합산식
수학에서 오일러-매클로린 공식 은 적분 과 밀접하게 관련 된 합 사이의 차이에 대한 공식입니다. 이것은 적분을 유한합으로 근사하거나 적분과 미적분학 의 기계를 사용하여 유한합과 무한급수 를 평가하는 데 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 많은 점근적 팽창은 공식에서 파생되며, 힘의 합에 대한 파울하버의 공식 은 즉각적인 결과입니다.
이 공식은 1735년경 레온하르트 오일러 와 콜린 매클로린 에 의해 독립적으로 발견되었습니다. 오일러는 천천히 수렴하는 무한급수를 계산하는 데 필요했고, 맥라우린은 적분을 계산하는 데 사용했습니다. 나중에 다르부의 공식 으로 일반화되었습니다.
공식은 만약 m과 n 이 자연수 이고 f (x )m ,n ]구간 의 실수 x 에 대한 실수 또는 복소수 연속함수 라면, 적분
I = ∫ m n f ( x ) d x {\displaystyle I=\int_{m}^{n}f(x)\, dx} 합으로 근사할 수 있습니다(또는 그 반대). S = f ( m + 1 ) + ⋯ + f ( n − 1 ) + f ( n ) {\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)} (사각형 방법 참조). 오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점에서 평가된 상위 도함수 f(x ), 즉 m x n
명시적으로, p 양 의 정수와 [m ,n p배 연속 미분 가능한 함수 (x ) 에 대하여, 우리는
S − I = ∑ k = 1 p B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( m ) ) + R p , {\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k! }}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},} 여기서 B 는 k번째 베르누이 수(B / 2 R 은 n , m , p 및 f 에 따라 달라지며 일반적으로 적절한 p 값에 대해 작습니다.
B 1 제외한 홀수 베르누이 수는 0이기 때문에 이 공식은 종종 짝수 값만을 사용하여 작성됩니다. 이 경우 우리는[1] [2]
∑ i = m n f ( i ) = ∫ m n f ( x ) d x + f ( n ) + f ( m ) 2 + ∑ k = 1 ⌊ p 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( m ) ) + R p , {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)! }}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+ R_{p}} 아니면 다른 방법으로 ∑ i = m + 1 n f ( i ) = ∫ m n f ( x ) d x + f ( n ) − f ( m ) 2 + ∑ k = 1 ⌊ p 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( m ) ) + R p . {\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)! }}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+ R_{p}}
잔여항 나머지 항은 적분이 일반적으로 합과 정확히 같지 않기 때문에 발생합니다. 상기 공식은 r m m + 1, …, n 1 에 대한 연속적인 간격 [r , r ] 에 대해 부분별 반복적 인 적분을 적용함으로써 유도될 수 있습니다. 이러한 적분에서 경계 항은 공식의 주요 항으로 이어지고 남은 적분은 나머지 항을 형성합니다.
나머지 항은 주기화된 베르누이 함수 Pk (x . 베르누이 다항식은 B (x )1 로 재귀적으로 정의될 수 있으며, k ≥ 1의 경우,
B k ′ ( x ) = k B k − 1 ( x ) , ∫ 0 1 B k ( x ) d x = 0. {\displaystyle {\begin{aligned} B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1 }B_{k}(x)\,dx&=0. \end{align}}} 주기화된 베르누이 함수는 다음과 같이 정의됩니다. P k ( x ) = B k ( x − ⌊ x ⌋ ) , {\displaystyle P_{k}(x)= B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},} 여기 항상 [0,1] 구간에 놓입니다.
이 표기법을 사용하면, 나머지p 항 R은 다음과 같습니다.
R p = ( − 1 ) p + 1 ∫ m n f ( p ) ( x ) P p ( x ) p ! d x . {\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p! }}\,dx.}
k 0일 때 다음과 같은 것을 알 수 있습니다.
