토폴로지

In mathematics, topology (from the Greek words τόπος, 'place, location', and λόγος, 'study') is concerned with the properties of a geometric object that are preserved under continuous deformations, such as stretching, twisting, crumpling, and bending; that is, without closing holes, opening holes, tearing, gluing, or passing through itself.

토폴로지 공간은 토폴로지라고 불리는 구조를 가진 집합으로, 서브스페이스의 연속적인 변형과 보다 일반적으로 모든 종류의 연속성을 정의할 수 있습니다.유클리드 공간, 그리고 보다 일반적으로 미터법 공간은 어떤 거리나 미터법이 위상을 정의하기 때문에 위상 공간의 예이다.위상학에서 고려되는 변형은 동형사상과 동형사상입니다.이러한 변형 하에서 불변하는 속성은 위상 속성이다.위상 특성의 기본적인 예로는 선과 표면을 구별할 수 있는 치수, 선과 원을 구분할 수 있는 콤팩트성, 두 개의 비교차 원과 원을 구분할 수 있는 연결성 등이 있습니다.

위상학의 기본 개념은 17세기에 기하학적 시투스와 분석 시투스를 구상했던 고트프리드 라이프니츠로 거슬러 올라간다.레온하르트 오일러의 쾨니히스베르크 문제와 다면체 공식은 거의 틀림없이 이 분야의 첫 번째 정리이다.위상이라는 용어는 요한 베네딕트 리스트가 19세기에 도입했지만, 위상 공간에 대한 개념이 개발된 것은 20세기 초가 되어서였다.

동기

위상 뒤에 있는 동기 부여적인 통찰력은 일부 기하학적 문제가 관련된 물체의 정확한 모양에 따라 달라지는 것이 아니라 그것들이 합쳐지는 방식에 따라 달라진다는 것입니다.예를 들어 정사각형과 원에는 공통되는 특성이 많습니다. 즉, 둘 다 (토폴로지의 관점에서) 1차원 객체이며 둘 다 평면을 두 부분으로 나눕니다. 내부 부분과 외부 부분으로 나눕니다.

위상학의 첫 번째 논문 중 하나에서, 레온하르트 오일러는 쾨니히스베르크 마을(현재의 칼리닌그라드)을 통과하는 7개의 다리를 정확히 한 번 건널 수 있는 경로를 찾는 것이 불가능하다는 것을 증명했다.이 결과는 교량의 길이나 서로 간의 거리에 의존하지 않고 연결 특성, 즉 어떤 교량이 어떤 섬이나 강둑에 연결되는지에만 의존합니다.이 쾨니히스베르크의 일곱 다리 문제는 그래프 이론으로 알려진 수학의 분파로 이어졌다.

마찬가지로, 대수적 위상학의 털공 정리는 "가죽을 만들지 않고는 털공에 머리를 납작하게 빗을 수 없다"고 말한다.이 사실은 대부분의 사람들에게, 비록 그들이 정리의 더 공식적인 진술을 인정하지 않을지라도, 구에 사라지지 않는 연속 접선 벡터장이 없다는 것을 즉시 설득할 수 있다.쾨니히스베르크의 브릿지와 마찬가지로, 결과는 구의 모양에 따라 달라지지 않습니다. 구멍이 없는 한 모든 종류의 매끄러운 블럽에 적용됩니다.

개체의 정확한 모양에 의존하지 않는 이러한 문제를 해결하려면 이러한 문제가 어떤 속성에 의존하는지 명확히 해야 합니다.이 필요성으로부터 동종 동형의 개념이 생겨난다.각 브릿지를 한 번만 건널 수 없다는 것은 쾨니히스베르크의 브릿지와 동형인 브릿지의 배열에 적용되며, 털구정리는 구와 동형인 공간에 적용됩니다.

