삼각형

정삼각형
정삼각형
유형	정규 다각형
모서리 및 정점	3
슐레플리 기호	{3}
콕시터-딘킨 도표
대칭군	디헤드랄(D3), 2×3 주문
내부 각도(도)	60°
특성.	볼록, 주기, 등변, 이등변, 동위원소

삼각형
A 삼각형
모서리 및 정점	3
슐레플리 기호	{3}(등변형)
면적	다양한 방법 아래 내용 참조.
내부 각도(도)	60°(등각형)

삼각형은 세 개의 가장자리와 세 개의 꼭지점이 있는 다각형이다.그것은 기하학의 기본 형태 중 하나이다.정점이 A, B, C인 삼각형을 나타낸다$.{\displaystyle \mathrm{}}$ A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle ABC$

유클리드 기하학에서는 어떤 세 개의 점이라도 비협착할 때 독특한 삼각형과 동시에 독특한 평면(즉, 2차원 유클리드 공간)을 결정한다.즉, 그 삼각형을 포함하는 평면은 하나뿐이고, 어떤 평면에 모든 삼각형이 포함되어 있다.전체 지오메트리가 유클리드 평면일 경우 평면이 하나뿐이고 그 안에 모든 삼각형이 들어 있지만, 고차원 유클리드 공간에서는 더 이상 사실이 아니다.이 글은 유클리드 기하학, 특히 유클리드 평면의 삼각형에 관한 것으로, 달리 언급된 경우를 제외한다.

삼각형의 종류

삼각형을 분류하는 용어는 유클리드 원소의 첫 페이지에 정의된 지 2천 년이 넘었다.현대 분류에 사용되는 이름은 유클리드 그리스어 또는 그들의 라틴어 번역을 직접 번역한 것이다.

옆면 길이 기준

고대 그리스의 수학자 유클리드(Eucleid)는 옆면의 길이에 따라 세 가지 형태의 삼각형을 정의했다.^[1][2]

Greek: τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς, lit. 'Of trilateral figures, an isopleuron [equilateral] triangle is that which has its three sides equal, an isosceles that which has two of its sides alone e3면이 균등하지 않은 스칼린.^[3]

• 정삼각형(그리스어: ἰσόπλε,, roman, 로마자: isopleuron, light. '수평면')은 길이가 같은 세 면이다.정삼각형도 모든 각도가 60°^[4]인 일반 다각형이다.
• 이소셀 삼각형(그리스어: ἰσοσε,, 로마자: 이소스켈레, 점등) '발가락다리')는 길이가 같은 두 면을 가지고 있다.^{[note 1][5]}이등변 삼각형도 같은 측도의 두 각, 즉 같은 길이의 두 변과 반대되는 각도를 가진다.이 사실은 유클리드(유클리드)가 알고 있던 이소체 삼각정리(Isosceles triangle organization)의 내용이다.어떤 수학자들은 이등변 삼각형을 정확히 두 개의 등변으로 정의하지만, 다른 수학자들은 이등변 삼각형을 최소한 두 개의 등변으로 정의한다.^[5]후자의 정의는 모든 정삼각형을 이등변 삼각형으로 만들 것이다.테트라키스 사각형 타일링에 나타나는 45–45–90 직각 삼각형은 이소셀이다.
• 스칼렌 삼각형(그리스어: σκαληηνν, 로마자: skalinon, light. 'unequal')는 모든 면의 길이가 다르다.^[6]동등하게, 그것은 다른 척도의 모든 각도를 가지고 있다.

• 

  등변 삼각형

• 

  등각 삼각형

• 

  스칼린 삼각형

해치 표시는 눈금 표시라고도 하며 길이가 같은 측면을 식별하기 위해 삼각형 및 기타 기하학적 도형에 사용된다.옆면은 "틱스" 패턴, 줄무늬의 짧은 선 세그먼트로 표시할 수 있으며, 양쪽이 동일한 패턴으로 표시되면 길이가 같다.삼각형에서 패턴은 보통 3눈금을 넘지 않는다.정삼각형은 3면 모두에 같은 무늬를 가지고 있고, 이등변 삼각형은 단 2면에만 같은 무늬를 가지고 있으며, 스칼린 삼각형은 어떤 면도 같지 않기 때문에 모든 면에 다른 무늬를 가지고 있다.

마찬가지로, 각도 안에 있는 1, 2, 3개의 동심원호 패턴은 동일한 각도를 나타내기 위해 사용된다: 정삼각형은 3개 각도에서 동일한 패턴을 가지고 있고, 이소체 삼각형은 단지 2개 각도에서 동일한 패턴을 가지고 있으며, 스칼린 삼각형은 각도가 같지 않기 때문에 모든 각도에서 다른 패턴을 가지고 있다.

내부 각도로

삼각형은 또한 여기서 도 단위로 측정한 내부 각도에 따라 분류될 수 있다.

• 직각 삼각형(또는 직각 삼각형)은 내부 각도 중 하나가 90°(직각)이다.직각의 반대쪽은 삼각형의 가장 긴 쪽인 하이포텐유스다.hypotenuse)이다.다른 두 변은 삼각형의 다리 또는 카테티^[7](가수: 카테투스)라고 불린다.오른쪽 삼각형은 피타고라스의 정리를 따른다: 두 다리의 길이의 제곱합은 하이포텐use 길이의 제곱합과 같다: a² + b = c², 여기서 a와 b는² 다리의 길이, c는 하이포텐use의 길이.특수 우측 삼각형은 그것과 관련된 계산을 더 쉽게 만드는 추가 속성이 있는 직각 삼각형이다.가장 유명한 두 가지 중 하나는 3–4–5 직각 삼각형이며, 여기서 3² + 4 = 5이다²².3-4-5 삼각형은 이집트 삼각형으로도 알려져 있다.^[8]이런 상황에서 3, 4, 5는 피타고라스의 3배다.다른 하나는 이등변 삼각형으로, 두 각도가 45도(45–45–90 삼각형)에 이른다.
  • 90°의 각도가 없는 삼각형을 사선삼각형이라고 한다.
• 모든 내부 각도가 90° 미만인 삼각형은 급성 삼각형 또는 급성 각도 삼각형이다.^[2]c가 가장 긴 면의 길이인 경우, a² + b > c이며², 여기서 a와² b는 다른 면의 길이인 것이다.
• 하나의 내부 각도가 90° 이상인 삼각형은 둔각 삼각형 또는 둔각 삼각형이다.^[2]c가 가장 긴 면의 길이인 경우, a² + b < c², 여기서 a와 b는² 다른 면의 길이인 경우.
• 내부 각도가 180°인 삼각형은 퇴보한다.우측 퇴행 삼각형은 시준 정점을 가지며, 그 중 두 가지는 일치한다.

같은 척도로 두 각을 이루는 삼각형도 길이가 같은 두 변을 가지고 있어 이등변 삼각형이다.이는 모든 각도가 동일한 측도를 갖는 삼각형에서 세 변의 길이가 모두 같으므로 정삼각형이라는 것을 따른다.

