뉴턴 프랙탈

Julia는 f

(z) = z 3

-

1

에

대해

Newton의 방법과 관련된 유리 함수를 설정했다.

뉴턴 프랙탈은 복소 평면에서 설정된 경계로, 고정 $다항식$ p $(Z) δ[Z]$ 또는 초월 함수에 적용되는 뉴턴의 방법에 의해 특징지어진다.그 유리 함수 z의 줄리아 세트 ↦은 z−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parse.그것은 뉴튼의 방법에 의해서 주어진다 R-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬp(z)(z).(1보다 큰 순서의) 매력적인 주기가 없을 때, 복소 평면을 $영역 k$ G로 나눈다. 영역 G는 각각 다항식의 $루트$ $θ,$ k $=$ 1, …, deg( $p k$ $)$ 와 관련된다.이런 식으로 뉴턴 프랙탈은 만델브로트 집합과 유사하며, 다른 프랙탈과 마찬가지로 단순한 설명에서 비롯된 복잡한 외관을 보인다.이는 (2차 수렴 영역 밖에서) 뉴턴 방법이 시작점의 선택에 매우 민감할 수 있다는 것을 보여주기 때문에 수치 분석과 관련이 있다.

복소 평면의 많은 점들은 다음과 같은 방식으로 다항식의 $디그$ ( $p)$ 근 중 하나와 관련된다. $이 n$ 점은 뉴턴의 $반복 n + 1$ z $:= z$ - p $(z n)/ p''(z n)$ 의 시작 $값 0$ z로 사용되며, 일련의 $점 1$ z, $z 2,$ …를 산출한다. 만약 그 시퀀스가 루트 $θ$ 로_k 수렴된다면, z는 $G 0$ $영역$ 의_k 요소이다.그러나 적어도 2차 이상의 모든 다항식에 대해 뉴턴 반복이 어떤 근으로도 수렴되지 않는 점이 있다. 예는 다양한 근의 흡인력의 분지의 경계이다.열린 시작점 집합이 루트로 수렴되지 않는 다항식도 있습니다. 간단한 예는 $z 3$ - $2z$ + $2$ 입니다. 여기서 일부 점은 루트가 아닌 $사이클$ 0,1 $,$ $0$ , $1\dots$ 에 의해 유인됩니다.

반복이 특정 루트 또는 주기(고정점이 아님)로 수렴되는 열린 집합은 반복에 대한 Fatou 집합입니다.이 모든 것의 결합에 대한 보완 집합은 줄리아 집합입니다.Fatou 집합은 공통 경계인 Julia 집합을 가지고 있습니다.따라서 Julia 집합의 각 점은 Fatou 집합의 각 누적점이 됩니다.Julia 집합의 프랙탈 구조를 일으키는 것은 바로 이 특성입니다(다항식의 정도가 2보다 클 때).

흥미로운 그림을 그리려면 먼저 d개의 복소점( $(, \dots, ))$ 을₁_d 선택하고 다항식의 계수 $(p 1, \dots,$ $p d)$ 를 계산할 수 있다.

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

(

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

)

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

+

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

-

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

+

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

+ +

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

:

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

(

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

-

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

1

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

) (

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

-

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

2

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

)

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

( z -

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

d

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

) ⋯ ( z -

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

d )

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

、 {

displaystyle

p ( z ) =

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

z

p(z)=z^{d}+p_{1}z^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_{d}:=(z-\zeta _{1})(z-\zeta _{2})\cdots (z-\zeta _{d})

^ { d } + p _ { d _ { d _

1

} + cdots + p

_ 1

}

z =

{ d .

