상수 pi와 관련된 수학적 증명
이것은 완벽한 22/7 원이 아닙니다. 왜냐하면 22/7은 파이의 완벽한 표현이 아니기 때문입니다. 유리수 라는 수학적 결과의 증명 22 / 7 π 최근에 개발되었지만 미적분학에서 기초적인 기술만을 필요로 하는 이러한 증명 중 하나는 수학적 우아함과 디오판토스 근사 이론과의 연관성 때문에 현대 수학에서 주목을 받았습니다. 스티븐 루카스(Stephen Lucas)는 이 증명을 "근사 π과 관련된 더 아름다운 결과 중 하나"라고 부릅니다. Julian Havil은 π의 지속적인 분수 근사치에 대한 논의를 그 결과로 마무리하고, 그 맥락에서 그것을 " 언급하는 것을 거부하는 것은 불가능하다"고 설명합니다.
증명의 목적은 주로 22 / 7 또는 + 1 / 7 가치 를 계산하는 체계적인 방법이 존재합니다. π가 약 3.14159인 것을 알고 있으면 π < 22 약간 따릅니다. 그러나 이 증명에 사용된 방법으로 나타내는 것보다 훨씬 적은 작업이 필요합니다.
배경 22 / 7 디오판토스 그것 은 π의 단순한 지속적 인 분율 확장에서 수렴합니다. 다음 값의 소수 전개 에서 쉽게 알 수 있듯이 π보다 큽니다.
22 7 = 3. 142 857 ¯ , π = 3.141 592 65 … {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3. {\overline {142\,857}},\\pi \,&=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}} 그 근사치는 고대부터 알려져 왔습니다. 아르키메데스 는 기원전 3세기에 22 / 7 그의 증명은 22 / 7 일반 다각형 의 둘레 와 그것이 감싸고 있는 원의 지름의 비율보다 크다는 것을 보여줌으로써 진행됩니다.[note 1]
그 증명. 이 증명은 매우 간단하게 표현할 수 있습니다.
0 < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x = 22 7 − π . {\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2 }}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .} 그래서 22 / 7
이 적분에 대한 평가는 1968년 퍼트넘 대회 에서 첫 번째 문제였습니다.[4] 이것은 대부분의 퍼트넘 대회 문제들보다 쉽지만, 대회는 종종 매우 친숙한 것을 언급하는 것으로 밝혀진 불분명해 보이는 문제들을 특징으로 합니다. 이 적분은 인도 기술 연구소의 입학 시험에도 사용되었습니다.[5]
적분의 평가내용 적분 이 양수라는 것은 적분 이 음수 가 아니라는 사실에서 비롯됩니다. 분모는 양수이고 분자는 음수가 아닌 수의 곱입니다. 또한 범위 적분은 그 지점에서 연속적이고 다른 곳에서는 음수가 아니므로 0부터 1까지의 적분은 엄밀하게 양수여야 합니다.
실제로 적분이 원하는 양으로 평가된다는 것을 보여주어야 합니다.
0 < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x = ∫ 0 1 x 4 − 4 x 5 + 6 x 6 − 4 x 7 + x 8 1 + x 2 d x 분자내의 항들의 확장 = ∫ 0 1 ( x 6 − 4 x 5 + 5 x 4 − 4 x 2 + 4 − 4 1 + x 2 ) d x 다항식 장분법을 사용하여 = ( x 7 7 − 2 x 6 3 + x 5 − 4 x 3 3 + 4 x − 4 아크탄 x ) 0 1 확실한 통합 = 1 7 − 2 3 + 1 − 4 3 + 4 − π 와 함께 아크탄 ( 1 ) = π 4 그리고. 아크탄 ( 0 ) = 0 = 22 7 − π . 추가 {\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int_{0}^{1}{\frac{x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2 }}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2 }}}\,dx&{\text{expansion of terms in the numerator}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2 }}}\right)\, dx&{\text{다항적 긴 나눗셈 사용}&\[8pt]&=\left. \left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right _{0}^{1}&{\text{definite integration}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \quad &{\text{with }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ and }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi . &{\text{addition}}\end{align}}} (다항식 긴 나눗셈 참조)
빠른 상한 및 하한 Dalzell(1944 )에서는 분모에서 1을 x x [6]
1 1260 = ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 d x = 1 630 . {\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2 }}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1}}\,dx={1 \over 630}.} 그래서 우리는
22 7 − 1 630 < π < 22 7 − 1 1260 , {\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}},} 따라서 10진수 확장에서 3.1412 < π < 3.1421. 경계 는 π에서 0.015% 미만으로 벗어납니다. Dalzell (1971) 참조. [7]
