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테셀레이션

Tessellation
Marrakech젤리게테라코타 타일, 모서리 대 가장자리, 일반 테셀레이션 및 기타 테셀레이션
M. C. 에셔의 예술적인 테셀레이션을 기념하는 루워든의 벽 조각품

테셀레이션 또는 타일은 겹치거나 틈이 없는 하나 이상의 기하학적 도형(타일)을 사용하는 표면(종종 평면)의 덮개입니다.수학에서 테셀레이션은 더 높은 차원과 다양한 기하학으로 일반화될 수 있습니다.

정기 타일링은 반복 패턴을 가집니다.일부 특수한 종류에는 모두 같은 모양의 일반 다각형 타일을 사용하는 일반 타일링과 둘 이상의 모양과 모든 모서리가 동일하게 배열된 일반 타일을 사용하는 반정규형 타일링이 있습니다.주기 타일링에 의해 형성되는 패턴은 17개의 벽지 그룹으로 분류할 수 있습니다.반복 패턴이 없는 타일을 "비주기적"이라고 합니다.비주기 타일링은 반복 패턴을 형성할 수 없는 작은 타일 모양 집합을 사용합니다.공간 채우기 또는 벌집이라고도 하는 공간의 테셀레이션은 고차원의 기하학에서 정의할 수 있습니다.

실제 물리적 테셀레이션은 시멘트로 세라믹 사각형이나 육각형과 같은 재료로 만들어진 타일링입니다.이러한 타일링은 장식 패턴일 수도 있고 내구성과 내수성을 갖춘 포장, 바닥 또는 벽 덮개 등의 기능을 가질 수도 있습니다.역사적으로 테셀레이션은 고대 로마와 모로코 건축과 알함브라 궁전의 장식 기하학적 타일링과 같은 이슬람 예술에서 사용되었다.20세기에, M. C. 에셔의 작업은 예술적 효과를 위해 일반적인 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학 모두에서 테셀레이션을 종종 사용했다.테셀레이션은 때때로 퀼팅에서 장식 효과를 위해 사용된다.테셀레이션은 벌집에서 발견되는 육각형 셀 배열에서와 같이 자연에서 패턴의 클래스를 형성합니다.

역사

고대 수메르 도시 우루크 4세(기원전 3400–3100)의 신전 모자이크. 색조 타일의 테셀레이션 패턴을 보여준다.

테셀레이션은 수메르인(기원전 4000년)이 점토 [1]타일의 패턴으로 형성된 벽장식에 사용되었습니다.

테세레라고 불리는 작은 네모난 블록으로 만들어진 장식 모자이크 타일링은 고전 [2]고대에 널리 사용되었고, 때때로 기하학적 [3][4]패턴을 나타내기도 했다.

1619년에 요하네스 케플러는 테셀레이션에 대해 초기에 문서화된 연구를 했다.그는 의 Harmonice Mundi에서 규칙적인 테셀레이션과 반규칙적인 테셀레이션에 대해 썼다; 그는 아마도 [5][6][7]벌집과 눈송이의 육각형 구조를 탐험하고 설명한 최초의 사람일 것이다.

로마 기하학적 모자이크

약 200년 후인 1891년, 러시아의 결정학자 예브그라프 표도로프는 비행기의 모든 주기적인 타일들이 17개의 다른 [8][9]등각선들 중 하나를 특징으로 한다는 것을 증명했다.표도로프의 작품은 테셀레이션의 수학적 연구의 비공식적인 시작을 알렸다.다른 유명한 공헌자들로는 알렉세이 바실리예비치 슈브니코프니콜라이 벨로프, [10]하인리히 히쉬와 오토 키엔즐레가 있다.[11]

어원학

라틴어로 테셀라는 모자이크를 [12]만드는데 사용되는 점토, 돌 또는 유리작은 입방체 조각이다."테셀라"라는 단어는 "작은 정사각형"을 의미합니다. (테세라에서 온 정사각형은 그리스어로 4를 뜻하는 έσε forα에서 온 것입니다.)그것은 흔히 유리 점토로 만들어진 테셀레이션의 응용을 가리키는 일상적인 용어인 타일링에 해당합니다.

