컨버전트 시리즈

수학에서, 시리즈는 수의 무한 시퀀스 용어의 합이다. 더 정확히 말하면, 무한 시퀀스$({\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$a ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$은(는) 가리키는 시리즈 S를 정의한다$$.

${\displaystyle S=a_{0}+a_{1}+a_{1}+a_{2}+\cdots =\sum _{k=0}^{\inful }a_{k}.}$

n번째 부분 합계 S는_n 시퀀스의 첫 번째 n 항의 합이다. 즉,

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

A series is convergent (or converges) if the sequence ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$ of its partial sums tends to a limit; that means that, when adding one ${\displaystyle a_{k}}$ after the other in the order given by the indices, one gets partial sums that become closer and clo일정한 수에 따르다 보다 정확히 말하면, $시리즈$가 수렴되는데, 숫자 small ${\displaystyle \ell}$이(가) 존재하면 임의의 작은 모든 양수 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon$ $\},$ $모든$ n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ n$\geq$ N$}$에 대해 (충분히 큰) 정수 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyfully$ long$)$이 있다$.$

$\displaystyle \left S_{n}-\ell \right <\varepsilon .}$

시리즈가 수렴된 경우 (필요적으로 고유한) 숫자 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$을(를) 시리즈의 합이라고 한다$$.

같은 표기법

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\inful }a_{k}}}$

시리즈에 사용되며, 수렴할 경우 합계에 사용된다. 이 관습은 덧셈에 사용되는 것과 유사하다: + b는 a와 b를 더하는 연산뿐만 아니라 이 덧셈의 결과를 의미하는데, 이를 a와 b의 합이라고 한다.

수렴하지 않는 모든 시리즈는 다이버전트 또는 다이버전트라고 한다.

수렴성 및 다이버전트 계열의 예

• 양의 정수의 왕복은 다음과 같은 상이한 시리즈(화합물 시리즈)를 생성한다.

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \1 \over 5}+{1 \1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• 양의 정수의 왕복선 부호를 교대하면 수렴 연속(대체 고조파 직렬)이 생성된다.

  ${\displaystyle {1 \over 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\ln(2)}$

• 소수 왕복선은 다양한 시리즈를 생성한다(따라서 소수 집합은 "크다"; 소수 왕복 합계의 차이를 참조).

  ${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .}$

• 삼각형 숫자의 왕복선은 수렴 열을 생성한다.

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.}$

• 요인 왕복선은 수렴 열을 생성한다(e 참조):

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}:{1}:{1}{1}:{1}:{1}:{1}{1}:{1}{1}{1}:{\frac {{1}:{6}+{1}{1}:{\frac {1}:{120}+\cdots =e.}$

• 제곱수의 왕복은 수렴 열을 생성한다(바젤 문제).

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \1 \over 25}+{1 \1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \2} \}}}}}$

• 2의 힘의 왕복선은 수렴 시리즈를 생성한다(따라서 2의 세트는 "작다"

  ${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2}}$

• n>1의 힘의 왕복선은 다음과 같은 수렴 시리즈를 생성한다.

  ${\displaystyle {\1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^{2}}+{1 \over n^{3}}+{1 \over n^{4}}}+{1 \over n^{5}}}}+\cdots ={n \n-1}.}$

• 2의 힘의 왕복 신호도 교대로 수렴 전열을 생성한다.

  ${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2 \over 3}.}$

• n>1의 힘의 왕복 신호를 교대하면 다음과 같은 수렴 시리즈가 생성된다.

  ${\displaystyle {\1 \over n}-{1 \over n}+{1 \over n^{2}}-{1 \over n^{3}+{1 \over n^{5}}-{1 \over n+1}.$

• 피보나치 숫자의 왕복선은 수렴 전열을 생성한다(ψ: )::

  ${\displaystyle {\frac {1}{1}:{1}:{1}:{1}:{1}{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{2}}+{\frac {1}}{3}+{5}}{{5}}}}{\frac {1}{1}}}}}{8}}}+\frac {cdots =\cd.}}}}}}}}}$

수렴시험

시리즈가 수렴 또는 분산되는지를 결정하는 방법에는 여러 가지가 있다.

비교 테스트. 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}}$} ${\$의 항은 다른 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle b_{}}$ $}{b_{n}\right\}}$의 항과 비교된다$.$ 만약,

for all n, ${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$, and ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ converges, then so does ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$$}$

하지만, 만약,

for all n, ${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$, and ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$ diverges, then so does ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$$}$

비율 검정. 모든 n에 대해 ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이 0이 아니라고$$ 가정하십시오. 다음과 같은$$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) 있다고 가정하십시오.

${\displaystyle \lim_{n\to \flt}\왼쪽 {\frac {a_{n+1}{a_{n}}\오른쪽 =r.}$

r < 1이면 시리즈는 절대적으로 수렴된다. r > 1이면 시리즈가 분기한다. r = 1일 경우 비율검사는 결론에 이르지 못하며, 시리즈는 수렴하거나 이탈할 수 있다.

루트 테스트 또는 n번째 루트 테스트. 해당 시퀀스의 조건이 음수가 아니라고 가정해 보십시오. r을 다음과 같이 정의하십시오.

${\displaystyle r=\limsup _{n\rightarrow \infit }{\sqrt[{n}]{a_{n}}},}$

여기서 "lim supp"은 한계 상위를 나타낸다(각각 ∞; 한도가 존재할 경우 동일한 값).

r < 1일 경우, 영상 시리즈가 수렴한다. r > 1이면 시리즈가 분기한다. r = 1일 경우 루트 테스트는 결론을 내리지 못하며, 시리즈가 수렴하거나 이탈할 수 있다.