355/113 이 exceeds을 초과함을 증명합니다. Lucas(2005 )에서 논의된 바와 같이, 잘 알려진 디오판토스 근사치와 π에 대한 훨씬 더 나은 상위 추정치 355 / 113
0 < ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 ( 25 + 816 x 2 ) 3164 ( 1 + x 2 ) d x = 355 113 − π . {\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2 }\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi .} 355 113 = 3.141 592 92 … , {\displaystyle {\frac {355}{113}}= 3.141\,592\,92\ldots,} 소수점 뒤의 첫 여섯 자리가 π의 자리와 일치하는 경우. 분모에서 x
∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 ( 25 + 816 x 2 ) 6328 d x = 911 5 261 111 856 = 0.000 000 173 … , {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{6328}}\,dx={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}=0.000\,000\,173\ldots ,} 분모에서 x
355 113 − 911 2 630 555 928 < π < 355 113 − 911 5 261 111 856 . {\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}\,.} 십진법 전개에서 이는 141592 57 < . 숫자 입니다.
확장 위 의 아이디어는 π의 더 나은 근사치를 얻기 위해 일반화될 수 있습니다. Backhouse ( 1995)와 Lucas (2005)도 참조하십시오(그러나 두 참조 모두에서 계산은 제공되지 않습니다). 명시적인 계산의 경우, 모든 정수 n ≥ 1에 대하여,
1 2 2 n − 1 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n d x < 1 2 2 n − 2 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n 1 + x 2 d x < 1 2 2 n − 2 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n d x , {\displaystyle {\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2 }}}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx,} 중간 적분이 다음을 평가하는 경우
1 2 2 n − 2 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n 1 + x 2 d x = ∑ j = 0 2 n − 1 ( − 1 ) j 2 2 n − j − 2 ( 8 n − j − 1 ) ( 8 n − j − 2 4 n + j ) + ( − 1 ) n ( π − 4 ∑ j = 0 3 n − 1 ( − 1 ) j 2 j + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-2}}}&\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2 }}}\,dx\\[6pt]={}&\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}(8n-j-1){\binom {8n-j-2}{4n+j}}}}+(-1)^{n}\left(\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2j+1}}\right)\end{aligned}}} π을 수반하여 마지막 합은 라이프니츠의 π 공식 에도 나타납니다. 수정항과 오차 한계 는 다음과 같습니다.
1 2 2 n − 1 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n d x = 1 2 2 n − 1 ( 8 n + 1 ) ( 8 n 4 n ) ∼ π n 2 10 n − 2 ( 8 n + 1 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx&={\frac {1}{2^{2n-1}(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}\\[6pt]&\sim {\frac {\sqrt {\pi n}}{2^{10n-2}(8n+1)}},\end{aligned}}} 여기서 중심 이항 계수 의 근사치(틸드는 양쪽 스털링 공식 을 따르고 적분 에서 π로의 빠른 수렴을 보여줍니다.
다음 적분 계산: 모든 k 0 과 ℓ ≥ 2에 대하여 우리는
x k ( 1 − x ) ℓ = ( 1 − 2 x + x 2 ) x k ( 1 − x ) ℓ − 2 = ( 1 + x 2 ) x k ( 1 − x ) ℓ − 2 − 2 x k + 1 ( 1 − x ) ℓ − 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}(1-x)^{\ell }&=(1-2x+x^{2})x^{k}(1-x)^{\ell -2}\\[6pt]&=(1+x^{2})\,x^{k}(1-x)^{\ell -2}-2x^{k+1}(1-x)^{\ell -2}. \end{align}}} 이 공식을 재귀적으로 적용 하면 2n배의 수율을 얻을 수 있습니다.