직감적으로 절단이나 접착 없이 한 공간을 다른 공간으로 변형할 수 있다면 두 공간은 동형입니다.전통적인 농담은 위상학자가 커피 머그잔과 도넛을 구별할 수 없다는 것이다. 왜냐하면 충분히 유연한 도넛은 ^[1]딤플을 만들고 점진적으로 확대하면서 구멍을 손잡이로 축소시킴으로써 커피잔으로 모양을 바꿀 수 있기 때문이다.

동형사상은 가장 기본적인 위상적 동등성으로 간주될 수 있다.다른 하나는 호모토피 등가입니다.이것은 기술적인 지식이 없으면 설명하기 어렵지만, 중요한 개념은 두 개체가 모두 더 큰 개체를 "스퀴싱"한 결과인 경우 호모토피 등가라는 것입니다.

sans-serif 글꼴의 라틴 알파벳 등가 클래스

동형사상	호모토피 등가

도입 연습은 영어 알파벳의 대문자를 동형사상과 호모토피 등가성에 따라 분류하는 것이다.결과는 사용된 글꼴과 문자를 구성하는 스트로크가 어느 정도 두께를 가지는지 또는 두께가 없는 이상적인 곡선인지에 따라 달라집니다.이 그림은 산세리프 미리어드 글꼴을 사용하며 두께가 없는 이상적인 곡선으로 구성되어 있다고 가정합니다.호모토피 등가성은 동형사상보다 거친 관계이며, 호모토피 등가 클래스는 여러 동형사상 클래스를 포함할 수 있습니다.위에서 설명한 호모토피 등가의 간단한 사례를 사용하여 두 글자가 호모토피 등가임을 나타낼 수 있습니다.예를 들어, O는 P 안에 들어가고 P의 꼬리는 "구멍" 부분까지 스퀴핑될 수 있습니다.

동형성 클래스는 다음과 같습니다.

• C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W 및 Z에 해당하는 구멍이 없어야 한다.
• E, F, T, Y에 해당하는 구멍과 꼬리 3개 없음;
• X에 해당하는 구멍과 꼬리 4개가 없어야 한다.
• D 및 O에 해당하는 꼬리가 없는 하나의 구멍
• P 및 Q에 해당하는 구멍 하나와 꼬리 하나
• A 및 R에 해당하는 구멍 1개와 꼬리 2개
• B에 해당하는 꼬리가 없는 구멍 2개
• H와 K에 해당하는 4개의 꼬리가 있는 막대. K의 "막대"는 거의 너무 짧아서 볼 수 없습니다.

꼬리를 한 점까지 스퀴드할 수 있기 때문에 호모토피 클래스는 더 큽니다.다음과 같은 것이 있습니다.

• 홀 하나
• 두 개의 홀, 그리고
• 구멍은 없습니다.

글자를 올바르게 분류하기 위해서는 같은 클래스의 두 글자는 동등하고 다른 클래스의 두 글자는 동등하지 않다는 것을 보여줘야 합니다.동형사상의 경우 점을 선택하고 제거된 문자를 다르게 표시하여 이를 수행할 수 있습니다.예를 들어, X의 중심점을 제거하면 4개의 조각이 남기 때문에 X와 Y는 동형성이 아닙니다. Y의 어떤 점이 이 점에 해당하더라도 최대 3개의 조각이 남을 수 있습니다.호모토피 등가의 경우는 더 어렵고, 기초 군과 같은 대수적 불변량이 다른 것으로 생각되는 클래스에서 다르다는 것을 보여주는 보다 정교한 논거를 필요로 한다.

문자 토폴로지는 스텐실 타이포그래피와 실질적으로 관련이 있습니다.예를 들어 브라가도시오 폰트 스텐실은 하나의 연결된 재료로 만들어집니다.

