인터그로-차분 방정식

수학에서, 정수-차이 방정식은 함수의 통합과 파생 모두를 포함하는 방정식이다.

일반 첫 번째 순서 선형 방정식

일반적인 1차 선형(파생물을 포함하는 용어에만 해당) 정수-차등 방정식은 형식이다.

{\dplaystyle {\frac}{dx}u(x)+\int_{x_{0}^{0}f(t,u(t)\,dt=g(x,u(x))\qquad u(x_{0})=u_{0}=u_{0}},\qquad x_{0}\geq.

미분방정식에서 전형적으로 그렇듯이 폐쇄형 솔루션을 구하는 것은 종종 어려울 수 있다. 해답이 발견될 수 있는 비교적 적은 경우, 그것은 종종 어떤 종류의 일체적 변형에 의해 발생하는데, 여기서 문제는 먼저 대수적 설정으로 변환된다. 그러한 상황에서 문제의 해법은 이 대수 방정식의 해법에 역변환을 적용함으로써 도출될 수 있다.

예

다음의 2차 문제를 고려하십시오.

u'+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\tt=\text{with}\qquad u(0)=0,

어디에

\theta=\left\{\\nft{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.

Hubiside 스텝 함수 입니다. 라플라스 변환은 다음에 의해 정의된다.

U(s)={\mathcal {L}\왼쪽\{u(x)\오른쪽\}=\int_{0}^{\infit }e^{-sx(x)\,dx.

기간별 라플라스 변환을 취하고, 파생상품과 통합에 대한 규칙을 활용할 때, 정수-차등 방정식은 다음과 같은 대수 방정식으로 변환된다.

sU-u(0)+2U+{\frac {5}{s}}}U={\frac {1}{s}}.

그러므로,

U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}

)

U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}

=

U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}

2

U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}

+

U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}

+

U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}

{\

등고선 적분 방법을 사용하여 Laplace 변환을 뒤집으면

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

x

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

)

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

= 1

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

-

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

x

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

(

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

x

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

)

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

(

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)

)

{\displaystyle u(x)={\frac

{1

}{1}{

2}}

e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}

.

또는 정사각형을 완성하고 라플라스 변환 표("감소 사인파")를 사용하거나 메모리에서 호출하여 다음 작업을 진행할 수 있다.

{\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^2s}+2s+5

}}}={\frac{1}{2}}:{\frac {2}{{(s+1)^{2}+4}\

Rightarrow u(x)={\mathcal{L}^{-1}\왼쪽\{U(s)\오른쪽\}={\frac

{

1}{1}{2

}}

e^{-x}\sin(2x)\theta(x

.

적용들

정수-차등 방정식은 회로 분석과 같은 이공계로부터 많은 상황을 모델링한다. Kirchhoff의 두 번째 법칙에 따르면, 폐쇄 루프에 걸친 순 전압 강하는 $E(t)$ 된 전압 E $E(t)$ ( $E(t)$ $){\displaystyle E(t)}$ 와 같다 $E(t)$ (이는 본질적으로 에너지 절약의 응용이다.) 따라서 RLC 회로가 준수함

L{\frac {d}{dt}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}\int _{0}^{t(\tau )I(\tau)d\tau =E(t),

여기서

I(t)

(

I(t)

)

I(t)

은 시간의 함수로서 전류이고

I(t)

,

R

{\

displaystyle

R}은

R

L

이며,

L {\

displaystyle

L} 인덕턴스

L

,

C {\

displaystyle

C}은

C

캐패시턴스다.^[1]

억제 뉴런과 흥분 뉴런의 상호 작용 활동은 신경-차등 방정식의 시스템으로 설명될 수 있다. 예를 들어 윌슨-코원 모델을 참조한다.

역학

정수-차등 방정식은 특히 모델이 연령 구조를^[2] 포함하거나 공간적 전염병을 설명할 때 전염병의 수학적 모델링인 역학에서 응용 분야를 발견했다.^[3]

참고 항목

참조

^ 질, 데니스 G, 워렌 S. 장인 "제7.4절: 운영 속성 II." 경계-값 문제가 있는 미분 방정식, 제8편, Brooks/Cole Cengage 학습, 2013, 페이지 305. ISBN 978-1-111-82706-9. 7장은 라플라스 변환에 관한 것이다.
^ Brauer, Fred; van den Driessche, Pauline; Wu, Jianhong, eds. (2008). "Mathematical Epidemiology" (PDF). Lecture Notes in Mathematics. 1945: 205–227. doi:10.1007/978-3-540-78911-6. ISBN 978-3-540-78910-9. ISSN 0075-8434.
^ Medlock, Jan (March 16, 2005). "Integro-differential-Equation Models for Infectious Disease" (PDF). Yale University. Archived from the original (PDF) on 2020-03-21.

추가 읽기

Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, "Intergro-Differential 방정식의 이론", CRC Press, 1995년

외부 링크

인터랙티브 수학
Chebfun을 이용한 사례의 수치해석

[1] 질, 데니스 G, 워렌 S. 장인 "제7.4절: 운영 속성 II." 경계-값 문제가 있는 미분 방정식, 제8편, Brooks/Cole Cengage 학습, 2013, 페이지 305. ISBN 978-1-111-82706-9. 7장은 라플라스 변환에 관한 것이다.

[2] Brauer, Fred; van den Driessche, Pauline; Wu, Jianhong, eds. (2008). "Mathematical Epidemiology" (PDF). Lecture Notes in Mathematics. 1945: 205–227. doi:10.1007/978-3-540-78911-6. ISBN 978-3-540-78910-9. ISSN 0075-8434.

[3] Medlock, Jan (March 16, 2005). "Integro-differential-Equation Models for Infectious Disease" (PDF). Yale University. Archived from the original (PDF) on 2020-03-21.

[1]

[2]

[3]

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일반 첫 번째 순서 선형 방정식

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적용들

역학

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