맞다	둔해.	급성
	${\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }{}}}}}$
	경사

기본 사실

문맥이 달리 제공되지 않는 한 삼각형은 2차원 평면 그림으로 가정한다(아래 비 평면 삼각형 참조).따라서 엄격한 치료에서는 삼각형을 2심플렉스(Polytope 참조)라고 한다.삼각형에 대한 기본적인 사실들은 유클리드가 기원전 300년경에 쓴 그의 원소의 1~4권에 제시하였다.

유클리드 공간의 삼각형 내부 각도의 측정 합계는 항상 180도다.^[9][2]이 사실은 유클리드 평행이론적 추정에 해당한다.이를 통해 두 각도의 측정치를 고려할 때 모든 삼각형의 세 번째 각도의 측정값을 결정할 수 있다.삼각형의 외부 각도는 내부 각도에 대한 선형 쌍(따라서 보조)인 각이다.삼각형의 외부 각도의 측정은 그것과 인접하지 않은 두 내부 각도의 측정의 합과 같다. 이것이 외부 각도의 정리다.삼각형의 세 개의 외부 각(각 꼭지점마다 하나씩) 측정의 합은 360도다.^{[note 2]}

유사성과 조화

두 삼각형은 한 삼각형의 각도가 다른 삼각형의 각도와 동일한 척도를 갖는 경우 유사하다고 한다.유사한 삼각형의 해당 면은 길이가 같은 비율로 되어 있으며, 이 속성도 유사성을 확립하기에 충분하다.

유사한 삼각형에 대한 몇 가지 기본적인 이론은 다음과 같다.

• 두 삼각형의 내부 각도가 한 쌍이 서로 같은 척도를 가지고 있고, 또 다른 쌍도 서로 같은 척도를 가지고 있는 경우에만 삼각형이 유사하다.
• 만약 두 삼각형의 한 쌍의 해당 면이 다른 한 쌍의 해당 변과 같은 비율이고, 포함된 각도가 동일한 측도를 갖는 경우에만 삼각형이 유사하다. (다각형의 어떤 양쪽에 대해 포함된 각도는 그 두 변 사이의 내부 각이다.)
• 두 삼각형의 해당 변의 세 쌍이 모두 같은 비율인 경우에만 삼각형이 유사하다.^{[note 3]}

합치된 두 개의 삼각형은 정확히 크기와 모양이 같다:^{[note 4]} 해당하는 내부 각도의 모든 쌍은 척도가 같고, 해당 면의 모든 쌍은 길이가 같다. (이것은 총 6개의 등가지만 3개는 합치성을 입증하기에 충분하다.)

한 쌍의 삼각형이 일치하기 위해 개별적으로 필요하고 충분한 조건은 다음과 같다.

• SAS 가정:삼각형의 두 변은 다른 삼각형의 두 변과 길이가 같고, 포함된 각도는 같은 측도를 가지고 있다.
• ASA: 두 개의 내부 각도와 삼각형에 포함된 측면은 각각 다른 삼각형에 있는 각도와 길이가 같다.(한 쌍의 각도에 대해 포함되는 면이 그들에게 공통적인 측면이다.)
• SSS: 삼각형의 각 면은 다른 삼각형의 해당 면과 길이가 같다.
• AAS: 삼각형의 두 각도와 해당(비포함) 변은 각각 다른 삼각형의 측량과 길이가 같다.(이것을 AAcorrS라고 부르기도 하고, 위의 ASA를 포함하기도 한다.

개별적으로 충분한 몇 가지 조건은 다음과 같다.

• HL(Hypotenuse-Leg) 정리:하이포텐유와 직각 삼각형의 다리는 다른 직각 삼각형의 다리 길이와 같다.이것을 RHS(우각, 저선, 측면)라고도 한다.
• 하이포텐 사용-각도 정리:한 직각 삼각형의 하이포텐유와 급성 각도는 각각 다른 직각 삼각형의 길이와 측정치가 같다.이것은 단지 AAS 정리의 특별한 경우일 뿐이다.

중요한 조건은 다음과 같다.

• 측면 각도(또는 각도 측면) 조건:만약 두 변과 삼각형의 상응하는 비포함 각도가 각각 다른 삼각형의 길이와 측정치가 같다면, 이것은 합치를 입증하기에 충분하지 않다. 그러나 주어진 각도가 두 변의 더 긴 변과 반대인 경우에는 삼각형이 합치된다.하이포테누스-레그 정리(Hypotenuse-Leg Organization)는 이 기준의 특별한 경우다.한 삼각형은 둔각일 수 있고 다른 삼각형은 급각일 수 있기 때문에 측면각도 조건 자체로는 삼각형이 일치한다고 보장하지 않는다.

오른쪽 삼각형과 유사성의 개념을 사용하여 삼각함수는 사인 및 코사인 함수를 정의할 수 있다.이것들은 삼각법으로 조사되는 각도의 함수들이다.

오른쪽 삼각형

중심 정리는 피타고라스 정리인데, 어떤 직각 삼각형에서든, 하이포텐use 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이의 제곱합과 같다.만약 하이포테뉴스가 길이 c를 가지고 있고, 다리의 길이가 a와 b를 가지고 있다면, 그 정리는 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}}}=c^{2}.}$

반대는 사실이다: 삼각형의 옆면 길이가 위의 방정식을 만족한다면, 그 삼각형은 옆면 c의 반대편에 직각을 가진다.

직각 삼각형에 대한 몇 가지 다른 사실:

• 직각 삼각형의 급각은 상호 보완적이다.

${\displaystyle a+b+90^{\circle }=180^{\circle }\오른쪽 화살표 a+b=90^{\circle }\오른쪽 화살표 a=90^{\circircle }}}$

• 직각 삼각형의 다리의 길이가 같다면, 그 다리의 반대쪽 각도는 같은 척도를 가진다.이러한 각도는 상호 보완적이기 때문에 각각 45도를 측정한다.피타고라스 정리에 의하면, 하이포테뉴스의 길이는 다리 시간 times2이다.
• 30도와 60도의 급성 각도를 가진 직각 삼각형에서 하이포텐유스는 짧은 변의 두 배 길이로, 긴 변은 짧은 변의 길이와 같다3:

$c=2a\,}$

${\displaystyle b=a\propert {3}.}$

모든 삼각형에 대해 각도와 옆면은 코사인 법칙과 사인 법칙(코사인 법칙이라고도 함)에 의해 연관된다.

삼각형의 존재

측면의 상태

삼각형 불평등은 삼각형의 어떤 두 변의 길이의 합이 세 번째 변의 길이보다 크거나 같아야 한다고 말한다.이 합은 일직선 정점이 있는 퇴행 삼각형의 경우에만 세 번째 변의 길이와 같을 수 있다.그 합계가 제3면의 길이보다 적다는 것은 불가능하다.세 개의 양 옆면 길이가 삼각형 불평등을 만족하는 경우에만 삼각형이 존재한다.