역사

잘 정의된 수학 분야인 위상학은 20세기 초에 시작되었지만, 몇몇 고립된 결과는 몇 세기 ^[2]전으로 거슬러 올라갈 수 있다.이것들 중에는 레온하르트 오일러에 의해 연구된 기하학의 특정한 질문들이 있다.1736년 쾨니히스베르크의 일곱 다리에 관한 그의 논문은 토폴로지의 ^[2]첫 번째 실용적 응용 중 하나로 여겨진다.1750년 11월 14일, 오일러는 친구에게 다면체의 모서리의 중요성을 깨달았다고 편지를 썼다.이것은 그의 다면체 공식 V - E + F = 2로 이어졌다(여기서 V, E, F는 각각 다면체의 꼭지점, 모서리 및 면의 수를 나타낸다).일부 권위자들은 ^[3]이 분석을 위상학의 탄생을 알리는 첫 번째 정리로 간주한다.

아우구스틴-루이 코시, 루드비히 슐레플리, 요한 베네딕트 리스트, 베른하르트 리만, 엔리코 ^[4]베티가 추가 공헌을 했다.Listing은 1847년 그의 모국어로 쓰여진 Vorstudien zur Topologie에서 "Topologie"라는 용어를 소개했는데,^[5] 이 단어는 인쇄물에 처음 등장하기 전까지 10년 동안 통신으로 사용되었다."토폴로지"라는 영어 형식은 1883년 네이처 저널의 Listing 부고 기사에서 "질적 기하학과 양적 관계가 주로 다루어지는 일반적인 기하학"^[6]을 구별하기 위해 사용되었습니다.

그들의 작업은 앙리 푸앵카레에 의해 수정되고, 통합되고, 크게 확장되었다.1895년, 그는 Analysis Situs에 대한 그의 획기적인 논문을 발표했는데, 그것은 현재 호모토피와 호몰로지로 알려진 개념들을 소개했는데, 이것은 현재 대수적 ^[4]위상의 일부로 여겨진다.

닫힌 2-매니폴드의^[4] 위상 특성

다지관	오일러 수	방향성	베티 수			비틀림 계수(1차원)
			b0.	b1.	b2.
구	2	방향성	1	0	1	없음.
토러스	0	방향성	1	2	1	없음.
2홀 토러스	−2	방향성	1	4	1	없음.
g홀드 토러스(g 홀드 토러스(g)	2 ~ 2 g	방향성	1	2g	1	없음.
투영 평면	1	방향성 없음	1	0	0	2
클라인병	0	방향성 없음	1	1	0	2
c 크로스 캡이 있는 구(c > 0)	2 − c	방향성 없음	1	c − 1	0	2
2-G 홀이 있는 매니폴드 및 c 크로스 포인트(c > 0)	2 − (2g + c)	방향성 없음	1	(2g + c) − 1	0	2

Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzela, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli 등의 함수 공간에 대한 작업을 통합하면서,^[7] Maurice Fréchet은 1906년에 미터법을 도입했다.미터법 공간은 현재 특정 토폴로지 공간이 많은 개별 메트릭 공간을 발생시킬 수 있는 일반적인 토폴로지 공간의 특수한 경우로 간주됩니다.1914년 펠릭스 하우스도르프는 "위상 공간"이라는 용어를 만들고 현재 하우스도르프 ^[8]공간이라고 불리는 것에 대한 정의를 내렸다.현재 위상 공간은 1922년 카지미에츠 쿠라토스키가 ^[9]제시한 하우스도르프 공간의 약간의 일반화이다.

현대 위상학은 19세기 후반에 게오르크 칸토어에 의해 개발된 집합론의 아이디어에 크게 의존한다.집합론의 기본 개념을 확립하는 것 외에도, 칸토르는 푸리에 급수에 대한 그의 연구의 일부로서 유클리드 공간의 점 집합을 고려했다.자세한 내용은 점 집합 위상 및 대수 위상을 참조하십시오.

2022년 아벨상은 "가장 넓은 의미에서 위상, 특히 대수적, 기하학적,^[10] 역동적 측면에 대한 그의 획기적인 공헌"으로 데니스 설리번에게 수여되었다.

개념

세트의 토폴로지

위상이라는 용어는 또한 위상이라고 불리는 수학 영역의 중심에 있는 특정한 수학적 아이디어를 가리킵니다.비공식적으로 토폴로지는 집합의 요소들이 서로 공간적으로 어떻게 관련되어 있는지를 나타냅니다.같은 세트라도 다른 토폴로지를 가질 수 있습니다.예를 들어, 실선, 복소 평면 및 칸토어 집합은 서로 다른 위상을 가진 동일한 집합으로 간주할 수 있습니다.