개요

마름비트리헥사각형 타일링: 스페인 세비야 고고학 박물관의 타일 바닥으로 정사각형, 삼각형 및 육각형 원형 타일을 사용합니다.

평면 타일링이라고도 불리는 2차원의 테셀레이션은 주어진 규칙에 따라 타일로 알려진 도형이 어떻게 틈새 없이 평면을 채울 수 있는지를 연구하는 기하학의 주제이다.이러한 규칙은 변경할 수 있습니다.일반적인 것은 타일 사이에 틈이 없어야 하고 타일의 모서리가 다른 [13]가장자리를 따라 놓여서는 안 된다는 것입니다.접합된 벽돌 세공으로 작성된 테셀레이션은 이 규칙을 따르지 않습니다.이 중 일반 테셀레이션은 동일한 일반 타일과 동일한 일반 모서리 또는 정점을 가지며[a], 모든 [14]타일에 대해 인접한 모서리 사이의 각도가 동일합니다.이러한 규칙적인 테셀레이션을 형성할 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 세 가지뿐입니다.이 세 가지 모양 중 하나를 무한히 복제하여 평면[6]공백 없이 채울 수 있습니다.

다른 많은 유형의 테셀레이션이 다른 제약 조건 하에서 가능합니다.예를 들어, 둘 이상의 정다각형으로 만들어졌지만 모든 [15]모서리에 다각형 배열이 동일한 8가지 반규칙 테셀레이션이 있습니다.불규칙한 테셀레이션은 펜타곤, 폴리오미노, 그리고 사실 거의 모든 종류의 기하학적 모양과 같은 다른 모양들로부터도 만들어질 수 있다.예술가 M. C. 에셔는 동물과 다른 [16]자연물처럼 생긴 불규칙한 맞물림 타일로 테셀레이션을 만드는 것으로 유명하다.형상이 다른 타일에 적절한 대비 색상을 선택하면 스트라이크 패턴이 형성되어 교회 [17]바닥 등의 물리적 표면을 장식할 수 있다.

M. C. 에셔의 관심을 끌었던 스페인 알함브라 궁전의 유약 타일의 정교하고 화려한 젤리제 테셀레이션

좀 더 형식적으로 테셀레이션 또는 타일은 경계에서만 교차하도록 타일이라고 불리는 셀 수 있는 수의 닫힌 집합으로 유클리드 평면을 덮는 입니다.이러한 타일은 폴리곤 또는 다른 [b]도형일 수 있습니다.많은 테셀레이션은 테셀레이션의 모든 타일이 주어진 프로토타일과 일치하는 한정된 수의 프로토타일로 형성됩니다.기하학적 형상을 원형으로 사용하여 테셀레이션을 작성할 수 있는 경우, 그 형상을 테셀레이트 또는 평면 타일이라고 한다.Conway 기준은 특정 쉐이프가 반사 없이 평면을 주기적으로 타일링하는지 여부를 결정하기 위한 충분하지만 필요하지 않은 규칙 세트입니다. 일부 타일은 기준을 통과하지 못하지만 평면을 [19]타일링합니다.특정 도형이 평면을 타일링할 수 있는지 여부를 결정하는 일반적인 규칙은 발견되지 않았습니다. 이는 테셀레이션과 [18]관련하여 해결되지 않은 문제가 많다는 것을 의미합니다.

