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폴리곤

Polygon
다른 종류의 일부 폴리곤: 개방(경계 제외), 경계만(내부 제외), 폐쇄(경계 및 내부를 모두 포함), 자체 교차.

기하학에서 폴리곤(/ˈpɒlɪɡɒɒn/)은 닫힌 폴리곤 체인(또는 폴리곤 회로)을 형성하기 위해 연결된 한정된 수의 직선 세그먼트에 의해 설명되는 평면 형상이다.경계면 영역, 경계선 회로 또는 둘 다 함께 있는 것을 다각형이라고 할 수 있다.

다각형 회로의 세그먼트를 가장자리 또는 옆면이라고 한다.두 가장자리가 만나는 점은 폴리곤의 정점(가수:정점) 또는 코너다.단단한 다각형의 내부는 때때로 그것의 몸체라고 불린다.n곤은 면이 n개인 다각형이며, 를 들어 삼각형은 3곤이다.

단순한 다각형은 그 자신을 교차하지 않는 것이다.수학자들은 종종 단순한 다각형의 경계 다각형 사슬에만 관심을 가지며 그들은 종종 그에 따라 다각형을 정의한다.폴리곤 경계는 항성 폴리곤과 다른 자체 교차 폴리곤을 생성하면서 스스로 교차하도록 허용될 수 있다.

폴리곤은 어떤 치수에서도 보다 일반적인 폴리토프를 2차원적으로 보여주는 예다.다른 목적을 위해 정의된 폴리곤의 일반화가 훨씬 더 많다.

어원

폴리곤(polygon)이라는 단어는 그리스 형용사 πολύς(폴루) 'much', '많이', andΩνία(gonia) '코너' 또는 '각도'에서 유래한다.γόν(구누) 'knee'가 의 기원일 수도 있다는 의견이 제기되었다.[1]

분류

일부 다른 유형의 폴리곤

면 수

다각형은 주로 변의 수에 의해 분류된다.아래 표를 참조하십시오.

볼록도와 교차점

폴리곤은 볼록성 또는 비포함성으로 특징지어질 수 있다.

  • 볼록: 폴리곤을 통해 그려진 모든 선(가장자리나 모서리에 접하지 않음)은 정확히 두 번 경계를 충족한다.그 결과, 모든 내부 각도가 180° 미만이다.마찬가지로 경계선에 끝점이 있는 모든 선 세그먼트는 끝점 사이의 내부 지점만 통과한다.
  • 비콘벡스: 경계를 두 번 이상 충족하는 선을 찾을 수 있다.동등하게, 폴리곤 바깥을 통과하는 두 경계점 사이에 선 세그먼트가 존재한다.
  • 단순함: 다각형의 경계는 스스로 교차하지 않는다.모든 볼록 폴리곤은 간단하다.
  • 오목: 비콘벡스적이고 단순하다.180°보다 큰 내부 각도가 적어도 하나 있다.
  • 모양: 가장자리를 넘지 않고 적어도 한 지점에서 내부 전체가 보인다.폴리곤은 단순해야 하며, 볼록하거나 오목할 수 있다.모든 볼록한 다각형은 별모양이다.
  • 자기 교차: 다각형의 경계는 스스로 교차한다.콤플렉스라는 용어는 단순함과 대조적으로 사용되기도 하지만, 이 용어는 복잡한 폴리곤2개의 복잡한 치수로 구성된 복잡한 힐버트 평면에 존재하는 폴리곤이라는 개념과 혼동을 일으킬 위험이 있다.
  • 별 다각형: 규칙적으로 자가 교배되는 다각형.다각형은 별과 별 모양 둘 다 될 수 없다.

