프룰라니 적분

수학에서 프룰라니 통합은 이탈리아의 수학자 줄리아노 프룰라니(Giuliano Fullani)의 이름을 딴 부적절한 적분의 특정한 유형이다. 통합은 형식이다.

\int_{0}^{\inflt }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\,{\rm {d}x}

여기서 $f$ $f$ 은(는) $\infty$ $\inflt$ 에 제한이 있는 모든 음수가 아닌 실제 숫자에 대해 정의된 함수인데 $f$ , 이 함수는 $f(\infty )$ ( $f(\infty )$ ) ${\displaystystyle f(\inflty )}$ 로 나타낸다 $f(\infty )$

그들의 일반적인 해결책에 대한 다음의 공식은 특정한 조건하에서 유지된다.^{[clarification needed]}

\int_{0}^{\inflt}{{0}^{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\,{\rm {d}x={\big (}f(\infty)-f({b)}).

증명

통합과 통합으로 확장한 다음 푸비니의 정리를 사용하여 두 통합의 상호 교환을 통해 공식에 대한 간단한 증거를 얻을 수 있다.

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {f(xt)}{x}}\right]_{t=b}^{t=a}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\,dx\\&=\int _{b}^{a}\int _{0}^{\infty }f'(xt)\,dx\,dt\\&=\int _{b}^{a}\left[{\frac {f(xt)}{t}}\right]_{x=0}^{x\to \infty }\,dt\\&=\int _{b}^{a}{\frac {f(\infty )-f(0)}{t}}\,dt\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}{\Big (}\ln(a)-\ln(b){\Big )}\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}\\\end{aligned}}

위의 두 번째 줄에 있는 $[a,b]$ 은 $[a,b]$ [ a $[a,b]$ , $[b,a]$ $[a,b]$ $[b,a]$ ${\$ $displaystyle$ [b,a]} 간격이 아니라 $[b,a]$ , ] {\ $displaystyle [b,a]}$ 간격이 되었다 $[a,b]$

적용들

이 $f(x)=e^{-x}$ 은 f $f(x)=e^{-x}$ ( $f(x)=e^{-x}$ ) = $f(x)=e^{-x}$ - $f(x)=e^{-x}$ (x) = ${\$ $\ln(x)},$ a = 1 {\ $a=1$ $f(x)=e^{-x}$ 및 a $a=1$ = 1 ${\displaystystyle$ a $=1}$ 을(으 $\ln(x)$ )로 하여 자연 로그 logarithm $($ 에 대한 적분석을 도출하는 데 사용할 수 있다 $a=1$