한계비교시험

성명서

Suppose that we have two series $\Sigma _{n}a_{n}$ and $\Sigma _{n}b_{n}$ with $a_{n}\geq 0,b_{n}>0$ for all $n$ .

그런 다음, $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ n → $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ = $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ c {\ $displaystyle$ \^[1] $lim _{$ n\ $to$ \ $inflt$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ }{\ $frac {a_{n}}{b_{$ n}}}= $c$ c $}$ 이 $0<c<\infty$ $<<\displaystyle$ 0 $>$ 으로 되어 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ 있으면 두 시리즈가 수렴되거나 두 시리즈가 모두 분리된다.

증명

왜냐하면lim n→ ∞ nbnxc{\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=c}모든 ε>0{\displaystyle \varepsilon>0}는 것을 긍정적인 정수 n0{\displaystyle n_{0}}은 모든 n(n0{\displaystylen\geq n_{0}}을 우리는 n. 있다. b $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$ - $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$ < ${\displaystyle \left$ { $a_{n}}{b_{n$ }}- $c\right <\varepsilon },$ 또는 동등하게 $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$

-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}-c<\varepsilon }

c-\varepsilon <{\frac {a_{n}{b_{n}}<c+\varepsilon }

(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}}

$c>0$ > $c>0$ $c>0$ 으로서, $c-\varepsilon$ - $c-\varepsilon$ ${\displaystyle$ $\$ $varepsilon }$ 이(가) 양수일 $c-\varepsilon$ 정도로 충분히 작도록 $\varepsilon$ $\varepsilon$ 할 수 있다. 따라서 $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ < $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ c > - $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ n ${\$ $displaystyle$ $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}}}}$ 와 $b_n < \frac{1}{c-\varepsilon} a_n$ 직접 비교 테스트에 의해 $\sum _{n}b_{n}$ $\sum _{n}b_{n}$ ${\$ $\sum _{n}a_$ 이 수렴되면 conver $\sum _{n}a_{n}$ .

마찬가지로 $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$ < $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$ ( $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$ + $\sum _{n}b_{n}$ $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$ ) $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$ ${\$ $displaystyle$ $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n$ 따라서 $\sum _{n}a_{n}$ 이 $\sum _{n}a_{n}$ ${\$ $\sum _{n$ $}$ a_{n}}}}}}}}}이 $($ 가 $\sum _{n}a_{n}$ ) 분산되면 직접 $비교$ $\sum _{n}b_{n}$ 에 의해 다시 분산된다 $\sum _{n}b_{n}$

즉, 두 시리즈 모두 수렴하거나 또는 두 시리즈가 갈라진다.

예

시리즈 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ = $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ + $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ ${\$ 이(가) 수렴되는지 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ 여부를 확인하려고 한다. 이를 위해 수렴성 시리즈 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 1 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ = $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 6 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ {\ $displaystyle \sum _{n=1}^{n^{1}{n^}}{{1$ }{n $^}}={\frac$ {\ $pi$ ^{2}}}}}}{\ $frac$ {\pi |2 $}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 과 비교한다 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ → $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ + $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ 1 $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ = $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ > $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ {\ $displaystyle \lim _{n\to \inflt }{n^{2}+2}}{\frac{n^{1$ }{1}:{1 $}:{$ 1}= $1}}}}{1$ }}}0 $}$ 원본 영상 시리즈도 수렴된다는 것을 알게 $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ 되었다.

단측 버전

한계는 상위를 사용함으로써 일방적인 비교 테스트를 진술할 수 있다. 모든 $n$ $n$ 에 $a_n, b_n \geq 0$ $a_{n},b_{n}\geq 0$ $a_{n},b_{n}\geq 0$ $},$ 0 {\displaystyle $a_{n$ }, $b_{n}\geq$ 0 $}$ 을(를) 두십시오 $n$ Then if $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ with $0\leq c<\infty$ and $\Sigma _{n}b_{n}$ converges, necessarily $\Sigma _{n}a_{n}$ converges.

예

Let $a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ and $b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ for all natural numbers $n$ . Now ${\displaystyle \lim _{n\to \infty$ $}{\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim _{n\to \inflt }(1-(-1)^{n}}}}$ 이(가) 없으므로 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})$ 표준 비교 테스트를 적용할 수 없다. However, $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty )$ and since $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ converges, the one-side 비교 테스트에서는 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ = $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ - $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ ( $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ - $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ ) $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ 2 ${\$ n^{ $n^{$ 2}}회 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ 수렴을 암시한다.