각도 조건

세 개의 주어진 각도는 (a) 각도가 양이고 (b) 각도가 180°에 합한 경우에만 비감속 삼각형(그리고 실제로 그 삼각형)을 형성한다.퇴행 삼각형이 허용되는 경우 0°의 각도가 허용된다.

삼각 조건

각각 180° 미만인 3개의 양각 α, β, γ은 다음 조건 중 하나가 유지되는 경우에만 삼각형의 각이다.

${\displaystyle \tan {\frac {\based }{2}}:\frac {\bask }{2}}:\frac {\bask }{\frac {\bask }}}{2}}:\frac {\b}}}\frac {\b}{pa=1,}}}}$^[10]

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,}$^[10]

$\displaystyle \sin(2\buil)+\sin(2\buil)=4\sin(\buil)\sin(\buil),}$

${\displaystyle \cos ^{2}\cos +\cos ^{2}\cos ^{2}\cos(\cos)(\cos)(\cos)(\cos)(\cos)=1,}$^[11]

$\displaystyle \tan(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)($

각도가 90°가 아닌 경우에만 적용되는 마지막 동일성(따라서 접선 함수의 값은 항상 유한함수).

삼각형과 연관된 점, 선 및 원

어떤 독특한 속성을 만족시키면서 삼각형과 관련된 특별한 점을 찾는 수천 개의 다른 건축물이 있다: 그것들의 카탈로그를 보려면 삼각형 센터 백과사전 기사를 참조하십시오.흔히 그들은 세면(또는 정점)과 대칭적으로 연관된 세 선을 찾아낸 다음, 세 선이 한 점에서 만나는 것을 증명함으로써 구성된다: 이것들의 존재를 증명하는 중요한 도구는 세바의 정리인데, 세 개의 그러한 선들이 동시인 때를 판단하는 기준을 준다.마찬가지로 삼각형과 연관된 선은 대칭적으로 구성된 세 개의 점이 일렬로 되어 있다는 것을 증명함으로써 구성되는 경우가 많다: 여기서 메넬라오스의 정리는 유용한 일반적 기준을 제시한다.이 섹션에서는 가장 흔히 접하는 구성 중 몇 가지에 대해서만 설명한다.

삼각형의 측면의 수직 이등분선은 측면의 중간점을 통과하여 수직인 직선이다. 즉, 삼각형과 직각을 형성한다.세 개의 수직 이등분자는 하나의 점, 즉 삼각형의 원곡선에서 만나는 것이 보통 O로 표시된다. 이 점은 원곡선의 중심이며, 원곡선은 세 개의 정점을 모두 통과하는 원이다.이 원의 지름은, 원경계라고 불리며, 위에 언급된 씨네의 법칙에서 찾을 수 있다.원주형의 반지름을 원주형이라고 한다.

탈레스의 정리는 만약 곡선이 삼각형의 한 쪽에 위치한다면, 그 반대 각도는 오른쪽이라는 것을 암시한다.만약 곡선이 삼각형 안에 있다면, 삼각형은 급성이고, 곡선이 삼각형 밖에 있다면, 삼각형은 둔탁하다.

삼각형의 고도는 정점을 통과하는 직선으로, 반대편(즉, 직각을 이루는)에 수직이다.이 반대쪽을 고도의 베이스라고 하며, 고도가 베이스(또는 그 연장)와 교차하는 지점을 고도의 발이라고 한다.고도 길이는 기지와 꼭지점 사이의 거리다.세 개의 고도는 삼각형의 직각점이라고 불리는 단일 점에서 교차하며, 대개 H로 표시된다.직교점은 삼각형이 급할 경우에만 삼각형 안에 위치한다.

삼각형의 각도 이등분자는 해당 각도를 반으로 자르는 꼭지점을 통과하는 직선이다.세 개의 각 이등분자는 하나의 점에서 교차하는데, 대개 삼각형 근방의 중심인 I로 표시된다.근친은 삼각형 안에 놓여 있고 세 면 모두에 닿는 원이다.그것의 반지름은 인라디우스라고 불린다.세 개의 다른 중요한 원이 있는데, 그들은 삼각형 바깥쪽에 누워 있고 다른 두 개의 연장뿐만 아니라 한 쪽 측면도 만진다.내부와 외계의 중심은 직교 체계를 형성한다.

삼각형의 중위수는 정점과 반대편의 중간점을 통과하는 직선으로 삼각형을 두 개의 동일한 영역으로 나눈다.세 개의 중위수는 삼각형의 중심 또는 기하학적 바리 중심인 단일 점에서 교차하며, 일반적으로 G로 표시된다.단단한 삼각형 물체의 중심(일률적인 밀도의 얇은 시트에서 잘라낸 것)도 질량의 중심이다. 물체는 균일한 중력장에서 그것의 중심에서 균형을 이룰 수 있다.중심은 비율의 모든 중앙값을 2:1로 절단한다. 즉, 꼭지점과 중심점 사이의 거리가 반대편의 중심점과 중간점 사이의 거리의 두 배가 된다.

삼면의 중점과 세 고도의 발은 모두 삼각형의 9점 원이라는 하나의 원 위에 놓여 있다.그것이 명명된 나머지 세 지점은 정점과 직교점 사이의 고도 부분의 중간점이다.9점 원의 반지름은 원형의 절반이다.근친(Feuerbach point)과 세 개의 흥분(Excircle)에 닿는다.

직교점(파란색 점), 9점 원의 중심(빨간색), 중심(주황색), 할로우센터(녹색) 모두 오일러의 선(빨간색 선)으로 알려진 단일 선에 놓여 있다.9점 원의 중심은 직교점과 원곡선 사이의 중간점에 위치하며, 중심과 원곡선 사이의 거리는 중심점과 직교점 사이의 절반이다.

근친의 중심은 일반적으로 오일러의 선에 위치하지 않는다.

같은 꼭지점을 통과하는 각도 이등분선에 중앙값을 반사하면 시메디안을 얻는다.세 개의 symmedian은 삼각형의 symmedian 점인 단일 점에서 교차한다.

측면 및 각도 계산

옆면의 길이나 각도의 측도를 계산하는 데는 다양한 표준 방법이 있다.어떤 방법은 직각 삼각형의 값을 계산하는 데 적합하다. 다른 상황에서는 더 복잡한 방법이 필요할 수 있다.

오른쪽 삼각형에서의 삼각비

오른쪽 삼각형에서 사인, 코사인 및 탄젠트의 삼각비(trigonometric ratio)를 사용하여 알 수 없는 각도와 알 수 없는 변의 길이를 찾을 수 있다.삼각형의 옆면은 다음과 같이 알려져 있다.

• 하이포텐유스는 직각 반대쪽 또는 이 경우 직각 삼각형의 가장 긴 면으로 정의된다.
• 반대쪽은 우리가 관심 있는 각도와 반대쪽, 이 경우 a.
• 옆면은 우리가 관심 있는 각도와 맞닿는 면이며, 따라서 그 이름이 바로 그 각이다.이 경우 인접한 쪽은 b이다.

