와이어-펠란 구조

Weaire–
와이어-펠란 구조
Weaire–Phelan structure (polyhedral cells)
공간군
피브리폴드 표기법
콕서터 표기법
Pm3n(223)
2o
[[4,3,4]+]

기하학에서 위어는-펠란 구조는 동일한 크기의 거품이 이상화된 형태를 나타내는 3차원 구조로 두 가지 다른 모양을 가지고 있습니다. 1993년 데니스 웨이어와 로버트 펠란은 이 구조가 이전에 가장 잘 알려진 해결책인 켈빈 구조보다 최소 표면적의 동일한 부피 셀에 의한 타일 공간 문제의 더 나은 해결책임을 발견했습니다.[1]

역사와 켈빈 문제

잘린 팔면체 세포가 약간 변형되어 켈빈 구조를 형성하는 볼록 벌집인 비트런티드 큐빅 벌집

2차원에서, 평면을 최소 평균 둘레를 갖는 동일한 면적의 셀로 세분화하는 은 육각 타일에 의해 주어지지만, 이 벌집 추측의 첫 번째 기록은 고대 로마 학자 마르쿠스 테렌티우스 바로까지 거슬러 올라가지만, 토마스 C의 작업까지 증명되지 않았습니다. 1999년에 홀스.[2] 1887년 켈빈 경은 3차원 공간에 대한 상응하는 질문을 던졌습니다: 어떻게 하면 공간은 그들 사이의 표면적이 가장 적은 같은 부피의 세포로 분할될 수 있을까요? 아니면, 간단히 말해서, 가장 효율적인 비누 거품은 무엇이었습니까?[3] 이 문제는 그 이후 켈빈 문제로 언급되어 왔습니다.

켈빈은 켈빈 구조라고 불리는 거품을 제안했습니다. 그의 폼은 비트런케이티드 큐빅 벌집, 잘린 팔면체형성한 볼록한 균일한 벌집, 6개의 정사각형 면과 8개의 육각형 면을 가진 공간을 채우는 볼록한 다면체를 기반으로 합니다. 그러나 이 벌집은 19세기 조셉 플라토가 공식화한 플라토의 법칙을 만족하지 않습니다. 이에 따르면 최소 폼 표면이 에서 ^{\circ} 각도로 만나며, 이 가장자리는⁡ 13 ≈ 109의 로 4개 세트로 서로 마주칩니다.1}{3}}\47circ}}. 다면체 구조의 각도는 서로 다릅니다. 예를 들어, 정사각형 ∘ {\displaystyle circ 육각형 면에 ∘ {\displaystyle120^{\circ}}의 각도로 만나는 경우입니다. 따라서 켈빈이 제안한 구조는 곡면 가장자리와 면에 약간 뒤틀린 최소 표면을 사용하여 Plateo의 법칙을 준수하고 해당 다면체 구조에 비해 구조의 면적을 0.2% 감소시킵니다.[1][3]

켈빈이 추측으로 명시적으로 언급하지는 않았지만,[4] 비트런케이티드 입방 벌집의 거품이 가장 효율적인 거품이며 켈빈의 문제를 해결한다는 생각이 켈빈 추측으로 알려지게 되었습니다. 그것은 널리 믿어졌고, 100년 이상 동안 반례는 알려져 있지 않았습니다. 마침내 1993년 트리니티 칼리지 더블린 물리학자 데니스 위어와 그의 학생 로버트 펠란이 위어를 발견했습니다.펠란은 컴퓨터의 폼 시뮬레이션을 통해 구조를 만들었고, 켈빈 추측을 반증하면서 더 효율적임을 보여주었습니다.[1]

위어가 발견된 이후로-펠란 구조, 켈빈 추측에 대한 다른 반례들이 발견되었지만, 위어-펠란 구조는 이러한 반례 중에서 셀당 알려진 표면적이 가장 작습니다.[5][6][7] 수치 실험을 통해 위어 호가펠란 구조가 최적입니다. 이것은 증명되지 않은 채로 남아 있습니다.[8] 일반적으로 최소 표면을 포함하는 구조의 최적성을 증명하는 것은 매우 어려운 일이었습니다. 단일 부피를 둘러싸는 표면으로서의 구의 최소성은 19세기까지 입증되지 않았으며, 그 다음으로 간단한 문제인 두 부피를 둘러싸는 이중 거품 추측은 2002년에 입증될 때까지 100년 이상 열려 있었습니다.[9]

