로그 나선형

로그 나선형, 등각 나선형 또는 성장 나선형은 자연에서 자주 나타나는 자기 유사 나선형 곡선입니다.로그 나선형을 처음으로 묘사한 사람은 알브레히트 뒤러(1525)로, 그는 그것을 "영원한 선"("ewige Linie")^[1][2]이라고 불렀습니다.1세기 이상 후에 데카르트(1638)에 의해 곡선이 논의되었고, 후에 제이콥 베르누이에 의해 광범위하게 조사되었고, 그는 그것을 "놀라운 나선형"이라고 불렀습니다.

로그 나선은 기하학적 진행에서 로그 나선의 회전 사이의 거리가 증가하는 반면, 아르키메데스 나선에서는 이러한 거리가 일정하다는 사실로 아르키메데스 나선과 구별될 수 있습니다.

정의.

극좌표$$(${\displaystyle r,}$ φ${\displaystyle }$) ${\displaystyle (r,\varphi )}$에서 로그 나선은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

아니면$e$ ${\displaystyle e}$이(가) 자연 로그의 기본이고, > 0 ${\displaystyle a>0}$일 때 $k$ ≠ 0 ${\displaystyle k\neq 0}$이(가) 실수 상수입니다.

직각좌표에서

극성 방정식을 사용한 로그 나선형

데카르트 좌표$$(${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \cos }$ ⁡ φ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \sin }$ ⁡ φ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle ($x$$=$r\cos \varphi,\,y$ = $r\sin \varphi )}$로 나타낼 수 있습니다. 복소평면${\displaystyle z}$ = x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle {ei}^{}}$ φ = ${\displaystyle \cos }$ ⁡ φ${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{is}}$ ${\displaystyle \mathrm{in}}$ ⁡ φ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(z$=$x$+ $i,\,e^{i\varphi$ }=\$cos \varphi +i\sin \varphi$ $)\}:$

스피라 미라빌리스 야곱 베르누이

스피라 미라빌리스(Spira mirabilis)는 라틴어로 "기적의 나선"이 곡선은 이미 다른 수학자들에 의해 이름 지어졌지만, 제이콥 베르누이가 이 곡선에 부여한 특정한 이름("기적" 또는 "경이로운" 나선형)은 그가 나선의 크기가 증가하지만 그 모양은 각각의 연속적인 곡선에 따라 변하지 않는다는 독특한 수학적 특성 중 하나에 매료되었기 때문입니다.자기 유사성이라고 알려진 성질아마도 이 독특한 특성의 결과로, 스피라 미라빌리스는 자연에서 진화해왔고, 노틸러스 껍질과 해바라기 머리와 같은 특정한 성장 형태로 나타났습니다.야곱 베르누이는 그의 묘비에 "Eadem mutata resurgo"라는 문구와 함께 그러한 나선이 새겨진 것을 원했지만, 실수로 아르키메데스의 나선이 대신 그곳에 놓여졌습니다.^[4][5]

특성.

로그 나선형 $r$ = a ${\displaystyle {ek}^{}}$ φ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k}$ ≠ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle$r=$ae^{k\varphi}\;,\;k\neq 0,}$은(는) 다음 속성을 갖습니다.