평등과 대칭

  • 등각형: 모든 모서리 각도가 동일하다.
  • 등각형: 모든 가장자리의 길이가 같다.
  • 정규: 등각형과 등각형 둘 다.
  • 순환: 모든 모서리가 원곡선이라고 불리는 하나의 위에 놓여 있다.
  • 접선: 모든 면이 새겨진 원과 접선된다.
  • 등각 또는 정점 변환: 모든 모서리가 동일한 대칭 궤도 안에 있다.폴리곤은 또한 주기적이고 등각형이다.
  • 동위원소 또는 에지 변환: 모든 면이 동일한 대칭 궤도 안에 있다.폴리곤은 또한 등각형이고 접선형이다.

정규성의 속성은 다른 방법으로 정의될 수 있다. 폴리곤은 이소곤과 동위원소 둘 다인 경우와 동위원소 둘 다인 경우에만 규칙적이다. 또는 동등하게 순환과 등변형이다.비콘벡스 정규 다각형을 일반다각형이라고 한다.

잡다한

  • 직진: 폴리곤의 옆면은 직각으로 만난다. 즉, 모든 내부 각도는 90도 또는 270도 이다.
  • 주어진 선 L에 대한 단조: L에 직교하는 모든 선은 폴리곤을 두 번 이상 교차하지 않는다.

속성 및 공식

n-곤을 2개 삼각형으로 분할

유클리드 기하학은 전체적으로 가정한다.

각도

어떤 폴리곤이든 면이 있는 만큼 모서리가 많다.각 코너에는 여러 각도가 있다.가장 중요한 두 가지는 다음과 같다.

  • 내부 각도 – 간단한 n-곤의 내부 각도의 합은 (n - 2)π 라디안 또는 (n - 2) × 180도 입니다.이는 모든 단순한 n-곤(n측면)이 (n - 2) 삼각형으로 구성되는 것으로 간주할 수 있으며, 각 삼각형은 triang 라디안 또는 180도의 각도 합을 가지고 있기 때문이다.볼록한 일반 n-곤의 내부 각도의 측정은(- {\{2}라디안 - }{360이다.The interior angles of regular star polygons were first studied by Poinsot, in the same paper in which he describes the four regular star polyhedra: for a regular -gon (a p-gon with central density q), each interior angle is radians 또는 - ) p .[2]
  • 외부 각도 – 외부 각도는 내부 각도에 대한 보조 각도임.볼록한 n곤 주위를 추적하면, 모서리에 있는 "변위" 각도는 외부 또는 외부 각이다.다각형 주변을 모두 추적하면 한 바퀴가 완전히 돌기 때문에 외부 각도의 합은 360°여야 한다.이 주장은 반대 방향으로 도는 외부 각도를 회전 총량에서 빼면 오목한 단순 다각형으로 일반화할 수 있다.일반적으로 n곤 주위를 추적하면, 외부 각(정점에서 회전하는 총량)의 합은 360°의 정수 배수 d일 수 있다. 예를 들어, 펜타그램의 경우 720°, 각도 "8" 또는 대타렐로그램의 경우 0°일 수 있다. 여기서 d는 폴리곤의 밀도 또는 회전 번호다.궤도(역동학)도 참조하십시오.

면적

비콘벡스 펜타곤의 좌표.

이 절에서 고려 중인 폴리곤의 정점은 순서대로( , ), ,y ),( n- ,- ) (}, y_{n-1})로 일부 공식의 편의를 위해 표기법(xnn, y) = (x0, y0)도 사용된다.

심플 폴리곤

다각형이 자가 교차되지 않는 경우(즉, 단순) 서명된 영역은

또는 결정인자를 사용하여

여기서 , j (x ,y ) {\ ( j, ). 사이의 제곱 거리이다.[3][4]

서명된 영역은 정점의 순서와 평면의 방향에 따라 달라진다.일반적으로 양의 방향은 양의 x축을 양의 y축에 매핑하는 (시계 반대 방향) 회전으로 정의된다.정점이 시계 반대 방향(즉, 포지티브 방향에 따라)으로 정렬된 경우, 서명된 영역은 양의 값이고, 그렇지 않은 경우 음의 값이다.어느 경우든 면적 공식은 절대값이 정확하다.이것은 보통 신발끈 공식 또는 측량사의 공식이라고 불린다.[5]

단순 다각형의 면적 A는 면의 길이, a1, a2, a, ..., a와 외부n 각도1, ..., ..., ..., θ2n 알려진 경우에도 다음과 같이 계산할 수 있다.