단측비교시험의 역

Let $a_{n},b_{n}\geq 0$ for all $n$ . If $\Sigma _{n}a_{n}$ diverges and $\Sigma _{n}b_{n}$ converges, then necessarily $\limsup _{n\to \infty$ ${\$ $frac{$ $a_{n}}{b_{n}}}=\inflt$ $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$ 즉, $\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$ $\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$ $\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$ → $\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$ = $\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$ $displaystyle \liminf _{n\to \inflt }{b_{n$ }}}{ $a_{n}}=0$ 여기서 필수적인 내용은 어떤 의미에서 $a_{n}$ ${\$ 이 $b_{n}$ ${\$ 보다 크다는 것이다 $b_{n}$

예

Let $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ be analytic in the unit disc $D=\{z\in \mathbb {C} : z <1\}$ and have image of finite area. By Parseval's formula the area of the image of $f$ is $\sum _{n=1}^{\infty }n a_{n} ^{2}$ . Moreover, $\sum _{n=1}^{\infty }1/n$ diverges. Therefore, by the converse of the comparison test, we have $\liminf _{n\to \infty }{\frac {n a_{n} ^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n a_{n} )^{2}=0$ , that is, ${\display$ $스타일 \liminf _{n\to \inft }n a_{n} =0}$ .

참고 항목

참조

^ Swokowski, Earl (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 516, ISBN 0-87150-341-7

추가 읽기

리날도 B. 시나지: 미적분학에서 분석으로. 스프링거, 2011, ISBN 9780817682897, 페이지 50
미셸 롱고, 빈첸초 발로리: 비교 테스트: 비음성 시리즈에만 해당되지 않음. 수학 잡지, 제79권, 제3권(2006년 6월), 페이지 205–210 (JSTOR)
J. 마샬 애쉬: 한계 비교 테스트는 긍정이 필요하다. 수학 잡지, 85권, 5호(2012년 12월), 페이지 374–375 (JSTOR)

외부 링크

비교 테스트에 대한 Pauls 온라인 노트

[1] Swokowski, Earl (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, p. 516, ISBN 0-87150-341-7

[1]

v t 미적분학.
프레살쿨루스	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한차이 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사 접선
한계	불확정형 함수의 한계 단측한도 수열의 한계 근사순번 (ε, Δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 미분 미분방정식 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠의 표기법 뉴턴의 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합계 체인 L'Hepital's girls 제품 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기법 암묵적 분화 역함수 규칙 및 분화 로그 유도화 관련금리 정지점 제1차 파생상품시험 2차파생성시험 극값정리 맥시마와 미니마 추가 애플리케이션 뉴턴의 방법 테일러의 정리
적분 미적분학	해독제 호 길이 기본 속성 집적 상수 미적분학의 기본 정리 통합 기호 아래 차별화 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각 측량 오일러 위어스트라스 적분 부분분수 2차 적분 사다리꼴 법칙 볼륨 와셔법 셸 방식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향파생상품 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 통합 그린스 스톡스 가우스
다변량 미적분학	발산정리 기하학 헤시안 행렬 야코비안 행렬과 결정인자 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 부분파생상품 표면 적분 부피 적분 고급 주제 미분형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술-기하 시퀀스 계열의 종류 교대로 이항체 푸리에 기하학 조화 무한 힘 마클로린 테일러 텔레스코핑 수렴 시험 아벨의 교대계열 코시 응결 직접 비교 디리클레트 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 와 숫자	베르누이 수 e (계속 상수) 지수함수 자연 로그 스털링의 근사치
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클라우린 대수 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니즈 최소값 소수점 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션의 방법 기계식 이론의 방법
목록	차별화 규칙 지수함수의 통합 목록 쌍곡선 함수의 통합 목록 역 쌍곡선 함수의 통합 목록 역삼각계 함수의 통합 목록 비합리적인 기능의 통합 목록 로그 함수의 통합 목록 합리적인 기능의 통합 목록 삼각함수의 통합 목록 세컨트 큐방트 한계 목록 통합 목록
기타 항목	미분 기하학 곡면성 곡선의 표면의 오일러-마클라우린 공식 가브리엘 혼 통합 비 22/7이 π을 초과한다는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 스타인메츠 고체

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