직사각형 격자의 경우

\displaystyle z_{mn}=z_{00}+m,\Delta x+in,\Delta y;\dots m=0,\ldots,M-1;\quad n=0,\ldots,N-1}

$δ$ 에 있는 $점$ 의 $지수 k (m, n)$ k $(m, n$ )를 찾아각 점( $m, n)$ 에 $색상 k (m, n)$ f를 할당하여 M × $N$ 래스터 $그리드$ 를 채운다.또한 색상은 거리 $D (m, n)$ 에 따라 달라질 수 있으며, 거리 D는 이전에 고정된 작은 $일부 θ$ > 0에 대해 z - $θ k (m, n)$ < $θ$ 가 $되도록 D$ 첫 $번째$ 값 D로 정의된다.

뉴턴 프랙탈의 일반화

뉴턴의 반복의 일반화는

({displaystyle z_{n+1}=z_{n}-ajavfrac {p(z_{n})}{p'(z_{n}}})

$여기$ 서 a는 임의의 복소수입니다.^[1]특수 $선택$ a = $1$ 은 뉴턴 프랙탈에 해당합니다.이 맵의 고정점은 a가 1을 중심으로 한 반지름 1의 디스크 내부에 있을 때 $안정적$ 입니다.가 이 디스크 외부에 있는 $경우$ 고정점은 로컬적으로 불안정하지만 지도는 여전히 Julia 집합의 관점에서 프랙탈 구조를 나타냅니다.p가 $d도$ 의 다항식일 $경우$ a가 d를 $중심$ 으로 하는 $반지름$ d의 디스크 내부에 $있으면$ $시퀀스 n$ z는 유계된다.

더 일반적으로, 뉴턴의 프랙탈은 줄리아 집합의 특별한 경우이다.

$Newton fractal for three degree-3 roots p(z) = z3 − 1, coloured by number of iterations required$

$3도-3근$ p $(z) = z 3$ - $1$ 에 대한 뉴턴 프랙탈, 필요한 반복 횟수로 색칠
$Newton fractal for three degree-3 roots p(z) = z3 − 1, coloured by root reached$

$3도-3근$ p $(z) =$ z - 1에 대한 $뉴턴 3 프랙탈$ , 근으로 색칠됨
$Newton fractal for p(z) = z3 − 2z + 2. Points in the red basins do not reach a root.$

p $(z) = z 3$ - $2z$ + $2$ 에 $대한$ 뉴턴 프랙탈. 빨간색 분지의 점은 루트에 도달하지 않습니다.
$Newton fractal for a 7th order polynomial, colored by root reached and shaded by rate of convergence.$

7차 다항식의 뉴턴 프랙탈. 루트로 채색되고 수렴 속도로 음영 처리됩니다.
$Newton fractal for p(z) = z8 + 15z4 − 16$

p $(z)$ 에 $대한 8$ 뉴턴 프랙탈 $=$ z + $15z 4$ - $16$
$Newton fractal for p(z) = z5 − 3iz3 − (5 + 2i)z2 + 3z + 1, coloured by root reached, shaded by number of iterations required.$

p $(z) = z 5$ - $3iz 3$ - (5+ $2i) z 2$ + $3z$ + $1$ 에 $대한$ 뉴턴 프랙탈, 도달근으로 색칠하고 필요한 반복 횟수로 음영 처리.
$Newton fractal for p(z) = sin z, coloured by root reached, shaded by number of iterations required$

p $(z)$ = $sin$ z에 $대한$ 뉴턴 프랙탈, 도달근으로 색칠하고 필요한 반복 횟수로 음영 처리됨
$Another Newton fractal for p(z) = sin z$

p $(z)$ = $sin$ z에 $대한$ 또 다른 뉴턴 프랙탈
$Generalized Newton fractal for p(z) = z3 − 1, a = −1/2. The colour was chosen based on the argument after 40 iterations.$

p $(z) = z 3$ - $1$ , a = $-1 / 2$ 에 $대한$ 일반화 뉴턴 프랙탈.색상은 40회 반복한 후 인수를 바탕으로 선택되었습니다.
$Generalized Newton fractal for p(z) = z2 − 1, a = 1 + i.$