이 공식은 1963년 롭시츠에 의해 설명되었다.[6]

모든 정점이 격자점일 정도로 동일한 간격의 격자에 폴리곤을 그릴 수 있는 경우, 픽의 정리는 내부 및 경계 격자점 수: 전자의 숫자 + 후자의 1/2인 마이너스 1을 더한 폴리곤 영역에 대한 간단한 공식을 제공한다.

둘레 p와 영역 A가 있는 모든 폴리곤에서, 등측 불평등 > A A(는) 유지된다.[7]

볼라이-게르비엔 정리는 동일한 면적의 두 개의 단순한 다각형에 대해 첫 번째 다각형을 다시 조립하여 두 번째 다각형을 형성할 수 있는 폴리곤 조각으로 자를 수 있다고 주장한다.

다각형의 옆면 길이가 일반적으로 그 면적을 결정하지는 않는다.[8]그러나 다각형이 단순하고 주기적인 경우 면적이 결정된다.[9]주어진 측면 길이를 가진 모든 n-gon 중에서 가장 큰 면적을 가진 것은 순환이다.지정된 둘레가 있는 모든 n-gon 중에서 가장 큰 면적을 가진 n-gon은 규칙적이다(따라서 순환).[10]

일반 다각형

많은 전문식들이 일반 다각형의 영역에 적용된다.

일반 다각형의 영역은 그에 새겨진 원의 반지름 r과 그 둘레 p by에 의해 주어진다.

이 반지름은 또한 그것의 아포템이라고 불리며 종종 a로 표현된다.

한정된 원의 반지름 R 측면에서 정규 n-곤의 면적은 다음과 같이 삼각법으로 표현할 수 있다.[11][12]

단위 반지름 원 안에 새겨진 일반 n-곤의 영역은 측면 s와 내부 각도 을(를) 삼각법으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

자가 교차

자가 교차 폴리곤의 영역은 두 가지 다른 방법으로 정의될 수 있으며, 다음과 같은 다른 답변을 제공한다.

  • 단순 다각형에 대한 공식을 사용하여 폴리곤 내의 특정 영역에 해당 영역의 밀도라고 하는 인수를 곱할 수 있도록 허용한다.예를 들어, 펜타그램의 중앙에 있는 중앙 볼록 오각형은 밀도 2를 가진다.십자형(그림 8과 같이)의 두 삼각형 영역은 서로 서명된 밀도를 가지며, 그 영역을 함께 더하면 전체 그림의 총 면적이 0이 될 수 있다.[13]
  • 동봉된 지역을 포인트 세트로 생각하면 동봉된 포인트 세트의 면적을 찾을 수 있다.이는 폴리곤으로 덮인 면의 면적 또는 자기 교차형 폴리곤과 동일한 윤곽을 가진 하나 이상의 단순한 폴리곤의 면적에 해당한다.십자형 삼각형의 경우 단순 삼각형 2개로 처리한다.[citation needed]

중심

앞의 절과 같은 정점 좌표에 대해 동일한 규약을 사용하여 솔리드 단순 다각형의 중심 좌표는

이 공식에서는 영역 의 서명 값을 사용해야 한다.

삼각형(n = 3)의 경우, 꼭지점과 단형의 중심은 같지만, 일반적으로 n > 3에 대해서는 그렇지 않다.정점이 n개인 폴리곤의 정점 집합의 중심에는 좌표가 있다.

일반화

다각형의 사상은 여러 가지 방법으로 일반화되었다.더 중요한 것 중 일부는 다음과 같다.