x 4 n ( 1 − x ) 4 n = ( 1 + x 2 ) ∑ j = 0 2 n − 1 ( − 2 ) j x 4 n + j ( 1 − x ) 4 n − 2 ( j + 1 ) + ( − 2 ) 2 n x 6 n . {\displaystyle x^{4n}(1-x)^{4n}=\left(1+x^{2 }\right)\sum _{j=0}^{2n-1}(-2)^{j}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}.} 더 나아가,
x 6 n − ( − 1 ) 3 n = ∑ j = 1 3 n ( − 1 ) 3 n − j x 2 j − ∑ j = 0 3 n − 1 ( − 1 ) 3 n − j x 2 j = ∑ j = 0 3 n − 1 ( ( − 1 ) 3 n − ( j + 1 ) x 2 ( j + 1 ) − ( − 1 ) 3 n − j x 2 j ) = − ( 1 + x 2 ) ∑ j = 0 3 n − 1 ( − 1 ) 3 n − j x 2 j , {\displaystyle {\begin{aligned}x^{6n}-(-1)^{3n}&=\sum _{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\[6pt]&=\sum _{j=0}^{3n-1}\left((-1)^{3n-(j+1)}x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}\right)\ \[6pt]&=-(1+x^{2})\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j},\end{aligned}}} 첫 번째 등식 경우, 1 ≤ j ≤ 3n – 1에 대한 항이 취소되고, 두 번째 등식은 첫 번째 합에서 지수 이동 j 1 로부터 발생하기 때문입니다.
이 두 가지 결과를 적용하면 다음과 같습니다.
x 4 n ( 1 − x ) 4 n 2 2 n − 2 ( 1 + x 2 ) = ∑ j = 0 2 n − 1 ( − 1 ) j 2 2 n − j − 2 x 4 n + j ( 1 − x ) 4 n − 2 j − 2 − 4 ∑ j = 0 3 n − 1 ( − 1 ) 3 n − j x 2 j + ( − 1 ) 3 n 4 1 + x 2 . ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^{2})}}=\sum _{j=0}^{2n-1}&{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\[6pt]&{}-4\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}{\frac {4}{1+x^{2}}}. \qquad (1)\end{aligned}} 정수 k , 부품 의한 적분 을 사용하여, 우리는 다음을 얻습니다.
∫ 0 1 x k ( 1 − x ) ℓ d x = ℓ k + 1 ∫ 0 1 x k + 1 ( 1 − x ) ℓ − 1 d x ⋮ = ℓ k + 1 ℓ − 1 k + 2 ⋯ 1 k + ℓ ∫ 0 1 x k + ℓ d x = 1 ( k + ℓ + 1 ) ( k + ℓ k ) . ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{k}(1-x)^{\ell }\,dx&={\frac {\ell }{k+1}}\int _{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{\ell -1}\,dx\\[6pt]&\,\,\,\vdots \\[6pt]&={\frac {\ell }{k+1}}{\frac {\ell -1}{k+2}}\cdots {\frac {1}{k+\ell }}\int _{0}^{1}x^{k+\ell }\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{(k+\ell +1){\binom {k+\ell }{k}}}}. \qquad (2)\end{aligned}}} k
∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n d x = 1 ( 8 n + 1 ) ( 8 n 4 n ) . {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx={\frac {1}{(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}.} 식 (2)와 arctan(1) = 포함 하는 주장된 식을 얻습니다.
n 1 에 대한 결과는 위에 나와 있습니다. n 2 의 경우,
1 4 ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 1 + x 2 d x = π − 47 171 15 015 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}}{1+x^{2 }}}\,dx=\pi -{\frac {47\,171}{15\,015}}} 그리고.
1 8 ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 d x = 1 1 750 320 , {\displaystyle {\frac {1}{8}}\int _{0}^{1}x^{8}(1-x)^{8}\,dx={\frac {1}{1\,750\,320}},} 따라서 3. 141592 31 < 141592 89, 여기서 하한 및 상한의 굵은 숫자는 π의 숫자입니다. n 경우 도 마찬가지입니다.