사인, 코사인 및 접선

각도의 사인(sine of an angle)은 반대편의 길이 대 하이포텐유의 길이 비율이다.우리의 경우

${\displaystyle \sin A={\frac {\text{ophosite side}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,}$

이 비율은 모든 삼각형이 비슷하기 때문에 A 각도를 포함하는 한 선택한 특정 오른쪽 삼각형에 의존하지 않는다.

각도의 코사인(cosine)은 인접 면의 길이와 하이포텐유의 길이의 비율이다.우리의 경우

${\displaystyle \cos A={\frac {\text{hypotenuse}}}{\frac {b}}\,}$

각도의 접선은 인접한 면의 길이에 대한 반대편의 길이의 비율이다.우리의 경우

${\displaystyle \tan A={\frac{\text{ophosite side}}{\text{adiac side}}}={\frac {a}{b}={\frac {\sin A}{\cos A}\,}$

"SOH-CAH-TOA"라는 약어는 이러한 비율에 유용한 니모닉이다.

역함수

역삼각함수는 어떤 두 변의 길이로든 직각 삼각형의 내부 각도를 계산하는 데 사용할 수 있다.

아크신은 반대편의 길이와 하이포텐use의 길이로부터 각도를 계산하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle \theta =\arcsin \left \frac {\text side}{\text}{dext}{data.}\오른쪽)}$

아르코스는 인접한 면의 길이와 하이포텐유의 길이로부터 각도를 계산하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle \theta =\arccos \left \frac {\text side}{\text}{dext}{data.}\오른쪽)}$

아크탄은 반대편의 길이와 인접면의 길이로부터 각도를 계산하는 데 사용할 수 있다.

${\displaystyle \theta =\arctan \left \frac {\text side}{\text side}{\text side}}\오른쪽)}$

입문 기하학 및 삼각법 과정에서는 아크신, 아크코 등을 대신하여 표기법⁻¹ sin, cos⁻¹ 등을 사용하는 경우가 많다.그러나 아크신, 아크코 등에서는 삼각함수가 일반적으로 파워로 상승하는 고등수학에서는 표기법이 표준으로 되어 있는데, 이는 승법 역과 구성 역의 혼동을 피할 수 있기 때문이다.

사인, 코사인 및 접선 규칙

사인법(sine rule) 또는 사인법칙(sine rule)^[12]에 따르면, 면의 길이와 대응하는 반대 각도의 사인(sine)의 비율이 일정하다고 한다.

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \c}}}={\frac {b}{\sin \c}}={\frac {c}{\sin \sin \}}}}.}$

이 비율은 주어진 삼각형의 원 지름과 같다.이 정리에 대한 또 다른 해석은 각도가 α, β, with인 삼각형이 모두 sin α, sin β, sin γ과 같은 측면 길이를 가진 삼각형과 유사하다는 것이다.이 삼각형은 먼저 지름 1의 원을 만들고, 삼각형의 각도의 두 개를 그 안에 새김으로써 만들어질 수 있다.그 삼각형의 옆면 길이는 죄악 α, 죄악 β, 죄악 γ이 될 것이다.길이가 sin α인 쪽이 α인 각도와 반대다.

코사인 법칙(cosine rule)은 삼각형의 미지의 면의 길이와 다른 면의 길이, 미지의 면과 반대되는 각도를 연결한다.^[12]법률에 따라:

면 a, b, c 및 각도의 길이가 각각 α, β, γ인 삼각형의 경우, 알려진 두 면의 길이와 γ(또는 알려지지 않은 면 c에 반대되는 각도) 사이의 각도를 주어 세 번째 면 c를 계산하는 데 다음과 같은 공식을 사용할 수 있다.

${\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\displaystyle )}$

${\displaystyle b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\displaystyle )}$

${\displaystyle a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\displaystyle )}$

어떤 삼각형의 세 변 모두의 길이가 알려진 경우, 세 각도를 계산할 수 있다.

${\displaystyle \cHB =\arccos \left\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}:{2bc}\오른쪽)}$

${\displaystyle \cHB =\arccos \left\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}:{2ac}\오른쪽)}$

${\displaystyle \cHB =\arccos \left\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}:{2ab}\오른쪽)}$

접선의 법칙, 즉 접선의 법칙은 양면과 양각 또는 양각과 한 면이 알려졌을 때 옆면이나 각도를 찾는 데 사용될 수 있다.이 문서에는 다음과 같이 명시되어 있다.^[13]

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}={\frac {\tan[{1}{1}{1}{1}(\frac -\flac )]}{\tan[{1}{1}{1}{1}{1}{1}(\frac +\b )}}}}}}}}}}}}.}$

삼각형 해법

"삼각형 해법"은 삼각형의 결측 특성(삼각형, 삼면의 길이 등)을 찾는 것이 주요 삼각형 문제다.삼각형은 평면이나 구면에 위치할 수 있다.이 문제는 측지, 천문학, 건설, 항법 등과 같은 다양한 삼각법 응용에서 종종 발생한다.

삼각형 영역 계산

삼각형의 면적 T를 계산하는 것은 여러 가지 다른 상황에서 자주 마주치는 기본적인 문제다.가장 잘 알려져 있고 간단한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}:bh,}$

여기서 b는 삼각형의 기저부 길이, h는 삼각형의 높이 또는 고도다."베이스"라는 용어는 모든 면을 나타내며, "높이"는 베이스 반대쪽 꼭지점에서 베이스를 포함하는 선까지의 수직 길이를 의미한다.499년 CE Ariabhata에서는 이 삽화법을 Ariabhatiya(섹션 2.6)에서 사용했다.^[14]

비록 간단하지만, 이 공식은 키가 쉽게 발견될 수 있는 경우에만 유용하며, 항상 그렇지는 않다.예를 들어 삼각형 영역의 측량자는 각 면의 길이를 측정하는 것은 비교적 쉽지만 '높이'를 구성하는 것은 비교적 어렵다는 것을 알 수 있다.삼각형에 대해 알려진 것에 따라 다양한 방법이 실제로 사용될 수 있다.다음은 삼각형 영역에 자주 사용되는 공식의 선택이다.^[15]

삼각법 사용

삼각형의 높이는 삼각법을 응용하여 알 수 있다.

알고 있는 SAS: 오른쪽 영상의 라벨을 사용하여 고도는 h = sin $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$ $\}.$ 이것을 위에서 파생된$$ $T{\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ T$={\frac{1}{2$}}$bh}$ 공식으로 대체하면 삼각형의 면적은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{1}2}}:bc\sin \alpha ={1}{2}}:ca\sin \beta }}}}$

(여기서 α는 A의 내부 각도, β는 B의 내부 각도, $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은 C의 내부 각도, c는 AB 선이다.)

더욱이, sin α = sin (π - α) = sin (β + $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma })$이고,$$ 다른 두 각도에 대해서도 마찬가지로 다음과 같다.

${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{1}:{1}:{1}:{1}BC\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha).}$

AAS 파악:

${\displaystyle T={\frac {b^{2}(\sin \alpha +\beta )}{2\sin \beta },}$

그리고 알려진 쪽이 a 또는 c인 경우와 유사하게.