수학적으로 테셀레이션은 유클리드 평면이 아닌 [6]다른 공간으로 확장될 수 있습니다.스위스지리학자인 루드비히 슐레플리는 오늘날 수학자들이 폴리토프라고 부르는 폴리켐을 정의함으로써 이것을 개척했다.이것들은 다각형과 다면체의 유사체이며, 더 차원이 큰 공간에서의 다면체입니다.그는 또한 폴리토페스를 쉽게 묘사할 수 있도록 슐레플리 기호 표기법을 정의했다.예를 들어 정삼각형에 대한 슐레플리 기호는 {3}이고 정사각형에 대한 기호는 {4}[20]입니다.Schléfli 표기법을 사용하면 타일링을 간략하게 설명할 수 있습니다.예를 들어, 정육각형 타일링은 각 정점에 세 개의 6면 다각형으로 구성되어 있으므로 슐레플리 기호는 {6,3}[21]입니다.

폴리곤 타일링을 설명하는 다른 방법도 있습니다.테셀레이션이 정다각형으로 구성되어 있는 경우, 가장 일반적인 표기법은 정점 구성이며, 이것은 단순히 정점 주위의 다각형 변의 수 목록입니다.정사각형 타일의 정점 구성은 4.4.4.4 또는 4입니다4.일반 육각형 타일링은 6.6.6 또는 [18]6으로3 기재되어 있습니다.

수학에서

테셀레이션 소개

수학자들은 타일링을 논할 때 몇 가지 전문 용어를 사용한다.모서리는 두 개의 경계 타일 사이의 교차로, 종종 직선입니다.정점은 세 개 이상의 경계 타일의 교차점입니다.이러한 용어를 사용하여 등교 또는 정점 전이 타일링은 모든 정점이 동일한 타일링입니다. 즉, 각 정점에 대한 폴리곤 배열이 동일합니다.[18]기본 영역은 직사각형과 같은 모양을 [22]반복하여 테셀레이션을 형성합니다.예를 들어 정사각형이 있는 평면의 일반 테셀레이션은 모든 [18]정점에 네 개의 정사각형의 만남이 있습니다.

폴리곤의 변이 타일의 모서리와 동일할 필요는 없습니다.엣지엣지 타일은 인접한 타일이 한쪽 면만을 공유하는 폴리곤 테셀레이션입니다.즉, 타일이 다른 타일과 부분 면 또는 둘 이상의 면을 공유하는 타일은 없습니다.엣지 투 엣지 타일링에서는 폴리곤의 변과 타일의 변이 동일하다.익숙한 "벽돌 벽" 타일은 [18]각 직사각형 벽돌의 긴 면이 두 개의 테두리 벽돌과 공유되기 때문에 모서리 대 모서리가 아닙니다.

일반 타일은 모든 타일이 디스크위상적으로 동등하고, 임의의 두 타일의 교점은 연결된 집합 또는 집합이며, 모든 타일이 균일하게 경계가 되는 테셀레이션입니다.즉, 전체 타일의 모든 타일에 단일 외접반경 및 단일 내접반경을 사용할 수 있습니다.병리적으로 길거나 [23]얇은 타일은 허용되지 않습니다.


엣지 투 엣지 타일링:
2015년에 발견된 15번째 볼록한 일면체 오각형 타일링

일면체 타일링은 모든 타일이 합동인 테셀레이션입니다. 단 하나의 원형 타일만 있습니다.일면체 테셀레이션의 특히 흥미로운 유형은 나선형 일면체 타일링입니다.최초의 나선형 일면체 타일은 1936년 하인즈 보더버그에 의해 발견되었다. 보더버그 타일은 볼록하지 않은 [1]에니곤인 단위 타일을 가지고 있다.마이클 D에 의해 출판된 허쉬혼 타일링.허쉬혼과 D.C.1985년 헌트는 불규칙한 펜타곤을 사용한 오각형 타일링입니다.일반 펜타곤은 일반 오각형의 내부 각도로 유클리드 평면을 타일링할 수 없습니다./5는 2µ의 [24][25][26]제수가 아닙니다.

등면체 타일링은 모든 타일이 동일한 전달성 클래스에 속하는 일면체 타일링의 특별한 변형입니다. 즉, 모든 타일은 [23]타일링의 대칭 그룹 하의 동일한 원타일의 변환입니다.원타일이 타일을 허용하지만, 그러한 타일이 이등면체가 아닌 경우, 원타일은 이등면체라고 불리며, 이등면체 타일을 형성한다.

