차액지수

단변량 미적분학에서 차이 인수는 보통 식에 대한 이름이다.

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

h가 0에 가까워질 때 한계에 도달하면 함수 f의 파생형이 된다.^[1][2][3][4] 표현식의 명칭은 함수의 값 차이에 대한 인수가 함수의 해당 값 차이(이 경우 후자는 (x + h) - x = h이다)^[5][6]라는 사실에서 유래한다. 차이 지수는 한 구간(이 경우, 길이 h의 구간)에 대한 함수의 평균 변화율을 측정한 값이다.^{[7][8]: 237 [9]} 따라서 차이 지수(즉, 파생상품)의 한계는 순간적인 변화율이다.^[9]

표기법(및 관점)의 약간 변경에 의해, 간격 [a, b]에 대한 차이 지수

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

구간[a, b]에 걸쳐 f의 파생상품의 평균(또는 평균)값이라고 한다^[5]. 이 이름은 다른 기능 f의 경우, 파생상품 f′가 구간의 어느 시점에 평균값에 도달한다는 것을 기술하는 평균값 정리에 의해 정당화된다.^[5] 기하학적으로 이 차이 인수는 좌표(a, f(a)) 및 (b, f(b))로 점을 통과하는 세컨트 선의 기울기를 측정한다.^[10]

차이 인용구는 수치적 분화의 근사치로 사용되지만,^[8] 이 적용에서도 비판의 대상이 되어 왔다.^[11]

차이 인수는 때때로 뉴턴 인지도^{[10][12][13][14]}(아이작 뉴턴 이후) 또는 페르마의 차이 인지도(피에르 드 페르마 이후)라고도 불린다.^[15]

개요

위에서 논의한 차액지수의 전형적인 개념은 보다 일반적인 개념의 특정한 경우다. 미적분학과 다른 고등 수학의 주된 수단이 기능이다. 그것의 "입력 값"은 그 주장으로, 보통 그래프에서 표현 가능한 점("P")이다. 두 점의 차이는 그 자체로 델타(ΔP)라고 알려져 있으며, 함수 결과의 차이와 마찬가지로 특정 표기법은 형성 방향에 의해 결정된다.

• 전방차: ΔF(P) = F(P + ΔP) - F(P);
• 중심 차이: ΔF(P) = F(P + ΔP) - F(P - ΔP);
• 후진차: :F(P) = F(P) - F(P - ΔP)

F(P)가 기본이기 때문에 일반적인 선호도는 전진 방향이며, 차이(예: "ΔP")가 여기에 추가된다. 더 나아가

• ΔP가 유한한 경우(측정 가능한 의미) ΔF(P)는 DP와 DF(P)의 특정 변호를 갖는 유한차이로 알려져 있다.
• If ΔP is infinitesimal (an infinitely small amount—${\displaystyle \iota }$—usually expressed in standard analysis as a limit: ${\displaystyle \lim _{\Delta P\rightarrow 0}\,\!}$), then ΔF(P) is known as an infinitesimal difference, with specific denotations of dP and dF(P) (in calculus graphing, the point is almost는 "x"로, F(x)는 "y"로 독점적으로 식별된다.

함수 차이를 점 차이로 나눈 값을 "차이 지수"라고 한다.

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!}$

ΔP가 최소치인 경우 차이점 지수는 파생상품이고, 그렇지 않은 경우 다음과 같이 구분된 차이다.

${\displaystyle {\text{만약 }} \Delta P ={\mathit{\iota }:\quad {\frac {\delta F(P)}{\dF(P)}{dP}=F'(P)=G(P);\!}$

${\displaystyle {\text{}}} \Delta P >{\mathit{\iota }:\quad {\frac {\delta F(P)}{\Delta P}}}{\frac {DF(P)}{DP}=F[P,P+\Delta P].\,\!}$

점 범위 정의

ΔP가 미미하거나 유한한 것과 상관없이, (최소한, 파생상품의 경우 이론적으로) 포인트 범위가 있으며, 여기서 경계가 P ± (0.5) ΔP (방향—ΔF(P), ΔF(P) 또는 ΔF(P)인 경우:

LB = 하한, UB = 상한;

파생상품은 자체 파생상품을 보유하는 기능 그 자체로 간주될 수 있다. 따라서 각 함수는 파생 또는 분화의 순차적 도("높은 순서")에 위치한다. 이 특성은 모든 차이 인수로 일반화할 수 있다.
이 시퀀싱에는 해당 경계 스플리터링이 필요하므로 각 구간을 중간점(P_i)으로 표시하여 점 범위를 더 작은 등거리 구간으로 분할하는 것이 실용적이며, 여기서 LB = P와₀ UB = P_ń, n번째 점은 도/순서와 동일하다.

