경사

수학에서 선의 기울기 또는 기울기는 선의 방향과 가파른 정도를 모두 설명하는 숫자입니다.^[1] 기울기는 종종 문자 m으로 표시되며, 왜 문자 m이 기울기에 사용되는지에 대한 명확한 답은 없지만 영어에서 가장 초기의 사용은 직선의 방정식을 "y = mx + b"로 쓴 오브라이언(1844)에서 나타나며, "y = mx + c"로 쓴 토드헌터(1888)에서도 찾아볼 수 있습니다.

기울기는 선 위의 서로 다른 두 점 사이의 "수직 변화"와 "수직 변화"의 비율을 구함으로써 계산됩니다. 비율은 동일한 선에 있는 두 개의 다른 점에 대해 동일한 숫자를 제공하는 몫("상승 오버런")으로 표현되기도 합니다. 감소하는 선은 음의 "상승"을 갖습니다. 이 선은 도로 측량사가 설정하거나 도로 또는 지붕을 설명 또는 계획으로 모델링한 다이어그램에서 실용적일 수 있습니다.

선의 경사도, 경사도 또는 등급은 기울기의 절대값으로 측정됩니다. 절대값이 큰 기울기는 더 가파른 선을 나타냅니다. 선의 방향은 증가, 감소, 수평 또는 수직입니다.

• 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가면 선이 늘어납니다. 기울기는 양수, > 0 ${\displaystyle$ m$>0}$입니다
• 왼쪽에서 오른쪽으로 내려가면 줄이 줄어듭니다. 기울기가 음수, < 0 ${\displaystyle$ m$<0}$입니다
• 선이 수평이면 기울기는 0입니다. 이것은 일정한 함수입니다.
• 선이 수직이면 기울기가 정의되지 않습니다(아래 참조).

두 지점 사이의 도로 상승은 y와 y 두 지점에서 도로의 고도 차이, 즉 (y - y) = δy입니다. 지구의 곡률이 무시될 수 있는 비교적 짧은 거리의 경우, 런은 레벨, 수평선을 따라 측정된 고정된 지점과의 거리 차이 또는 다시 말해 런은 (x - x) = δx입니다. 여기서 두 지점 사이의 도로 경사는 선 위의 임의의 두 지점 사이의 수평 거리에 대한 고도 변화의 비율로 간단히 설명됩니다.

수학 언어에서 선의 기울기 m은

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

기울기의 개념은 지리학 및 토목공학의 등급 또는 기울기에 직접 적용됩니다. 삼각법을 통해 선의 기울기 m은 접선 함수에 의한 θ 경사각과 관련이 있습니다.

${\displaystyle m=\tan(\theta )}$

따라서 45° 상승선의 기울기는 +1이고 45° 하강선의 기울기는 -1입니다.

이 실용적인 설명의 일반화로서 미분학의 수학은 한 점에서 곡선의 기울기를 그 점에서 접선의 기울기로 정의합니다. 곡선이 다이어그램 또는 점 좌표 목록에서 일련의 점에 의해 주어지면 기울기는 한 점이 아니라 주어진 두 점 사이에서 계산될 수 있습니다. 곡선이 연속 함수, 아마도 대수적 표현으로 주어지면 미분적분학은 곡선 중간의 임의의 점에서 곡선의 기울기에 대한 공식을 제공하는 규칙을 제공합니다.

이러한 기울기 개념의 일반화를 통해 수평 또는 수직이지만 시간의 변화, 곡선의 이동 및 다른 요인의 변화율에 따라 변화할 수 있는 정적 구조를 훨씬 뛰어넘는 매우 복잡한 구조를 계획하고 구축할 수 있습니다. 따라서 경사에 대한 단순한 아이디어는 기술과 건설된 환경 측면에서 현대 세계의 주요 기반 중 하나가 됩니다.

정의.

x 축과 y 축을 포함하는 평면에서 선의 기울기는 일반적으로 문자 m으로 표시되며,^[5] 선 위의 두 개의 다른 점 사이에서 y 좌표의 변화를 x 좌표의 해당 변화로 나눈 값으로 정의됩니다. 이는 다음 방정식으로 설명됩니다.

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\text{vertical}}\,{\text{change}}}{\text{horizontal}\,{\text{change}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}}$

(그리스 문자 델타, δ는 수학에서 "차이" 또는 "변화"를 의미하는 데 일반적으로 사용됩니다.)