ASA를 아는 방법:^[1]

${\displaystyle T={\frac{a^{2}}:{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}}{\frac {a^{2}(\sin \beta )}}},}$

그리고 알려진 쪽이 b 또는 c인 경우와 유사하게.

헤론의 공식 사용

삼각형의 모양은 옆면의 길이에 의해 결정된다.따라서 면적이 면의 길이에 의해서도 파생될 수 있다.헤론의 공식에 따르면:

${\displaystyle T={\sqrt {s-a(s-b)(s-c)}}$

여기서 $s{\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{b}{}}$+ ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$$}}}}$은 삼각형 둘레의 절반인 반퍼미터다.

헤론의 공식을 쓰는 다른 세 가지 동등한 방법은

${\displaystyle T={\frac {1}{4}}{\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2}^{2}^{2}^{2}^{2}^{a^{4}+b^{4}}}+c^{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

${\displaystyle T={\frac{1}{4}}{2}}{2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{4}{\sqrt {(a+b-c)(a+b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}$

벡터 사용

3차원 유클리드 공간에 내장된 평행사변형 영역은 벡터를 사용하여 계산할 수 있다.벡터 AB와 AC는 각각 A에서 B로, A에서 C로 두십시오.평행사변형 ABDC 영역은 그 다음이다.

${\displaystyle \mathbf {AB} \times \mathbf {AC},}$

벡터 AB와 AC의 교차 생산물의 크기.삼각형 ABC의 면적은 이것의 절반이다.

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}} \mathbf {AB} \times \mathbf {AC} .}$

삼각형 ABC의 면적도 다음과 같이 도트 상품으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt { \mathbf {AB} ^{2} \mathbf {AC} ^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,}$

2차원 유클리드 공간에서는 벡터 AB를 (x₁,y₁)와 같은 (x,y), AC를 (x₂,y₂)와 같은 데카르트 공간에서의 자유 벡터로 표현하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}:\, x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},}$

좌표 사용

정점 A가 데카르트 좌표계의 원점(0, 0)에 위치하고 나머지 두 정점의 좌표가 B = (x_BB, y)와 C = (x_C, y_C)로 주어진다면, 그 면적은 다음과 같이 계산될 수 있다.결정체 절대값의 1/2배

${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽 \det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\y_{{}}}{{\begin{pmatrix}}}}}\i_{{}}}}}}}}B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right ={\frac {1}{1}{2}} x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B} .}$

세 가지 일반 정점의 경우 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽 \det {\begin{pmatrix}x_{{}A}&x_{B}&x_{C}\\y_{{}A}&y_{B}&y_{C}\\\1&1&1\end{pmatrix}}\right ={\frac {1}{1}{{\big }x_{{{}}}}A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{B}y_{{B}y_}A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big }}}}$

라고 쓸 수 있는.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}: {\big }(x_{A}-y_{A})-(x_{A}-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}-_{A}){\big }}}}$

점들이 시계 반대 방향으로 순차적으로 라벨을 붙이면 위의 결정인 식이 양성이므로 절대값 부호를 생략할 수 있다.^[16]위의 공식은 신발끈 공식 또는 평가관의 공식으로 알려져 있다.

복잡한 평면에서 정점을 찾아 시계 반대 방향으로 a = x_A + yi_A, b = x_B + yi_B, c = x_C + yi로_C 표시하고, 이들의 복잡한 결합체를 $a{\displaystyle \stackrel{}{}}$=$$x = x = x + yi로 나타낸다면, $그{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 공식은 "{\$displaystyle {\$$b},$ $"{\$ ${c},$ 그 다음 공식이다.

${\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{a}1\b&\b&{bar}{b}1\c&{\bar}}{c}&nd{vmatrix}}}}$

신발끈 공식과 같아

3차원에서 일반 삼각형 A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_BB, z) 및 C = (x_C, y_C, z_C)는 3개의 주요 평면에 대한 각 투영 영역의 피타고라스 합이다(예: x = 0, y = 0, z = 0).

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{{}}}A}&x_{B}&x_{C}\\y_{{}A}&y_{B}&y_{C}\\\1&1&1\end{vmatrix}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{{{}}}A}&y_{B}&y_{C}\\z_{{}A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{{}A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}^{2}}.}$

라인 통합 사용

삼각형과 같은 닫힌 곡선 내의 영역은 임의의 방향 직선에서 곡선의 곡선 또는 곡선의 점의 부호화된 거리에 의해 주어진다. L의 우측 점들은 L에서 음의 거리에 있는 반면, 적분의 무게는 구성 요소로 간주된다.호 길이 자체보다는 L에 평행한 호 길이의.

이 방법은 임의의 다각형의 면적 계산에 잘 적합하다.L을 x축으로 취하면 연속 정점(x_i,y_i)과 (x_i+1,y_i+1) 사이의 적분선은 평균 높이, 즉_i+1 (x_i - x_i)(y_i+1 + y)/2의 기저에 의해 주어진다.면적의 부호는 횡단 방향을 전체적으로 나타내는 지표로, 음의 면적이 시계 반대 방향으로 횡단하는 것을 나타낸다.그러면 삼각형의 면적이 세 변이 있는 다각형의 경우로 빠진다.

선 적분 방법은 다른 좌표 기반 방법과 공통적으로 좌표계를 임의로 선택하지만, 다른 방법과는 달리 삼각형의 정점을 원점으로 또는 베이스로 임의로 선택하지 않는다.또한, 중량은 국부 거리(예: 위의 x - x)이기 때문에 L이_i+1 정의한_i 좌표계의 선택은 L에 정규적인 축을 선택할 필요가 없기 때문에 통상적인 3도가 아닌 2도 자유도에만 커밋된다.

극좌표에서 작업할 때, 폴리곤의 연속 정점(r_i,pot_i)과 (r_i+1,properties_i+1) 사이에 적분된 라인은_ii+1 rrsin(θ_i+1i - in)/2에 의해 직접 주어지기 때문에 라인 통합을 사용하기 위해 데카르트 좌표로 변환할 필요는 없다.이는 values의 모든 값에 유효하며, θ이 π보다 큰 규모의 순서가 많을 때 수치의 정확도가 어느 정도 감소한다.이 공식에서 음의 영역은 시계방향 통과를 나타내며, 극좌표와 데카르트 좌표를 혼합할 때 유의해야 한다.데카르트 좌표에서 선 통합에 있어 y축(x = 0)의 선택이 중요하지 않은 것처럼, 여기서도 제로 표제(zero heading = 0)의 선택은 중요하지 않다.

헤론의 공식을 닮은 공식들

세 공식은 헤론의 공식과 같은 구조를 가지지만 다른 변수에 의해 표현된다.첫째, 측면 a, b, c의 중위수를 각각 m_a, m_b, m으로_c, 그 세미섬(m_a + m_b + m_c)/2를 as으로 나타내면 다음과 같다^[17].