  류)Po는 교정된 동력)Po는 교정된 동력+0Δ1P)Pń−(Ń-0)Δ1P, P1)Po는 교정된 동력+1Δ1P)Pń−(Ń-1)Δ1P, P2)Po는 교정된 동력+2Δ1P)Pń−(Ń-2)Δ1P;P3)Po는 교정된 동력+3Δ1P)Pń−(Ń-3)Δ1P, ↓↓ ↓ ↓ Pń-3)Po는 교정된 동력+(Ń-3)Δ1P)Pń − 3Δ1P, Pń-2)Po는 교정된 동력+(Ń-2)Δ1P)Pń − 2Δ1P, Pń-1)Po는 교정된 동력+(Ń-1)Δ1P)Pń − 1Δ1P, UB)Pń-0.)Po는 교정된 동력+(Ń-0)Δ1P)Pń − 0Δ1P)Pń을 말한다. 

  ΔP = Δ1P = P1 − P0 = P2 − P1 = P3 − P2 = ... = Pń − Pń-1; 

  ΔB = UB - LBń = P - P = ΔP0ń = ΔP1.  

1차 차이 지수(단위: 1)

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}.\,\!}$

파생상품으로서

파생상품으로서의 차이지수는 P가₀ 본질적으로 P₁ = P₂ = ...와 같기 때문에 그 점을 지적하는 것 외에는 설명이 필요하지 않다. = P_ń(차이가 극미미하기 때문에 라이프니즈 표기법과 파생 표현식은 P 대 P 또는₀ P_ń:

${\displaystyle {\frac {dF(P)}{dP}={\frac {F(P_{1}-F(P_{0})}{d}P}}=F'(P)=G(P).\,\!}$

다른 파생상품 명칭도 있지만, 가장 인정받는 표준 명칭이다.

분단차이로서

그러나 분단된 차이는 LB와 UB 사이의 평균 파생상품과 같기 때문에 추가적인 설명이 필요하다.

${\displaystyle {\begin}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{U-1}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}\Delta B;\[10pt]&{}\qquad {\color {white}}}(P_{(1)=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white}.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{{TN=1}^{UT=\inflt }{\frac {F'(P_{(tn)}}}{{n}}}{{n}}}}}{UT}}.\end{aigned}}$

이 해석에서 P는_ã 추출한 함수, P의 평균값(미드레인지, 그러나 보통 정확히 중간점은 아님)을 나타내며, P의 평균값을 추출한 함수 평균에 따른 특정 평가값을 나타낸다. 보다 형식적으로 P는_ã 미적분학의 평균값 정리에서 발견되는데, 다음과 같다.

[LB,UB]에 연속적이고 (LB,UB)에 구별이 가능한 기능에 대해서는 간격(LB,UB)에 일부 P가_ã 존재하여 [LB,UB] 구간의 끝점을 연결하는 세컨트가 P의_ã 접선과 평행하게 된다.

본질적으로 P는_ã LB와 UB 사이의 P의 가치를 나타낸다.

${\displaystyle P_{\tilde{a}:=LB<P>=P_{0}<P>P_{\\acute{n}\,\!}$

평균값 결과를 분할된 차이와 연결:

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {DF(P_{0})}{{}}{{}}}{DP}&=F[]P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0}}}}}{{0}}}}{P_{1}-P_{0}}=F'(P_{0}<P<P_{1}=\sum _{{TN=1}^{UT=\inflt }{\frac {F'(P_{(tn)}}}{{n}}}{{n}}}}}{UT},\\\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}{\frac {\delta F(LB)}{\delta B}}}{\fracta B},\[8pt]=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB},\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<P>UB)=G(LB<P>UB)={\frac {F(UB)-F(LB).\end{정렬}}}$

정의상 LB₀/P와 UB/P_ń 사이에 가시적인 차이가 있는 것처럼 라이프니즈와 파생 표현은 함수 인수의 분리가 필요하다.