p $(z) = z 2$ - $1$ , $a$ $= 1$ + $i$ 에 $대한$ 일반화 뉴턴 프랙탈.
$Generalized Newton fractal for p(z) = z3 − 1, a = 2.$

p $(z) = z 3$ - $1$ , $a$ = $2$ 에 $대한$ 일반화 뉴턴 프랙탈.
$Generalized Newton fractal for p(z) = z4 + 3i − 1, a = 2.1.$

p $(z) = z 4 + 3 i$ - $1$ , a $= 2.1$ 에 $대한$ 일반화 뉴턴 프랙탈.
$p (z) = z 6 + z 3 - 1$
$p (z) = sin z - 1$
$p (z) = 코쉬 z - 1$

노바 프랙탈

폴 더비셔가 ^[2]^[3]1990년대 중반에 발명한 노바 프랙탈은 뉴턴 프랙탈의 일반화이며 각 단계에서 ^[4]값 $c$ 를 더한다.

({displaystyle z_{n1}=z_{n}-a440frac {p(z_{n})}{p'(z_{n}}})+c=G(a,c,z)})

Nova 프랙탈의 "Julia" 변형은 이미지에서 c를 일정하게 $유지$ 하고 z를 픽셀 좌표로 $초기화$ 합니다₀.Nova 프랙탈의 "Mandelbrot" 변형은 c를 픽셀 좌표로 $초기화$ 하고 z를 임계점으로 $설정$ 합니다₀^[5].

(\displaystyle\frac{\displayz}G(a,c,z)=0)

p $(z) = z 3$ - $1$ $또는$ p $(z)$ = ( $z$ - $3$ 1)와 같이 $일반적$ 으로 사용되는 다항식은 z = $1$ 에서 임계점으로 이어진다.

$Animated "Julia" Nova fractal for p(z) = z3 − 1 with c going from −1 to 1, colored by root reached.$

애니메이션 "줄리아" 노바 프랙탈 $for$ p $(z)$ = $z 3$ - $1$ ( $c$ 는 -1에서 1로, 뿌리로 색칠됨).
$Animated "Julia" Nova fractal for p(z) = z3 − 1 with c = 1/2eiφ and φ going from 0 to 2π, colored by root reached.$

애니메이션 "줄리아" 노바 프랙탈 $for$ p $(z) = z 3$ - $1$ ( $c$ $= 1$ / $2e iφ$ 및 $θ$ 가 0 ~ 2º로, 루트별로 색칠됨).

실행

뉴턴 프랙탈을 구현하려면 시작 함수와 그 미분 함수가 있어야 합니다.

{argined}f(z)&=z^{3}-1\f'(z)&=3z^{2}\end{aligned}

함수의 세 가지 근원은 다음과 같습니다.

z=1,\{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {2}}i,\{\tfrac {1}{2}-{\tfrac {3}}{2}i

위에서 정의한 함수는 다음과 같이 의사 코드로 변환할 수 있습니다.

//z^3-1 플로트 2 기능. (플로트 2 z) {  돌아가다 cpow(z, 3) - 플로트 2(1, 0); //cpow는 복소수에 대한 지수 함수입니다. }  //3*z^2 플로트 2 파생상품 (플로트 2 z) {  돌아가다 3 * cmul(z, z); //cmul은 복소수 곱셈을 처리하는 함수입니다. }

이제 주어진 함수를 사용하여 뉴턴 방법을 구현하는 문제일 뿐입니다.