• 극 기울기: ${\displaystyle \tan }$ ⁡ ${\displaystyle \alpha }$ = k ${\displaystyle (\text{상수!}}$) ${\displaystyle \tan \alpha$ = k$\$quad$({\color {red}{\text{$constant$!}})}$
  극성 경사각 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}($도면 및 애니메이션 참조)를 사용합니다.$$
  ($k$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$k = $0}$ 각도 $\alpha$ ${\displaystyle \alpha}$인 경우 곡선은 0이고 $반지름$이 ${\displaystyle a}$인 원입니다.)
• 곡률: κ ${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{r}{}}$ ${\displaystyle \frac{1\sqrt{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{2^{}}}{}}$ = ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ⁡ ${\displaystyle \frac{}{}}$ r ${\displaystyle \kappa$ = {\$frac {$1$}$ ${r{\sqrt {1+k^{2$$}}}}={\frac {\cos \alpha}{r}}}$
• 호 길이 : $L$ (${\displaystyle }$φ 1${\displaystyle {}_{}}$ φ${\displaystyle {}_{}}$2 )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\sqrt{k^{}2}}{}}$ + 1${\displaystyle \frac{}{}}$ ( ${\displaystyle r}$ (${\displaystyle }$φ 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle r}$ (${\displaystyle }$φ ${\displaystyle 1_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{r}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$φ ${\displaystyle \frac{2_{}{}_{}}{}}$) -${\displaystyle \frac{}{}}$r (${\displaystyle \frac{}{}}$φ 1${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$α ${\displaystyle$L$(\varphi _{1},\varphi _{2$}}={\$frac {\sqrt$ {k$^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{1}){\big$ )}={\$frac {$r$(\varphi _{2})}--r(\varphi$ _${1}}{\sin \alpha}}}}$
  특히: ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{}}$∞${\displaystyle \frac{,}{}}$φ 2 )${\displaystyle {}_{}}$= r (${\displaystyle \frac{}{}}$φ ${\displaystyle \frac{2_{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{\sin }{}}$ ⁡ ${\displaystyle \frac{\alpha }{}}$( ${\displaystyle \text{유한!}}$) ${\displaystyle$\ $L(-\infty,\varphi _{2$}) = {\$frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\$quad $({\color {red}{\text{finite !}})\;}$, > 인$경우$ {\$displaystyle$ k > $0.$
  이 성질은 미적분학이 발명되기도 전에 에반젤리스타 토리첼리에 의해 처음으로 실현되었습니다.^[6]
• 섹터 면적: ${\displaystyle A= {\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• 반전:원 반전($$ → ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\to 1/r$은 로그 나선 $r$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ e -${\displaystyle k^{}}$ φ ${\displaystyle$ r = $a^{k\varphi}}$을 로그 나선 $r$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle e}$ - k φ에 매핑합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$r = {\$tfrac {1}{a}e^{k\varphi}\.}$

• 회전, 스케일링: 각도 φ ${\displaystyle 0_{}}$ ${\$$displaystyle$$\varphi _{0}}$로 나선을 회전시키면 나선 $r$ = ${\displaystyle e}$ -${\displaystyle {}^{}}$ φ 0 ${\displaystyle {e_{}}^{}}$ k φ ${\displaystyle$r=$ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }$가 산출되는데$,$ 이는 $원래$ 나선이 e -${\displaystyle k^{}}$ φ $e^{-k\varphi _{0}}$에 의해 균일하게 스케일링된 것입니다$.$
  ${\displaystyle {\mathrm{kn}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ π${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n}$ =${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1,}$± ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle \;e^{kn2\pi}\;,n$=\$pm 1,\pm$ 2$,...,\;}$만큼 스케일링하면 동일한 곡선을 얻을 수 있습니다.
• 자기 유사성:이전 속성의 결과:
  축척된 로그 나선형은 원래 곡선과 (회전에 의해) 일치합니다.
  예:그림은 경사각 $\alpha$ = ${\displaystyle {20}^{}}$ ∘ ${\displaystyle \alpha$ = $20^{\circ }$이고 a = ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle 4,}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle$a = $1, 2, 3, 4,$ 5$}$인 나선을 보여줍니다$.$ 따라서 모두 빨간색의 축척본입니다.그러나 빨간색을 각도별로 회전하여 생성할 수도 있습니다$$- ${\displaystyle {109}^{}}$∘${\displaystyle {,}^{}}$- ${\displaystyle {173}^{}}$ ∘${\displaystyle {,}^{}}$- ${\displaystyle {218}^{}}$ ∘${\displaystyle {,}^{}}$- ${\displaystyle {253}^{}}$ ∘ ${\displaystyle -109^{\circ }, -173^{\circ }, -218^{\circ$ },$-253^{\circ$ $}}.$모든 나선형에는 공통점이 없습니다(복소 지수 함수에 대한 속성 참조).
• 다른 곡선과의 관계: 로그 나선은 중심을 기준으로 한 고유의 속성, 진화 및 페달 곡선과 일치합니다.
• 복소수 지수 함수:지수 함수는 복소 평면의 실수 축 또는 허수 축과 평행하지 않은 모든 선을 중심이 $0인$ 복소 $평면$의 모든 로그 나선에 정확히 매핑합니다$.$
  $${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log.spiral}}$$

  
  로그 나선의$$ 극기울기 $각도{\displaystyle }$α {\$displaystyle$ \$alpha}$는 선과 가상 축 사이의 각도입니다.

특수한 경우 및 근사치

황금나선은 90도 회전할 때마다 황금 비율만큼 바깥쪽으로 커지는 로그 나선입니다(극지 경사각 약 17.03239도).피보나치 수에 비례하는 반지름을 가진 4분의 1 원들로 이루어진 "피보나치 나선"으로 근사할 수 있습니다.