묘사

불규칙십이면체
정사면체

위어-펠란 구조는 같은 부피를 가지고 있지만 두 종류의 세포를 사용한다는 점에서 켈빈과 다릅니다. 켈빈의 구조에 있는 세포들처럼 이 세포들은 볼록 다면체와 조합적으로 동등합니다. 하나는 사면체 대칭(T)을h 갖는 오각형 면을 가진 불규칙한 정이십면체인 정이십면체입니다. 두 번째는 잘린 육각형 사다리꼴의 한 형태로, 두 개의 육각형 면과 열두 개의 오각형 면을 가진 정사면체의 한 종이며, 이 경우 두 개의 거울 면과 회전 반사 대칭만을 가지고 있습니다. 켈빈 구조의 육각형처럼 두 종류의 세포에 있는 오각형은 약간 휘어져 있습니다. 위어의 표면적은-펠란 구조는 켈빈 구조보다 0.3% 적습니다.[1]

테트라스틱, 바이어에 있는 정사면체 세포의 면대면 사슬 모델링-펠란 구조

육각형 면을 따라 세포의 면대면 사슬로 연결된 정사면체 세포는 세 개의 수직 방향으로 사슬을 형성합니다. 위어와 조합적으로 동등한 구조입니다.펠란 구조는 테트라스틱이라고 불리는 서로 맞물리는 프리즘의 구조를 형성하기 위해 같은 방법으로 무한개의 정사각형 프리즘으로 마주보며 일렬로 늘어선 단위 정육면체에 의해 공간의 타일로 만들어질 수 있습니다. 이 프리즘들은 정육면체 타일의 세포들의 1/4을 형성하는 정육면체의 공극들을 둘러싸고 있습니다; 세포들의 나머지 3/4은 프리즘을 채우고, 프리즘 벽에 정렬된 정수 격자로부터 1/2 단위만큼 상쇄됩니다. 마찬가지로, 위어에서-테트라스트릭스 구조와 같은 대칭을 갖는 펠란 구조 자체는 세포의 1/4이 십이지장, 3/4이 테트라카이데카이데카이데카이데카이데카이데카이데요.[10]

위어와 관련된 다면체 벌집은펠란 구조(얼굴을 평평하게 하고 가장자리를 곧게 펴서 얻은 것)는 위어(Weair)라고도 합니다.펠란 구조. 그것은 위어족 이전에 잘 알려져 있었습니다.펠란 구조가 발견되었지만 켈빈 문제에 대한 적용은 간과되었습니다.[11]

적용들

물리적 시스템에서

주문한 액체 폼의 성장에 사용되는 몰드를 클로즈업한 것입니다.

실험 결과, 유리한 경계 조건에서, 같은 부피의 기포가 자발적으로 위어로 자기 조립되는 것으로 나타났습니다.펠란 구조.[12][13]

연관된 다면체 벌집은 화학에서 결정 구조의 두 가지 관련 기하학에서 발견됩니다. 결정의 구성 요소가 다면체의 중심에 위치하는 곳에서, A15 단계 프랑크-카스퍼 단계 중 하나를 형성합니다.[14]

결정의 성분이 다면체의 모서리에 위치하는 곳을 "Type I clathrate 구조"라고 합니다. 낮은 온도에서 메탄, 프로판, 이산화탄소에 의해 형성된 가스 하이드레이트 분자가 와이어의 마디에 놓여 있는 구조를 가지고 있습니다.펠란 구조와 수소가 결합되어 있고, 더 큰 기체 분자는 다면체 케이지에 갇혀 있습니다.[11] 일부 알칼리 금속 수소화물게르마늄도 이러한 구조를 형성하며, 규소나 게르마늄은 마디에, 알칼리 금속은 우리에 있습니다.[1][15][16]

건축에서

베이징 국립수상센터

위어-펠란 구조물은 2008년 하계 올림픽을 위해 '워터 큐브'인 베이징 국립수상센터Tristram Carfrae가 디자인한 영감입니다.[17]