  • 구면 다각형은 원(사이드)과 구의 표면에 정점이 있는 호를 순환하는 것이다.편평한 평면에서는 불가능한 2면 2면 2면 2면 2면만 있는 다각형인 디곤을 허용한다.구면 다각형은 지도 제작(지도 제작)와이토프의 획일적인 다각형 제작에서 중요한 역할을 한다.
  • 꼬치 다각형은 평평한 평면에 놓여 있지 않고 3(또는 그 이상) 치수로 지그재그로 놓여 있다.일반 폴리토페스의 페트리 폴리곤은 잘 알려진 예들이다.
  • 아페이로곤은 양방향으로 무한히 연장되기 때문에 닫히지 않고 끝이 없는 횡방향과 각도의 무한 시퀀스다.
  • 꼬챙이 아페이로곤은 평평한 평면에 눕지 않는 옆면과 각도의 무한 시퀀스다.
  • 복합 폴리곤(complex polygon)은 일반 폴리곤과 유사한 구성으로, 두 개의 실제 치수와 두 개의 가상 치수의 복잡한 평면에 존재한다.
  • 추상 다각형은 다양한 요소(측면, 정점 등)와 그 연결을 나타내는 대수학적으로 부분적으로 순서화된 집합이다.실제 기하학적 폴리곤은 관련 추상 폴리곤의 실현이라고 한다.매핑에 따라 여기에 설명된 모든 일반화가 실현될 수 있다.
  • 다면체(多面體)는 평평한 다각면으로 경계된 3차원 고체로, 2차원의 다각형과 유사하다.4개 이상의 치수에 해당하는 형상을 폴리토페스라고 한다.[14](다른 관습에서는 다면체(多面體)와 다면체(多面體)라는 말을 어떤 차원에서도 사용하며, 다면체(多面體)가 반드시 경계된다는 두 가지의 구별을 가지고 있다.)[15]

이름 지정

폴리곤후기 라틴어 폴리고넘(명사)에서 유래했으며, 그리스어 πολύγωω ( ( ((폴리고논/폴루고논)에서 유래했으며, λύύύωωωω ofςςς의 중성자(폴리고노스/pollugonos, 남성 형용사)는 "다각"을 의미한다.개별 폴리곤은 그리스에서 유래한 숫자 접두사와 접미사 -곤(예: 펜타곤, dodecagon)을 결합하여 면 수에 따라 이름(그리고 때로는 분류)된다.삼각형, 사각형, 비곤형은 예외다.

데카곤(10면)과 도데카곤(12면)을 넘어 수학자들은 일반적으로 17곤과 257곤과 같은 숫자 표기법을 사용한다.[16]

측면 계수는 언어적 형태(예: 20 및 30)로 쉽게 표현되거나 비-마약학자가 사용하는 측면 계수에 대해서는 예외가 존재한다.어떤 특별한 폴리곤은 또한 그들만의 이름을 가지고 있다; 예를 들어 일반 펜타곤펜타그램으로도 알려져 있다.