일반 테셀레이션은 모두 동일한 모양의 일반 폴리곤으로 구성매우 대칭적인 모서리-투-엣지 타일링입니다.정삼각형, 정사각형 또는 정육각형으로 구성된 규칙적인 테셀레이션은 세 가지뿐입니다.이 세 가지 타일링은 모두 직교이며 [27]일면체입니다.

피타고라스 타일링은
엣지 투 엣지 타일이 아닙니다.

반정규(또는 아르키메데스) 테셀레이션은 등교 배열에서 두 개 이상의 유형의 정다각형을 사용합니다.8개의 반정규 타일링(또는 미러-이미지 타일링 쌍이 [28]2로 카운트되는 경우 9개)이 있습니다.를 들어 정사각형과 정팔각형을 사용하는 반정규 타일링의 정점 구성은 42.8입니다(각 정점은 1개의 정사각형과 2개의 [29]8각형이 있습니다).피타고라스식 타일링 패밀리, 두 개의 (매개변수화된) 정사각형 크기를 사용하는 테셀레이션, 각 정사각형은 [30]다른 크기의 네 개의 정사각형과 접촉하는 테셀레이션을 포함하여 유클리드 평면의 많은 비 모서리 대 모서리 타일링이 가능합니다.모서리 테셀레이션은 각 타일이 모서리에 반사되어 등변 [31]삼각형 또는 이등변 삼각형 배열과 같이 인접한 타일의 위치를 차지할 수 있는 것입니다.

벽지 그룹

이 테셀레이트된 일면체 거리 포장에는 다각형 대신 곡선 모양이 사용됩니다.벽지 그룹 p3에 속합니다.

두 개의 독립된 방향으로의 변환 대칭을 갖는 타일링은 벽지 그룹으로 분류할 수 있으며, 이 중 17개가 존재합니다.[32]이들 17개 그룹은 모두 스페인 그라나다에 있는 알함브라 궁전에 대표되어 있다고 주장되어 왔다.이것은 [33]논란의 여지가 있지만, 알함브라 타일링의 다양성과 정교함은 현대 [34]연구자들을 놀라게 했다.3개의 정규 타일 중 2개는 p6m 벽지 그룹에 속하고 1개는 p4m에 속합니다.한 방향으로만 변환 대칭을 갖는 2D 타일링은 가능한 프리즈 [35]패턴을 설명하는 7개의 프리즈 그룹으로 분류할 수 있습니다.오르비폴드 표기법은 유클리드 [36]평면의 벽지 그룹을 기술하는데 사용될 수 있다.

비주기 타일링

여러 대칭을 가지지만 주기적인 반복이 없는 펜로즈 타일링

펜로즈 타일링은 두 개의 서로 다른 사각형 원형 타일을 사용하며 강제로 비주기 패턴을 만드는 타일의 가장 잘 알려진 예입니다.주기적으로 테셀레이트할 수 없는 타일을 사용하는 비주기 타일링의 일반 클래스에 속합니다.치환 타일링의 재귀 프로세스는 비주기 타일링을 생성하는 방법입니다.이러한 방법으로 생성할 수 있는 클래스 중 하나가 rep-tiles입니다. 이러한 타일링은 놀라운 자기 복제 [37]특성을 가지고 있습니다.바람개비 타일은 rep-tile 구조를 사용하여 비주기적으로 나타납니다. 타일은 무한히 [38]많은 방향으로 나타납니다.비주기적 패턴은 전체적으로 대칭이 없는 것으로 생각될 수 있지만, 그렇지 않습니다.비주기적 타일링은 번역대칭성이 결여되어 있지만 타일링의 경계패치 및 이들 [39]패치의 회전 또는 반사의 특정 유한 그룹에서 무한 반복함으로써 다른 유형의 대칭을 가진다.Rhombs라고 하는 타일의 어셈블리를 사용하여 일부 펜로즈 패턴을 생성하는 데 사용할 수 있는 치환 규칙은 스케일 [40]대칭을 나타냅니다.피보나치 단어는 비주기적 타일링을 구축하고 비주기적 [41]순서를 가진 구조인 준결정체를 연구하는 데 사용될 수 있습니다.