${\displaystyle T={\frac {4}{3}{\sqrt {\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c}}}}}}.}$

Next, denoting the altitudes from sides a, b, and c respectively as h_a, h_b, and h_c, and denoting the semi-sum of the reciprocals of the altitudes as ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$ we have^[18]

${\displaystyle T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-H_{b}^{-1})(H-H_{c}^{-1})}.}$

그리고 각도의 사인 반섬을 S = [(sin α) + (sin β) + (sin β) + (sin γ)]/2로 나타내면, 우리는 다음과 같다^[19].

${\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}}$

여기서 $D$는 원형의 지름: D${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{죄\alpha }{}}$= ${\displaystyle b\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sin \beta }{}}$= ${\displaystyle c\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sin \gamma }{}}$ ${\displaystyle$ D$={\tfrac {a}{\\sin \alpha }}}}}}{\tfrac {b}{\sin \ba}}}}}}}}}={\tfrac$ {$c}{$sin \$sin$\sin \c}}}\sin \sin \sin \sin \sin \c}}}}.$gamma}}}}$$}$

픽의 정리 사용

임의 격자 폴리곤(동일한 거리에서 수직 및 수평으로 인접한 격자점과 격자점에 정점이 있는 격자 위에 그려진 다각형)의 영역을 찾는 기법은 픽의 정리를 참조한다.

정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

${\displaystyle T=I+{\frac {1}{2}}B-1}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 내부 격자점 수, B는 다각형의 테두리에 놓여 있는 격자점 수입니다.

기타 면적 공식

다음과 같은 수많은 다른 영역 공식들이 존재한다.

${\displaystyle T=r\cdot s,}$

여기서 r은 인라디우스, s는 반퍼미터(사실 이 공식은 모든 접선성 폴리곤을 포함한다)이다^{[20]: Lemma 2} .

${\displaystyle T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)}$

여기서 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$, ${\displaystyle r{}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$, r ${\displaystyle c_{}}$ ${\$는 각각 a, b, c 측면에 접하는 exiccle의 반지름이다$$.

우리는 또한 가지고 있다.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \sin \gamma )}$

그리고^[21]

${\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}$

회경계 D의 경우^[22]

${\displaystyle T={\frac {\tan \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$

각도 α ≠ 90°

그 영역은 또한 다음과^[23] 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}.}$

1885년, 베이커는^[24] 이 삼각형을 위해 100개 이상의 구별되는 영역 공식의 컬렉션을 주었다.여기에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}[abch_{a}h_{b}h_{c}]^{1/3}}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}: {abh_{a}h_{b}}},}$

${\displaystyle T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{1},}},}$

${\displaystyle T={\frac {Rh_{b}h_{c}{a}}}}$

(원형의 반지름) R과

${\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}$

면적의 상한

둘레 p가 있는 모든 삼각형의 영역 T가 충족됨

$displaystyle T\leq {\p^{2}}:{12{\sqrt{3}}}}}},}$

삼각형이 등각형일 경우에만 동등하게 유지된다.^{[25][26]: 657}

면적 T에 대한 기타 상한이 다음과^{[27]: p.290} 같이 주어진다.

$(\displaystyle 4{\sqrt{3)}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

그리고

${displaystyle 4{\sqrt{3}}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}}}$

삼각형이 등각형일 경우에만 다시 고정한다.

을 하다.

삼각형의 면적을 이등분하는 선은 무한히 많다.^[28]그 중 3명은 중앙을 통과하는 유일한 영역인 중형이다.세 개의 다른 영역 이등분자는 삼각형의 측면에 평행하다.

삼각형의 영역과 둘레를 반으로 나누는 삼각형을 통과하는 선은 삼각형의 인센티브를 통과한다.어떤 주어진 삼각형에도 이것들 중 하나, 둘, 혹은 셋이 있을 수 있다.

일반 유클리드 삼각형 추가 공식

이 절의 공식은 모든 유클리드 삼각형에 적용된다.

, 도, 도, 도.

중간자와 옆면은 다음과^{[29]: p.70} 같이 연관되어 있다.

$}^{2displaystyle {\frac{3}{4}}}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}){2}+c^{2}}}}{2}){2}{2}{2}+c^{{2}}}}}}}}{2}}}}}}=m_{a}^{a}^{a}^{2}+m_{c}^{2}}:$

그리고

${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\frac {3}{4}}a^{2}}}}$,

그리고_b m과_c m에 대해 동등하게.

A 각도 반대쪽 a의 경우 내부 각도 이등분자의 길이는 다음과 같이^[30] 주어진다.

$w_{\displaystyle w_{A}={\frac{2}\sqrt {bcs(s-a)}}{b+c}}}{\sqrt {bc\왼쪽[1-{\frac{a^{2}}:{(b+c)^{2]^{2}}}}\오른쪽]}}{\frac {2bc}{b+c}}\cos{\frac {A}{2}},}$

2등분 길이가 정점에서 반대쪽을 만나는 곳까지 측정되는 반퍼미터 s에 대하여.

내부 수직 이등분선은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle p_{a}={\frac {2aT}{a^{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$

${\displaystyle p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}},}}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {2cT}{a^{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}},}$

여기서 $측면$은 ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a\geq b\geq c}$이고 $영역$은 T${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ T$.}$이다.

예를 들어, 길이 a의 옆면으로부터의 고도

${\displaystyle h_{a}={\frac {2}T}{a}}}.}$

할레라디우스와 인라디우스

다음 공식은 포경수 R과 인라디우스 r을 포함한다.

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}:{{(a+b+c)(-a+b+c)(a+b+c)(a+b-c)}}}};}$

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}={\frac {1}{h_{a}}+{\frac {1}{h_{b}}+{\frac {1}{c}}}}}}}}$

여기서_a h 등은 첨자 면의 고도가 된다.^{[29]: p.79}

${\displaystyle {\frac {R}{R}}={\frac {4}T^{2}}:{sabc}=\cos \알파 +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$^[11]

, 그리고

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle R}$ =${\displaystyle }$a ${\displaystyle \frac{b}{}}$ c${\displaystyle \frac{}{}}$ + ${\displaystyle \frac{b}{}}$+ ${\displaystyle \frac{c}{}}$ ${\$ {$abc}{a+b+c$

삼각형의 두 변의 산물은 세 번째 변까지의 고도와 원주의 지름 D를 곱한 것과 같다.^{[29]: p.64}

${\displaystyle ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.}$

인접 삼각형

인접하지만 겹치지 않는 두 개의 삼각형이 길이 f의 같은 측면을 공유하고 동일한 원주를 공유한다고 가정해 보자. 그러면 길이 f의 옆면은 원주의 화음이고 (a, b, f) 및 (c, d, f) 삼각형은 측면 길이(a, b, c, d, f)와 (c, d, f)를 가지며, 두 삼각형이 순차적으로 4각형을 형성한다고 가정해 보자.그러면^{[32]: 84}

${\displaystyle f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{{(ab+cd)}}\,}$

중심

G는 정점 A, B, C가 있는 삼각형의 중심이 되게 하고 P는 어떤 내부 지점이 되게 한다.다음으로 점 사이의 거리는 다음과 같다^{[32]: 174} .

${\displaystyle (PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,}$

삼각형 변의 제곱합은 정점으로부터의 중심 거리 제곱의 3배와 같다.