고차차인용도

두 번째 순서

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0}}}}{\Delta _{1}P^{2}}:\end{arged}}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}={\frac {dF'(P)}{dP}}}{dP}={\frac {F'(P_{1}-F'){dPT}}{dP,\\10pt]=\\\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0}}}}{dP},\[10pt]&&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0}}}}{d}P^{2}}},\[10pt]&=F"(P)=G'(P)=H(P)\end{aigned}}}$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{{}}{{}}}{DP^{2}}:}&={\frac {DF'(P_{0}})}{{DP}={\frac {F'(P_{1}<P<P>_{2}-F'(P_{0}<P>)P_{1}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&색상은 흰색.}\\qquad \neq {\frac {F'(P_{1}-F'(P_{0})}{{}}}{{}}}{P_{1}-P_{0}},\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0}}}{{{0}}}{(P_{1}-P_{0})}{{2}}},\,\[10pt]&.=F"(P_{0}<P<P_{2}=\sum _{{TN=1}^{\inflt }{\frac {F"(P_{(tn)}}}{{n}}}{{n}}}{{n}}}}{UT},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2}=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{정렬}}$

세 번째 순서

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1}-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}};\end{aigned}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}\\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}}{dP}\\\\[10pt]{\frac {G'}}}\\\\\\\fract}색상은 흰색.}\\qquad \qquad \ ={\frac {dH(P)}{dP}\}\{dP}\{\frac {H(P_{1}-H(P_{0}}}}}}{dP},\[10pt]&&gt;={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0}}){d}P^{2}}},\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1}-F(P_{0})}{d}P^{3}},\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H'(P)=I(P);\end{aigned}}}$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{{}}{{}}}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{{}}}{DP^{2}}:}={\frac {DF"(P_{0}})}{{DP}}={\frac {F"(P_{1}<P<P_{3}-F")(P_{0}<P>)P_{2}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&색상은 흰색.}\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\neq {\\frac {F"(P_{1}-F")(P_{0}}}}}}{}}}}}}{}}}}}}}}}P_{1}-P_{0}},\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1}}{P_{1}-P_{0}}}{P_{1}-P_{0}}}},\[10pt]&={\frac {F'(P_{2})<P<P_{3}-2F''(P_{1}{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P>)P_{1}}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{3}=\sum _{{TN=1}^{UT=\inflt }{\frac {F'''(P_{(tn)}}}{{}}}}{UT},\\[10pt]&=G"(P_{0}<P<P_{3}\ =H'(P_{0}<P<P_{3}=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{정렬}}$

N번째 순서

${\displaystyle {\begin{aigned}\Delta ^{\n}F(P_{0})&=F^{{\acute{n1}-{1}-F^{{\acut{n1}-{{n1}-1}{{\{0}),\\[10pt]&&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&색상은 흰색.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aigned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\델타 _{1}P^{\acute{n}}\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\fract {d^{\n}F(P_{0})}{d}P^{\acute{n}}&={\frac {d^{{\acute{n1}F'(P_{0})}{d}P^{{\acute{n1}-1}={\frac {d^{\n}-2}F"(P_{0}){d}}P^{{\acute{n}-2}}={\frac {d^{\}{n}-3}F''''(P_{0}}}}{d){dP^{{\acut{n}-3}=\cdots ={\frac {d^{\n}-r}F^{\acut{n}{n}-r}F^{(r)}(P_{0})}{d}}}{d}P^{{\acute{n}-r}},\[10pt]&={\frac {d^{\acute{n1}-1}G(P_{0}){d}P^{{\acute{n1}-1}\\[10pt]&={\frac {d^{\acute{n}-2}G'(P_{0}){d}P^{{\acute{n}-2}}=\\frac {d^{\c}{n}-3}G"(P_{0}}){d}P^{{\acut{n}-3}=\cdots ={\frac {d^{{\acut{n}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{d}}P^{{\acute{n}-r}},\[10pt]&색상은 흰색.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{\n}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute{n}-2}}=\\frac {d^{\n}-3}H'(P_{0})}{d}}P^{{\acut{n}-3}=\cdots ={\frac {d^{\n}-r}H^{\acut{n}{n}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{d}}{d}P^{{\acute{n}-r}},\&#{\color {white}.}\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \=\\\frac {d^{\n}-3}I(P_{0})}{d}}}{d}P^{{\acut{n}-3}=\cdots ={\frac {d^{\n}-r}I^{{n}}{n}-r}I^{(r-3)}(P_{0}}}}}}{d}}P^{{\acute{n}-r}},\[10pt]&=F^{{\acute{n}}}(P)=G^{{\acute{n1}-1)}(P)=H^{\acut{n}-2)}(P)=I^{{\acute{n}-3)}(P)=\cdots \end{aigned}}}$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\fract {D^{\n}F(P_{0})}{{n}}}{DP^{\acute{n}}&=F[]P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots,P_{{\acut{n}-3},P_{\acut{n}-2},P_{\acut{n1}-1},P_{\acut{n1},\10pt]&=F^{{\acute{n}}}(P_{0}<P<P_{\acute{n}}=\sum _{{n}TN=1}^{UT=\flac {F^{{\acut{n}}}(P_{(tn)}}}{{\fracc {f^}}}{{{n}}}}}}{{n}}}}}}}}{{praccut}}}}}}}{UT},\\[10pt]&=F^{{\acut{n}}(LB<P<UB)=G^{{\acut{n1}-1}(LB<P<UB)=\cdots \ended}}}}}}$