13개의 Wang 타일 세트로 평면을 비주기적으로만 타일링합니다.

타일은 각 모서리에 색을 입힌 정사각형으로, 인접한 타일의 가장자리가 같은 색을 띠도록 배치되어 있기 때문에 왕 도미노라고 불리기도 한다.적절한 Wang Domino 세트가 평면을 타일로 만들 수 있지만, 주기적으로만 타일을 만들 수 있습니다.이것은 튜링 기계가 정지하지 않는 경우에만 평면을 타일링하는 왕 도미노 세트로 표현될 수 있기 때문에 알려져 있습니다.정지 문제는 결정할 수 없기 때문에 Wang Domino 세트가 평면을 타일링할 수 있는지 여부를 결정하는 문제도 결정할 [42][43][44][45][46]수 없습니다.

트뤼셰 타일은 패턴으로 장식된 정사각형 타일로, 1704년 세바스티앙 트뤼셰는 두 개의 대조적인 색상의 삼각형으로 분할된 정사각형 타일을 사용했다.이러한 타일은 주기적으로 또는 [47][48]임의로 평면을 타일링할 수 있습니다.

테셀레이션과 색상

이 직사각형을 기본영역으로 반복하여 패턴을 형성하려면 적어도 7가지 색상이 필요하며, 보다 일반적으로는 적어도 4가지 색상이 필요하다.

때로는 타일의 색상이 타일의 일부로 이해되기도 하고, 다른 때에는 임의의 색상이 나중에 적용될 수도 있습니다.색상으로 표시된 타일을 설명할 때는 색상이 타일의 일부인지 아니면 그림의 일부인지를 명확히 해야 합니다.이는 모양은 같지만 색상이 다른 타일을 동일한 것으로 간주하는지 여부에 영향을 미치며, 이는 대칭성에 대한 질문에 영향을 미칩니다.4가지 색상 정리는 정상적인 유클리드 평면의 모든 테셀레이션에 대해 사용 가능한 4가지 색상 세트를 사용하여 각 타일을 하나의 색으로 색칠할 수 있으며, 따라서 동일한 색의 타일이 양의 길이의 곡선에서 만나지 않도록 한다.4가지 색상 정리에 의해 보장된 색상은 일반적으로 테셀레이션의 대칭성을 존중하지 않는다.색칠을 하려면 색칠을 테셀레이션의 일부로 취급해야 합니다.여기에서는 오른쪽 [49]그림과 같이 7가지 색상이 필요할 수 있습니다.

폴리곤이 있는 테셀레이션

Voronoi 타일링. 셀은 항상 볼록 폴리곤입니다.

일반 폴리곤에 의한 다양한 타일링 외에 다른 폴리곤에 의한 타일링도 연구되었다.

삼각형 또는 사각형(볼록하지 않은 것까지)은 종종 두 가지 이상의 방법으로 단면체 테셀레이션을 형성하기 위해 원형 타일로 사용할 수 있습니다.임의의 사변형의 복사본은 모든 변의 중간점에 중심이 있는 반향 대칭과 2중 회전 대칭을 가진 테셀레이션을 형성할 수 있습니다.비대칭 사변형의 경우 이 타일링은 벽지군 p2에 속합니다.기본적인 영역으로서 우리는 4각형을 가지고 있다.마찬가지로 회전 중심에서 시작하여 최소 세트의 변환 벡터에 의해 하위 조정된 평행 사변형을 구성할 수 있습니다.이것을 하나의 대각선으로 나누어 하나의 반(삼각형)을 기본 도메인으로 삼을 수 있습니다.이러한 삼각형은 사각형과 면적이 같으며 잘라 [50]붙여서 만들 수 있다.