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GBC^{2})).}$^[33]

q_a, q_b, q는_c 중심에서 길이 a, b, c까지의 거리가 되도록 한다.그러면^{[32]: 173}

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,}$

, 그리고

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}T\},}$

T구역의 경우.

Circenter, 인센티브 및 Orthocenter

카르노의 정리에는 할례에서 삼변까지의 거리의 합이 할례와 인라디우스의 합과 같다고 되어 있다.^{[29]: p.83} 여기서 세그먼트 길이는 세그먼트가 삼각형 바깥쪽에 있는 경우에만 음수인 것으로 간주된다.이 방법은 특히 리 알헤브라가 유도한 것과 같은 보다 추상적인 형태의 삼각형의 특성을 추론하는데 유용하며, 그렇지 않으면 일반적인 삼각형과 동일한 특성을 갖는다.

오일러의 정리에는 할례자와 인센티브자 사이의 거리는 다음과^{[29]: p.85} 같이 명시되어 있다.

${\displaystyle \d^{2}=R(R-2r)}$

또는 동등하게

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}+{\frac {1}{R+d}={\frac {1}{r},}$

여기서 R은 회음부, R은 인라디우스다.따라서 모든 삼각형 R ≥ 2r에 대해 등변 삼각형에 대해 동일하다.

직교점은 한 고도를 길이 u와 v로 나누고, 다른 고도는 세그먼트 길이 w와 x로, 세 번째 고도는 세그먼트 길이 y와 z로 나눈다고 가정하면 uv = wx = yz이다.^{[29]: p.94}

측면에서 원곡선까지의 거리는 반대 정점에서 정사각형까지의 거리의 절반과 같다.^{[29]: p.99}

정점부터 정사각형 H까지의 거리의 제곱합에 변의 제곱합은 회음부 제곱의 12배와 같다.^{[29]: p.102}

${\displaystyle AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}}}$

각도

시네스의 법칙 외에, 코사인의 법칙, 접선의 법칙, 앞서 주어진 삼각관계에 대한 삼각관계의 존재 조건 등이 있다.

$[\displaystyle a=b=cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.}$

몰리의 삼분법 정리

몰리의 삼분법 정리는 어떤 삼각형에서든 인접한 각도 삼분법의 교차점 3개가 몰리 삼각형이라고 하는 정삼각형을 형성한다고 명시하고 있다.

삼각형 안에 새겨진 인물들

코닉스

위에서 논의한 바와 같이, 모든 삼각형에는 삼각형의 내부에 있고 세 면 모두에 접하는 독특한 새겨진 원(주)이 있다.

모든 삼각형에는 삼각형의 내부에 있고 옆면의 중간점에 접하는 독특한 슈타이너 이넬리프가 있다.마르덴의 정리는 이 타원의 초점을 찾는 방법을 보여준다.^[34]이 타원은 삼각형의 세 면 모두에 접하는 타원 중에서 가장 큰 면적을 가지고 있다.

삼각형의 만다트 이넬립스는 삼각형의 접점에서 옆면에 접하는 삼각형 안에 새겨진 타원이다.

ABC 삼각형에 새겨진 타원은 P와 Q로 한다.그러면^[35]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}\cdot {\overline {Q}A}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

볼록 폴리곤

면적 T가 있는 모든 볼록 폴리곤은 최대 2T와 동일한 면적의 삼각형으로 새겨질 수 있다.평등은 평행사변형에 대해 (독점적으로) 지탱한다.^[36]

육각형

레모인 육각형은 삼각형의 옆면 6개 교차로에 의해 정점이 주어지는 주기적인 육각형이며, 세 개의 선은 옆면에 평행하고 그 시메디안 점을 통과한다.레모인 육각형은 그것의 단순한 형태나 자체 교차형 형태로 삼각형의 양쪽에 두 개의 꼭지점이 있는 삼각형의 내부에 있다.

정사각형

모든 급성 삼각형에는 세 개의 정사각형이 새겨져 있다(정사각형의 정점 4개가 모두 삼각형의 한 쪽에 놓여있기 때문에 두 개가 같은 면에 놓여 있고 따라서 정사각형의 한 면은 삼각형의 한 면과 일치한다).직각 삼각형에서는 정사각형의 두 개의 정점이 일치하고 삼각형의 직각에서 정점을 가지므로 직각은 두 개의 뚜렷한 명각만 가지고 있다.둔탁한 삼각형에는 하나의 사각형만 새겨져 있으며, 삼각형의 가장 긴 면의 일부와 일치하는 면이 있다.주어진 삼각형 안에서, 더 긴 공통면은 더 작은 새겨진 정사각형과 연관된다.새겨진 사각형의 길이가 q이고_a 삼각형의 길이가 a면이며, 그 면이 정사각형의 면과 일치하는 경우, q_a, a면으로부터의 고도 h_a, 삼각형의 면적 T는 다음과 같다^[37][38].

${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2}T}}}={\frac {ah_{a}{a+h_{a}}}.}$

명각의 면적에 대한 가장 큰 비율은 1/2이며, 이는² a = 2T, q = a/2이며, 길이 a의 밑에서부터 삼각형의 고도가 a와 같을 때 발생한다.동일한 비사용 삼각형에서 하나의 새겨진 정사각형의 옆면과 다른 정사각형의 옆면의 가능한 최소 $비율$은 2${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 3\sqrt{\mathrm{}}}$= 0${\displaystyle \mathrm{.94....}}$${\displaystyle 2{\sqrt{2}}/3=0.94....$$}}$ 이 두 가지 극단적인$$^[38] 경우는 모두 이등변 직각 삼각형에 발생한다.

삼각형

기준 삼각형의 내부 지점에서 3면 가장 가까운 점은 해당 점의 페달 삼각형의 정점 역할을 한다.내부 지점이 기준 삼각형의 원곡선인 경우, 페달 삼각형의 정점은 기준 삼각형의 변의 중간점이기 때문에 페달 삼각형을 중간점 삼각형 또는 내측 삼각형이라고 한다.중간점 삼각형은 기준 삼각형과 유사한 4개의 합치 삼각형으로 기준 삼각형을 세분화한다.

기준 삼각형의 게르곤느 삼각형 또는 인투치 삼각형은 기준 삼각형의 옆면이 근골과 접선하는 세 지점에서 정점이 있다.기준 삼각형의 바깥쪽 삼각형은 기준 삼각형의 옆면(확장되지 않음)과 접선점에 정점이 있다.

삼각형 둘레에 둘러싸인 그림들

기준 삼각형의 접선 삼각형(직각 삼각형 제외)은 정점에서 기준 삼각형의 원곡선에 대한 접선선에 면이 있는 삼각형이다.

위에서 언급했듯이, 모든 삼각형에는 독특한 원형이 있는데, 그 중심은 삼각형 변의 수직 이등분선의 교차점이다.

또한, 모든 삼각형에는 독특한 슈타이너 할렐립스가 있는데, 이것은 삼각형의 정점을 통과하고 삼각형의 중심에 그 중심이 있다.삼각형의 정점을 통과하는 모든 타원 중에서 가장 작은 면적을 가지고 있다.