1 16 ∫ 0 1 x 12 ( 1 − x ) 12 1 + x 2 d x = 431 302 721 137 287 920 − π {\displaystyle {\frac {1}{16}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{12}\left(1-x\right)^{12}}{1+x^{2 }}}\,dx={\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-\pi } 수정항과 오차범위를 포함하여
1 32 ∫ 0 1 x 12 ( 1 − x ) 12 d x = 1 2 163 324 800 , {\displaystyle {\frac {1}{32}}\int _{0}^{1}x^{12}(1-x)^{12}\,dx={\frac {1}{2\,163\,324\,800}},} 따라서 3.141 1592 653 40 < 141 1592 65387. n 4 의 다음 단계는
1 64 ∫ 0 1 x 16 ( 1 − x ) 16 1 + x 2 d x = π − 741 269 838 109 235 953 517 800 {\displaystyle {\frac {1}{64}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^{2 }}}\,dx=\pi -{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}} 와 함께
1 128 ∫ 0 1 x 16 ( 1 − x ) 16 d x = 1 2 538 963 567 360 , {\displaystyle {\frac {1}{128}}\int _{0}^{1}x^{16}(1-x)^{16}\,dx={\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}},} 3.141 1592 653 589 55 < 141 1592 653 589 96을 제공합니다.
참고 항목 메모들 ^ 제안 3: 원둘레와 지름의 비율은 3 + 1 / 7 10 / 71 [3] 인용 ^ Lucas, Stephen (2005), "Integral proofs that 355/113 > π " (PDF) , Australian Mathematical Society Gazette , 32 (4): 263–266, MR 2176249 , Zbl 1181.11077 ^ Havil, Julian (2003), Gamma. Exploring Euler's Constant , Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 96, ISBN 0-691-09983-9 MR 1968276 , Zbl 1023.11001 ^ Archimedes (2002) [1897], "Measurement of a circle", in Heath, T.L. (ed.), The Works of Archimedes ISBN 0-486-42084-1 ^ Alexanderson, Gerald L. ; Klosinski, Leonard F.; Larson, Loren C., eds. (1985), The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984 ISBN 0-88385-463-5 Zbl 0584.00003 ^ 2010년 IIT 합동 입시 , 수학 영역 12페이지 41번 문제^ Dalzell, D. P. (1944), "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society , 19 (75 Part 3): 133–134, doi :10.1112/jlms/19.75_part_3.133 , MR 0013425 , Zbl 0060.15306 ^ Dalzell, D. P. (1971), "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal , 34 : 10–13, ISSN 0071-2248 ^ Backhouse, Nigel (July 1995), "Note 79.36, Pancake functions and approximations to π ", The Mathematical Gazette , 79 (485): 371–374, doi :10.2307/3618318 , JSTOR 3618318 , S2CID 126397479
외부 링크
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx&{\text{expansion of terms in the numerator}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx&{\text{ using polynomial long division}}&\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{definite integration}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \quad &{\text{with }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ and }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi .&{\text{addition}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf81dbfde7aa3847ef1a23af6985e3277a1f143b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-2}}}&\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx\\[6pt]={}&\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}(8n-j-1){\binom {8n-j-2}{4n+j}}}}+(-1)^{n}\left(\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2j+1}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39921ea268376a216c0c0c25a5fd00efa22bc03)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx&={\frac {1}{2^{2n-1}(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}\\[6pt]&\sim {\frac {\sqrt {\pi n}}{2^{10n-2}(8n+1)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2deb99675e4cdfb67e718260d6cc83e1d867769)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}(1-x)^{\ell }&=(1-2x+x^{2})x^{k}(1-x)^{\ell -2}\\[6pt]&=(1+x^{2})\,x^{k}(1-x)^{\ell -2}-2x^{k+1}(1-x)^{\ell -2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e7deb98b94397695a261cf7ab94b81fb3b89a3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{6n}-(-1)^{3n}&=\sum _{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\[6pt]&=\sum _{j=0}^{3n-1}\left((-1)^{3n-(j+1)}x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}\right)\\[6pt]&=-(1+x^{2})\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e993c29a713d80f98a5575a0fc09c90f1bfec8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^{2})}}=\sum _{j=0}^{2n-1}&{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\[6pt]&{}-4\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}{\frac {4}{1+x^{2}}}.\qquad (1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c18b31aacf9457b67c637eee5acb49248c9df5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{k}(1-x)^{\ell }\,dx&={\frac {\ell }{k+1}}\int _{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{\ell -1}\,dx\\[6pt]&\,\,\,\vdots \\[6pt]&={\frac {\ell }{k+1}}{\frac {\ell -1}{k+2}}\cdots {\frac {1}{k+\ell }}\int _{0}^{1}x^{k+\ell }\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{(k+\ell +1){\binom {k+\ell }{k}}}}.\qquad (2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0eb1e1f7f72049a5023f2721b9713112e21ec9e)