Given two points ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ and ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, the change in ${\displaystyle x}$ from one to the other is ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$ (run), $반면{\displaystyle }$, y ${\displaystyle y}$의 변경 사항은 ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$상승)입니다$$. 위의 식에 양을 대입하면 다음과 같은 공식이 생성됩니다.

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$ 축(0으로 나누기 참조)과$$ 평행한 수직선의 경우 공식이 실패하므로 수직선의 기울기는 정의되지 않은 것으로 간주됩니다.

예

선이 두 점, 즉 P = (1, 2) 및 Q = (13, 8)을 통과한다고 가정합니다. $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $y$$}$ 좌표의$$ $차이$를 x ${\displaystyle$ x$}$ 좌표의$$ 차이로 나누면 선의 기울기를 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.}$

기울기가 양이기 때문에 선의 방향이 점점 증가하고 있습니다. m < 1이기 때문에 경사가 그리 가파르지 않습니다(경사 < 45°).

또 다른 예로 점 (4, 15) 및 (3, 21)을 지나는 선을 생각해 보십시오. 그러면 라인의 기울기는

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

기울기가 음수이기 때문에 선의 방향이 감소하고 있습니다. m > 1이기 때문에 이 감소는 상당히 가파릅니다(감소 > 45°).

대수학과 기하학

예

예를 들어 점 (2,8) 및 (3,20)을 통과하는 선을 고려해 보겠습니다. 이 선은 기울기가 m입니다.

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}=12.}$

그러면 선의 방정식을 점-경사 형태로 작성할 수 있습니다.

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24.}$

또는:

${\displaystyle y=12x-16.}$

이 선이 x축과 이루는 -90°와 90° 사이의 각도 θ는

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.$

y = -3x + 1과 y = -3x - 2의 두 선을 생각해 보십시오. 두 선 모두 기울기 m = -3입니다. 그들은 같은 라인이 아닙니다. 그래서 그것들은 평행선입니다.

두 개의 선 y = -3x + 1 및 y = x/3 - 2를 고려합니다. 첫 번째 선의 기울기는 m = -3입니다. 두 번째 선의 기울기는 m = 1/3입니다. 이 두 기울기의 곱은 -1입니다. 그래서 이 두 선은 서로 수직입니다.

통계

통계에서는 주어진 데이터 샘플에 대한 최소 제곱 회귀 최적선의 기울기를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle m}$ $=$ ${\displaystyle \frac{{rsys}_{}}{}}$ x ${\displaysty$ m={\$frac {rs_{y}}{s_{x$

이 수량 m은 선 $y$ = ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$+ c ${\displaystyle$y =$$mx + c}에 대한 회귀 기울기라고 합니다. 수량 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$}$은 Pearson의 상관 계수이고, ${\displaystyle {sy}_{}}$ ${\$는 y 값의 표준 편차이며, ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 x 값의 표준 편차입니다. 이는 공분산의 비율로 작성될 수도 있습니다.^[6]

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov}(Y,X)}{\operatorname {cov}(X,X)}}$

도로 또는 철도의 경사

도로나 철도의 가파른 정도를 설명하는 두 가지 일반적인 방법이 있습니다. 하나는 0°~90°(도) 사이의 각도이고, 다른 하나는 백분율의 기울기입니다. 가파른 등급의 철도 및 랙 철도도 참조하십시오.

백분율로 주어진 기울기를 각도로 변환하는 공식과 그 반대의 공식은 다음과 같습니다.

$a$$}\right$)}$$($$이는 접선의 역함수입니다; 삼각법 참조)

그리고.

${\displaystyle {\mbox{slope}=100\%\times \tan ({\mbox{angle}},}$

여기서 각도는 도(degree)이고 삼각 함수는 도(degree)로 작동합니다. 예를 들어, 100% 또는 1000 ‰의 기울기는 45°의 각도입니다.

세 번째 방법은 1:10, 예를 들어 1:10, 1:20, 1:50 또는 1:100(또는 "10 중 1", "20 중 1" 등)에서 1:10이 1:20보다 더 가파르다는 것입니다. 예를 들어, 20%의 경사는 1:5 또는 각도 11.3°의 경사를 의미합니다.

도로와 철도에는 종방향 경사와 교차 경사가 있습니다.

• 
  네덜란드의 경사 경고 표지판
• 
  폴란드의 경사 경고 표지판
• 
  ‰ 경사면이 20개인 철도의 1371m 거리. 체코
• 
  영국 멀스(Meols) 철도역의 양쪽 방향의 경사를 나타내는 증기 시대 철도 구배 게시물

미적분학.