폴리곤 이름 및 기타 속성
이름 옆면 특성.
단조로운 1 그래프 이론과 같은 일부 학문이 때때로 용어를 사용하기는 하지만 일반적으로 다각형으로 인식되지는 않는다.[17][18]
디건 2 구면 폴리곤으로 존재할 수 있지만 일반적으로 유클리드 평면에서 폴리곤으로 인식되지는 않는다.[19]
삼각형(또는 삼각형) 3 유클리드 평면에 존재할 수 있는 가장 단순한 폴리곤이다.비행기 타일을 칠할 수 있다.
4각형(또는 4각형) 4 스스로 교차할 수 있는 가장 단순한 다각형, 오목할 수 있는 가장 단순한 다각형, 비순환적일 수 있는 가장 단순한 다각형.비행기 타일을 칠할 수 있다.
오각형의 5 [20] 일반 항성으로 존재할 수 있는 가장 단순한 다각형.별 펜타곤은 펜타그램이나 펜타클이라고 알려져 있다.
육각형의 6 [20] 비행기 타일을 칠할 수 있다.
헵타곤(또는 패각형) 7 [20] 규칙적인 형태가 나침반과 직선으로 구성될 수 없는 가장 단순한 다각형.단, 네우스식 공법을 사용하여 시공할 수 있다.
팔각형의 8 [20]
nonagon(또는 Enneagon) 9 [20]"Nonagon"은 라틴어 [novm = 9]를 그리스어와 혼합하고, "enneagon"은 순수한 그리스어다.
데카곤 10 [20]
hendecagon(또는 미해명) 11 [20] 규칙적인 형태가 나침반, 직선자, 각도 삼지각으로 구성될 수 없는 가장 단순한 다각형.그러나, 그것은 네우시스로 건설될 수 있다.[21]
dodecagon(또는 duodecagon) 12 [20]
3각형(또는 3각형) 13 [20]
테트라데카곤(또는 테트라카이데카곤) 14 [20]
펜타데카곤(또는 펜타카이드카곤) 15 [20]
육각형(또는 육각형) 16 [20]
헵타데카곤(또는 헵타카이드카곤) 17 구성 가능한 폴리곤[16]
팔각형(또는 팔각형) 18 [20]
엔네아데카곤(또는 엔네아카이데카곤) 19 [20]
이코사곤 20 [20]
이코시트리곤(또는 이코시카이트리곤) 23 정규 형태를 네우시스(neusis)로 구성할 수 없는 가장 간단한 폴리곤.[22][21]
이코시테트라곤(또는 이코시카이트라곤) 24 [20]
이코시펜타곤(또는 이코시펜타곤) 25 정규 형태를 네우시스(neusis)로 구성할 수 있는지 여부를 알 수 없는 가장 간단한 폴리곤.[22][21]
삼원형 30 [20]
테트라콘타곤(또는 테사라콘타곤) 40 [20][23]
펜타콘타곤(또는 펜타콘타곤) 50 [20][23]
육각형(또는 육각형) 60 [20][23]
헵타콘타곤(또는 hebdome contagon) 70 [20][23]
8각형(또는 오그도어컨탠타곤) 80 [20][23]
Enneacontagon(또는 Enenecontagon) 90 [20][23]
헥토곤(또는 헤카톤타곤)[24] 100 [20]
고로257곤 257 구성 가능한 폴리곤[16]
칠리곤 1000 레네 데카르트,[25] 임마누엘 칸트,[26] 데이비드 흄을 비롯한 철학자들은 이 칠리곤을 토론에서 예로 들었다.[27]
무수한 10,000 데카르트의 첫 번째 철학에 대한 명상 등 일부 철학 토론에서 예로 사용됨
65537곤 65,537 구성 가능한 폴리곤[16]
메가곤[28][29][30] 1,000,000 레네 데카르트의 칠리곤의 예와 같이, 백만 면의 다각형은 시각화할 수 없는 잘 정의된 개념의 삽화로 사용되어 왔다.[31][32][33][34][35][36][37]이 메가곤은 또한 일반 다각형이 원에 융합된 것을 보여주는 삽화로도 사용된다.[38]
아페이로곤 무한히 많은 면의 퇴보된 다각형.

가장자리가 20개 이상 100개 미만인 폴리곤의 이름을 구성하려면 다음과 같이 접두사를 결합하십시오.[20]"카이" 용어는 13-gon 이상에 적용되며 케플러에 의해 사용되었고, 모든 출처가 그것을 사용하는 것은 아니지만,[24] 쿼레곤ular polyedra의 이름에서 결합된 접두사 번호의 명확성을 위해 존 H. 콘웨이가 주창했다.