B k ( x ) ≤ 2 ⋅ k ! ( 2 π ) k ζ ( k ) , {\displaystyle {\bigl }B_{k}(x){\bigr }\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),} 여기 서 ζ는 리만 제타 함수를 나타냅니다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식 B(x)에 대한 푸리에 급수를 구하는 것입니다. x 가 0일 때 짝수 k에 대해 경계가 달성됩니다. 홀수 k에 대해 ζ(k)라는 용어는 생략될 수 있지만 이 경우의 증명은 더 복잡합니다(Lehmer 참조). 이 부등식을 이용하여 나머지 항의 크기를 다음과 같이 추정할 수 있습니다. R p ≤ 2 ζ ( p ) ( 2 π ) p ∫ m n f ( p ) ( x ) d x . {\displaystyle \left R_{p}\right \leq {\frac {2\zeta(p)}{(2\pi )^{p}}\int_{m}^{n}\left f^{(p)}(x)\right \,dx.}
저차 케이스 B 1 B 7 베르누이 수 / 2 1 / 6 / 30 1 / 42 따라서 오일러-매클로린 공식의 저차 경우는 다음과 같습니다.
∑ i = m n f ( i ) − ∫ m n f ( x ) d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + ∫ m n f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − ∫ m n f ″ ( x ) P 2 ( x ) 2 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! + ∫ m n f ‴ ( x ) P 3 ( x ) 3 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − 1 30 f ‴ ( n ) − f ‴ ( m ) 4 ! − ∫ m n f ( 4 ) ( x ) P 4 ( x ) 4 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − 1 30 f ‴ ( n ) − f ‴ ( m ) 4 ! + ∫ m n f ( 5 ) ( x ) P 5 ( x ) 5 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − 1 30 f ‴ ( n ) − f ‴ ( m ) 4 ! + 1 42 f ( 5 ) ( n ) − f ( 5 ) ( m ) 6 ! − ∫ m n f ( 6 ) ( x ) P 6 ( x ) 6 ! d x = f ( m ) + f ( n ) 2 + 1 6 f ′ ( n ) − f ′ ( m ) 2 ! − 1 30 f ‴ ( n ) − f ‴ ( m ) 4 ! + 1 42 f ( 5 ) ( n ) − f ( 5 ) ( m ) 6 ! + ∫ m n f ( 7 ) ( x ) P 7 ( x ) 7 ! d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2! }}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2! }}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2! }}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3! }}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2! }}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4! }}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4! }}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2! }}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4! }}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5! }}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2! }}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4! }}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6! }}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6! }}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2! }}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4! }}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6! }}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7! }}\,dx. \end{align}}}
적용들 바젤 문제 바젤 문제 는 합계를 결정하는 것입니다.
1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . {\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}
오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 몇 항만으로 이 합을 소수점 20자리까지 계산했습니다. 이것은 아마도 그가 같은 해에 증명한
다항식을 포함하는 합 만약 f가 다항식 이고 p 가 충분히 크면 나머지 항은 사라집니다. 예를 들어, f (x )x
∑ i = 0 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 . {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2 }}\right)^{2}.
적분의 근사 이 공식은 유한 적분을 근사하는 수단을 제공합니다. a b 근사에 사용할 점의 수인 N 을 고정하고 해당 스텝 크기 b a N 1 Set xi = a + (i − 1)h x 1 = a xN = b 그러면.[5]
I = ∫ a b f ( x ) d x ∼ h ( f ( x 1 ) 2 + f ( x 2 ) + ⋯ + f ( x N − 1 ) + f ( x N ) 2 ) + h 2 12 [ f ′ ( x 1 ) − f ′ ( x N ) ] − h 4 720 [ f ‴ ( x 1 ) − f ‴ ( x N ) ] + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned} I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}
이는 교정용어가 포함됨으로써 사다리꼴 규칙 의 확장으로 볼 수 있습니다. 이 점근적 팽창은 일반적으로 수렴하지 않으며, f 와 h 에 따라 p 가 있으므로 과거의 p차항 이 빠르게 증가합니다. 따라서 나머지 기간은 일반적으로 세심한 주의를 요합니다.[5]
오일러-매클로린 공식은 수치 직교 의 상세한 오차 분석 에도 사용됩니다. 매끄러운 주기 함수 에 대한 사다리꼴 규칙의 우수한 성능을 설명하고 특정 외삽 방법 에 사용됩니다. 클렌쇼-커티스 직교 는 본질적으로 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확한 (특히 오일러-매클로린 공식은 이산 코사인 변환 의 형태를 취한다) 주기 함수의 적분 측면에서 임의의 적분을 캐스팅하기 위한 변수의 변화입니다. 이 기술은 주기적 변환이라고 알려져 있습니다.