키퍼트 하이퍼볼라는 삼각형의 세 꼭지점, 중심, 그리고 원곡선을 통과하는 독특한 원뿔이다.

주어진 볼록한 폴리곤에 포함된 모든 삼각형 중에서, 정점이 주어진 폴리곤의 모든 정점인 최대 영역의 삼각형이 존재한다.^[39]

삼각형에서 점 위치 지정

삼각형의 점 위치를 식별하는 한 가지 방법은 삼각형을 데카르트 평면의 임의 위치와 방향에 배치하고 데카르트 좌표를 사용하는 것이다.이 접근방식은 여러 용도로 편리하지만, 모든 점의 좌표 값이 평면 내 임의 배치에 의존한다는 단점이 있다.

두 시스템은 삼각형을 이동, 회전 또는 거울에 비친 것처럼 점의 좌표에 영향을 받지 않도록 하기 위해 그러한 특징을 피하며, 그 중 어느 것이든 일치 삼각형을 주거나 심지어 비슷한 삼각형을 주도록 다시 밀어서라도:

• 트릴린 좌표는 측면으로부터 점의 상대적 거리를 지정하기 때문에 $좌표{\displaystyle }$x :${\displaystyle }$y : ${\displaystyle z}$ : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ x$:y:z}$은(는) 제1측에서 제2측까지의 거리까지의 점 거리의 비율이 $x{\displaystyle }$: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ x$:y}$ 등임을 나타낸다$$.
• $\alpha {\displaystyle }$ :${\displaystyle \beta }$: ${\displaystyle \beta }$ :$$γ {\$displaystyle \alpha$ :\beta :\$gamma }$ 형식의 이심 좌표는 주어진 점의 무게 없는 삼각형의 균형을 맞추기 위해 세 꼭지점에 놓아야 하는 상대적인 가중치를 기준으로$$ 점의 위치를 지정한다.

비 평면 삼각형

비 평면 삼각형은 평면에 포함되지 않는 삼각형이다.비유클리드 기하학에서 비 평면 삼각형의 일부 예로는 구형 기하학의 구형 삼각형과 쌍곡 기하학의 쌍곡 삼각형이 있다.

평면 삼각형에서 내부 각도의 측정이 항상 180°에 이르는 반면 쌍곡 삼각형은 180° 미만의 각도를 가지며, 구면 삼각형은 180° 이상의 각도를 가진다.쌍곡선 삼각형은 안장면 등 음곡면에 그려서 얻을 수 있고 구면 등 양곡면에 그려서 구면 삼각형을 얻을 수 있다.따라서 지구 표면에 거대한 삼각형을 그리는 경우, 각도의 측정 합계가 180°보다 크다는 것을 알게 될 것이다.사실 그것은 180도에서 540도 사이가 될 것이다.^[40]특히 각 내부 각도의 측정치가 90°에 맞도록 구에 삼각형을 그릴 수 있어 총 270°에 이른다.

구체적으로는 구상에서 삼각형의 각도의 합은 다음과 같다.

180° × (1 + 4f),

여기서 f는 삼각형으로 둘러싸인 구 면적의 분수다.예를 들어, 우리가 북극의 정점, 0° 경도의 적도의 한 지점, 그리고 90° 서경 적도의 한 지점을 가지고 지구 표면에 삼각형을 그린다고 가정해보자.후자의 두 지점 사이에 있는 큰 원 선은 적도이고, 그 두 지점과 북극 사이의 큰 원 선은 경도 선이기 때문에 적도의 두 지점에는 직각이 있다.더구나 북극의 각도는 다른 두 꼭지점이 경도의 90°만큼 다르기 때문에 90°이기도 하다.따라서 이 삼각형의 각도의 합은 90° + 90° + 90° = 270°이다.삼각형은 북반구의 4분의 1(북극에서 볼 때 90°/360°)과 지구 표면의 1/8을 둘러싸기 때문에 f = 1/8 공식에서는 삼각형의 각도의 합을 270°로 정확하게 나타낸다.

위의 각도 합 공식에서 우리는 또한 지구의 표면이 국소적으로 평평하다는 것을 알 수 있다.우리가 지구 표면의 한 점 부근에 임의로 작은 삼각형을 그리면, 삼각형으로 둘러싸인 지구 표면의 분수 f가 임의로 0에 가깝게 된다.이 경우 각도 합 공식은 180°로 단순화되는데, 우리는 유클리드 기하학이 평탄한 표면의 삼각형에 대해 우리에게 말해주는 것을 알고 있다.

시공 중인 삼각형

직사각형은 쌓고 정리하기 쉬운 형태라 건물에 가장 인기 있고 흔한 기하학적 형태였다. 표준으로, 직사각형 모양의 건물 안에 맞도록 가구와 비품을 디자인하는 것은 쉽다.그러나 삼각형은 개념적으로 사용하기 더 어렵지만 엄청난 힘을 제공한다.컴퓨터 기술이 건축가들에게 창의적인 새로운 건물을 설계하도록 도와주면서, 삼각형 모양은 건축 재료뿐만 아니라 고층 빌딩의 일부로서 그리고 일차적인 형태로서 점점 더 널리 퍼지고 있다.1989년 도쿄에서 건축가들은 밀집된 이 도시에 적당한 사무실 공간을 제공하기 위해 500층짜리 타워를 짓는 것이 가능한지 궁금해 했지만, 지진으로 인한 건물들의 위험으로, 건축가들은 그러한 건물이 건설되려면 삼각형 모양이 필요할 것이라고 생각했다.^[41]

In New York City, as Broadway crisscrosses major avenues, the resulting blocks are cut like triangles, and buildings have been built on these shapes; one such building is the triangularly shaped Flatiron Building which real estate people admit has a "warren of awkward spaces that do not easily accommodate modern office furniture" but that has not prevented the structure from becoming a landmark icon.^[42] Designers have made houses in Norway using triangular themes.^[43] Triangle shapes have appeared in churches^[44] as well as public buildings including colleges^[45] as well as supports for innovative home designs.^[46]

Triangles are sturdy; while a rectangle can collapse into a parallelogram from pressure to one of its points, triangles have a natural strength which supports structures against lateral pressures. A triangle will not change shape unless its sides are bent or extended or broken or if its joints break; in essence, each of the three sides supports the other two. A rectangle, in contrast, is more dependent on the strength of its joints in a structural sense. Some innovative designers have proposed making bricks not out of rectangles, but with triangular shapes which can be combined in three dimensions.^[47] It is likely that triangles will be used increasingly in new ways as architecture increases in complexity. It is important to remember that triangles are strong in terms of rigidity, but while packed in a tessellating arrangement triangles are not as strong as hexagons under compression (hence the prevalence of hexagonal forms in nature). Tessellated triangles still maintain superior strength for cantilevering however, and this is the basis for one of the strongest man made structures, the tetrahedral truss.

See also

Notes

References

External links

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• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Triangle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 5200 interesting points associated with any triangle.