하나의 타일 형상만 허용될 경우 N에 대한 볼록 N-gon이 3, 4, 5, 6인 타일이 존재합니다.N = 5경우 오각형 타일링을, N = 6경우 육각형 타일링을, N = 7경우 육각형 타일링을, N = 8경우 팔각형 타일링참조하십시오.

평면을 폴리오미노로 타일링한 결과는 Polyomino » Uses of Polyominoes를 참조하십시오.

보로노이 타일링

Voronoi 또는 Dirichlet 타일링은 각 타일이 정의점의 이산 집합에서 점 중 하나에 가장 가까운 점 집합으로 정의되는 테셀레이션입니다.(각 지역이 특정 도시 또는 우체국에 가장 가까운 모든 지점으로 정의되는 지리적 지역을 생각해 보십시오.)[51][52]각 정의점의 Voronoi 셀은 볼록 폴리곤입니다.Delaunay 삼각측량은 Voronoi 테셀레이션의 이중 그래프인 테셀레이션입니다.Delaunay 삼각측량은 수치 시뮬레이션에서 유용하며, 부분적으로 Delaunay 삼각측량은 정의점의 가능한 모든 삼각측량 중에서 [53]모서리에 의해 형성된 각도의 최소값을 최대화하기 때문이다.무작위로 배치된 점이 있는 Voronoi 타일링을 사용하여 [54]평면의 랜덤 타일링을 구성할 수 있습니다.

고차원의 테셀레이션

테셀링 3차원 공간: 마름모꼴 12면체는 공간을 정확히 채우기 위해 쌓을 수 있는 고체 중 하나입니다.

테셀레이션은 3차원으로 확장할 수 있습니다.큐브(그렇게 하는 유일한 평면 다면체), 마름모꼴 십이면체, 잘린 팔면체, 그리고 삼각형, 사각형 및 육각형 프리즘을 [55]포함한 3차원 공간을 채우기 위해 일정한 결정 패턴으로 쌓을 수 있습니다.이 기준에 맞는 모든 다면체를 면체라고 하며, 4개에서 38개 사이의 [56]면을 가질 수 있습니다.자연발생 마름모꼴 십이면체는 안드라다이트(가넷의 일종)와 불소석 [57][58]결정으로 발견된다.

슈미트-컨웨이-댄저 타일이라고도 하는 슈미트-컨웨이 바이프리즘의 그림

3차원 이상의 테셀레이션을 벌집이라고 합니다.3차원에서는 각 다면체 정점에 8개의 입방체가 있는 하나의 규칙적인 벌집이 있습니다.마찬가지로, 3차원에서는 준정규형[c] 벌집이 하나 있는데, 각 다면체 정점에 8개의 사각형과 6개의 팔각형 정점이 있습니다.그러나, 반규칙적인 벌집이 [59]3차원으로 존재할 수 있습니다.균일한 허니콤은 Wythoff [60]구조를 사용하여 구성할 수 있습니다.

슈미트-콘웨이 쌍면체는 타일링 공간의 [61]성질을 가진 볼록 다면체이다.

슈바르츠 삼각형[62]구체의 타일에 사용할 수 있는 구형 삼각형입니다.

비유클리드 기하학의 테셀레이션

푸앵카레 원반 모형 투영에서 볼 수 있는 쌍곡면 로빗리헵타일링
쌍곡선 3공간에서 4개의 정칙 콤팩트 벌집 중 하나인 정칙 {3,5,3}면 벌집

쌍곡기하학같은 비유클리드 기하학에서 테셀레이트하는 것이 가능하다.쌍곡면 내의 균일한 타일링(정규, 준규칙 또는 반규칙일 수 있음)은 정다각형으로 이루어진 쌍곡면의 엣지-투-엣지 채우기입니다. 이것들은 정점-추이적이고(정점-추이적이며)[63][64] 직교적입니다(정점을 다른 정점에 매핑하는 등각도가 있습니다).

