함수비 도함수 공식
미적분학 에서 몫규칙(quotient rule )은 미분 가능한 두 함수의 비율인 함수 의 도함수 를 찾는 방법입니다.[1] [2] [3] f 와 g 가 미분 x ) . {\ displaystyle h(x {\frac {f(x)}{g(x)}} displaystyle x)\ 도함수 가 다음과 같다고 합니다.
h ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 . {\displaystyle h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}} 그것은 다른 파생 규칙을 사용함으로써 여러 가지 면에서 증명할 수 있습니다.
예 예제 1: 기본 예제 주어진 h x x x {\ displaystyle h
d d x ( e x x 2 ) = ( d d x e x ) ( x 2 ) − ( e x ) ( d d x x 2 ) ( x 2 ) 2 = ( e x ) ( x 2 ) − ( e x ) ( 2 x ) x 4 = x 2 e x − 2 x e x x 4 = x e x − 2 e x x 3 = e x ( x − 2 ) x 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left ({\frac {e^{x}}{x^{2}}\right)&={\frac {\left ({\frac {d}{dx}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left dx\frac {d}{({}{x^{2}\right)}{(x^{2}}}\&={\frac {(e^{x})}(x^{2})-(e^{x})(2x){x^{4}}}\&={x^{2}e^{x}}{x^{4}}}\&={\frac {x^{x}-2e^{x}}{x^{3}}\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}. \end{aligned}}
예제 2: 접선함수의 도함수 몫 tan x sin
d d x 태닝한 x = d d x ( 죄악의 x cos x ) = ( d d x 죄악의 x ) ( cos x ) − ( 죄악의 x ) ( d d x cos x ) cos 2 x = ( cos x ) ( cos x ) − ( 죄악의 x ) ( − 죄악의 x ) cos 2 x = cos 2 x + 죄악의 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x = 초 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac{d}{dx}}\tan x&={\frac{d}{dx}}\left ({\frac{\sin x}{\cos x}}\right) \&={\frac {\left ({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left ({\frac {d}{dx}\cos x\right) }{\cos ^{2}x}}\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)}{\cos ^{2}x}}\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x. \end{aligned}}
호혜규칙 역수 규칙은 분자 f x ) 1 {\
h ′ ( x ) = d d x [ 1 g ( x ) ] = 0 ⋅ g ( x ) − 1 ⋅ g ′ ( x ) g ( x ) 2 = − g ′ ( x ) g ( x ) 2 . {\displaystyle h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.
체인 규칙 을 사용하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
프루프 도함수적 정의 및 한계 특성의 증명 h x f x {\ displaystyle
h ′ ( x ) = 절름발이 k → 0 h ( x + k ) − h ( x ) k = 절름발이 k → 0 f ( x + k ) g ( x + k ) − f ( x ) g ( x ) k = 절름발이 k → 0 f ( x + k ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + k ) k ⋅ g ( x ) g ( x + k ) = 절름발이 k → 0 f ( x + k ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + k ) k ⋅ 절름발이 k → 0 1 g ( x ) g ( x + k ) = 절름발이 k → 0 [ f ( x + k ) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ( x + k ) k ] ⋅ 1 g ( x ) 2 = [ 절름발이 k → 0 f ( x + k ) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) k − 절름발이 k → 0 f ( x ) g ( x + k ) − f ( x ) g ( x ) k ] ⋅ 1 g ( x ) 2 = [ 절름발이 k → 0 f ( x + k ) − f ( x ) k ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ 절름발이 k → 0 g ( x + k ) − g ( x ) k ] ⋅ 1 g ( x ) 2 = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)}{g(x)}}{\frac {f(x)}{g(x)}}{k}}\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)}}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x+k)}{{k}}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x)g(x+k)}}\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x(x)x(x)}} +k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)}{k}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _k\to 0}{\frac {g(x)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)}^{2}}\right] }}\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}. \end{aligned}} The limit evaluation lim k → 0 1 g ( x + k ) g ( x ) = 1 g ( x ) 2 {\displaystyle \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{g(x)^{2}}}} g ( x ) {\displaystyle g(x)} lim k → 0 g ( x + k ) = g ( x ) {\displaystyle \lim _{k\to 0}g(x+k)=g(x)}
암시적 미분법을 이용한 증명 f ) x ) displaystyle (x {\
그런 다음 제품 규칙은 f'(x ) g '(x) h(x) g(x) '(x)
hx ) {\displaystyle h'(x)} h ( x ) displaystyle h(x)}
h ′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) h ( x ) g ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) ⋅ f ( x ) g ( x ) g ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&={\frac {f'(x)-g'(x)}{g(x)}\&={\frac {f'(x)-g'(x)}\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}{g(x)}}\&={\frac {f'(x)-f'(x)}{g(x)^{2}}}. \end{aligned}}
상호 규칙 또는 연쇄 규칙을 사용한 증명 h x x g f
그런 다음 제품 규칙은 h ' x f ' x [{\
두 번째 항에서 도함수를 평가하려면 역수 규칙 또는 거듭제곱 규칙 을 체인 규칙 과 함께 적용합니다.