기울기의 개념은 미분적분학의 중심입니다. 비선형 함수의 경우 변화율이 곡선을 따라 달라집니다. 한 점에서 함수의 도함수는 그 점에서 곡선에 접하는 선의 기울기이므로 그 점에서 함수의 변화율과 같습니다.

δx와 δy를 곡선 위의 두 점 사이의 거리(각각 x축과 y축을 따라)라고 하면, 위의 정의에 의해 주어진 기울기,

${\displaystyle m}$ $δ$ δ x {\$displaysty$Deltax}},

곡선에 대한 할선의 기울기입니다. 선의 경우, 임의의 두 점 사이의 할선은 선 자체이지만, 다른 유형의 곡선의 경우에는 그렇지 않습니다.

예를 들어, (0,0)과 (3,9)에서 y = x와 교차하는 할배의 기울기는 3입니다. (x = 3 ⁄2에서 접선의 기울기도 3 - 평균값 정리의 결과입니다.)

δy와 δx가 감소하도록 두 점을 더 가깝게 이동하면 할선은 곡선의 접선에 더 가깝게 접근하고 할선의 기울기는 접선의 기울기에 가까워집니다. 미분적분학을 사용하여 δ와 δx가 0에 가까워짐에 따라 δ/δx가 접근하는 값 또는 극한을 결정할 수 있습니다. 따라서 이 극한은 접선의 정확한 기울기입니다. y가 x에 종속적이면 δ x만 0에 가까워지는 극한값을 취하는 것으로 충분합니다. 따라서 접선의 기울기는 δx가 0 또는 dy/dx에 가까워짐에 따라 δy/δx의 한계입니다. 우리는 이 한계를 도함수라고 부릅니다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

함수의 특정 지점에서의 도함수의 값은 우리에게 그 정확한 위치에서의 접선의 기울기를 제공합니다. 예를 들어, y = x라고 하자. 이 함수에서 점은 (-2,4)입니다. 이 함수의 도함수는 dy ⁄dx = 2x입니다. 따라서 (-2,4)에서 y에 접하는 선의 기울기는 2 ⋅(-2) = -4입니다. 이 접선의 방정식은 y - 4 = (-4) (x - (-2)) 또는 y = -4x - 4 입니다.

경사의 차이

기울기의 차이로부터 각도의 개념을 확장하면 다음과 같습니다. 전단 매핑을 고려합니다.

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Then ${\displaystyle (1,0)}$ is mapped to ${\displaystyle (1,v)}$. The slope of ${\displaystyle (1,0)}$ is zero and the slope of ${\displaystyle (1,v)}$ is ${\displaystyle v}$. $전단$ 매핑에서 v ${\displaystyle$ v$}$의 기울기가 추가되었습니다$.$$$${\displaystyle \{(1,}$ y${\displaystyle ):}$ ${\displaystyle y}$ ∈ R} {\$displaystyle \{(1,$ y):y\in$\mathbb {$R} \}의 기울기가 m${\displaystyle$ $}$이고 n ${\displaystyle$n}인 두 점에 대해 이미지

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

는 $기울기$가 v ${\displaystyle v}$만큼 증가했지만$,$ 기울기의$$ 차이 ${\displaystyle n}$- m ${\displaystyle n-m}$은 전단 전후에 동일합니다. 기울기 차이의 이러한 불변성은 스퀴즈 매핑의 불변성 그룹과 함께 원형 각도(회전 시 불변) 및 쌍곡 각도와 동등한 각도 불변 척도가 됩니다.^[7][8]

기타용도

기울기 또는 기울기의 개념은 수학에서 다른 응용 프로그램을 개발하기 위한 기초로도 사용됩니다.

• 함수의 최솟값을 구하는 1차 반복 최적화 알고리즘인 경사 하강법
• 그래디언트 정리, 그래디언트 필드를 통한 선적분이 곡선의 끝점에서 원래의 스칼라 필드를 평가함으로써 평가될 수 있다는 정리
• 현재 지점에서 함수의 기울기로 정의되는 탐색 방향의 문제를 해결하기 위한 알고리즘인 그래디언트 방법
• 공액 그래디언트 방법, 특정 선형 방정식 시스템의 수치 해를 위한 알고리즘
• 비선형 공액 구배법, 공액 구배법을 비선형 최적화로 일반화
• 확률적 경사 하강법, 미분 가능한 목적 함수를 최적화하기 위한 반복적 방법

참고 항목

참고문헌

외부 링크

• "Slope of a Line (Coordinate Geometry)". Math Open Reference. 2009. Retrieved 30 October 2016. 쌍방향의