쌍곡선 공간의 균일한 벌집이란 균일한 다면체 의 균일한 테셀레이션이다.3차원 쌍곡선 공간에는 와이토프 구성으로 생성되고 각 [65]패밀리에 대한 콕서터 다이어그램의 고리 배열로 표현되는 콤팩트 볼록 균일한 벌집 9개의 콕서터 그룹 패밀리가 있다.

인 아트

로마 시리아의 안티오키아 근처의 빌라에서 돌, 타일, 유리로 이루어진 로마 모자이크 바닥 패널.AD 2세기

건축에서 테셀레이션은 예로부터 장식적인 모티브를 만드는 데 사용되어 왔다.모자이크 타일링은 종종 기하학적인 [4]무늬를 가지고 있었다.후기 문명은 또한 평탄하거나 개별적으로 장식된 더 큰 타일을 사용했다.가장 장식적인 것들 중 일부는 알함브라 메즈키타와 같은 건물에서 기리[66] 젤리즈 타일을 사용[67]이슬람 건축의 무어식 벽 타일이었다.

테셀레이션은 M. C. 에셔의 그래픽 예술에 자주 등장했습니다;[68] 그는 1936년 스페인을 방문했을 때 알함브라와 같은 장소에서 무어인의 대칭 사용에 영감을 받았습니다.에셔는 쌍곡선 [69][70]기하학을 사용하는 타일링의 4개의 "원 한계" 그림을 그렸습니다.그의 목판 "Circle Limit IV" (1960년)를 위해, 에셔는 필요한 [71]기하학을 보여주는 연필과 잉크 연구를 준비했습니다.에셔 박사는 무한히 먼 곳에서 로켓처럼 한계에서 수직으로 솟아올랐다가 결국 그 경계선에 [72]도달하는 구성 요소는 없다고 설명했다.

규칙적인 테셀레이션 패턴을 나타내는 이불

테셀레이트 디자인은 직물, 봉제, 인쇄에 관계없이 종종 직물에 나타납니다.테셀레이션 패턴은 [73][74]퀼트에서 패치 형상의 연동 모티브를 디자인하기 위해 사용되어 왔습니다.

테셀레이션은 또한 종이접기(종이접기)의 주요 장르로,[75] 접기 등의 분자를 반복적으로 연결하는 데 주름이 사용된다.

제조중

테셀레이션은 자동차 문이나 음료 [76]캔과 같은 물체의 모양을 자를 때 판금 같은 재료의 낭비(수율 손실)를 줄이기 위해 제조 산업에서 사용됩니다.

테셀레이션은 박막[77][78] 진흙 균열같은 균열에서 뚜렷하게 나타나며 마이크로 [79]및 나노 기술을 사용하여 어느 정도의 자기 조직화가 관찰됩니다.

자연에서

벌집은 천연 모자이크 구조물이다.

벌집은 육각형 [80]셀을 가진 자연에서 테셀레이션의 잘 알려진 예이다.

콜키쿰 플라워의 테셀레이트 패턴

식물학에서 "테셀레이트"라는 용어는 예를 들어 꽃잎, 나무껍질, 과일 등에 체크무늬가 있는 것을 나타냅니다.편두엽[81] 포함한 꽃과 콜키쿰의 일부 종은 특징적으로 [82]테셀라테이다.

자연계의 많은 패턴은 재료 판의 균열에 의해 형성된다.이러한 패턴은 랜덤 균열 네트워크라고도 [84]하는 길버트 [83]테셀레이션으로 설명할 수 있습니다.길버트 테셀레이션은 진흙 조각, 바늘 모양의 결정, 그리고 유사한 구조의 형성을 위한 수학적 모델이다.Edgar Gilbert의 이름을 딴 이 모델은 평면 위에 무작위로 흩어져 있는 균열에서 시작하여 균열이 시작점을 통과하는 선을 따라 두 개의 반대 방향으로 전파되며, 불규칙한 볼록 다각형의 [85]테셀레이션을 만듭니다.현무암류는 용암이 식으면서 균열을 일으키는 수축력의 결과로 주상 접합을 보이는 경우가 많다.발전하는 광범위한 균열망은 종종 육각형 모양의 용암 기둥을 만든다.그러한 기둥 배열의 한 예는 [86]북아일랜드의 자이언트 코즈웨이이다.태즈메이니아 태즈메이니아 반도이글호크 넥에서 발견되는 테셀레이트 포장도로는 바위가 직사각형 [87]블록으로 갈라진 희귀한 퇴적암층이다.