플로트 2 뿌리.[3] = //다항식의 루트(해법) {  플로트 2(1, 0),   플로트 2(-.5, sqrt(3)/2),   플로트 2(-.5, -sqrt(3)/2) };   색. 색채[3] =  //루트별로 색상 할당 {     빨간.,     초록의,     파랑색 }  위해서 각각 화소 (x, y) 에 그 타깃, 하다: {  zx = 스케일이 있는 x 조정하다 의 화소 (스케일이 있는 로. 거짓말 에 그 만델브로트 X 규모. (-2.5, 1))     zy = 스케일이 있는 y 조정하다 의 화소 (스케일이 있는 로. 거짓말 에 그 만델브로트 Y 규모. (-2, 1))      플로트 2 z = 플로트 2(zx, zy); //z는 원래 픽셀 좌표로 설정됩니다.   위해서 (인트 반복 = 0;       반복 < > 최대 반복;       반복++;)  {   z -= cdiv(기능.(z), 파생상품(z)); //cdiv는 복소수를 나누는 함수입니다.          흘러가다 내구성 = 0.000001;            위해서 (인트 i = 0; i < > 뿌리..길이; i++)   {       플로트 2 차이 = z - 뿌리.[i];           //현재 반복이 루트에 충분히 가깝다면 픽셀에 색을 입힙니다.    한다면 (복근(차이.x) < > 내구성 & & 복근 (차이.y) < > 내구성)    {     돌아가다 색채[i]; //루트에 해당하는 색상을 반환합니다.    }   }        }          돌아가다 블랙입니다.; //솔루션을 찾을 수 없는 경우 }

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Simon Tatham. "Fractals derived from Newton–Raphson".
^ Damien M. Jones. "class Standard_NovaMandel (Ultra Fractal formula reference)".
^ Damien M. Jones. "dmj's nova fractals 1995-6".
^ Michael Condron. "Relaxed Newton's Method and the Nova Fractal".
^ Frederik Slijkerman. "Ultra Fractal Manual: Nova (Julia, Mandelbrot)".

추가 정보

J. H. 허바드, D. Schleicher, S. Sutherland:뉴턴의 방법론, 발명 수학 146권 (2001)에 의한 복소 다항식의 모든 근을 찾는 방법 - 뉴턴 프랙탈의 글로벌 구조에 대한 논의
2000년 7월 21일 디어크 슐라이허의 뉴턴 방법의 반복 횟수
요하네스 루커트의 동적 시스템으로서의 뉴턴의 방법

[1] Simon Tatham. "Fractals derived from Newton–Raphson".

[2] Damien M. Jones. "class Standard_NovaMandel (Ultra Fractal formula reference)".

[3] Damien M. Jones. "dmj's nova fractals 1995-6".

[4] Michael Condron. "Relaxed Newton's Method and the Nova Fractal".

[5] Frederik Slijkerman. "Ultra Fractal Manual: Nova (Julia, Mandelbrot)".

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v t 아이작 뉴턴 경
출판물	플럭스(1671) De Motu (1684년) 프린키피아(1687; writing) Opticks(1704) 쿼리(1704) 산술 (1707) 분석 분석(1711)
기타 글	퀘이스티온스 (1661–1665) '거인의 어깨 위에 서 있다'(1675년) 유대 신전에 관한 메모 (1680년경) 일반 스콜륨 (1713; "hypotes non fingo") 고대 왕국 수정(1728년) 성경의 타락 (1754년)
투고	미적분학. 플럭스 충격 깊이 관성 뉴턴 원반 뉴턴 다각형 뉴턴-오쿤코프 체 뉴턴 반사경 뉴턴 망원경 뉴턴 척도 뉴턴의 금속 스펙트럼 구조 착색
뉴턴주의	버킷 인수 뉴턴 부등식 뉴턴의 냉각 법칙 뉴턴의 만유인력의 법칙 뉴턴 이후의 팽창 파라미터화된 중력 상수 뉴턴-카르탄 이론 슈뢰딩거-뉴턴 방정식 뉴턴의 운동 법칙 케플러의 법칙 뉴턴 역학 뉴턴의 최적화 방법 아폴로니우스 문제 잘린 뉴턴법 가우스-뉴턴 알고리즘 뉴턴 고리 난형에 관한 뉴턴의 정리 뉴턴-페피 문제 뉴턴 퍼텐셜 뉴턴 유체 고전 역학 빛의 입자 이론 라이프니츠뉴턴 미적분 논쟁 뉴턴 표기법 회전구 뉴턴의 대포알 뉴턴-코츠 공식 뉴턴의 방법 일반화 가우스-뉴턴법 뉴턴 프랙탈 뉴턴의 항등식 뉴턴 다항식 뉴턴의 공전 궤도 정리 뉴턴-울러 방정식 뉴턴 수 키스 번호 문제 뉴턴 지수 힘의 평행사변형 뉴턴-푸이즈 정리 절대적인 공간과 시간 발광 에테르 뉴턴 급수 테이블
사생활	울스트호프 장원(생가) Cranbury Park(집) 초기 생활 만년 종교적 견해 오컬트 과학 혁명 코페르니쿠스 혁명
관계	캐서린 바튼(여동생) 존 컨짓(사돈) 아이작 바로(교수) 윌리엄 클라크(멘토) 벤자민 풀린(튜터) 존 킬(단독) 윌리엄 스터클리(친구) 윌리엄 존스(친구) 아브라함 드 모이브르 (친구)
묘사	Newton by Blake(모노타이프) 파올로지의 뉴턴 (조각)
동명인	뉴턴(단위) 뉴턴의 요람 아이작 뉴턴 연구소 아이작 뉴턴 메달 아이작 뉴턴 망원경 아이작 뉴턴 망원경군 아이작 뉴턴 6학년 스태털 고등교육연구소 아이작 뉴턴 뉴턴 국제 펠로우십
분류	아이작 뉴턴

