있는 요소들로 시퀀스를 연구할 수 있습니다.

순서공백

수열 공간은 실수나 복소수의 무한한 수열을 갖는 벡터 공간입니다.이와 동등하게, 그것은 원소가 자연수에서 K 필드까지의 함수이고, 여기서 K는 실수의 필드 또는 복소수의 필드입니다.이러한 모든 함수의 집합은 K의 원소를 갖는 모든 가능한 무한 시퀀스의 집합과 자연스럽게 동일시되며, 점 단위 함수의 덧셈과 점 단위 스칼라 곱셈의 연산에 따라 벡터 공간으로 변환될 수 있습니다.모든 시퀀스 공간은 이 공간의 선형 부분공간입니다.시퀀스 공간은 일반적으로 노름 또는 적어도 위상 벡터 공간의 구조를 갖추고 있습니다.

분석에서 가장 중요한 시퀀스 공간은 p-검정력 합산 가능 시퀀스로 구성된 ℓ 공간으로 p-norm이 있습니다.이것들은 자연수 집합에 대한 계수 측정을 위한 L개의 공간의^p 특수한 경우입니다.수렴 시퀀스 또는 널 시퀀스와 같은 다른 중요한 시퀀스 클래스는 각각 c와 c로₀ 표시되는 시퀀스 공간을 형성합니다.모든 시퀀스 공간에는 점별 수렴의 토폴로지도 장착될 수 있으며, 이 토폴로지 아래에서 FK-공간이라고 불리는 특별한 종류의 프레셰 공간이 됩니다.

선형대수

필드 위의 시퀀스는 벡터 공간의 벡터로 볼 수도 있습니다.구체적으로, F-값 시퀀스의 집합(여기서 F는 필드)은 자연수 집합에 대한 F-값 함수의 함수 공간(실제로는 곱 공간)입니다.

추상대수

추상대수학은 군이나 고리와 같은 수학적 대상의 수열을 포함한 여러 종류의 수열을 사용합니다.

자유 모노이드

A가 집합일 경우, A 위의 자유 모노이드(A로 표시됨^*, A의 클린 스타라고도 함)는 연결의 이진 연산과 함께 A의 0 이상 원소의 모든 유한 수열(또는 문자열)을 포함하는 모노이드입니다.자유 반군⁺ A는 빈 수열을 제외한 모든 원소를 포함하는 A의^* 부분군입니다.

정확한 순서

군론의 맥락에서, 수열은

G_{0}\;{\x직렬 {f_{1}}\;G_{1}\;{\x직행 {f_{2}}\;G_{2}\;{\x직렬 {f_{3}}\;\cdots \;{\x직렬 {f_{n}}\;G_{n}

각 동형의 이미지(또는 범위)가 다음의 커널과 동일할 경우, 그룹 및 그룹 동형을 정확하다고 합니다.

\mathrm {im}(f_{k})=\mathrm {ker}(f_{k+1})

군과 동형 사상의 순서는 유한하거나 무한할 수 있습니다.

특정한 다른 대수적 구조에 대해서도 비슷한 정의를 내릴 수 있습니다.예를 들어, 벡터 공간과 선형 맵 또는 모듈과 모듈 동형화의 정확한 시퀀스를 가질 수 있습니다.

스펙트럼 시퀀스

호몰로지 대수학 및 대수적 위상수학에서 스펙트럼 수열은 연속 근사를 취함으로써 호몰로지 그룹을 계산하는 수단입니다.스펙트럼 서열은 정확한 서열을 일반화하는 것이며, Jean Leray(1946)에 의해 도입된 이후, 그것들은 특히 호모토피 이론에서 중요한 연구 도구가 되었습니다.

집합론

순서형 색인 수열은 수열을 일반화하는 것입니다.만약 α가 극한 순서이고 X가 집합이면, X의 원소들의 α 지수화된 수열은 α에서 X까지의 함수입니다.이 용어에서 π-indexed sequence는 일반적인 sequence입니다.

컴퓨팅

컴퓨터 과학에서는 유한한 수열을 리스트라고 부릅니다.잠재적으로 무한한 시퀀스를 스트림이라고 합니다.문자나 숫자의 유한한 시퀀스를 문자열이라고 합니다.

시냇물

유한 알파벳에서 추출된 숫자(또는 문자)의 무한 순서는 이론 컴퓨터 과학에서 특히 흥미로운 것입니다.이들은 종종 유한한 문자열과는 달리 단순히 시퀀스 또는 스트림이라고도 합니다.예를 들어, 무한 이진 시퀀스는 비트(알파벳 {0, 1}에서 추출한 문자)의 무한 시퀀스입니다.모든 무한 이진수열의 집합 C = {0, 1}을 칸토어 공간이라고 부르기도 합니다.

무한 이진 시퀀스는 n번째 문자열이 언어에 있는 경우에만 시퀀스의 n번째 비트를 1로 설정하여 형식 언어(문자열 집합)를 나타낼 수 있습니다.이 표현은 ^[11]증명에 대한 대각화 방법에서 유용합니다.

참고 항목

작전

코시제품

예

종류들

관련개념

메모들

^ 만약 불평등이 엄격한 불평등으로 대체된다면 이는 거짓입니다. $n$ 의 모든 ${\displaystyle$ n $n$ 에 $a_{n}<b_{n}$ 의 $a_{n}<b_{n}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ 의 순서가 있지만 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ → $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ ∞ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ = $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ n → ∞ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ ${\displaystyle \lim$ _ ${n\to$ \ $infty}a_{n}$ = $\lim$ _ ${n\to \infty}b_{n$ 개의 순서가 있습니다.

참고문헌

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외부 링크

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정수열 온라인 백과사전
정수 시퀀스 저널(무료)

[11] 만약 불평등이 엄격한 불평등으로 대체된다면 이는 거짓입니다. $n$ 의 모든 ${\displaystyle$ n $n$ 에 $a_{n}<b_{n}$ 의 $a_{n}<b_{n}$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ 의 순서가 있지만 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ → $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ ∞ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ = $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ n → ∞ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ ${\displaystyle \lim$ _ ${n\to$ \ $infty}a_{n}$ = $\lim$ _ ${n\to \infty}b_{n$ 개의 순서가 있습니다.

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