공식적으로는 X를 집합으로 하고 θ를 X의 부분 집합족으로 한다.다음에 해당하는 경우,는 X 상의 토폴로지라고 불립니다.

1. 빈집합과 X는 모두 of의 요소이다.
2. is의 원소 결합은 τ의 원소이다.
3. is의 많은 원소의 교집합은 τ의 원소이다.

「」가 X상의 토폴로지인 경우, 쌍(X, 「)은 토폴로지 공간이라고 불립니다.X 표기는_τ 특정 토폴로지 τ를 가진 집합 X를 나타내기 위해 사용할 수 있습니다.정의상 모든 토폴로지는 '시스템'입니다.

are의 멤버는 X에서는 오픈세트라고 불립니다X의 서브셋은 그 보수가 θ(즉, 그 보수가 열린 상태)이면 닫힘이라고 한다.X의 서브셋은 열림, 닫힘, 둘 다(개방 집합)이거나 둘 다일 수 있습니다.빈 집합과 X 자체는 항상 닫혀 있고 열려 있습니다.점 x를 포함하는 X의 열린 부분 집합을 x 근방이라고 합니다.

연속 함수 및 동형사상

열린 집합의 반전 이미지가 열려 있는 경우 위상 공간 간의 함수 또는 지도를 연속이라고 합니다.함수가 실수를 실수에 매핑하는 경우(두 개의 공간 모두 표준 위상이 있는 경우) 연속의 정의는 미적분의 연속의 정의와 동일합니다.연속함수가 일대일이고 그 역함수가 연속함수라면 그 함수는 동형사상이라고 불리며, 그 함수의 영역은 범위에 대해 동형사상이라고 한다.다른 표현으로 말하면 함수는 토폴로지에 자연스럽게 확장되어 있습니다.두 공간이 동형인 경우 동일한 위상 특성을 가지며 위상적으로 동일한 것으로 간주됩니다.큐브와 구는 동형이고 커피잔과 도넛도 동형입니다.하지만 그 원은 도넛과 동질적이지 않다.

다지관

위상 공간은 매우 다양하고 이국적일 수 있지만, 위상 영역의 대부분은 다양체로 알려진 보다 친숙한 공간 클래스에 초점을 맞춘다.다양체는 각 점 근처의 유클리드 공간과 비슷한 위상 공간이다.보다 정확하게는, n차원 다양체의 각 점은 n차원의 유클리드 공간과 동형인 근방을 가진다.그림 8이 아닌 선과 원은 1차원 다지관이다.모든 표면이 다지관은 아니지만 2차원 다지관은 표면이라고도 합니다.예를 들어 평면, 구체 및 토러스 등 3차원에서 자가 교차 없이 실현될 수 있으며, 클라인 병과 실제 투영 평면은 실현될 수 없습니다(즉, 모든 실현은 다지관이 아닌 표면임).

토픽

일반 토폴로지

일반 토폴로지는 ^[11][12]토폴로지에서 사용되는 기본 집합 이론 정의 및 구성을 다루는 토폴로지의 분기입니다.미분 위상, 기하 위상, 대수 위상 등 대부분의 다른 위상 분기의 기초가 됩니다.일반 토폴로지의 또 다른 이름은 포인트 세트토폴로지입니다