d d x [ 1 g ( x ) ] = − 1 g ( x ) 2 ⋅ g ′ ( x ) = − g ′ ( x ) g ( x ) 2 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x))}\right]=-{\frac {1}{g(x)^{2}}\cdot g'(x)={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}}
식에 결과를 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.
h ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ 1 g ( x ) + f ( x ) ⋅ [ − g ′ ( x ) g ( x ) 2 ] = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 = g ( x ) g ( x ) ⋅ f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}\right]\ \&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)}}\&={\frac {g(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {f'(x)}{g(x)}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}\&={\frac {f'(x)g'(x){g(x)^{2}}}. \end{aligned}}
대수분화에 의한 증명 h x f
ln h ( x ) = ln f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \ln h(x) =\ln \left {\frac {f(x)}{g(x)}}\right }
절대값과 로그의 속성을 적용하면,
ln h ( x ) = ln f ( x ) − ln g ( x ) {\displaystyle \ln h(x) =\ln f(x) -\ln g(x) }
양변의 로그 도함수 를 취하면,
h ′ ( x ) h ( x ) = f ′ ( x ) f ( x ) − g ′ ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}}
hx ) {\displaystyle h'(x)} displaystyle f x ) g( x ) {\ displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}} h(x)
h ′ ( x ) = h ( x ) [ f ′ ( x ) f ( x ) − g ′ ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g ( x ) [ f ′ ( x ) f ( x ) − g ′ ( x ) g ( x ) ] = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}\right]\ \&={\frac {f(x)}{g(x)}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right] \&={\frac {f'(x)}{g(x)}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)'(x)}{g(x)^{2}}}. \end{aligned}}
참고: 함수의 절대값을 취하는 것은 음수 값을 가질 수 있는 함수의 로그 미분 을 위해 필요합니다. 로그는 양수 인수에 대해서만 실수 값이기 때문입니다. 이것은 d x ( ln u
고차파생상품 암묵적 미분은 몫의 n번째 도함수를 계산하는 데 사용될 수 있습니다(부분적으로 첫 번째 1 도함수의 관점에서). 예를 들어 f gh {\ displaystyle gh
h ″ = ( f g ) ″ = f ″ − g ″ h − 2 g ′ h ′ g . {\displaystyle h"=\left ({\frac {f}{g}}\right)"={\frac {f"-g"h-2g'h'}{g}}.
참고 항목 참고문헌
![{\displaystyle h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e609f5e7b44f69edc0c1030bc9ae9d0cb2a104)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ff7267ba5a87cdd17ba664f2983de34c26b434)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]=-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3578de83a411d6ecc2753ffb336bbefa818b2508)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {g(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98814d0c465bffd44efe44e56bb1a84dd7fb1529)
대체하면![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30778dbc5e1cd7b1f21fec351752fc348cb88af)
