쌍곡선 함수의 통합 목록

다음은 쌍곡선 함수의 통합(파괴방지 함수) 목록이다. 통합 기능의 전체 목록은 통합 목록을 참조하십시오.

모든 공식에서 상수 a는 0이 아닌 것으로 가정하며, C는 통합의 상수를 나타낸다.

쌍곡선 사인 함수만 포함하는 통합

${\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}\cosh ax+C}$

${\displaystyle \int \sinh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{1}{4a}\sinh 2ax-{\frac}{x}{2}}+C}$

${\displaystyle \int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac{1}{1}an}(\sinh ^{n-1}ax)(\cosh ax)-{n1}{n}\int \sinh ^{n-2}}ax\,dx\qad{\mbox{}}}}$

또한:⁡ xd)=1(벌 ⁡ 관세 감축)− n+2n+1∫sinh n+2⁡ xd)(n<>;0, n≠ − 1){\displaystyle \int\sinh ^{n}ax\,dx={\frac{1}{a(n+1)}}(\sinh ^{n+1}ax)(\cosh 도끼)-{\frac{n+2}{n+1}}\int\sinh ^{n+2}ax\,dx\qquad{\mbox{(를}}n<, 0{\mbox{,}sinh 법에(n+1)(sinh n+1⁡ 관세 감축)∫.}n\neq$-1{\mbox{)$$}}}$

${\displaystyle \int{\frac {dx}{\sinh ax}={\frac {1}{a}\ln \left \tanh {\frac}{2}}\오른쪽 +C}$

또한: $\int {\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ x ${\displaystyle \frac{\sinh }{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$= 1 ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{\cosh }{}}$ ${\displaystyle \frac{-}{}}$ x - 1 ${\displaystyle \frac{\sinh }{}}$ ${\displaystyle a}$ x - 1 sinh $\$ ${\displaystyle \frac{x}{}\frac{}{}}$+ C ${\prac$ {$dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \frac \{a}}}}}{\cosh ax-1}}}{pinh$ orh \$righ$}}}}}{c}}}}}}}{$ch$ orh$\ch$ \ch ax}

${\displaystyle \int{\frac {dx}{\sinh acx}={\frac {1}{a}\ln \좌측 {\frac {\sinh acx}{\cosh acx+1}}{\cosh acx+1}\오른쪽 +C}$

${\displaystyle \int{\frac {dx}{\sinh ax}={\frac {1}{2a}\ln \좌측 {\frac {\cosh ax-1}{\cosh ax+1}{\cosh ax+1}\오른쪽 +C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh ^{n}ax}}=-{\frac {\cosh ax}{a(n-1)\sinh ^{n-1}ax}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x\sinh ax\,dx={\frac {1}{a}x\cosh ax-{1}{a^{2}}}\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int (\sinh ax)(\sinh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh bx)(\cosh ax)-b(\cosh bx)(\sinh ax){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}}$

쌍곡선 코사인 함수만 포함하는 통합

${\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int \cosh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{1}{4a}\sinh 2ax+{\frac}{x}{2}}+C}$

${\displaystyle \int \n}ax\,dx={\frac{1}{1}{n-1}ax(\cosh ^{n-1}ax)+{\frac{n-1}}\int \cosh ^{n-2}ax\,dx\qad{\mbox{}}}}$

또한:⁡ xd))− 1(n+1)(sinh ⁡ 관세 감축)(cosh n+1⁡ 관세 감축)+n+2n+1∫cosh n+2⁡ xd)(n<>;0, n≠ − 1){\displaystyle\int\cosh ^{n}ax\,dx=-{\frac{1}{a(n+1)}}(\sinh 도끼)(\cosh ^{n+1}ax)+{\frac{n+2}{n+1}}\int\cosh ^{n+2}ax\,dx\qquad{\mbox{(를}}n<0{\mbox{cosh n∫.,}}n\$neq -1{\mbox{)$$}}}$

${\displaystyle \int{\frac {dx}{\cosh ax}={\frac {2}{a}\arctan e^{ax}+C}$

또한: $\int {\displaystyle }$ ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{\cosh }{}}$ ${\displaystyle \frac{ax}{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{아크탄}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \sinh a}$a${\displaystyle }$) + ${\displaystyle C}$ ${\pressstyle \int${\frac {dx$}{\cosh ax}={\frac$ {$1}{a}\arctan(\sinh ax)++$$C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cosh ^{n}ax}}={\frac {\sinh ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x\cosh ax\,dx={\frac {1}{a}x\sinh ax-{1}{a^{2}}}\cosh ax+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\cosh ax\,dx=-{\frac {2x\cosh ax}{2}}:}\왼쪽({\frac {x^{2}}:{a}+{2}{a^{3}\오른쪽)\sinh ax+C}$

${\displaystyle \int (\cosh ax)(\cosh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh ax)(\cosh bx)-b(\sinh bx)(\cosh ax){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cosh(ax)}}={\frac {2}{a}}{\frac {1}{1+e^{-ax}}}+C}$ or ${\displaystyle {\frac {2}{a}}}$ times The Logistic Function

기타 통합

쌍곡선 탄젠트, 코탄젠트, 제2차, 코섹트 함수의 통합

$\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh ^{2}ax\,dx=x-{\frac {\tanh ax}{a}+C}$

${\displaystyle \int \tanh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\tanh ^{n-1ax+\int \tanh ^{n-2}ax\,dx\qquad{\mbox{{}}}}}}n\n\n\mbox}}}}$

${\displaystyle \int \cot x\,dx=\ln \sinh x +C,{\text{{}x\neq 0}$

${\displaystyle \int \cots \int \cots\{n}ax\,dx=-{\frac{1}{a(n-1)}\coth ^{n-1}ax+\int \coth ^{n-2}ax\,dx\qquad{\mbox{{{}}}}}$

${\displaystyle \int \int \sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}$

${\displaystyle \int \csch} \x\,dx=\ln \좌측 \tanh {x \over 2}\오른쪽 +C=\ln \좌측 \coth {x}-\operatorname {x}{x}\오른쪽 +C,{\text{{x\neq 0}$

쌍곡선 사인 및 코사인 함수와 관련된 통합

${\displaystyle \int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh ax)(\sinh bx)-b(\cosh ax)(\cosh bx){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx={\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(n-m)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}}$

also: ${\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx=-{\frac {\cosh ^{n+1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-m+2}{m$$-1}\int{\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m-2}ax}dx\qquad{\mbox{}}({}m\neq 1{\mbox{)$$}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx=-{\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx={\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(m-n)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-m}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx={\frac {\sinh ^{m+1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx=-{\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

쌍곡선 및 삼각함수와 관련된 통합

${\displaystyle \int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{a^{2}+c^{2}}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)++C}$

${\displaystyle \int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{a^{2}+c^{2}}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)++C}$

${\displaystyle \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{a^{2}+c^{2}}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)++C}$

${\displaystyle \int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{a^{2}+c^{2}}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}}\코시(ax+b)\신(cx+d)++C}$