합의 점근적 전개 합과 급수 의 점근적 전개 를 계산하는 맥락에서, 보통 오일러-맥라우린 공식의 가장 유용한 형태는
∑ n = a b f ( n ) ∼ ∫ a b f ( x ) d x + f ( b ) + f ( a ) 2 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( b ) − f ( 2 k − 1 ) ( a ) ) , {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)! }}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}
여기 서 a와 b 는 정수입니다.[6] 종종 - ∞ 또는 b → + ∞ 또는 둘 다를 한계로 한 후에도 확장이 유효합니다. 많은 경우에 우변의 적분은 좌변의 합이 그렇지 않더라도 기본 함수 의 측면에서 닫힌 형태 로 평가될 수 있습니다. 그러면 점근 급수의 모든 항은 기본 함수로 표현될 수 있습니다. 예를들면,
∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) 2 ∼ ∫ 0 ∞ 1 ( z + k ) 2 d k ⏟ = 1 z + 1 2 z 2 + ∑ t = 1 ∞ B 2 t z 2 t + 1 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2 }}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2 }}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}
여기서 좌변은 ψ(z), 즉 다음에 의해 정의되는 1차 다감마 함수와 같습니다.
ψ ( 1 ) ( z ) = d 2 d z 2 로그. Γ ( z ) ; {\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}\log \Gamma(z);} 감마 함수 γ(z)는 z 가 양의 정수 일 때 (z - 1)!과 같습니다 . 그러면 ψ(z)에 대한 점근적 확장이 발생합니다. 이 확장은 차례로 스털링 의 요인 함수 근사에 대한 정확한 오차 추정치를 도출하는 출발점이 됩니다.
예 s 가 1보다 큰 정수이면 다음과 같습니다.
∑ k = 1 n 1 k s ≈ 1 s − 1 + 1 2 − 1 ( s − 1 ) n s − 1 + 1 2 n s + ∑ i = 1 B 2 i ( 2 i ) ! [ ( s + 2 i − 2 ) ! ( s − 1 ) ! − ( s + 2 i − 2 ) ! ( s − 1 ) ! n s + 2 i − 1 ] . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)! }}\left[{\frac {(s+2i-2)! }{(s-1)! }}-{\frac {(s+2i-2)! }{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}
상수들을 리만 제타 함수의 값으로 모으면 점근 전개를 쓸 수 있습니다.
∑ k = 1 n 1 k s ∼ ζ ( s ) − 1 ( s − 1 ) n s − 1 + 1 2 n s − ∑ i = 1 B 2 i ( 2 i ) ! ( s + 2 i − 2 ) ! ( s − 1 ) ! n s + 2 i − 1 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)! }}{\frac {(s+2i-2)! }{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.
2 와 같은 경우 이는 다음과 같이 단순화됩니다.
∑ k = 1 n 1 k 2 ∼ ζ ( 2 ) − 1 n + 1 2 n 2 − ∑ i = 1 B 2 i n 2 i + 1 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},} 아니면 ∑ k = 1 n 1 k 2 ∼ π 2 6 − 1 n + 1 2 n 2 − 1 6 n 3 + 1 30 n 5 − 1 42 n 7 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}
s 1 인 경우 해당 기법은 고조파 수 에 대해 점근적 확장을 제공합니다.
∑ k = 1 n 1 k ∼ γ + 로그. n + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},} where γ ≈ 0.5772... 오일러-마스케로니 상수 입니다.
증명 수학적 귀납법에 의한 도함수 우리는 Apostol에서 제시된 주장의 개요를 설명합니다.[1]
위 0, 1, 2, ...에 대한 베르누이 다항식 B (x )함수 (x ) 를 소개했습니다.
처음 몇 개의 베르누이 다항식은
B 0 ( x ) = 1 , B 1 ( x ) = x − 1 2 , B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 , B 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 x , B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned} B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}
값n (1) 은 베르누이 수 B n n ≠ 1의 경우
B n = B n ( 1 ) = B n ( 0 ) , {\displaystyle B_{n}= B_{n}(1)= B_{n}(0),} and for n = 1 B 1 = B 1 ( 1 ) = − B 1 ( 0 ) . {\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}
함수 P n [0, 1] 에서 베르누이 다항식과 일치하며 주기 1과 함께 주기적 입니다. 또한 1 인 경우를 제외하고는 연속적입니다. 따라서,
P n ( 0 ) = P n ( 1 ) = B n 위해서 n ≠ 1. {\displaystyle P_{n}(0)= P_{n}(1)= B_{n}\quad {\text{for }}n\n eq 1.}
k
∫ k k + 1 f ( x ) d x = ∫ k k + 1 u d v , {\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,} 어디에 u = f ( x ) , d u = f ′ ( x ) d x , d v = P 0 ( x ) d x 부터 P 0 ( x ) = 1 , v = P 1 ( x ) . {\displaystyle {begin{aligned}u&=f(x),\du&=f'(x)\, dx,\\dv&= P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x). \end{align}}}
부품별 로 통합하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있습니다.