분할된 차이 적용

분할된 차이의 본질적 적용은 한정된 차이에 지나지 않는 한정된 적분의 표시에 있다.

${\displaystyle {\begin}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{LB}^{LB}}}UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\[10pt]&=F'(LB<P>UB)\Delta B,\\[10pt]&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{정렬}}}$

평균값, 파생상품표현 양식이 고전적 적분 표기법과 모든 동일한 정보를 제공하므로, 표준 ASCII 텍스트만 지원/수락하는 서면 장소나 평균 파생상품(예: 평균 반지름을 찾는 경우)만 필요한 경우 등 평균값표현 양식이 선호될 수 있다. 타원 적분). This is especially true for definite integrals that technically have (e.g.) 0 and either ${\displaystyle \pi \,\!}$ or ${\displaystyle 2\pi \,\!}$ as boundaries, with the same divided difference found as that with boundaries of 0 and ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}}$ (thus r평균화 작업 감소:

${\displaystyle{\begin{정렬}\int _ᆱ^ᆲF'(p)\,dp&, =4\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi)-F(0)=4(F({\begin{매트릭스}{\frac{\pi}{2}}\end{매트릭스}})-F(0)),\\[10pt]&, =2\pi F[0,2\pi]=2\pi F'(0&lt을 말한다.P<, 2\pi),\\[10pt]&, =2\pi F[0,{\begin{매트릭스}{\frac{\pi}{2}}\end{매트릭스}}]=2\pi F'(0&lt을 말한다.P<,{\begin{행렬}{\frac{\pi}{2}}\end{매트릭스}}).\end{정렬}}}$

이는 반복 및 다중 통합(ΔA = AU - AL, ΔB = BU - BL, ΔC = CU - CL):

${\displaystyle {\begin{aigned}&{}\qquad \int \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BL}^{}}}}}}BU}\int _{AL}^{AU}F(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\potty }\왼쪽(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\flight(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\pupty }F^{'}(R_{(tc)):Q_{(tb):P_{(ta)}{\frac {\Delta A}{U\!A}\오른쪽){\frac {\Delta B}{U\!B}\오른쪽){\frac {\Delta C}{U\!C},\\[10pt]&=F'(C\!L)블리시끄러워!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{정렬}}}$

그러므로,

${\displaystyle F'(R,Q:AL<P>=\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\nflt }{\frac {F'(R,Q:P_{(타)}}}{{pa}}{{}}}}{U\!A};\,\!}$

그리고

$F'(R:BL<Q<BU:AL>=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\flight(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\put }{\frac {F'(R:Q_{(tb):P_{(ta)}}}{U\!A}\오른쪽){\frac {1}{U\!B}.\,\!}$

참고 항목

• 구분차이
• 페르마 이론
• 뉴턴 다항식
• 직사각형법
• 지분의 법칙
• 대칭차지수

참조

외부 링크

• 세인트빈센트 칼리지: Br. 데이비드 칼슨, 산부인과 의사—MA109 차이 지수
• 버밍엄 대학교: Dirk Hermans—분할된 차이점
• Mathworld:
  • 분할 차이
  • 평균값 정리
• 위스콘신 대학교: 토마스 W. 렙스와 루이 B. 랄 - 컴퓨터 분할 차이 및 분할 차이 산술
• 파생 모델을 설명하는 차이에 대한 인터랙티브 시뮬레이터