연구의 기본 대상은 위상 공간, 즉 유한 교차점과 (유한 또는 무한) 결합 하에서 닫힌 열린 집합이라고 불리는 부분 집합의 패밀리를 갖춘 집합이다.연속성, 콤팩트성, 접속성 등의 토폴로지의 기본 개념은 오픈세트의 관점에서 정의할 수 있습니다.직관적으로 연속 함수는 인근 지점을 인근 지점으로 이동합니다.콤팩트 세트는 임의로 작은 사이즈의 세트로 커버할 수 있는 세트입니다.연결된 세트는 멀리 떨어져 있는 두 부분으로 나눌 수 없는 세트입니다.근처에 있는 단어, 임의로 작은 단어, 멀리 떨어져 있는 단어 모두 오픈 세트를 사용하여 정확하게 만들 수 있습니다.특정 공간에 여러 토폴로지를 정의할 수 있습니다.토폴로지 변경은 오픈세트 집합 변경으로 구성됩니다.이것에 의해, 연속하는 기능과 컴팩트한 서브 세트, 또는 접속하는 서브 세트가 변경됩니다.

메트릭 공간은 두 점 사이의 거리가 메트릭이라는 함수에 의해 정의되는 중요한 위상 공간 클래스입니다.메트릭 공간에서 오픈 세트는 오픈 디스크의 결합이며, 여기서 x를 중심으로 한 반지름 r의 오픈 디스크는 x까지의 거리가 r보다 작은 모든 점의 집합이다.많은 공통 공간은 메트릭으로 토폴로지를 정의할 수 있는 토폴로지 공간입니다.이것은 실선, 복소 평면, 실복소 벡터 공간, 유클리드 공간의 경우이다.메트릭을 사용하면 많은 증거를 단순화할 수 있습니다.

대수 위상

대수 위상은 위상 ^[13]공간을 연구하기 위해 대수로부터 도구를 사용하는 수학의 한 분야이다.기본 목표는 위상 공간을 동형사상까지 분류하는 대수적 불변량을 찾는 것이다. 그러나 대부분의 경우 동형사상 등가까지 분류한다.

이 불변량들 중 가장 중요한 것은 호모토피 그룹, 호몰로지, 코호몰로지이다.

대수 위상이 위상 문제를 연구하기 위해 주로 대수를 사용하지만, 때때로 대수 문제를 해결하기 위해 위상을 사용하는 것도 가능하다.예를 들어, 대수적 위상은 자유군의 어떤 부분군도 다시 자유군이 된다는 편리한 증거를 가능하게 한다.

차동 토폴로지

미분위상은 미분가능한 ^[14]다양체의 미분가능한 함수를 다루는 필드이다.그것은 미분 기하학과 밀접하게 관련되어 있으며, 그것들은 함께 미분 가능한 다양체의 기하학적 이론을 구성한다.

보다 구체적으로, 미분 위상은 다양체의 매끄러운 구조만 정의해야 하는 특성과 구조를 고려합니다.평활 다지관은 미분 위상에 존재하는 특정 유형의 등가 및 변형에 장애물로 작용할 수 있는 추가 기하학적 구조를 가진 다지관보다 "간단"하다.예를 들어, 부피와 리만 곡률은 동일한 매끄러운 다양체에서 서로 다른 기하학적 구조를 구별할 수 있는 불변량이다. 즉, 특정 다양체를 부드럽게 "평탄하게" 할 수 있지만, 공간을 왜곡하고 곡률이나 부피에 영향을 미칠 수 있다.

기하학적 위상

기하학적 위상은 주로 저차원 다양체(즉, 치수 2, 3, 4의 공간)와 기하학과의 상호작용에 초점을 맞춘 토폴로지의 한 분야이지만, 일부 고차원 ^[15]위상을 포함합니다.기하학적 토폴로지에 관한 토픽의 예로는 방향성, 핸들 분해, 국소 평탄도, 구겨짐, 평면 및 고차원 쇤파리 정리 등이 있습니다.

고차원 위상에서는 특성 클래스가 기본 불변량이고 수술 이론은 핵심 이론입니다.

저차원 위상은 2차원의 균일화 정리에 반영되어 있듯이 매우 기하학적이며, 모든 표면은 일정한 곡률 메트릭을 인정한다; 기하학적으로, 그것은 3가지 가능한 기하학적 구조 중 하나를 가진다: 양의 곡률/구면, 제로 곡률/평탄, 그리고 음의 곡률/초과성 – 그리고 3차원의 기하학적 추측 (현재의 정리)치수 – 각 3자루마다 8개의 가능한 기하학적 구조 중 하나를 가진 조각으로 절단할 수 있습니다.