∫ k k + 1 f ( x ) d x = [ u v ] k k + 1 − ∫ k k + 1 v d u = [ f ( x ) P 1 ( x ) ] k k + 1 − ∫ k k + 1 f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x = B 1 ( 1 ) f ( k + 1 ) − B 1 ( 0 ) f ( k ) − ∫ k k + 1 f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}
B (0)-1/ 2, B(1) = 1/2를 사용하고, 위의 내용을 k = 0에서 k = n - 1까지 합하면, 우리는
∫ 0 n f ( x ) d x = ∫ 0 1 f ( x ) d x + ⋯ + ∫ n − 1 n f ( x ) d x = f ( 0 ) 2 + f ( 1 ) + ⋯ + f ( n − 1 ) + f ( n ) 2 − ∫ 0 n f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}
양쪽 f (n ) f( 2
∑ k = 1 n f ( k ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + f ( n ) − f ( 0 ) 2 + ∫ 0 n f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}
이것은 합 공식 경우 입니다. 유도를 계속하기 위해 부품별 적분을 오차항에 적용합니다.
∫ k k + 1 f ′ ( x ) P 1 ( x ) d x = ∫ k k + 1 u d v , {\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,} 어디에 u = f ′ ( x ) , d u = f ″ ( x ) d x , d v = P 1 ( x ) d x , v = 1 2 P 2 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x). \end{align}}}
부품별로 통합한 결과는
[ u v ] k k + 1 − ∫ k k + 1 v d u = [ f ′ ( x ) P 2 ( x ) 2 ] k k + 1 − 1 2 ∫ k k + 1 f ″ ( x ) P 2 ( x ) d x = B 2 2 ( f ′ ( k + 1 ) − f ′ ( k ) ) − 1 2 ∫ k k + 1 f ″ ( x ) P 2 ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}
k 0 부터 k = n - 1까지 합산하고 이를 하위 차수 오차항에 대입하면 공식의 p = 2 경우가 됩니다.
∑ k = 1 n f ( k ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + f ( n ) + f ( 0 ) 2 + B 2 2 ( f ′ ( n ) − f ′ ( 0 ) ) − 1 2 ∫ 0 n f ″ ( x ) P 2 ( x ) d x . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}
이 과정을 반복할 수 있습니다. 이러한 방식으로 우리는 수학적 귀납법 에 의해 공식화될 수 있는 오일러-맥라우린 합산 공식의 증명을 얻으며, 이 공식은 유도 단계가 주기적인 베르누이 함수에 대한 부분별 통합과 항등식에 의존합니다.
참고 항목 참고문헌 ^ a b Apostol, T. M. (1 May 1999). "An Elementary View of Euler's Summation Formula". The American Mathematical Monthly 106 (5): 409–418. doi :10.2307/2589145 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2589145 .^ "Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences" . National Institute of Standards and Technology .^ Lehmer, D. H. (1940). "On the maxima and minima of Bernoulli polynomials". The American Mathematical Monthly 47 (8): 533–538. doi :10.2307/2303833 . JSTOR 2303833 .^ Pengelley, David J. (2007). "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula". Euler at 300 . MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. pp. 169–189. arXiv :1912.03527 MR 2349549 . ^ a b Devries, Paul L.; Hasbrun, Javier E. (2011). A first course in computational physics (2nd ed.). Jones and Bartlett Publishers. p. 156. ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Dover Publications . pp. 16, 806, 886. ISBN 978-0-486-61272-0 더보기 외부 링크
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ab63e78c5bf0d85e4d0d7391883d5457025978)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74bba0fefc07c90b9eb752cb72358f54b1ad3b2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8025cd6b9b630485eda98e72fce7c31a2e6245ff)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5e2b4c4601927898b969a856ce5f38cfe2c85b)