v t 프랙탈
특성.	프랙탈 치수 아수아드 박스 카운트 히구치 상관 관계 하우스도르프 포장. 토폴로지 재귀 자기유사성
반복 함수 시스템.	반슬리 양치류 칸토어 집합 코흐 눈꽃 멩거 스펀지 시에르핀스키 카펫 시에르핀스키 삼각형 아폴로 개스킷 피보나치어 공간 채우기 곡선 블랑망주 곡선 드람 곡선 민코프스키 용곡선 힐베르트 곡선 코흐 곡선 레비 C 곡선 무어 곡선 페아노 곡선 시에르핀스키 곡선 Z차 곡선 스트링 T-제곱 n플레이크 빅섹 프랙탈 헥사플레이크 고스퍼 곡선 피타고라스나무 바이어스트라스 함수
이상한 매력자	다분할계
L계	프랙탈 캐노피 공간 채우기 곡선 H 트리
이스케이프 타임 프랙탈	불타는 배 프랙탈 줄리아 세트 가득 찬 뉴턴 프랙탈 두아디토끼 랴푸노프 프랙탈 만델브로트 집합 미시우레비치 점 멀티봇 세트 뉴턴 프랙탈 트리콘 만델박스 만델구
렌더링 기술	버드하브 궤도 트랩 피커버 줄기
랜덤 프랙탈	브라운 운동 갈색나무 브라운 모터 프랙탈 풍경 레비 비행 침투 이론 자기 회피 보행
사람	마이클 반즐리 게오르크 칸토르 빌 고스퍼 펠릭스 하우스도르프 데스몬드 폴 헨리 개스톤 줄리아 헬게 폰 코흐 폴 레비 알렉산드르 랴푸노프 브누아 만델브로 하미드 나데리 예가네 루이스 프라이 리처드슨 바츠와프 시에르핀스키
다른.	"영국 해안은 얼마나 깁니다?" 해안선의 역설 프랙탈 아트 하우스도르프 차원에 따른 프랙탈 목록 자연의 프랙탈 기하학 (1982년 책) 프랙탈의 아름다움 (1986년 책) 혼돈: 새로운 과학 만들기 (1987년 책) 만화경 카오스 이론

Search

뉴턴 프랙탈

네임스페이스

더

목차

뉴턴 프랙탈의 일반화

노바 프랙탈

실행

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

Search

뉴턴 프랙탈

뉴턴 프랙탈의 일반화

노바 프랙탈

실행

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

「」를 참조해 주세요.