2차원 토폴로지는 하나의 변수에서 복잡한 기하학으로 연구될 수 있다(리만 표면은 복잡한 곡선이다) – 균등화 정리에 의해 모든 규격 클래스는 고유한 복잡한 것과 동일하며, 4차원 토폴로지는 2개의 변수(복잡한 표면)에서 복잡한 기하학의 관점에서 연구될 수 있지만, e는 아니다.매우 4인치로 복잡한 구조를 수용할 수 있습니다.

일반화

때때로 위상 도구를 사용해야 하지만 "점 집합"을 사용할 수 없습니다.무의미한 위상학에서는 대신에 열린 집합의 격자를 ^[16]이론의 기본 개념으로 간주하는 반면, 그로텐디크 위상학은 그러한 범주에서 단층의 정의를 허용하는 임의의 범주에서 정의된 구조이며, 일반 코호몰로지 ^[17]이론의 정의를 허용한다.

적용들

생물학

토폴로지는 분자와 나노구조(예: 막질^[18] 물체)를 포함한 다양한 생물학적 시스템을 연구하기 위해 사용되어 왔다.특히 회로위상과 매듭이론은 접힌 단백질과 핵산의 위상을 분류하고 비교하기 위해 광범위하게 적용되어 왔다.회로 위상은 접힌 분자 사슬을 사슬 내 접점 및 사슬 교차의 쌍별 배열에 따라 분류합니다.위상학의 한 분야인 매듭 이론은 특정 효소가 DNA에 미치는 영향을 연구하기 위해 생물학에서 사용된다.이 효소들은 DNA를 잘라내고, 비틀고, 다시 연결하여 느린 ^[19]전기영동과 같은 관찰 가능한 효과로 매듭을 짓는다.위상학은 또한 표현형과 유전자형 ^[20]사이의 관계를 나타내기 위해 진화 생물학에서 사용된다.상당히 다르게 보이는 표현형 형태는 발생 과정에서 유전자 변화가 표현형 변화에 어떻게 매핑되느냐에 따라 몇 가지 돌연변이로 분리될 수 있다.신경과학에서는 오일러 특성이나 베티 수치와 같은 위상량이 신경망의 활동 패턴의 복잡성을 측정하는데 사용되어 왔다.

컴퓨터 공학

위상 데이터 분석은 대수적 위상의 기술을 사용하여 집합의 대규모 구조를 결정합니다(예를 들어, 점의 구름이 구형인지 트로이덜인지 결정).위상 데이터 분석에서 사용되는 주요 방법은 다음과 같습니다.

1. 데이터 점 집합을 근접 매개변수로 인덱싱된 단순 복합 집합으로 대체합니다.
2. 대수적 토폴로지를 통해, 특히 지속적 호몰로지 ^[21]이론을 통해 이러한 토폴로지 복합체를 분석합니다.
3. Betti 번호의 매개 변수화된 버전(^[21]바코드라고 함)의 형식으로 데이터 세트의 영구 호몰로지를 인코딩합니다.

도메인 이론과 같은 프로그래밍 언어 의미론의 여러 분기는 토폴로지를 사용하여 공식화됩니다.이런 맥락에서, 스티브 비커스, 샘슨 에이브람스키와 마이클 B의 작품을 바탕으로 합니다. Smyth, 위상 공간을 개방 집합 위에 있는 부울 또는 헤이팅 대수로 특징짓습니다. 이 대수는 반감각(^[22]등가적으로 완전히 관측 가능한) 특성으로 특징지어집니다.

물리

위상학은 응집물질 물리학,^[23] 양자장 이론, 물리 우주론과 같은 분야에서 물리학과 관련이 있습니다.