자연에서

몇 가지 자연 현상에서 로그 나선에 가까운 곡선을 찾을 수 있습니다.다음은 몇 가지 예와 이유입니다.

• 고전적인 추적에서 매가 먹이에게 접근하는 것은 먹이가 직선으로 이동한다고 가정하는 것입니다.그들의 가장 날카로운 시야는 그들의 비행 방향에 대한 각도입니다. 이 각도는 나선형의 피치와 같습니다.^[7]
• 곤충이 광원에 접근하는 것.그들은 광원을 비행 경로에 일정한 각도로 가지는 것에 익숙합니다.보통 태양(또는 야행성 종의 달)이 유일한 광원이고, 그렇게 날면 사실상 직선이 됩니다.^[8]
• 나선은하의 팔.^[9]은하수 은하에는 몇 개의 나선팔이 있는데, 각각의 나선팔은 대략 12도의 피치를 가진 로그 나선형입니다.^[10]그러나 나선은하는 종종 로그 나선, 아르키메데스 나선 또는 쌍곡 나선으로 모델링되지만, (이 각도에 대해 변하지 않는) 로그 나선과 달리 은하 중심으로부터의 거리에 따라 피치 각도가 달라지며, 또한 그들을 모델링하는 데 사용되는 다른 수학 나선과도 차이가 있습니다.^[11]
• 각막의 신경(^[12]즉, 상피하층의 각막 신경은 로그 나선형 패턴으로 각막의 표면 상피층 근처에서 종료됩니다.
• 허리케인과 같은 열대성 사이클론의 띠입니다.^[13]
• 연체동물의 껍질을 포함한 많은 생물학적 구조물.^[14]이 경우 다각형 도형의 경우와 마찬가지로 유사한 모양을 확장하는 것이 원인일 수 있습니다.
• 로그 나선형 해변은 해안에 의한 파동 굴절과 회절의 결과로 형성될 수 있습니다.하프문베이(캘리포니아)는 그러한 유형의 해변의 한 예입니다.^[15]

엔지니어링 응용프로그램에서

• 로그 나선 안테나는 주파수에 의존하지 않는 안테나, 즉 넓은 대역폭에 걸쳐 방사 패턴, 임피던스 및 편광이 거의 수정되지 않은 상태로 유지되는 안테나입니다.^[17]
• 서브트랙티브 제작 기계(예를 들어, 레이저 커터)에 의해 기구를 제작할 때, 절단 공정에서 각각의 기계에 의해 제거되는 재료(즉, 커프)의 차이로 인해 기구가 다른 기계에 제작될 때 정밀도의 손실이 발생할 수 있습니다.이러한 커프의 변화를 조정하기 위해 로그 나선의 자기 유사 속성을 사용하여 레이저 절단기의 커프 제거 메커니즘을 설계했습니다.^[18]
• 로그 나선형 베벨 기어는 기어 톱니 중심선이 로그 나선형인 나선형 베벨 기어의 한 종류입니다.로그 나선형은 톱니 중심선과 반경 선 사이에 동일한 각도를 제공하여 맞물림 전송이 더 안정적으로 유지된다는 장점이 있습니다.^[19]

참고 항목

• 아르키메데스 나선형
• 에피스피랄
• 나선형 목록
• 길을 묻는 기하학적인 문제인 마우스 문제와 그 해결책이 로그 나선인 서로를 쫓는 쥐들이 뒤따릅니다.
• 테이트-크네서 정리

참고문헌

• Weisstein, Eric W. "Logarithmic Spiral". MathWorld.
• 짐 윌슨, 등각 나선형(또는 로그 나선형) 및 관련 곡선, 조지아 대학교(1999)
• Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - 멋진 스파이럴, 첨단 기술

외부 링크

• 스피라 미라빌리스 역사와 수학
• 나사 천문학 오늘의 그림: 허리케인 이사벨 vs. 월풀 은하 (2003년 9월 25일)
• 나사 천문학 오늘의 사진:태풍 람마선 vs 바람개비 은하 (2008년 5월 17일)
• 패턴 형성, 자연 속의 나선, 신화적 상상 속의 나선의 과학에 관한 교육 웹사이트 SpiralZoom.com .
• JSXGraph(JavaScript)를 이용한 온라인 탐험
• 제노의 마우스 문제와 로그 나선에 대한 유튜브 강의