텐스 그리고 하나 최종 접미사
-카이- 1 -헤나- -곤
20 아이코시- (혼자 있을 때 아이코사-) 2 -di-
30 삼콘타(또는 트리콘타) 3 -트리-
40 테트라콘타- (혹은 테사라콘타-) 4 -tetra-
50 펜타콘타-(또는 펜테콘타-) 5 -펜타-
60 헥사콘타(또는 헥사콘타) 6 -hexa-
70 헵타콘타-(또는 헵도메콘-) 7 -헵타-
80 옥타콘타- (또는 오그도어콘타-) 8 -옥타-
90 enneaconta- (또는 eneneneconta-) 9 -호흡증-

역사

폴리곤의 과거 이미지(1699)

폴리곤은 고대부터 알려져 있다.일반 폴리곤은 고대 그리스인들에게 알려져 있었는데, 비콘벡스 일반 폴리곤(별 다각형)인 펜타그램이 기원전 7세기 초에 아리스토파네스에 의해 크레이터에 등장했고, 카페롤린 박물관에서 발견되었다.[39][40]

일반적으로 비콘벡스 폴리곤에 대한 최초의 체계적 연구는 14세기에 토마스 브래드워딘에 의해 만들어졌다.[41]

1952년 제프리 콜린 셰퍼드(Geoffrey Colin Shephard)는 각 실제 차원이 상상의 차원을 수반하는 복잡한 평면에 대한 폴리곤의 사상을 일반화하여 복잡한 폴리곤을 만들었다.[42]

자연에서

폴리곤은 암석 형태로 나타나는데, 가장 일반적으로는 결정의 평평한 면으로 나타나는데, 이 면들 사이의 각도는 결정이 만들어지는 광물의 종류에 따라 달라진다.

정규 육각형은 용암이 꽉 찬 현무암 기둥의 영역형성할 때 발생할 수 있는데, 이는 북아일랜드자이언트 코즈웨이나 캘리포니아의 데블스 포스트필드에서 볼 수 있을 것이다.

생물학에서 벌들이 만든 왁스 벌집의 표면은 육각형의 배열이며, 각 세포의 옆면과 밑면도 다각형이다.

컴퓨터 그래픽스

컴퓨터 그래픽에서 폴리곤은 모델링과 렌더링에 사용되는 원시적인 것이다.그것들은 정점 배열(색상, 음영, 질감과 같은 폴리곤의 다른 속성뿐만 아니라 기하학적 정점의 좌표), 연결 정보 및 재료들을 포함하는 데이터베이스에 정의된다.[43][44]

모든 표면은 폴리곤 메쉬라고 불리는 테셀레이션으로 모델링된다.정사각형 메쉬가 각 n + 1 포인트(수직)를 갖는 경우, 정사각형 안에 2개의 삼각형이 있기 때문에 정사각형 안에 n개의 제곱 사각형이 있거나, 2n의 제곱 삼각형이 있다.삼각형당 (n + 1) 2/ 2(n2) 정점이 있다.n이 크면 이것은 절반에 가깝다.또는 사각 망사 내부의 각 꼭지점은 네 개의 가장자리(선)를 연결한다.

영상 시스템은 장면이 데이터베이스에서 생성되는 데 필요한 다각형의 구조를 호출한다.이것은 활성 메모리로 전송되고 마지막으로 디스플레이 시스템(화면, TV 모니터 등)으로 전송되어 장면을 볼 수 있다.이 과정에서 영상촬영 시스템은 처리된 데이터를 디스플레이 시스템으로 전송할 수 있도록 정확한 원근법으로 다각형을 렌더링한다.다각형은 2차원이지만, 시스템 컴퓨터를 통해 정확한 3차원 방향으로 시각적 장면에 배치된다.

컴퓨터 그래픽과 계산 기하학에서 주어진 =( , ) 이(가) 일련의 선 세그먼트에 의해 주어진 단순한 다각형 안에 있는지 여부를 결정해야 하는 경우가 많다.이를 다각형 검정에서 점이라고 한다.[45]

참고 항목

참조

참고 문헌 목록

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메모들

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