다른 자연 패턴은 거품에서 발생하는데, 이것들은 최소한의 표면만 필요로 하는 Plato의 법칙에 따라 포장됩니다.이러한 거품들은 세포를 가능한 한 단단하게 포장하는 방법에 문제를 일으킨다: 1887년 켈빈 경은 표면이 매우 약간 구부러진 비트런 모양의 입체 벌집 한 개만을 사용하여 포장하는 것을 제안했다.1993년, 데니스 와이어와 로버트 펠란은 와이어를 제안했다.켈빈의 [88]거품보다 같은 부피의 세포를 분리하는 데 더 적은 표면적을 사용하는 Phelan 구조입니다.

퍼즐과 레크리에이션 수학에서

전통적인 탕그램 해부 퍼즐

테셀레이션은 전통적인 직소 퍼즐(불규칙한 나무 조각이나 [89]골판지 조각)과 탕그램에서부터[90] 종종 수학적인 기초를 가진 보다 현대적인 퍼즐에 이르기까지 많은 종류의 타일 퍼즐을 만들어냈다.예를 들어, 폴리아몬드폴리오미노는 정삼각형과 정사각형의 도형으로 타일링 [91][92]퍼즐에 자주 사용됩니다.헨리 두데니와 마틴 가드너와 같은 작가들은 놀이 수학에서 테셀레이션을 많이 사용해 왔다.예를 들어, Dudeney는 경첩 [93]절개를 발명했고, [94][95]Gardner는 같은 모양의 작은 복사본으로 해부할 수 있는 형태인 Rep-tile에 대해 썼다.가드너의 Scientific American 기사에 영감을 받아 아마추어 수학자 마조리 라이스는 펜타곤으로 [96][97]4개의 새로운 테셀레이션을 발견했다.정사각형을 제곱하는 것은 다른 정사각형만을 사용하여 적분 정사각형(변의 길이가 정수인 정사각형)[98][99]을 타일링하는 문제입니다.확장이 평면을 제곱하고, 크기가 반복되지 않고 모두 자연수인 정사각형으로 타일링하는 것입니다. James와 Frederick Henle은 이것이 [100]가능하다는 것을 증명했습니다.

「 」를 참조해 주세요.

각주

  1. ^ 동일한 도형에 대한 수학 용어는 "동일"입니다 – 수학에서 "동일"은 같은 타일을 의미합니다.
  2. ^ 타일은 일반적으로 닫힌 디스크와 동일한 형태(토폴로지적으로 동일)여야 합니다. 즉, 구멍, 매달린 선분 또는 무한 영역이 있는 기괴한 모양은 [18]제외됩니다.
  3. ^ 이 맥락에서 준규칙은 셀이 규칙적이고(솔리드), 정점 도형이 반규칙적이라는 것을 의미합니다.

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원천

외부 링크

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  • Wolfram Math World: 테셀레이션(양질의 참고 문헌, 규칙적인, 반규칙적인, 반규칙적인, 반규칙적인, 반규칙적인, 반규칙적 테셀레이션)
  • 더크 프레틀뢰와 에드먼드 해리스."Tilings Encyclopedia"(도면, 사람, 참조 등 대체 타일링에 대한 광범위한 정보)
  • Tessellations.org (사용법 가이드, 에셔 테셀레이션 갤러리, 다른 아티스트의 테셀레이션 갤러리, 레슨 계획, 역사)
  • Eppstein, David. "The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling". (기사 및 갤러리를 포함한 웹 리소스 목록)