비율 검정과 루트 테스트는 모두 기하 계열과의 비교를 기반으로 하며, 이와 같이 유사한 상황에서 작동한다. 실제로 비율검사가 효과가 있다면(한계가 존재하고 1과 같지 않다는 의미) 뿌리검사도 효과가 있다. 그러나 그 반대는 사실이 아니다. 따라서 루트 테스트는 보다 일반적으로 적용 가능하지만, 실제적인 문제로서 일반적으로 볼 수 있는 유형의 시리즈에 대한 한계는 계산하기가 어려운 경우가 많다.

적분 시험. 이 시리즈는 수렴 또는 분열을 확립하기 위한 필수 요소와 비교할 수 있다. ${\displaystyle {Let}_{}}$ $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 양수적이고 단조롭게 감소하는 함수다. 만약

${\displaystyle \int _{1}^{\inf(x)\,dx=\lim _{t\to \inft }\int _{1}^{t(x)\,dx<\inflt ,}$

그러면 시리즈가 수렴된다. 하지만 만약 본질적인 것이 분산된다면, 그 시리즈도 그렇게 한다.

한계 비교 테스트. 만약{는 n},{bn}>0{\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}일 경우와 n→ ∞ nbn{\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}lim}}지 않는다고 0, 그때 ∑ 존재하는 nx1과 만약에 ∞ 오빠{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}전진.ly 만약 ${\displaystyle \sum _n^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$ 수렴$$.

교번 직렬 테스트. Also known as the Leibniz criterion, the alternating series test states that for an alternating series of the form ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$, if ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ is monotonically decreasing, and has a limit of 0 at infinity, then the se리즈가 응집되다

코치 응축 시험. If ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ is a positive monotone decreasing sequence, then ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converges if and only if ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$ converges.

디리클레 테스트

아벨의 시험

조건부 및 절대 수렴

모든 시퀀스${\displaystyle }${ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}\text{a}{}_{}}$ ${\displaystyle \text{2}{}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{3\mathrm{}}_{}}$…$${\$displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\$a_${3},\dots \right\}},$ ${\displaystyle n_{}}$$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ $displaystystyle a_{n$}\leq $\reft$}\riged $a_n}\riged$ }\right $}\}}}}}}$ 그러므로

${\displaystyle \sum \sum \{n=1}{n}\leq \sum \sum _{n=1}^{n=1}\ft an_{n}\{n}\오른쪽 .}$

즉, $\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle \sum \sum _{$n=1}^{$n}\좌측 a_{n}\right$}}이$$(가) 수렴되면,${\displaystyle \underset{nn}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{\mathrm{}}{\overset{}{1}}{a}_{}}$n {\$displaystysty \sum$ \sum $_{n=1}^{\a_{n$}}}}}}}{n}}}}}}}}{n}}}}}}}}}{n$}}}}}}}}}}}}}$도 수렴(그 반대는 수렴

시리즈 $\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $displaystyle \sum _{n=1}^{\infit }\왼쪽 a_{n}\right }}$이(가) 수렴되면 시리즈$$ $\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ \sum $_{n=1}^{\inftra_n}}}}n}}}}}}}}}}}}}n$}}}}}}}}n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 지수함수의 Maclaurin 계열은 변수의 모든 복잡한 값에 대해 절대적으로 수렴된다.

If the series ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ converges but the series ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left a_{n}\right }$ diverges, then the series ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ is conditionally convergent. logarithm 함수 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$+ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ln(1+x)}$의 Maclaurin 시리즈는 x = 1에 대해 조건상 수렴된다$$.

리만 시리즈 정리는 시리즈가 조건부로 수렴할 경우 시리즈가 어떤 가치로 수렴하거나, 혹은 심지어 분산되는 방식으로 시리즈 조건을 재배열할 수 있다고 기술하고 있다.

균일 수렴

$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle f{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\text{f}{}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}\text{f}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}\dots \}}$ ${\$을(를) 함수의 순서가 되게$$ 한다. 시리즈 $\sum {\displaystyle \underset{n}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}{f}_{}}$ n$${\$displaystyle \sum$ _${n=1}^{\nf_{n}}}}$에 의해 정의된 부분 합계의$$ 시퀀스${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle$\{$s_{n}\}}}}$이(가)가 f에 균일하게 수렴된다고 한다$$.

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$

균일하게 f에 수렴하다.

Weierstrass M-테스트라고 하는 무한 일련의 기능에 대한 비교 테스트의 아날로그가 있다.

코치 수렴 기준

Cauchy 수렴 기준에서 시리즈는

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\nft }a_{n}}}$

부분 합계의 순서가 Cauchy 시퀀스인 경우에만 수렴한다. 즉, 모든 > ${\displaystyle \varepsilon >0,}$에 대해 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ge }$ N$${\$displaystyle n\$geq $m\geq N}$이(가$$) 있는 양의 $정수{\displaystyle }$ N ${\displaystystyle N}$이(가) 있음을 의미한다.

${\displaystyle \left \sum _{k=m}^{n}a_{k}\오른쪽 <\varepsilon ,}$

에 해당하는

$\displaystyle \lim _{n\to \up m\to \infit }\to \infit }\sum _{k=n}^{n+m}a_{k}=0.}$

참고 항목

• 정상 수렴
• 수학적 시리즈 목록

외부 링크

• "Series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 와이스슈타인, 에릭(2005년). 리만 시리즈 정리. 2005년 5월 16일 회수.