참고 항목

참고문헌

  1. ^ a b c d e Weaire, D.; Phelan, R. (1994), "A counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces", Phil. Mag. Lett., 69 (2): 107–110, Bibcode:1994PMagL..69..107W, doi:10.1080/09500839408241577.
  2. ^ Hales, T. C. (2001), "The honeycomb conjecture", Discrete & Computational Geometry, 25 (1): 1–22, doi:10.1007/s004540010071, MR 1797293
  3. ^ a b Lord Kelvin (Sir William Thomson) (1887), "On the Division of Space with Minimum Partitional Area" (PDF), Philosophical Magazine, 24 (151): 503, doi:10.1080/14786448708628135.
  4. ^ Weaire & Phelan (1994)은 그것이 "켈빈의 원래 논문에 직접적으로 언급되기 보다는 암시적"이라고 썼습니다.
  5. ^ Sullivan, John M. (1999), "The geometry of bubbles and foams", Foams and emulsions (Cargèse, 1997), NATO Advanced Science Institutes Series E: Applied Sciences, vol. 354, Kluwer, pp. 379–402, MR 1688327
  6. ^ Gabbrielli, Ruggero (1 August 2009), "A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces", Philosophical Magazine Letters, 89 (8): 483–491, Bibcode:2009PMagL..89..483G, doi:10.1080/09500830903022651, ISSN 0950-0839, S2CID 137653272
  7. ^ Freiberger, Marianne (24 September 2009), "Kelvin's bubble burst again", Plus Magazine, University of Cambridge, retrieved 4 July 2017
  8. ^ Oudet, Édouard (2011), "Approximation of partitions of least perimeter by Γ-convergence: around Kelvin's conjecture", Experimental Mathematics, 20 (3): 260–270, doi:10.1080/10586458.2011.565233, MR 2836251, S2CID 2945749
  9. ^ Morgan, Frank (2009), "Chapter 14. Proof of Double Bubble Conjecture", Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide (4th ed.), Academic Press.
  10. ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008), "Understanding the Irish Bubbles", The Symmetries of Things, Wellesley, Massachusetts: A K Peters, p. 351, ISBN 978-1-56881-220-5, MR 2410150
  11. ^ a b Pauling, Linus (1960), The Nature of the Chemical Bond (3rd ed.), Cornell University Press, p. 471
  12. ^ Gabbrielli, R.; Meagher, A.J.; Weaire, D.; Brakke, K.A.; Hutzler, S. (2012), "An experimental realization of the Weaire-Phelan structure in monodisperse liquid foam" (PDF), Phil. Mag. Lett., 92 (1): 1–6, Bibcode:2012PMagL..92....1G, doi:10.1080/09500839.2011.645898, S2CID 25427974.
  13. ^ Ball, Philip (2011), "Scientists make the 'perfect' foam: Theoretical low-energy foam made for real", Nature, doi:10.1038/nature.2011.9504, S2CID 136626668.
  14. ^ Frank, F. C.; Kasper, J. S. (1958), "Complex alloy structures regarded as sphere packings. I. Definitions and basic principles" (PDF), Acta Crystallogr., 11 (3): 184–190, doi:10.1107/s0365110x58000487. Frank, F. C.; Kasper, J. S. (1959), "Complex alloy structures regarded as sphere packings. II. Analysis and classification of representative structures", Acta Crystallogr., 12 (7): 483–499, doi:10.1107/s0365110x59001499.
  15. ^ Kasper, J. S.; Hagenmuller, P.; Pouchard, M.; Cros, C. (December 1965), "Clathrate structure of silicon Na8Si46 and NaxSi136 (x < 11)", Science, 150 (3704): 1713–1714, Bibcode:1965Sci...150.1713K, doi:10.1126/science.150.3704.1713, PMID 17768869, S2CID 21291705
  16. ^ Cros, Christian; Pouchard, Michel; Hagenmuller, Paul (December 1970), "Sur une nouvelle famille de clathrates minéraux isotypes des hydrates de gaz et de liquides, interprétation des résultats obtenus", Journal of Solid State Chemistry, 2 (4): 570–581, Bibcode:1970JSSCh...2..570C, doi:10.1016/0022-4596(70)90053-8
  17. ^ Fountain, Henry (August 5, 2008), "A Problem of Bubbles Frames an Olympic Design", New York Times

외부 링크