고체에서 기계적 성질에 대한 위상 의존성은 기계 공학 및 재료 과학 분야에 관심이 있습니다.전기적 및 기계적 특성은 ^[24]재료의 분자 및 기초 단위의 배치와 네트워크 구조에 따라 달라집니다.구겨진 위상의 압축 강도는 대부분 빈 ^[25]공간인 그러한 구조의 무게에 대한 높은 강도를 이해하기 위한 시도로 연구된다.표면 구조의 차원성에 대한 강성과 마찰의 의존성이 다체 물리학에서 응용과 관심의 대상인 접촉 역학에서 위상은 더욱 중요하다.

위상 양자장 이론(또는 위상장 이론, TQFT)은 위상 불변량을 계산하는 양자장 이론이다.

비록 TQFT가 물리학자에 의해 발명되었지만, 그것들은 다른 무엇보다도 매듭 이론, 대수 위상의 4개의 마니폴드 이론, 대수 기하학의 모듈리 공간 이론과 관련이 있어 수학적인 관심도 있습니다.도날드슨, 존스, 비튼, 콘체비치는 모두 위상장 이론과 관련된 업적으로 필즈상을 수상했다.

칼라비의 위상 분류 -야우 다양체는 서로 다른 다양체가 서로 다른 종류의 ^[26]끈을 유지할 수 있기 때문에 끈 이론에서 중요한 의미를 가집니다.

우주론에서,^[27] 위상은 우주의 전체적인 모양을 묘사하는데 사용될 수 있다.이 연구 영역은 일반적으로 시공간 토폴로지로 알려져 있습니다.

응축물질에서 위상물리학과 관련된 적용은 후방 산란으로부터 보호되는 전류인 단방향 전류를 얻을 수 있는 가능성에서 비롯된다.그것은 유명한 양자 홀 효과와 함께 전자공학에서 처음 발견되었고, 그 후 물리학의 다른 분야, 예를 들어 F.D.에 의한 광자학에서^[28] 일반화되었습니다.M Haldane.

로보틱스

로봇의 가능한 위치는 구성 ^[29]공간이라는 매니폴드로 설명할 수 있습니다.모션 플래닝 영역에서는 구성 공간에서 두 점 사이의 경로를 찾습니다.이러한 경로는 로봇의 관절 및 기타 부품이 원하는 ^[30]포즈로 움직이는 것을 나타냅니다.

게임과 퍼즐

접힌 퍼즐은 퍼즐의 모양과 ^[31][32][33]구성요소의 위상적인 측면에 기초합니다.

파이버 아트

모듈러 구조에서 연속적인 피스 결합을 작성하기 위해서는 각 피스를 둘러싸고 각 가장자리를 한 번만 횡단하는 순서로 비파괴 경로를 작성해야 한다.이 과정은 오일러 ^[34]경로의 적용이다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

인용문

참고 문헌

• Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", in Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A. (eds.), Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd ed.), The M.I.T. Press
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press

추가 정보

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, 순수 수학의 시그마 시리즈, 1989년 12월, ISBN 3-88538-006-4.
• 부르바키; 수학의 요소: General Topology, Addison-Wesley(1966)
• Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". In James, I.M. (ed.). History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4. (일반 위상에 대한 좋은 동기 부여, 기하학적 설명을 제공하며, 반 캄펜의 정리, 커버 공간 및 궤도 공간을 논할 때 그룹오이드의 사용을 보여준다.)
• 바츠와프 시에르핀스키, General Topology, 도버 출판물, 2000, ISBN 0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1. (일반적인 토폴로지 및 지오메트리 소개 제공)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd ed.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1

외부 링크

• "Topology, general", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 기본 토폴로지: 제1코스 비로, 이바노프, 네츠베타예프, 할라모프
• Curlie에서의 토폴로지
• 지오메트리 센터의 위상 동물원이요
• 토폴로지 아틀라스
• 토폴로지 코스 강의 노트 Aisling McCluskey 및 Brian McMaster, 토폴로지 아틀라스.
• 토폴로지 용어집
• 모스크바 1935: 하슬러 휘트니가 쓴 역사 에세이, 미국을 향해 나아가는 토폴로지.